全等三角形证明方法归纳经典(1)
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(2)全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等。
(3)全等三角形周长,面积相等。
4、寻找对应元素的方法
(1)根据对应顶点找
如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
例4△ABC中,AD、BE、CF是三边对应中线。(则O为重心)
求证:①AD、BE、CF交于点O。(类倍长中线);②
练习
1、在△ABC中,D为BC边上的点,已知∠BAD ∠CAD,BD CD,求证:AB AC
2、如图,已知四边形ABCD中,AB CD,M、N分别为BC、AD中点,延长MN与AB、CD延长线交于E、F,求证∠BEM ∠CFM
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】
1、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
概念深入理解:
(1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形。(外观长的像)
(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(位置变化)
①边边边(SSS) ②边角边(SAS) ③角边角(ASA) ④角角边(AAS)
⑤斜边,直角边(HL)
注意:(容易出错)
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等(边定全等);
(2)不能证明两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即AAA;㈡有两边和其中一角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。
3、构造中位线
三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3、如图(1),在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,M是AE的中点,(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,并证明;
(2)将图(1)中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明。(结合前面“8字型”全等,仔细思考)
练习1、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.若BD=BC,F是CD的中点,试问:∠BAF与∠BCD的大小关系如何?请写出你的结论并加以证明;
2、Rt△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,过A点作某直线 ,过B作 于点D,过C作 于点E。
(1)求证:MD=ME
(2)当直线 与CB的延长线相交时,其它条件不变,(1)中的结论是否任然成立?
3、如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE=2AM
(基本型:同角或等角的补角相等、K型)
2、两条平行线间线段的中点(“八字型”全等)
如图, ∥ ,C是线段AB的中点,那么过点C的任何
直线都可以和二条平行线以及AB构造“8字型”全等
例1已知梯形ABCD,AD∥BC,点E是AB的中点,连接DE 、CE。
例1、AD是△ABC中BC边上的中线,
若AB 2,AC 4,则AD的取值围是_________。
例 2、已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF EF,求证:AC BE。
例3、如图,D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD
的中线。求证:AC=2AE
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形。
中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。(一个图形)如:平行四边形
线段本身就是中心对称图形,中点就是它的对称中心,所以遇到中点问题,依托中点借助辅助线还原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来(集散思想)。
(2)根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
ຫໍສະໝຸດ Baidu(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的;运动一般有3种:平移、对称、旋转;
5、全等三角形的判定:(深入理解)
2、全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的,记作“△ABC≌△A′B′C′”其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质:
全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。
(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。
求证:
例2如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,M是AD的中点,CE⊥AB于点E,
∠CEM=40°,求∠DME的大小。(提示:直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
例3已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD ∠ACE=90°,连接DE,设M为DE的中点。⑴求证:MB MC;⑵设∠BAD ∠CAE,固定Rt△ABD,让Rt△ACE移至图示位置,此时MB MC是否成立?请证明你的结论。
6、常见辅助线写法:(照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯)
如:⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线,垂足为D
⑶延长AB至C,使BC=AC
⑷在AB上截取AC,使AC=DE
⑸作∠ABC的平分线,交AC于D
⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点
同一条辅助线,可以说法不一样,那么得到的条件、证明的方法也不同。
【第2部分中点条件的运用】
1、还原中心对称图形(倍长中线法)
中心对称与中心对称图形知识:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的两条基本性质:
(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。
(3)全等三角形周长,面积相等。
4、寻找对应元素的方法
(1)根据对应顶点找
如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
例4△ABC中,AD、BE、CF是三边对应中线。(则O为重心)
求证:①AD、BE、CF交于点O。(类倍长中线);②
练习
1、在△ABC中,D为BC边上的点,已知∠BAD ∠CAD,BD CD,求证:AB AC
2、如图,已知四边形ABCD中,AB CD,M、N分别为BC、AD中点,延长MN与AB、CD延长线交于E、F,求证∠BEM ∠CFM
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】
1、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
概念深入理解:
(1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形。(外观长的像)
(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(位置变化)
①边边边(SSS) ②边角边(SAS) ③角边角(ASA) ④角角边(AAS)
⑤斜边,直角边(HL)
注意:(容易出错)
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等(边定全等);
(2)不能证明两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即AAA;㈡有两边和其中一角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。
3、构造中位线
三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3、如图(1),在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,M是AE的中点,(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,并证明;
(2)将图(1)中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明。(结合前面“8字型”全等,仔细思考)
练习1、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.若BD=BC,F是CD的中点,试问:∠BAF与∠BCD的大小关系如何?请写出你的结论并加以证明;
2、Rt△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,过A点作某直线 ,过B作 于点D,过C作 于点E。
(1)求证:MD=ME
(2)当直线 与CB的延长线相交时,其它条件不变,(1)中的结论是否任然成立?
3、如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE=2AM
(基本型:同角或等角的补角相等、K型)
2、两条平行线间线段的中点(“八字型”全等)
如图, ∥ ,C是线段AB的中点,那么过点C的任何
直线都可以和二条平行线以及AB构造“8字型”全等
例1已知梯形ABCD,AD∥BC,点E是AB的中点,连接DE 、CE。
例1、AD是△ABC中BC边上的中线,
若AB 2,AC 4,则AD的取值围是_________。
例 2、已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF EF,求证:AC BE。
例3、如图,D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD
的中线。求证:AC=2AE
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形。
中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。(一个图形)如:平行四边形
线段本身就是中心对称图形,中点就是它的对称中心,所以遇到中点问题,依托中点借助辅助线还原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来(集散思想)。
(2)根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
ຫໍສະໝຸດ Baidu(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的;运动一般有3种:平移、对称、旋转;
5、全等三角形的判定:(深入理解)
2、全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的,记作“△ABC≌△A′B′C′”其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质:
全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。
(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。
求证:
例2如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,M是AD的中点,CE⊥AB于点E,
∠CEM=40°,求∠DME的大小。(提示:直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
例3已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD ∠ACE=90°,连接DE,设M为DE的中点。⑴求证:MB MC;⑵设∠BAD ∠CAE,固定Rt△ABD,让Rt△ACE移至图示位置,此时MB MC是否成立?请证明你的结论。
6、常见辅助线写法:(照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯)
如:⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线,垂足为D
⑶延长AB至C,使BC=AC
⑷在AB上截取AC,使AC=DE
⑸作∠ABC的平分线,交AC于D
⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点
同一条辅助线,可以说法不一样,那么得到的条件、证明的方法也不同。
【第2部分中点条件的运用】
1、还原中心对称图形(倍长中线法)
中心对称与中心对称图形知识:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的两条基本性质:
(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。