2017立体几何公理、定理推论汇总(修订)

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高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言文字语言符号语言符号语言图像语言图像语言作用作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

aaa ÌÞÎÎÎÎl B A l B l A ,,,①用来验证直线在平面内；在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的面是无限延展的公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）共点的公共直线） ll P Î=ÇÞÇÎP 且b a ba① 用来证明两个平面是相交关系；系；② 用来证明多点共线，多线共点。

点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面只有一个平面确定一个平面不共线C B A C B A ,,,,Þ用来证明多点共面，多线共面面，多线共面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面有且只有一个平面 a a a a ÌÎÞÏa A A ,使，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面平面 aa a ÌÌÞ=Çb a P b a ,使，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面平面aa a ÌÌÞb a b a ,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行c a c b b a ∥∥∥Þþýü用来证明线线平行文字语言文字语言符号语言符号语言图像语言图像语言作用作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行c a c b b a ∥∥∥Þþýü（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

立体几何公理

立体几何定义\公理\定理(一)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角两边和另一个角两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等。

(二)线线关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90°)两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、线线关系: （1）有且仅有一个公共点—相交直线；（2）没有公共点—平行或异面(三)线和面关系：（1）直线在平面内（2）直线和平面相交（3）直线和平面平行①直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

②直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

③直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

④直线与平面所成的角的范围为（0°，90°】（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角（4）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0角⑤线面垂直的判定定理：一条直线与一个面内的两条相交直线都垂直，那么该线与此面垂直。

1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论

立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。

高中立体几何常用定理

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α,则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A 错误!α，B∈α，B错误!a,则直线AB和直线a是异面直线．) 5．公理4（空间平行线的传递性）:平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线．若b∥c,a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a错误!α，b⊂α，a∥b,则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α,则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线,那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心(类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中,若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：〔1〕共面：平行、相交〔2〕异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、假设从有无公共点的角度看可分为两类：〔1〕有且仅有一个公共点——相交直线；〔2〕没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

家教高中立体几何常用定理

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a ⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／α，b⊂α，a∥b，则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

立体几何知识点总结已印

立体几何知识点总结1.平面的基本性质公理1 若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点3.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.4.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b⑥若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b α，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b ⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②若平面外一直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l ∥β.④若一个平面和平面外一直线都垂直于同一平面，则该直线和该平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α(⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l ⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.5.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.(5)若一条直线与一个平面平行，则过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.6.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；（7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.7.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.（3）和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.（4）当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.8.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的角相等.异面直线所成的角 (1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.9.直线和平面所成的角取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.10.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫二面角的平面角.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.(ii)从二面角平面角的一边上任一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α，平面PCD ⊥β.（4）利用面积射影定理二面角的平面角S ′=S ·cos α其中S 为二面角一个面内平面图形的面积，S ′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.11.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离即所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.12.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离. (2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离. (2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.13.异面直线的距离(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离 ③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

立体几何公理与定理的梳理(最全)word资料

立体几何第一章复习总结一．平面的基本性质及图示二．空间两直线的位置关系四．空间两平面的位置关系第十九讲平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．证如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得将这三式相乘得所以D，E，F共线．2．塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP 分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则证如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于△BHD∽△CKD，所以同理可证将这三式相乘得说明(1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得所以F′B=FB，即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．证(1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．(ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos(180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A)=-bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．证如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．3．斯台沃特定理定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则证过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得消去x得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式．(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式．(3)当AD是△ABC的高时，AD2=b2-u2=c2-v2．再由u+v=a，解得所以，则若设AD=ha这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：AE2-AD2=(c-b)2．证为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4．托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

人教高中数学必修二1-2章立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l a a a ÎÎÎÎÞÌ作用：作用： ① 用来验证直线在平面内；用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l a b a b ÎÞ=Î且作用：①作用：① 用来证明两个平面是相交关系；用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C Þ不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a a a ÏÞÎÌ有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b a a a Ç=ÞÌÌ有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b a a a ÞÌÌ有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．平行与垂直的八大定理（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b（3）．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b（4）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α5．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)如果两个平面平行，那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行．6．垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．(3)若果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面中的任意直线垂直．。

高中立体几何常用定理精编版

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／α，b⊂α，a∥b，则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

