[极力推荐]运用韦达定理证明卡尔丹公式
韦达定理公式是什么样的
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a.
x1*x2=c/a，
x1+x2=-b/a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理公式运用
一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0且△=b^2-4ac>0）中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，
若b²-4ac<0则方程没有实数根，
最好将每天学习数学的时间分出一部分来专门练习选择题和填空题熟能生巧经过长时间的锻炼就会提高你的思考能力和计算速度通过练习你会发现大多数选择题除了固定的解题方法外还可以利用排除法代入法以及数形结合的方法来快速判断出答案
韦达定理公式是什么样的
数学中解一元二次方程我们常说韦达定理，那么韦达定理公式是什么样的呢？快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“韦达定理公式是什么样
很多学生学习数学时不懂得变通，对于老师上课讲的解题方法不会进行深入研究，而是照搬照挪。虽然题是做了，但是下一次遇到还是不会，这些方法或许是延续了你在小学或者初中生学习数学的方法，但是高中数学更多的是考验同学们的独立思考能力。这就要求同学们要对老师讲的方法进行归纳总结，取其精髓，懂得变通，要学会举一反三，自己多尝试摸索出其他的解题方法。
不要小看选择题和填空题
卡当公式
卡当公式卡当公式卡当公式三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下：方程x^3＋px=q(p，q为正数)．(1)卡尔达诺以方程x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=过同样的程序得到他还求出x^3＋px＋q＝0和x^3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．设方程为x^4＋bx^3+cx^2+dx+e＝0．(4)移项，得x^4＋bx^3=-cx^2-dx-e，右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：对于x3+bx^2+cx+d=0，结果得到简约三次方程y^3＋py＋q＝0 他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x) =0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearith métique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即牛顿(T．Newto n，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数，则三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下：方程x^3＋px=q(p，q为正数)．(1)卡尔达诺以方程x^3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=过同样的程序得到他还求出x^3＋px＋q＝0和x^3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．设方程为x^4＋bx^3+cx^2+dx+e＝0．(4)移项，得x^4＋bx^3=-cx^2-dx-e，右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：对于x^3+bx^2+cx+d=0，结果得到简约三次方程y^3＋py＋q＝0 他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于161 5年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x) =0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearith métique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即牛顿(T．Newto n，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数。
卡尔丹公式
㆔次方程的判別式㆖期我們討論過如何利用卡爾丹公式去解方程02=++q px x ，同學可能會問﹕㆔方次程可否像㆓次方程那樣利用判別式判斷出實根的數目？在㆓次方程的公式aac b b x 242−±−= ㆗根號裏面的ac b 42−就是判別式。
那麼，卡爾丹公式33233227422742p q q p q q x +−−+++−= ㆗根號裏面的27432p q +是否就是㆔次方程的判別式呢？回答這個問題，我們首先要明白判別式是如何定義的。
就以㆓次方程為例，筆者大膽猜測當年第㆒個發現判別式ac b 42−的㆟是這樣想的﹕若α、β是方程02=++c bx ax 的根，定義22)(βα−=D 。
留意到若α、β是實根則02>D ，若α、β相等則02=D ，若它們是複數根則02<D (這裏假定了a 、b 、c 均是實數，所以α、β是共軛複數)。
另㆒方面ac b D 44)()(2222−=−+=−=αββαβα這就是教科書㆗判別式的「定義」了！(筆者覺得叫定理比較恰當)好，現在可以回到㆔次方程的討論了。
不失㆒般性，我們只討論形如02=++q px x 的方程。
因為㆒般的㆔次方程023=+++c by ay y 可以通過變量代換3a x y −=轉化為02=++q px x 的類形。
