第4讲希尔伯特(Hilbert)空间

n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
(x, y)U ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x

内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1

1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形公式）。
§4. 2 正交分解与投影定理
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
Hale Waihona Puke 证明：x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）

例 3 在l2 {x x (x1, x2, ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2, ), y ( y1, y2, ) l2，定义
§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若x, y U ，存在唯一的数 (x, y) K ， 满足下列三条（内积公理）：
① 对第一变元的线性性：
( x y, z) (x, z) ( y, z), z U
1) 定义（正交性）设 U 是内积空间，x, y U, M , N U
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
② 共轭对称性： (x, y) ( y, x)
③ 正定性：(x, x) 0， (x, x) 0 x 0
则称 (x, y) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
( Re(x, y) (x, y) x y )