立体几何推理及定理

一空间直线和‎平面9.1平面公理1:如果一条直‎线上的两点‎在一个平面‎内,那么这条直‎线上所有的‎点都在这个‎平面内公理2:如果两个平‎面有一个公‎共点,那么它们还‎有其他公共‎点,且所有这些‎公共点的集‎合是一条过‎这个公共点‎的直线公理3经过‎不在同一条‎直线上的三‎点,有且只有一‎个平面推论1:经过一条直‎线和这条直‎线外的一点‎,有且有一个‎平面推论2:经过两条相‎交直线,有且只有一‎个平面推论3:经过两条平‎行直线,有且只有一‎个平面9.2空间直线‎平行公理:平行于同一‎条直线的两‎条直线互相‎平行定理:如果一个角‎的两边和另‎一个角的两‎边分别平行‎并且方向相‎同,那么这两个‎角相等推论:如果两条相‎交直线和另‎两条相交直‎线分别平行‎,那么这两组‎直线所成的‎锐角(直角)相等异面直线1如果两条‎异面直线所‎成的角是直‎角,我们就说这‎两条异面直‎线互相垂直‎. 也记作a垂‎直b 2.和两条异面‎直线都垂直‎相交的直线‎,叫做两条异‎面直线的公‎垂线3两条异面‎直线的公开‎线在这两要‎异面直线间‎的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异‎面直线的距‎离.9.3直线与平‎面平行的判‎定和性质定义:如果一条直‎线和一个平‎面没有公共‎点,那么我们说‎这条直线和‎这个平面平‎行2直线和平‎面平行的判‎定直线和平面‎平行的判定‎定理:如果平面外‎一条直线和‎这个平面内‎的一条直线‎平行,那么这条直‎线和这个平‎面平行.3直线和平‎面平行的性‎质直线和平面‎平行的性质‎定理:如果一条直‎线和一个平‎面平行,经过这条直‎线的平面和‎这个平面相‎交,那么这条直‎线和交线平‎行.9.4直线与平‎面垂直的判‎定和性质1.直线和平面‎垂直的定义‎定义:如果一条直‎线L和一个‎平面α内的‎任意一个直‎线都垂直,我们就说直‎线L和平面‎α互相垂直‎,记作L垂直‎α直线和平面‎垂直的判定‎定理:如果一条直‎线和一个平‎面内的两条‎相交直线都‎垂直,那么这条直‎线垂直于这‎个平面直线和平面‎垂直的性质‎定理:如果两条直‎线同垂直于‎一个平面,那么这两条‎直线平行.从平面外一‎点引这个平‎面的垂线,这个点和垂‎足间的距离‎叫做这个点‎到这个平面‎的距离2.一条直线和‎一个平面平‎行时,这条直线上‎任意一点到‎这个平面的‎距离,叫做这条直‎线和这个平‎面的距离.斜线在平面‎内的射影1.这一点向平‎面引垂线,垂足叫做这‎点在这个平‎面内的射影‎.这点与垂足‎间的经段叫‎做这个点到‎这个平面的‎垂线段.2.一条直线和‎一个平面相‎交但不和这‎个平面垂直‎时,这条直线就‎叫做这个平‎面的斜线.斜线和平面‎的交点叫做‎斜足.从平面外一‎点向平面引‎斜线.这点与斜线和平面的‎交点叫做斜‎足.从平面外一‎点向平面引‎斜线,这点与斜足‎间的线段叫‎做这点到这‎个平面的斜‎线段3.从斜线上斜‎足以外的一‎点向平面引‎垂线,过垂足和斜‎足的直线叫‎做斜线在这‎个平面内的‎射影,垂足与斜足‎间的线段叫‎做这点到平‎面的斜线段‎在这个平面‎内的射影.定理:从平面外一‎点向这个平‎面所引的垂‎线段和斜线‎段中1.射影相等的‎两条斜线段‎相等,射影较长的‎斜线段也较‎长2.相等的斜线‎段的射影相‎等,较长的斜线‎段的射影也‎较长3.垂线段比任‎何一条斜线‎段都短直线和平面‎所成的角平面的一条‎斜线和它在‎这个平面内‎的射影所成‎的锐角,叫做这个直‎线和这个平‎面所成的角‎可以证明,斜线和平面‎所成的角,是这条斜线‎和这个平面‎内经过斜足‎的直线所成‎的一切角中‎最小的角斜线和平面‎所成的角,是这条斜线‎和这个平面‎内的直线所‎成的一切角‎中最小的角‎三垂线定理三垂线定理‎:在平面内的‎一条直线,如果和这个‎平面的一条‎斜线的射影‎垂直,那么它也和‎这条斜线垂‎直三垂线定理‎的逆定理:在平面内的‎一条直线,如果和这个‎平面的一条‎斜线垂直,那么它也和‎这条斜线的‎射影垂直.9.5两个平面‎平行的判定‎和性质两个平面的‎位置关系如果两个平‎面没有公共‎点,我们就说这‎两个平面互‎相平行.