這個變換是如何想出來的，在㆖期已經討論過，這裏不作重複的討論。
假設方桯02=++q px x 的㆔個根為α、β和γ。
我們定義判別式2223)()()(αγγββα−−−=D ！同學不難發現1. 當α、β、γ是實根(方程有㆔個實根)時，03>D 。
2. 當α、β、γ其㆗兩個相等(方程有㆓個實根)時，03=D 。
3. 當α、β、γ其㆗兩個為共軛複數(即方程只得㆒個實根)時，03<D 。
㆒如以往，我們希望把3D 以方程的係數表示﹕23232223274)(27)(4)()()(q p D −−=−++−=−−−=αβγγαβγαβαγγββα從而得知﹕23274q p +是負數表示方程有㆔個實根，等於零則有㆓個，正數表示只得㆒個實根。
韦达定理——精选推荐
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。
1603年12月13日卒于巴黎。
年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。
韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。
他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。
给出三次方程不可约情形的三角解法。
著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。
他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。
他被称为现代代数符号之父。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。
他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
一元三次方程求根公式及韦达定理
⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。
⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
韦达定理7个公式
韦达定理7个公式韦达定理是高等数学中的重要概念之一，是描述多个向量之间关系的一种方法。
在三维空间中，韦达定理可以表示为：若三个向量a,b,c满足a·b×c=0，则这三个向量共面。
其中，a·b表示向量a与向量b的点积，a×b表示向量a与向量b 的叉积。
在韦达定理的基础上，可以推导出一系列与向量相关的公式。
以下是七个基于韦达定理的公式。
公式一：点积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则(a+b)·c=a·c+b·c证明：(a+b)·c=(a+b)·c=a·c+b·c公式二：叉积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则a×(b+c)=a×b+a×c证明：左边等于(a×(b+c))=a·(b+c)×(b+c)=(a·b+a·c)×(b+c)=a·b×b+a·b×c+a ·c×b+a·c×c=a×b+a×c公式三：叉积的差的负若a,b为任意两个向量，则a×(b-c)=a×b-a×c证明：左边等于(a×(b-c))=a·(b-c)×(b-c)=(a·b-a·c)×(b-c)=(a·b-a·c)×b+(a·b-a·c)×c=a×b-a×c公式四：叉积的反交换若a,b为任意两个向量，则a×b=-b×a证明：a×b=a·b×b=-b·a×b=-b×a公式五：叉积与点积的混合积若a,b,c为任意三个向量，则a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c证明：右边等于(a·c)b-(a·b)c=(a·b)c-(a·c)b+a·b×c=(a·c-b·c)a+a·b×c=a×(b×c)公式六：叉积与向量长度的关系若a, b为任意两个向量，则，a×b， = ，a，b，sinθ其中，θ为a、b之间的夹角。
卡丹公式
卡丹公式
卡尔达诺公式(Cardano formula)亦称卡丹公式，是三次方程的求解公式，它给出三次方程x3+px+q=0的三个解为x1=u+v ，x2=uw+vw2，x3=uw2+vw 。
1.公式来源：
由于一般三次方程y3+ay2+by+c=0经过未知量的代换y=x-a/3后，可化为形如x3+px+q=0的三次方程。
因此，运用卡尔达诺公式可解任意复系数的三次方程，此公式实为塔尔塔利亚(TN.artaglia)于1541年首先发现，但未公开发
表，却在允诺保密的央求下告诉了卡尔达诺(G.Cardano)，后者于1545年将这一结果发表在自己的著作《大法》里，后人遂称为卡尔达诺公式，沿袭至今。
2.基本介绍：
卡尔达诺公式是一个著名的求根公式，指实系数一元三次方程
的求根公式x=α+β，式中
且αβ=-p/3，此公式也可以应用于复系数三次方程中 。
3.卡丹公式：。
韦达定理全部公式
韦达定理全部公式韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个向量空间中的两个子空间的维度和它们的交集的维度之和等于它们的直和的维度。
这个定理可以用一些公式来表示和证明。
我们来定义一些基本的概念。
在一个向量空间中，子空间是指一个向量的集合，它满足加法和数乘运算的封闭性。
一个向量空间可以由多个子空间组成，而这些子空间的维度和交集的维度之和等于整个空间的维度。
现在，假设我们有一个向量空间V，它由两个子空间U和W组成。
我们可以用如下公式来表示韦达定理：dim(U) + dim(W) = dim(U ∩ W) + dim(U + W)其中，dim(A)表示子空间A的维度，U ∩ W表示U和W的交集，U + W表示U和W的直和。
