第二十一章动能定理详解

式中l0 ,i1 , i2, i3 分别矢量为L,x,y,z轴正向的单位
设质量为 dm 的微元相对于A的矢径为r,它在
Axyz 中的坐标为 (x, y, z),该微元到L轴的 距离的平方为
JZ
=
M
ρ2 Z
M: 刚体的总质量
ρ : 刚体对z轴的回转半径或惯量半径 Z
它可视为将刚体的全部质量都集中于距z
轴距离为ρ z 的某一点对z轴的转动惯量.
若在某一个刚体上或其延拓部分的O点建
立一与刚体固接的直角坐标系Oxyz,设质量 为dm 的微元的坐标为 ( x, y, z),该刚体对轴
的转动惯量为
说明 由转动惯量的平行轴定理和转动惯
量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简 单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯 量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量）
例21.3均质细长直杆长为L,质量为m,杆的
一段与以质量为M的,外径为2R的,内径为2r
的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另一 端O且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量
例如: 圆环的质心不在其环上，而在圆环中心
O
2)当质点系中的各质点位置发生变化时,其质 心的位置一般也要发生变化!
21.1.2刚体的转动惯量 1.转动惯量 定义:将刚体体内个质点的质量与该质点到 某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚 体对该轴的转动惯量.
用J表示,即
∑ m ρ n
2
J= i=1
解:
o
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c1
c2
(1) 设 c1 , c2分别为杆,圆环的质心,
刚体可看成是由这三部分组成的:
#1杆,质量为
m R r 1
=
−
π
(
Mπr 2
2−
2)
#2半径为r,中心在 c2 处的均质圆盘1,质量为
m R r 2
=
M
+
π
(
Mπr 2
2−
2)
#3半径为R,中心也在 c2 处的均质圆盘2
J J 杆 = O
例题3 例题5
21.3 动能定理 例题6 例题7 例题8 例题9 例题10 例题11 例题12 例题13
第二十一章 动能定理
基本概念：
动能:物体由于作机械运动而具有的作功能力
21.1 质点系质量分布的特征量 质点系的动力学特性与质点系质量分布密
切相关.质点系质量分布有两个特征量
1．质点系的质量中心---平动的动力学特性 2．质点系的转动惯量---转动的动力学特性
C
M
在以O点为基点建立的直角坐标系oxyz 中,质 心的直角坐标公式为
n
∑ mi xi
x = i=1
C
M
n
y ∑ m y = i=1
ii
C
M
n
∑ mi zi
z = i=1
C
M
其中 xi , yi , zi 为质点的直角坐标。
注意
(1)质点系的质心不一定与质点系中的 某个质点重合,它有可能在质点系外!
ρ = JZ = 3L Z M6
例21. 2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径 为R，质量为M，求圆盘对过其中心，且垂 直于圆盘平面的z轴的转动惯量和回转半径
y
r
C dr
x
解： 1．取半径为r,宽度为的圆环，其质量是:
dm = M (2πrdr) = 2M rdr
π R2
R2
2．上述圆环的各质点到z轴的距离都为r,于是 圆盘对z轴的转动惯量为:
Jz
=
∫M r2dm
=
∫R 0
2M
R2
r3 dr
=
M
2R2
r4
R 0
=
1M 2
R2
3．圆盘对z轴的回转半径为
ρ = JZ = 2 R Z M2
2.转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过 质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚 体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为
J z = J Z′ + M d2
解：
y
dx
x
C
x
(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微
段 ，其坐标为（x,0,0），其质量为
dm = M dx
L
(2)上述质量微元离z轴的距离为 x ， 杆对z 轴转动惯量为：
J ∫ x ∫ x x = zM
2dm =
1 2
M
−1 2
L
2 dx = 1 M 3L
l 22
−l 2
=
1 12
M
L2
(3) 杆对z轴的回转半径为
O
O
O
O
= 1 mL2 + 1 M (R2 + r2) + M (L + R)2
3
2
3.刚体对任意轴的转动惯量公式
z
l0
如图所示,L为空间任一
L
轴,以A为原点建立任 一与刚体固连的直角
r1 ρ
dm
坐标系 Axyz 则L轴正
A
y
向在Axyz 三个方向的
余弦为
x
l0 = cosα i1 + cos β i2 + cosγ i3
第三篇 工程动力学
学习任务：分析运动与力之间的关系
学习内容： 动能定理

动量定理

达朗伯原理

动力学普遍方程和拉格朗日方程
基本问题：已知运动求力----动力学第一类问题

已知力求运动----动力学第二类问题
第二十一章 动能定理
21.1 质点系质量分布的特征量
例题1 21.2 动能
例题2 例题4
杆+ C1
m(OC)2
=
1 12
mL2
+
m( L)2 2
=
1 mL2 3
J J m m r m 圆盘1 = O
圆盘1 + C2
1(OC2 )2
=
1 2
2+
1
(L + R)2
1
J J m m R m 圆盘2 = 圆盘2 +
O
C2
2 (OC2 )2
=
1 2
2
2+
(L + R)2
2
于是
J J J J = 杆 + 圆盘1 + 圆盘2
J x = ∫M ( y2 + z2)dm
J y = ∫M (z2 + x2)dm
J z = ∫M ( y2 + x2)dm
注意 在解决实际问题中一般规则几何性形状的 匀质刚体的转动惯量可以直接算出 另外的一些转动惯量可以通过查询工程手 册得到
例21.1 一直均质的细长杆的质量为M ， 长为L，求杆对通过其质心，且垂直与杆 的z轴的转动惯量和回转半径。
21.1.1质点系的质量和质量中心
定义： 设一质点系有n个质点组成, 其中第个质点的质量为,相对于某确定定 点的矢径为,将质点系的质量总和,定义为 质点系的质量用M表示,即
n
M = ∑ mi i =1
由下式确定的矢径 r c 所对应的点称为质点
系的质量中心，简称质心:
n
∑ mi ri
r = i=1
ii
式中
ρ m ,
i
i
分别为第 i个质点的质量和
到该轴的距离
若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积 分形式表示:
J = ∫M ρ 2dm
式中 ρ 为质量为 dm 的微元到该轴的距离
M 表示积分范围遍及刚体全部质量.
说明 刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关
的而仅与其质量分布有关的特征量
如刚体对z轴的转动惯量表示为