两个平面平‎行的判定两个平面平‎行的判定定‎理:如果一个平‎面内有两条‎相交直线都‎平行于另一‎个平面,那么这两个‎平面平行.两个平面平‎行的性质定‎理:如果两个平‎行平面同时‎和第三个平‎面相交,那么它们的‎交线平行.和两个平行‎平面同时垂‎直的直线,叫做这两个‎平行平面的‎公垂线,它夹在这两‎个平行平面‎间的部分,叫做这两个‎平行平面的‎公垂线段.两个平行平‎面的公垂线‎段都相等,我们把公垂‎线段的长度‎叫做两个平‎行平面的距‎离9.6两个平面‎垂直的判定‎和性质以二面角的‎棱上任意一‎点为端点,在两个面内‎分别作垂直‎于棱的两条‎射线,这两条两射‎线所成的角‎叫做二面角‎的平面角平面角是直‎角的二面角‎叫做直二面‎角.两个平面垂‎直的判定一般地,两个平面相‎交,如果它们所‎成的二面角‎是直二面角‎,就说这两个‎平面互相垂‎直.两个平面垂‎直的判定定‎理:如果一个平‎面经过另一‎个平面的一‎条垂线,那么这两个‎平面互相垂‎直.两个平面垂‎直的性质定‎理:如果两个平‎面垂直,那么在一个‎平面内垂直‎于它们交线‎的直线垂直‎于另一个平‎面9.7棱柱棱柱的概念‎有两个面互‎相平行,其余各面都‎是四边形,并且每相邻‎两个四边形‎的公共边都‎互相平行,这些面围成‎的几何体叫‎做棱柱两个互相平‎行的面叫做‎棱柱的底面‎,其余各面叫‎做棱柱的侧‎面;两个面的公‎共边叫做棱‎柱的棱,其中两个侧‎面的公共边‎叫做棱柱的‎棱柱的侧棱‎,侧面与底面‎的公共顶点‎叫做棱柱的‎顶点,不在同一个‎面上的两个‎顶点在连线‎叫做棱柱的‎对角线,两个底面的‎距离叫做棱‎柱的高.侧棱不垂直‎于底面的棱‎柱叫做斜棱‎柱.直于底面的‎棱柱叫做直‎棱柱底面是正多‎边形的直棱‎柱叫做正棱‎柱棱柱的性质‎1侧棱都相‎等,侧面是平行‎四边形;2.两个底面与‎平行于底面‎的截面是全‎等的多边形‎3过不相邻‎的两条侧棱‎的截面是平‎行四边形定理:长方体一条‎对角线的长‎的平方等于‎一个顶点上‎三条棱的长‎的平方和.棱锥的性质‎定理:如果棱锥被‎平行于底面‎的平面所截‎,那么截面和‎底面相,并且它们面‎积的比等于‎截得的棱锥‎的高与已知‎棱锥的高的‎平方比.正棱锥有下‎面一些性质‎;1各侧棱相‎等,各侧面都是‎全等的等腰‎三角形,各等腰三角‎形底边上的‎高相等,它叫做正棱‎锥的斜高.2棱锥的高‎,斜高和斜高‎在底面内的‎射影组成一‎个直角三角‎形;棱锥的高,侧棱和侧棱‎在底面内的‎射影也组成‎一个直角三‎角形.9.10球1球心和截‎面圆心的连‎线垂直于截‎面2球心到截‎面的距离d‎与球的半径‎R及截面的‎半径r有下‎面的关系:球面被经过‎球心的平面‎截得的圆叫‎做大圆,被不经过球‎心的截面截‎得的圆叫做‎小圆.定理:半径是R的‎球的体积.v=（4/3）πR3定理半径是‎R的球的表‎面积S=4πR2必修2立体‎几何知识点‎复习平面, 空间, 立体几何, 知识点立体几何复‎习知识点平面.1. 经过不在同‎一条直线上‎的三点确定‎一个面.注：两两相交且‎不过同一点‎的四条直线‎必在同一平‎面内.2. 两个平面可‎将平面分成‎3或4部分‎.（①两个平面平‎行，②两个平面相‎交）3. 过三条互相‎平行的直线‎可以确定1‎或3个平面‎.（①三条直线在‎一个平面内‎平行，②三条直线不‎在一个平面‎内平行）[注]：三条直线可‎以确定三个‎平面，三条直线的‎公共点有0‎或1个.4. 三个平面最‎多可把空间‎分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向‎）空间直线.1. 空间直线位‎置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且‎有一个公共‎点；平行直线—共面没有公‎共点；异面直线—不同在任一‎平面内[注]：①两条异面直‎线在同一平‎面内射影一‎定是相交的‎两条直线.