这个公式的意义是，两个子空间的维度和等于它们的交集的维度和它们的直和的维度。
换句话说，如果我们知道了两个子空间的维度和它们的交集的维度，我们就可以推算出它们的直和的维度。
韦达定理可以用于解决一些向量空间的问题。
例如，我们可以利用韦达定理来证明两个子空间的直和的维度等于它们的维度之和。
也可以利用韦达定理来判断两个子空间是否为直和。
如果两个子空间的维度和等于它们的直和的维度，那么它们就是直和。
除了上述的基本公式外，韦达定理还有一些其他的形式和推论。
例如，我们可以将韦达定理推广到多个子空间的情况下。
假设我们有n个子空间U1、U2、...、Un，那么韦达定理可以表示为：dim(U1 + U2 + ... + Un) = dim(U1) + dim(U2) + ... + dim(Un) - dim(U1 ∩ U2) - dim(U1 ∩ U3) - ... - dim(Un-1 ∩ Un) + ... + (-1)^(n-1)dim(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un)这个公式描述了n个子空间的直和的维度和它们的维度之间的关系。
它通过加减相应的交集的维度来计算直和的维度。
韦达定理是一个重要的数学定理，它描述了向量空间中的子空间的维度和它们的交集的维度之和等于它们的直和的维度。
韦达定理全部公式
韦达定理全部公式韦达定理（Vieta's formulas）是一组用于描述多项式系数与其根之间关系的重要公式。
这组公式由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出，被广泛应用于代数学和数论中。
韦达定理的第一个公式是关于二次方程的。
对于一个一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，韦达定理给出了它的两个根之和和两个根之积与系数之间的关系。
根据韦达定理，这两个根之和等于-b/a，根之积等于c/a。
这个公式被广泛应用于解方程和因式分解等问题中。
对于一个更高次的多项式方程，韦达定理也同样适用。
对于一个n 次多项式方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，韦达定理给出了它的n个根之和、n-1个根之积、n-2个根之和等与系数之间的关系。
具体而言，韦达定理表明这些关系可以通过系数a_0, a_1, ..., a_n-1的各种组合来表示。
韦达定理的第二个公式是关于一个多项式的根和系数之间的关系。
根据韦达定理，在给定多项式的根的情况下，可以通过根与系数之间的关系来计算出这个多项式的各个系数。
具体而言，对于一个n 次多项式方程，如果它的n个根分别为r_1, r_2, ..., r_n，那么可以通过如下公式计算出系数a_0, a_1, ..., a_n-1：a_0 = (-1)^n * r_1 * r_2 * ... * r_na_1 = (-1)^(n-1) * (r_1 * r_2 * ... * r_{n-1} + r_1 * r_2 * ... * r_{n-2} * r_n + ... + r_2 * r_3 * ... * r_n)...a_{n-1} = (-1) * (r_1 + r_2 + ... + r_n)这个公式可以通过给定的根和系数之间的关系来计算出未知的系数，从而完全确定一个多项式。
韦达定理推导公式6个
韦达定理推导公式6个韦达定理是中学数学中非常重要的一个定理，它在解决一元二次方程的问题时，作用可大啦！今天咱们就来好好聊聊韦达定理的 6 个推导公式。
先来说说韦达定理到底是啥。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a\neq 0$），它的两个根$x_1$和$x_2$有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
这就是韦达定理的基本内容。
咱们来推导第一个公式。
由$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$两边平方可得：$(x_1 + x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2$$x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2}$$x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - 2\frac{c}{a} = \frac{b^2 -2ac}{a^2}$这就是第一个推导公式啦。
再来看第二个。
由$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 =\frac{c}{a}$，可得：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$所以$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$，这就是第二个推导公式。
接着第三个。
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$把前面推导出的$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$和$x_1^2 + x_2^2 =\frac{b^2 - 2ac}{a^2}$代入：$x_1^3 + x_2^3 = -\frac{b}{a}\left(\frac{b^2 - 2ac}{a^2} -\frac{c}{a}\right) = -\frac{b}{a}\frac{b^2 - 3ac}{a^2} = \frac{3abc -b^3}{a^3}$这就是第三个公式。
方程公式历史
