异面直线所成角求法-总结加分析

异面直线所成的角

一、平移法：

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法

1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．

解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝3

FG ＝EG ＝1

∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和

AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°

3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2

π

，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角

连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝

a 25 NQ ＝2

1SM ＝

4

2a BQ ＝

a 4

14

∴COS∠QNB＝5

10

2222=

⋅-+NQ BN BQ NQ BN

4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝

CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．

解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．

设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6

，

cos∠GNA＝

10

305

62556=⨯⨯-+。

B

M A

N

C

S

A B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

E

F 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的

角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，

故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt△A 1AG≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。

6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点

(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线 (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小；

(3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值；

(4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值

解：(1)

∵ A??平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B?CC′,

∴ 直线BA ′与CC ′是异面直线

同理，正方体12条棱中的C ′D ′、DD ′、DC 、AD 、B ′C ′所在的直线都和直线BA ′成异面直线

(2)∵ CC ′∥BB ′，∴ BA ′和BB ′所成的锐角就是BA ′和CC ′所成的角 ∵ ∠A ′BB ′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°

(3)∵ AA ′∥BB ′∥CC ′，故AE 和AA ′所成的锐角∠A ′AE 是AE 和CC ′所成的角 在Rt △AA ′E 中，tan ∠A ′AE ＝

A E AA ''

＝21

，所以AE 和CC′所成角的正切值是

2

1

(4)取B ′C ′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥

A?B?＝∥

AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥

AE, 即BF∥AE 且BF=AE.

∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B＝22，A′F＝BF ＝5，由余弦定理得： cos∠A′BF＝5

105

222)

5()5()22(2

2

2

=

⨯⨯-+

7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

F

(图1－29)

5

5

B?

(图1－28)

A?

A B

C?

D?

C

D

F

E

解法一：如图④，过B

1点作B

1

E∥BC

1

交CB的延长线于E点。

则∠DB

1E或其补角就是异面直线DB

1

与BC

1

所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，

cos∠DB1E=734

∴∠DB

1

E=cos

arc

734

。

解法二：如图⑤，在平面D

1DBB

1

中过B点作BE∥DB

1

交D

1

B

1

的延长线于E，则∠C

1

BE就是异面

直线DB

1与BC

1

所成的角，连结C

1

E，在△B

1

C

1

E中，

∠C

1B

1

E=135°，C

1

E=35，cos∠C

1

BE=

734

170

，∴∠C

1

BE=cos

arc

734

170

。

练习：

8. 如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

9.在长方体ABCD- A

1B

1

C

1

D

1

中，若棱B B

1

=BC=1，AB=3，求D