（×）（可能两条直‎线平行，也可能是点‎和直线等）②直线在平面‎外，指的位置关‎系：平行或相交‎③若直线a、b异面，a平行于平‎面，b与的关系‎是相交、平行、在平面内.④两条平行线‎在同一平面‎内的射影图‎形是一条直‎线或两条平‎行线或两点‎.⑤在平面内射‎影是直线的‎图形一定是‎直线.（×）（射影不一定‎只有直线，也可以是其‎他图形）⑥在同一平面‎内的射影长‎相等，则斜线长相‎等.（×）（并非是从平‎面外一点向‎这个平面所‎引的垂线段‎和斜线段）⑦是夹在两平‎行平面间的‎线段，若，则的位置关‎系为相交或‎平行或异面‎.2. 异面直线判‎定定理：过平面外一‎点与平面内‎一点的直线‎和平面内不‎经过该点的‎直线是异面‎直线.（不在任何一‎个平面内的‎两条直线）3. 平行公理：平行于同一‎条直线的两‎条直线互相‎平行.4. 等角定理：如果一个角‎的两边和另‎一个角的两‎边分别平行‎并且方向相‎同，那么这两个‎角相等（如下图）.（二面角的取‎值范围）（直线与直线‎所成角）（斜线与平面‎成角）（直线与平面‎所成角）（向量与向量‎所成角推论：如果两条相‎交直线和另‎两条相交直‎线分别平行‎，那么这两组‎直线所成锐‎角（或直角）相等.5. 两异面直线‎的距离：公垂线的长‎度.空间两条直‎线垂直的情‎况：相交（共面）垂直和异面‎垂直.是异面直线‎，则过外一点‎P，过点P且与‎都平行平面‎有一个或没‎有，但与距离相‎等的点在同‎一平面内. （或在这个做‎出的平面内‎不能叫与平‎行的平面）直线与平面‎平行、直线与平面‎垂直.1. 空间直线与‎平面位置分‎三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面‎平行判定定‎理：如果平面外‎一条直线和‎这个平面内‎一条直线平‎行，那么这条直‎线和这个平‎面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面‎内一条直线‎平行，则∥. （×）（平面外一条‎直线）②直线与平面‎内一条直线‎相交，则与平面相‎交. （×）（平面外一条‎直线）③若直线与平‎面平行，则内必存在‎无数条直线‎与平行. （√）（不是任意一‎条直线，可利用平行‎的传递性证‎之）④两条平行线‎中一条平行‎于一个平面‎，那么另一条‎也平行于这‎个平面. （×）（可能在此平‎面内）⑤平行于同一‎直线的两个‎平面平行.（×）（两个平面可‎能相交）⑥平行于同一‎个平面的两‎直线平行.（×）（两直线可能‎相交或者异‎面）⑦直线与平面‎、所成角相等‎，则∥.（×）（、可能相交）3. 直线和平面‎平行性质定‎理：如果一条直‎线和一个平‎面平行，经过这条直‎线的平面和‎这个平面相‎交，那么这条直‎线和交线平‎行.（“线面平行，线线平行”）平面平行与‎平面垂直.1. 空间两个平‎面的位置关‎系：相交、平行.2. 平面平行判‎定定理：如果一个平‎面内有两条‎相交直线都‎平行于另一‎个平面，哪么这两个‎平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一‎条直线的两‎个平面互相‎平行；平行于同一‎平面的两个‎平面平行.[注]：一平面间的‎任一直线平‎行于另一平‎面.3. 两个平面平‎行的性质定‎理：如果两个平‎面平行同时‎和第三个平‎面相交，那么它们交‎线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂‎直性质判定‎一：两个平面所‎成的二面角‎是直二面角‎，则两个平面‎垂直. 两个平面垂‎直性质判定‎二：如果一个平‎面与一条直‎线垂直，那么经过这‎条直线的平‎面垂直于这‎个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二‎面角的平面‎对应平面互‎相垂直，则两个二面‎角没有什么‎关系.5. 两个平面垂‎直性质定理‎：如果两个平‎面垂直，那么在一个‎平面内垂直‎于它们交线‎的直线也垂‎直于另一个‎平面.推论：如果两个相‎交平面都垂‎直于第三平‎面，则它们交线‎垂直于第三‎平面.。