方程公式悠久的历史一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。
可是事实上，发现公式的人并不是卡当本人，而是塔塔利亚（Tartaglia N.，约1499~1557）。
144。
医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。
当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。
尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。
可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。
卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。
他在此书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。
塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。
我找到了几种证法。
证法很难，我把它叙述如下。
”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。
塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。
按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。
于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。
许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。
卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。
韦达定理所有公式
韦达定理所有公式韦达定理是解决三角形中任意三边与其对应的角之间的关系的重要定理。
在本文档中，我们将讨论韦达定理的各种公式及其应用。
一、韦达定理的基本形式韦达定理的一个基本形式是：在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. a² = b² + c² - 2bc·cosA2. b² = a² + c² - 2ac·cosB3. c² = a² + b² - 2ab·cosC这三个公式是韦达定理的基本形式，可以用来计算三角形中的任意一边的长度。
二、角的余弦定理韦达定理还可以通过角的余弦定理进行推导。
角的余弦定理是说，在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)2. cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)3. cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)将上述公式代入韦达定理的基本形式，可以得到：1. a² = b² + c² - 2bc·[(b² + c² - a²) / (2bc)]2. b² = a² + c² - 2ac·[(a² + c² - b²) / (2ac)]3. c² = a² + b² - 2ab·[(a² + b² - c²) / (2ab)]经过简化，得到了韦达定理的基本形式。
三、韦达定理的特殊情况1. 直角三角形在一个直角三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，其中角C为直角，则有以下公式成立：1. a² = b² + c²2. b² = a² + c²3. c² = a² + b²这是因为在直角三角形中，余弦函数的值为0，所以角的余弦定理可以简化为上述形式。
韦达定理的多种证明方法
韦达定理的多种证明方法嘿，朋友们！今天咱们来聊聊数学里超有趣的韦达定理，而且我还要给你们讲讲它的多种证明方法呢！咱们先来说说啥是韦达定理哈。
简单来说，就是在一元二次方程里，两根之和等于负的 b/a，两根之积等于 c/a。
是不是有点晕？别急，咱们马上来看证明方法。
第一种方法呢，咱们就从方程的根入手。
假设方程ax² + bx + c = 0 的两个根是 x1 和 x2，那这个方程可以写成 a(x x1)(x x2) = 0 。
把它展开，得到ax² a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0。
和原来的方程一对比，是不是就能轻松得出韦达定理啦？再有一种方法，咱们用求根公式。
x1 = [b + √(b² 4ac)] / (2a) ，x2 = [b √(b² 4ac)] / (2a) 。
把这两个根相加相乘，经过一通噼里啪啦的计算，嘿，韦达定理就出来啦！还有一种特别巧妙的方法，咱们假设方程的根是 m 和 n ，那方程就是x² (m + n)x + mn = 0 。
和原来的方程ax² + bx + c = 0 对比一下系数，是不是也能得出韦达定理呀？怎么样，朋友们，是不是觉得韦达定理的证明方法还挺好玩的？其实数学里好多东西都是这样，看起来难，只要咱们多琢磨琢磨，多找找方法，就能轻松搞定！别觉得数学枯燥，每一个定理、每一个公式背后都藏着好多有趣的故事和巧妙的思路呢。
就像韦达定理，多种证明方法就像是打开它的不同钥匙，每一把都能让我们走进数学的奇妙世界。
所以呀，以后再遇到数学难题，别害怕，咱们一起开动脑筋，说不定就能发现新的乐趣和惊喜呢！好啦，今天关于韦达定理的证明方法就聊到这儿，咱们下次再见！。
卡尔丹公式的推导过程
卡尔丹公式的推导过程卡尔丹公式是求解一元三次方程的一个重要公式，下面咱们就一起来瞧瞧它是怎么被推导出来的。
先来说说一元三次方程，一般形式是$ax^3 + bx^2 + cx + d =0$（$a≠0$）。
