不定方程和解不定方程应用题经典

8、学校将70人分成12个小组，有8人一组的，有7人一组的，有5人一组的。求8人一组的共有多少组？
答案:分析
例1、问3米和5米长的管子各用多少根，设3米长的管子用X根，那5米长的管子用的根数呢，如果用共78米这个条件表示出5米长的管子的根数，列方程时则没有其他等量关系了，只能设其为Y根，列出一个含两个未知数的方程，即不定方程。
练习3.
1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
X=21 X=16 X=11 X=6 X=1
Y=3 Y=6 Y=9 Y=12 Y=15
在本例中，只列一个方程，却包含两个未知数，结果也不唯一，这样的方程就是不定方程。在解不定方程时，可将方程变形为用代数式表示出其中一个未知数，再根据题意及数字特点讨论其可能的解。
例2解：设蟋蟀有X只，蜘蛛Y只
6X＋8Y=46
例题4
买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
3x－y－6z＝2
由 ×2+ ，得13x+13y＝52
X+y＝4
把 式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入 或 ，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？
6、有一个两位数，加上36以后，十位上的数字与个位上的数字的位置正好交换，求这个两位数。
7、甲乙两家养鸡106只，甲家养的鸡中，公鸡占 ；乙家养的鸡中，母鸡占 。甲乙两家共养母鸡多少只？
例5
某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？
设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则
6x+3y+2z＝22
9x+4y+z＝22
3、一头猪卖3 个银币，一头山羊卖1 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？
答案：
练1
1、x＝1 x＝3 x＝5 x＝7
y＝11 y＝8 y＝5 y＝2
2、x＝3 x＝8
y＝11 y＝1
4、x＝5
y＝3
练2
1、 x＝1
y＝3
z＝3
2、x＝3 x＝4
y=19-7×2=5y=5
当t=1时，x=2×1=2x=2
y=19-7×1=12y=12
第四十周不定方程
专题简析：
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
解：
X
1
2
3
4
5
……
12
y
5
……
1
× × × × √ √
∴ 方程4x﹢7y=55的正整数解有
x= 5 x= 12
y= 5y= 1
3、分离系数法
如：求7x﹢2y=38的整数解
解：y= =19-3x- x
令t= x
x=2 t
则y= =19-7t
2t＞0
19-7t＞0 （t为整）→2 ＞t＞0
t=2，1
当t=2时，x=2×2=4x=4
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
例8有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？
例9采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？
由 ×2－ ，得12x+5y＝22
y＝ x＝1
x只能取1。Y＝2，代入 得z＝5，原方程的解为y＝2
z＝5
所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？
6X=46－8Y
X=
X、Y均为整数， 是一个整数，则46－8Y的值是6的倍数。因为46÷6余4,所以8Y÷6也应该余4,那么8×几÷6余4呢?可以是2、5。如果再大些则46>8Y，不符合题意。
解得:
答：蟋蟀有5只，蜘蛛2只；或者蟋蟀有1只，蜘蛛5只。
当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97)(2，96)……(97，1)。
……
当x= 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。
∵98﹢97﹢96﹢……﹢1= = 4851
∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法
如：方程式4x﹢7y=55共有哪些正整数解。
y＝4 y＝2
z＝1 z＝2
3、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝3
y＝1
z＝1
练3
1、设需要小船x只，大船y只。则3x+5y＝48，y＝ 根据题意，x可取1、6、11，
方程的解是x＝1 x＝6 x＝11
y＝9 y＝6 y＝3
2、设买甲级笔x枝，乙级笔y枝，则7x+3y＝60，y＝ 。x≤
不定方程
方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。它的解是不定的。如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解。本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。但是，限制的条件，有时很隐蔽，需要我们去认真思考。
所以，原方程组的正整数解为x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝7 2、7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
4、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
例3
一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法
1、筛选试验法
根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？
解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
………
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
不定方程
———研究其解法
方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
【例5】小李同学把他出生的月份乘以３１，再把出生日期乘以１２，把他们加起来是１７０，试求小李生日是哪一天？
说明：通过以上例题说明，小学生解不定方程，应该紧紧结合题意及数字特征，灵活运用学习过的知识来确定解的限制范围。
【例6】一个两位数，各位数字和的5倍比原数大10，求这个两位数。
【例７】小明准备到商店买２角钱一支的铅笔和９角钱一支的圆珠笔，两种笔都要买，并且刚好花了４元钱，问小明铅笔与圆珠笔各买了几支？
例1工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用多少根？
例2在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共46只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
例3将601个球分别装在大小两种包装盒里，大盒每盒装5个，小盒每盒装3个。求使用的包装盒的个数有多少种不同的安排方法？
例4将426个乒乓球装在三种盒子里。大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个。现共装了24盒，求用了多少个大盒？
3.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？
4.李大伯下山去小商店买东西.下午1时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午3时半到家.已知平地每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？
解：设3米长的管子用X根，5米长的管子用Y根。
3X+5Y=78
3X=78-5Y
X=（78-5Y）÷3
X=
根据题意，X一定是一个整数，且不等于0。X是整数，78-5Y的值一定是3的倍数，78已经是3的倍数，则5Y的值也一定是3的倍数，那么Y=3、6、9、12、15，当Y=18时，5Y的值大于78，一符合题意。所以Y可能是3、6、9、12、15这五种可能，相应的X也有五种可能，从而得出原方程有下面五组解。
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有：x＝2 x＝7
y＝15 y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
Y=5 y=2
练习一
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
例2
求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．
求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝ 。可列表试验求解：
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5
例10王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？
练习：
1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”
2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？