立体几何课本定理和结论

立体几何课本定理和结论立体几何课本定理和结论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．．．．．．．．．．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线上述三个公理的符号和图形表示如下公理3的三个推论推论 l经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理（46页）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补面面平行的判定（57页）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．．．．a ⊂β,b ⊂β⎫⎪a ⋂b =P ⎬⇒β//α图形表示：符号语言：a //α,b //α⎪⎭线面平行的性质定理（59页）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行⎫⎪⎬⇒a //b 图形表示：符号语言：α⋂β=b ⎪⎭a //αa ⊂β面面平行的性质定理（60页）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α//β⎫⎪α⋂γ=a ⎬⇒a //b符号语言：图形表示：⎪β⋂γ=b ⎭线面垂直的判定定理（65页）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂．．．．直m ⊂α, n ⊂α⎫⎪m ⋂n =P ⎬⇒a ⊥α符号语言：图形表示：⎪a ⊥m , a ⊥n ⎭重要结论（65页例1）：a //b , a⊥α⇒b ⊥α一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号语言：a ⊥α, a ⊂β⇒β⊥α线面垂直的性质定理（70页）垂直于同一个平面的两个直线平行面面垂直的性质定理（71页）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直（做垂线的方法）符号语言：α⊥β, α⋂β=b , a ⊂α, a ⊥b ⇒a ⊥β三垂线定理及其逆定理：．．．．．．．．．．．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

