近代测量平差基础电子教案

8 近代平差基础

前面介绍的五种平差方法，我们称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及、测绘技术的发展和现代化建设的需要，对数据处理的精度要求越来越高，为此，在经典平差方法的基础上，产生了一些新的测量平差模型，如稳健估计、秩亏自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介绍这些平差基本理论及其应用。

217

8.1稳健估计简介

经典平差总是假设观测值中只含偶然误差，不含粗差，平差模型正确，但测量实践表明，由于种种原因可能产生粗差或错误。粗差即粗大误差，粗差要比偶然误差大好多倍。

对粗差的处理，目前有两种基本途径。一是从函数模型入手，在未正式进行最小二乘平差计算之前进行数据预处理，设法探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，从而得到一组较干净的观测值,最后，再用这组较干净的观测值进行最小二乘平差,第7章中第6节介绍的粗差检验的数据探测法就属于这种方法；二是从随机模型入手，寻找既能自动抗拒粗差的影响，又基本上具备经典最优估计统计特性的估计方法，

218

稳健(Robust)估计就是这种途径的一种有效估计方法。

稳健估计是针对最小二乘估计不具备抗粗差这一缺陷提出来的，对粗差具有一定的抵抗能力，具有以下特点：

1.当不含有粗差时，所估计的参数是接近最优的；

2.当含有少量粗差时，所估计的参数变化也较小；

3.当含有较多粗差时，所估计的参数也不会太差。

第一个特点的不足之处是所获得的估计结果不是最优的，第二特点表明，虽然所获得的估计结果不是最优的，但能得到比较满意的结果，估计方法是比较好的，第三个特点可以防止某些相当坏的情况，估计结果也不会变得太坏。如果一个估计方法，在实际模型与假定模型相差较小时，其性能变化也较小，则称它是稳健的，可见稳健就是实际模型偏

219

220

离假定模型的不敏感性。

稳健估计的具体方法很多，下面只作简单介绍。 设有误差方程为

1

11⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l x B V

假定为等权观测，若不等权则可转化为等权观测。稳健估计的原则是

()()min ˆ1

1

=-=∑∑==n

i i

i

n

i i

l x b v ρρ (8-1)

令

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

n b b b B 21

221

即i

b 为B 阵中第i 行向量。最小二乘估计，可理解为()2i

i

v v =ρ，由于2v 随v 的增加而迅速增大，所以最小二乘估计不具有稳

健性。为使估计稳健化，要求能控制奇异值对解的影响，寻求增长速度缓慢的有界函数作为极值函数。例如选取()V V =ρ，即一次范数最小，就是一种稳健估计的极值函数。选取不同的极值函数，就会得出不同稳健程度的估计值。

稳健估计是一种求非线性方程的极值解，其中迭代权函数法是一种利用已经掌握的最小二乘估计的计算方法，简单实用，以一次范数最小估计为例，说明这种解法。

设极值函数为

()min ==∑

∑i i

v v ρ

222

于是 ()

ˆˆˆ

2

122

=∂∂=

∂∂

=

∂∂

-

∑∑∑x

v v v v

x

v x i i

i

i

i (8-2)

由i i i l x

b v -=ˆ得 i i b x

v =∂∂ˆ

则式(8-2)为

=∑

i

i i v b v

或 0

=∑i

i T

i v v b (8-3)

令权函数为

223

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣⎡=⨯n n

n v v v diag W 111

2

1

(8-4) 则式(8-3)为

0==∑WV B v W b T

i i T

i

(8-5)

上式与间接平差中的方程0=PV B T

相似，故将W 视为间接平差的权阵P ，又因W 是改正数V 的函数，故称其为权函数，

W 必须通过迭代运算来确定。

定权函数时，为了避免因v =0而出现的计算问题，可取 c

v W i i

+=

1 (8-6)

一次范数最小估计的步骤是：

224

1.列出误差方程；

2.令121====n

P P P ，组成法方程l B x B B T

T =ˆ； 3.计算x

ˆ和改正数v ； 4.计算权函数1

W ，2W ，…，n W ；

5.再次组成法方程

Wl B x

WB B T T

=ˆ；

6.重新计算x

ˆ和v ，再定权函数W ； 7.重复第5和第6步，进行迭代，直至两次迭代权函数之差的最大值小于限值为止（或以最后两次参数之差的最大值小于限值作为结束循环条件），最后求得的x ˆ为其稳健估计结果。

225

稳健估计方法最常用的有Huber 估计法、丹麦法、周江文法以及李德仁法等等，这些方法都具有各自的稳健估计函数和权函数。

例[8-1] 以 3.5.1中水准网条件平差算例为例，如图8-1。有2个已知高程点A 、B ，3个待定高程点C 、

D 、

E 和6个独立高差观测

值，该例为三等水准测量，其1km 观测高差中误差0

.3 0

±=σ

mm ，观测值中不含粗差。现在2

h

位置加了4倍于中误差的粗差，观测值变为11.094m ，其它