那卡尔丹公式到底是咋来的呢？咱们先假设方程$x^3 + px + q = 0$没有二次项，为了推导方便嘛。
然后呢，咱设$x = u + v$，把它代入方程里，就得到：$(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$展开这个式子，得到：$u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + pu + pv + q = 0$重新组合一下各项，变成：$(u^3 + v^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0$这时候咱们再想个招儿，让$3uv + p = 0$，也就是$v = -\frac{p}{3u}$。
把$v = -\frac{p}{3u}$代入$u^3 + v^3 + q = 0$里，就得到：$u^3 - \frac{p^3}{27u^3} + q = 0$两边同时乘以$u^3$，变成：$(u^3)^2 + qu^3 - \frac{p^3}{27} = 0$把$u^3$看成一个整体，用一元二次方程的求根公式就能解出来啦：$u^3 = \frac{-q ± \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$因为$v = -\frac{p}{3u}$，所以$v^3 = -\frac{p^3}{27u^3}$。
最后就得到方程$x^3 + px + q = 0$的解是：$x = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} +\sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$这就是卡尔丹公式啦！我记得有一次，我给学生们讲这个卡尔丹公式的推导过程。
韦达定理推导公式
韦达定理推导公式韦达定理呀，在数学的世界里可是个相当重要的家伙！咱们先来说说啥是韦达定理。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a≠0$），它的两个根$x_1$和$x_2$有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
那这韦达定理是咋推导出来的呢？咱们来一步步瞧瞧。
假设一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的两个根分别是$x_1$和$x_2$。
因为$x_1$是方程的根，所以把$x_1$代入方程，就得到$ax_1^2 +bx_1 + c = 0$。
同理，把$x_2$代入方程，就有$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$。
接下来，咱们用$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$减去$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$，可得：\[\begin{align*}ax_1^2 + bx_1 + c - (ax_2^2 + bx_2 + c)&=0\\a(x_1^2 - x_2^2) + b(x_1 - x_2)&=0\\a(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) + b(x_1 - x_2)&=0\\\end{align*}\]因为$x_1 ≠ x_2$，所以可以把$(x_1 - x_2)$约掉，就得到$a(x_1 + x_2) + b = 0$，也就是$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
再看，由$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$可得$bx_1 = -ax_1^2 - c$，同理$bx_2 = -ax_2^2 - c$。
所以$bx_1 × bx_2 = (-ax_1^2 - c)(-ax_2^2 - c)$\[\begin{align*}b^2x_1x_2&=(ax_1^2 + c)(ax_2^2 + c)\\b^2x_1x_2&=a^2x_1^2x_2^2 + ac(x_1^2 + x_2^2) + c^2\\\end{align*}\]又因为$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，所以$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$。
卡丹公式——精选推荐
卡丹公式如果用现在的数学语言和符号,卡丹公式的结论可以借助于下面这样一种最基本的设想得出。
假如给我们一个一般的三次方程：ax3+3bx2+3cx+d=0 （27）如果令x=y-b/a我们就把方程（27）推导成y3+3py+2q=0 （28）其中p=c/a-b2/a2，2q=2b3/a3-3bc/a2+d/a 。
借助于等式y=u-p/u引入新变量u 。
把这个表达式带入（28），得到：（u3）2+2qu3-p3=0 （29）由此得u3=-q±√（q2+p3），于是y=3√（-q±√（q2+p3））-p/3√（-q±√（q2+p3））。
=3√（-q+√（q2+p3））+3√（-q-√（q2+p3））。
（最后这个等式里的两个立方根的积等于-p 。
）这就是著名的卡丹公式。
如果再由y转到x，那么，就能得到一个确定一般的三次方程的根的公式。
那个如此无情底对待塔尔塔利亚的年轻人原来不只是个能发表暧昧的长篇演讲的人。
他通晓数学，就像通晓一群质朴的人的风俗习惯那样容易。
费拉里知道了三次方程的解法之后，确实过了不长时间，他就找到了四次方程的解法。