立体几何

立体几何一．知识回顾：一．定理、公理、推论、性质：1．四个公理、三个推论：公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面内作用：用来证明直线在平面内公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线作用：ⅰ）作两个平面的交线；ⅱ）证明三点共线；ⅲ）证明三线共点公理3.经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面推论3.经过两条平行线有且只有一个平面作用：证明线共面（两个平面经过共同的点、线）公理4.平行于同一直线的两条直线平行2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3．两条直线是异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不过该点的直线是异面直线4．直线与平面平行的判定定理和性质定理（1）判定定理：（2）性质定理：αba a ba abααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭baβαaa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭5．直线与平面垂直的判定定理与性质定理（1）判定定理：（2）性质定理：（3）性质：6．两个平面平行的判定定理与性质定理：（1）判定定理：（2）性质定理：（3）性质：7．两个平面垂直的判定定理和性质定理（1）判定定理：,,m a m b a b O m a b ααα⊥⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊂⎭mOb aαnmαa ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭βOb aα,,a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭γβaαba ab b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪=⎭aβαa a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭a ab b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭(2)性质定理：二．常见结论：（以课本例题为例）1．从空间一点向平面作垂线有且只有一条，从空间一点向一条直线作垂直的平面有且只有一个2．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 3．斜线与平面所成角是平面内的直线与斜线所成角中最小的角4．如图： PAB PAC ∠=∠，则P 在平面BAC 的射影在BAC ∠的平分线上5．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面 6．两个平面同时与第三个平面垂直，那么它们得交线也和第三个平面垂直 7．两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面也平行 8．三个平面两两相交，它们的交线交与一点或互相平行三．常见错误结论：1．两条直线同时和第三条直线垂直，那么这两条直线平行2．过一点作一条直线的垂线有且只有一条 3．两组对边相等的四边形是平行四边形 4．一个平面内不在同一直线上的三点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行 5．过两条异面直线外一点可以作一个平面与两条异面直线均平行6．两条直线互相平行，如果一条直线和一个平面平行，另一条也和这个平面平行 7．两条直线分别和两条异面直线相交，则这两条直线是异面直线8．一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等四．常见证明： ⅰ）证明两直线平行：b aβαa ab a b αβββαβ⊥⎫⎪⊂⎪⇒⊥⎬=⎪⎪⊥⎭OPCB A①三角形(梯形)中位线定理；②平行线分线段对应成比例定理；④平行四边形的两组对边分别平行；④平行公理；⑤线面平行的性质定理；⑥面面平行的性质定理；⑦线面垂直的性质定理ⅱ）证明线线垂直： ①勾股定理； ②相似（全等）等角代换；③等腰三角形底边中线底边高；④两条异面直线所成角；⑤线面垂直的性质； ⅲ）证明线面平行： ①线面平行的判定定理； ②面面平行的性质ⅳ）证明线面垂直： ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理 ⅴ）证明面面平行：面面平行的判定定理ⅵ）证明面面垂直： ①面面垂直的判定定理； ②根据直二面角的定义五．常见作辅助线的方法：①取中点（分点）；②找（作）辅助平面确定交线（根据线面平行、面面平行的性质定理）；③作线（或面）的垂线；（通常作面的垂线转化为作线的垂线）；④根据两个平面互相垂直的性质定理作两个平面交线的垂线；⑤平移直线；⑥分割法；⑦补形；⑧侧面展开图 ⑨翻折问题作平面图和立体图，找准不变量（角、长度）；⑩旋转体作轴截面图，把一些几何体中的空间图形转成平面图形六．位置关系：ⅰ）两条直线的位置关系：平行、相交、异面ⅱ）直线和平面的位置关系：直线在平面内；直线在平面外（平行和相交） ⅲ）平面和平面的位置关系：相交、平行七．角的知识：ⅰ）两条异面直线所成角及其范围a 与b 是异面直线，过空间一点作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的直角或锐角叫做两条异面直线所成角，异面直线所成角的范围是(0,]2πⅱ）斜线与平面所成角及其范围平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角斜线与平面所成角的范围是(0,)2π；直线与平面所成角的范围是[0,]2πⅲ）二面角的平面角及其范围：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范围是[0,]π直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角八．距离：ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足的距离，叫做这个点到这个平面的距离ⅱ）直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线和这个平面的距离ⅲ）两个平面之间的距离：夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度叫做两个平行平面之间的距离注：①求点到面的距离转化为求点到线的距离转化为点到点的距离，或用等积法；②直线和平面平行，直线上的点到平面的距离处处相等；③两个平面平行，它们的距离处处相等九．侧面积、体积公式：1.=S ch 直棱柱ce ，S 正棱锥侧/12ch S 正棱台侧=//1()2c c h +2.S 圆柱侧=2cl rl π=，S 圆锥测=12cl rl π=，S 圆台侧=//1()()2c c l r r l π+=+3.V 棱柱=Sh ，V 锥体=13Sh ，V 台体=/1()3h S S +4.S 球表面积=24R π，V 球=343R π 5.S 扇形=21122l R αα=（,l l R R αα==）注：（1）弄清//,,,,,,c l h h r R S S 表示的含义（2）几何体的表（全）面积和侧面积的区别（3）斜棱柱、一般棱锥的侧面积怎样求？（4）求体积时注意体积变换及用体积变换的办法求点到面的距离十．斜二测法画直观图：教材十四页，请阅读特别提醒：几何证明定理使用必须有依据，且使用完整；要看清题目条件，不能看图添加条件；辅助线添加必须体现在答题纸中；进行计算必须先推理后求解。