2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案1)

2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案1）
高等数学基础学习辅导（1）
函数部分例题讲解
例1 若函数
，则
＝( C ).
A. 0
B. 1
C.
D.
解: 2
2
)4sin()4(=
-=-
ππ
f 故选项C 正确。

例2 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？C
A ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==
B ．12
ln
)(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f x
x -=-=)(,)()(2
D ．1)(,1
1
)(2-=+-=
x x g x x x f 解: A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，
C 中函数2
)
()(x
e x x x
f x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为 )()()(2
x g x e x x e x x x f x
x =-=-=故这两个函数是相同的函数。

例3 下列各对函数中，（C ）是相同的。

A.x x g x x f ==
)(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22；
C.f x x g x x ()ln ,()ln ==3
3； D.f x x x g x x (),()=
-+=-2111
解： A 中两函数的对应关系不同,
x x x ≠=2， B, D 三个选项中的每对函数
的定义域都不同，所以A B, D 都不是正确的选项；而选项C 中的函数定义域
相等，且对应关系相同，故选项C 正确。

例4 下列函数中，哪个函数是奇函数？
A ．)12sin()(++=x x x f
B ．)1ln()(2++
=x x x f
C ．x e x x f x
-=)(
D ．x x
x x f sin 1
)(2⋅-= 解： 由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，
D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数 验证B )
1)(()1)((ln )1)(ln()(2
2222
x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-
)()1ln(11ln
22x f x x x
x -=++-=++=
故此函数是奇函数。

例5 设函数f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()－-的图形关于（ ）对称。

A. y ＝x ； B .x 轴； C. y 轴； D.坐标原点
解： 设)()()(x f x f x F --=，则对任意x 有
)())()(()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F -=---=--=----=- 即)(x F 是奇函数，故图形关于原点对称。

选项D 正确。

例6 设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（ ）．
A.单调减函数；
B.有界函数；
C.偶函数；
D.周期函数
解： A, B, D 三个选项都不一定满足。

设)()()(x f x f x F -⋅=，则对任意x 有
)()()()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F =-⋅=⋅-=--⋅-=- 即)(x F 是偶函数，故选项C 正确。

例7 函数)1,0(1
1
)(≠>+-=a a a a x x f x
x （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数；
D.是非奇非偶函数。

解： 利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1
1
)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x
x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。

例8 若函数221
)1(x
x x x f +=+
，则=)(x f （ ） A.2
x ； B. 22-x ；
C.2)1(-x ；
D. 12
-x 。

解： 因为2)1(212122
2
22
-+=-++=+
x x x
x x x 所以2)1()1(2
-+=+x
x x x f
则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。

例9 设1
1
)(2+-=x x x f 与1)(-=x x g ，则它们在区间 _________上是相同函
数。

解： 函数)(x f 与)(x g 在相同的定义域),1()1,(+∞-⋃--∞上， )(x f 与)(x g 有
相同的对应关系，则)(x f 与)(x g 在区间),1()1,(+∞-⋃--∞上是相同函数。

例10 设)0(1)1(2
>++=x x x x
f ，则f x ()= 。

解：设x t 1=
，则t
x 1
=，得 t t t t t f 2
211111)(++=
++= 故x
x x f 2
11)(++=。

例11 若函数f (x －1)＝x 2＋1，则f (x ＋1)＝_________________. 解： 设1,1+==-t x t x 121)1()(22++=++=t t t t f , 令 1+=x t ,542)1(2)1()1(22++=++++=+x x x x x f
故 54)1(2++=+x x x f 例12 函数x x x f -+-=
5)
2ln(1
)(的定义域是 。

解：要使函数有意义，必须使
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≠->-050)2ln(02x x x 解得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≠>532x x x 则函数定义域为]5,3()3,2( 。

例13 函数)(x f 的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域是 。

解： 要使)(ln x f 有意义，必须使1ln 0≤≤x ，
由此得)(ln x f 定义域为]e ,1[。

例14 设x e f x =)(, 则=)10(f _____________
解： 令 t e x
= ， t x ln =， t t f ln )(= ，
则 =)10(f ln10 。

例15 函数39
2--=x x y 的定义域为 。

解：要使3
92--=x x y 有意义，必须满足092
≥-x 且03≠-x ，
即⎩⎨⎧≠≥33x x 成立，解不等式方程组，得出⎩⎨⎧≠-≤≥333x x x 或，
故得出函数的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。

例16 设2
)(x
x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。

解：)(x f 的定义域为),(+∞-∞ ，且有
)(2
22)()(x f a a a a a a x f x
x x x x x =+=+=+=------
即)(x f 是偶函数，故图形关于y 轴对称。

例17 求下列函数的定义域
（1）43)1ln(1
-+--=
x x x y
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-=2ln 221
x x
x x y
解： （1）要使函数有意义，必须使
⎪⎩⎪
⎨⎧≥-≠->-0430)1ln(0
1x x x 解得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥
≠>3421x x x 即函数的定义域是34≥x 且 2≠x 。

即),2()2,3
4
(∞+
（2）分段函数的定义域是所有定义区间的并集，此分段函数的定义域是
2>x 或2≤x ，
但x ln 的定义域是0>x ，故综合起来可知所求函数的定义域是0>x 。

例18 若函数x x f 2sin )2(=+，求),1(),(x
f x f
解： 已知x x f 2sin )2(=+，即)22(2sin )2(-+=+x x f
根据函数概念可知
)2(2sin )(-=x x f ，（即下划线的部分替换成x ） )21(2sin )1(-=x x f ，（即下划线的部分替换成x
1）
通用的解法就是：设t x =+2，则2-=t x 将2-=t x 代入x x f 2sin )2(=+中，即有 )2(2sin )(-=t t f ，
令x t =，则有)2(2sin )(-=x x f
令x
t 1=，则有)21
(2sin )1(-=x x f
例19 将函数)]1ln(21cos[2++=x y 分解成几个简单函数。

解： u y c o s
=，v u +=1，w v 2=，s w ln =，12+=x s 。