正像费拉里在他和塔尔塔利亚争论时所宣称的那样，卡丹把这一方法写进自己的书里了。
这种方法是怎样得到的呢？我们在前面已经看到，利用并不复杂的代换可以把三次方程（28）归结为关于u3的二次方程（29）。
费拉里现在去寻找把一般四次方程归结为一个三次方程的可能性，这是十分自然的。
设ax4+4bx3+6cx2+4dx+e=0 （30）是一个一般的四次方程。
如果令x=y-b/a那么，方程（30）可以归结为y4+2py2+2qy+r=0 （31）其中p，q，r是一些取决于a，b，c，d，e的系数。
容易看出，这个方程可以写成这样的形式：（y2+p+t）2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r （32）确实，如果把括号打开，那么，所有含t的项互相抵消，我们就能回到方程（31）。
卡丹公式 推导
卡丹公式推导卡丹公式是求解一元三次方程的一种公式，它在数学的历史长河中可是有着重要的地位呢！咱们先来说说一元三次方程一般形式：ax³ + bx² + cx + d = 0 （a ≠ 0）。
卡丹公式的推导可不是一件轻松的事儿，得一步步来。
咱先设方程的解是 x = u + v ，把它代入方程里，一顿操作猛如虎，展开、合并同类项，能得到一堆式子。
这里面的关键就是要找到 u 和 v 之间的关系，让式子变得简单些。
经过一番捣鼓，发现让 u³ + v³ + 3uv(u + v) + b(u + v) + c = 0 会比较好处理。
接下来假设 3uv = -b ，这样就能得到一个关于 u³和 v³的方程啦。
再通过一些巧妙的变形和计算，就能逐步推导出卡丹公式。
我想起以前给学生讲卡丹公式推导的时候，有个学生特别有意思。
那是一个阳光明媚的上午，课堂上我正讲得津津有味，大部分同学也都听得很认真。
突然，这个学生举起手，皱着眉头问我：“老师，这卡丹公式到底有啥用啊？推导这么复杂，生活中能用到吗？”我当时笑了笑，跟他说：“就像你盖房子，每一块砖看起来不起眼，但合在一起就能建成牢固的房子。
卡丹公式虽然复杂，可在很多工程计算、科学研究里都能派上大用场呢！”这孩子似懂非懂地点点头，继续跟着我的思路走。
其实啊，数学里很多公式和定理，看似复杂难懂，但它们都是人类智慧的结晶，是我们探索世界的工具。
卡丹公式的推导过程虽然有些烧脑，但每一步都蕴含着数学的逻辑和美妙。
咱们继续说推导的事儿。
经过前面那些步骤，不断地化简、变形，最终就能得到卡丹公式啦。
虽然过程有点曲折，但当你真正理解了其中的道理，那种成就感可真是无与伦比。
总之，卡丹公式的推导是数学中的一个精彩篇章，它展示了人类在追求真理和智慧道路上的不懈努力。
希望大家在学习的过程中，能感受到数学的魅力，别被暂时的困难吓倒，加油向前冲！。
卡尔丹公式
卡尔丹公式人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。
古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。
在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。
在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。
那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。
冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。
由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。
后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。
经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。
这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。
但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。
当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。
他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。
可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。
虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。
后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。
冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。
卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。
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运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨
范盛金
在数学史上，解三次代数方程是较有名的问题。
十六世纪意大利学者卡尔丹（Cardano）提出了三次方程X3＋pX＋q=0的求根公式，在这个公式中，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。
下面运用复数域中的高次方程韦达定理证明卡尔丹公式，高中学生很容易掌握这种方法。
卡尔丹公式的证明：
这就是伟大的卡尔丹公式...没明白
还有啊ax3+bx2+cx+d=0 怎么能转化成x3+px+q=0 呢？？好像要除以一个y=什么什么+什么什么/3
...天啊.
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网友评论：
1网友:芝
生
2007年10月07日星期日07:39 | 回复
注意：ω不要放在根号里面。
2网友:芝
生
2007年10月07日星期日07:53 | 回复
运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三
次方程(1) X3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出(1)的求根公式如
下：(2) X3＋q=0 → X3＋(3√q)3=0 → (X＋3√q)(X2－3√q＋3√q2)=0，解之，
得(3) X1=3√(－q)；X2=3√(－q)(－1＋√3i)/2；X3=3√(－q)(－1－√3i)/2，令
ω=(－1＋3√3i)/2；则ω2=(－1－3√3i)/2，故(2)可写成(4) X1=3√Y；
X2=3√Yω；X3=3√Yω2，其中Y=－q。
(3)就是p=0时(1)的求根公式。
为
了研究方便起见，当p≠0时，根据(3)的情形，则可假设(1)的根具有形式
X1=3√Y1＋3√Y2；X2=3√Y1ω＋3√Y2ω2；X3=3√Y1ω2＋3√Y2ω。
显然，(4)
的表达式把较复杂的的问题变成了较简单的问题来解决。
现只要求出(4)中
Y1与Y2的p、q表达式，则(1)的公式即得到证明。
根椐韦达定理，有(5)
0=－(X1＋X2＋X3)；p=X1X2＋X1X3＋X2X3；q=－X1(X2X3)，为了简化
运算过程，注意ω＋ω2=－1，ω3=1。
由(4)、(5)有(6)p=－3(3√(Y1Y2))；
q=－(Y1＋Y2) → Y1＋Y2=－q；Y1Y2=－(p/3)3，由(6)得方程Y2＋qY－
(p/3)3=0，解之，得Y1，2=－(q/2)±((q/2)2＋√(p/3)3)。
综上情况，就是一
元三次方程X3＋pX＋q=0
3网友:芝
生
2007年10月07日星期日07:58 | 回复
注意：3√Y1中的3是根指数。
4网友:芝
生
2007年10月07日星期日08:03 | 回复
运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三
次方程(1) X＾3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出（1）的求根公
式如下：X＾3＋q=0，→ X＾3＋(q＾(1/3))＾3=0，→ (X＋q＾(1/3))(X＾2
－q＾(1/3)＋q＾(2/3))=0，解之，得(2) X1= (－q)＾(1/3)；X2= (－q)＾
(1/3)(－1＋3＾(1/2)*i)/2；X3=(－q)＾(1/3)(－1－3＾(1/2)*i)/2，令ω==(－1
＋3＾(1/2)*i)/2；则ω＾2=(－1－3＾(1/2)*i)/2，故(2)可写成(3) X1=Y＾
(1/3)；X2= Y＾(1/3)*ω；X3= Y＾(1/3)*ω＾2，其中Y=－q。
(3)就是p=0时(1)的求根公式。
为了研究方便起见，当p≠0时，根据(3)的情形，则可假设(1)的根具有形式(4) X1=Y1＾(1/3)＋Y2＾(1/3)；X2= Y1＾(1/3)ω＋Y2＾(1/3)*ω2；X3= Y1＾(1/3)*ω2＋Y2＾(1/3)*ω。
显然，(4)的表达式把较复杂的的问题变成了较简单的问题来解决。
现只要求出(4)中Y1 与Y2的p、q 表达式，则(1)的公式即得到证明。
根椐韦达定理，有(5) 0=－(X1＋X2＋X3)；p=X1*X2＋X1*X3＋X2*X3；q=－X1* (X2*X3)，为了简化运算过程，注意ω＋ω＾2=－1，ω＾3=1。
由(4)、(5)有(6) p=－3* (Y1*Y2)＾(1/3)；q=－(Y1＋Y2)，→ Y1＋Y2
5网友:芝
生2007年10月07日星期日08:07 | 回复
q=－(Y1＋Y2)，→ Y1＋Y2=－q；Y1Y2=－(p/3)＾3，由(6)得方程Y＾2＋qY－(p/3)＾3=0，解之，得Y1，2=－(q/2)±((q/2)＾2＋(p/3)＾3)＾1/2)。
综上情况，就是一元三次方程X＾3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 根的公式：X1=Y1＾(1/3)＋Y2＾(1/3)；X2=Y1＾(1/3)*ω＋Y2＾(1/3)*ω＾2；X3=Y1＾(1/3)*ω＾2＋Y2＾(1/3)*ω，其中ω=(－1＋3＾1/2)i)/2；Y1，2=－(q/2)±((q/2)＾2＋(p/3)＾3)＾1/2)。
这就是著名的卡尔丹公式。
——摘自《教学月刊》（中学理科版），1990年第3期（国内统一刊号：CN33-1046），范盛金，运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨。