近代测量平差基础电子教案
测量平差课程设计-12页精选文档
课程设计课程名称：误差理论与测量平差基础学院：矿业学院专业：测绘工程姓名：胡思华学号：1208010210年级：2019 任课教师：张俊2019年6月8 日测量平差课程设计任务书一、本课程设计的性质、目的、任务《误差理论与测量平差基础》是一门理论与实践并重的课程，该课程设计是测量数据处理理论学习的一个重要的实践环节，它是在学生学习了专业基础课“误差理论与测量平差基础”课程后进行的一门实践课程。
其目的是增强学生对误差理论与测量平差基础理论的理解，牢固掌握测量平差的基本原理和基本公式，熟悉测量数据处理的基本技能和计算方法，灵活准确地应用于解决各类数据处理的实际问题，并能用所学的计算机理论知识，编制简单的计算程序或借助常用软件，如Matlab、Excel等解决测绘数据处理问题，从而为将来走向工作岗位，进行工程实测数据资料的处理打下基础。
二、课程设计内容和重点根据上述的教学目的和任务，本课程设计主要是要求学生完成一个综合性的平面控制网的平差处理问题，如目前生产实践中经常用到测角网严密平差及精度评定，通过此次课程设计，重点培养学生正确应用公式、综合分析和解决问题的能力，以及借助计算机解决实际问题的能力。
具体内容如下：根据题目要求，正确应用平差模型列出观测方程和误差方程、法方程并解算法方程，得出平差后的未知点坐标平差值、点位中误差、在控制网图上按比例画出误差椭圆。
三、课程设计要求总体要求：课程设计必须体现平差过程，每一步不得直接给出结果，课程设计过程中如有问题，可以向指导老师请教或同学之间讨论解决，但不得相互抄袭，必须独立完成。
具体要1. 设计说明书必须严格按照贵州大学矿业学院课程设计格式要求进行认真、按时撰写完成（课程设计截止时间：2013年6月17日-2013年7月5日）。
2. 完成课程设计报告一份，报告中必须包括以下内容：1) 近似坐标计算过程2) 误差方程系数计算过程（可自行绘制表格，并辅以文字计算说明）。
测量平差电子教案
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《测量平差》课程教案
附件3
交通职业学院
课程教案
学年第学期
开课单位交通职业学院道桥系测量教研室
授课教师
职称
课程名称测量平差
课程性质职业能力课
教材名称《测量平差》
适用专业（方向）工程测量与监理
交通职业学院制
年9月8日
《课程教案》填写说明
一、用宋体、5号字填写，每项页面大小可按照规定格式自行添减。
二、一次课为一份教案（不包括封面）。
三、“课程性质”填基本素质课、职业能力课、素质拓展课；素质拓展课的“适用专业（方向）”填写“全校各专业”。
四、“开课单位”填学院、学系和教研室（无教研室只填学院和学系）。
五、授课类型指理论课、讨论课、实验、社会实践、实习或见习课、其他等。
六、“教学内容”应具体，而不应只填写教材章节名称或讲授主题的题目。
测量平差教案
第一章绪论第一节观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
有观测就有误差的结论。
二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。
三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。
结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。
2、处理总结粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。
四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。
第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。
举例说明。
第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。
２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。
二、平差计算方法的发展２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。
二、内容课本各章的内容。
小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。
第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
1.1教案《误差理论与测量平差》第一章 观测误差及其传播
《误差理论与测量平差》课程教案（电子版）葛永慧付培义胡海峰太原理工大学测绘科学与技术系授课题目：第一章 观测误差及其传播律教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学 本章教学时数：10学时内容提要：主要讲观测误差及其分类、偶然误差的4个特性、精度、衡量精度的指标、方差、协方差、权、定权方法、协因数等基本概念，在此基础上导出协方差传播律和协因数传播律两个重要的传播律，并举例进一步说明两个传播律的应用。
教学要求：理解偶然误差的规律、方差、协方差、权、常用定权方法、协因数等概念，熟练掌握协方差传播律、协因数传播律两个传播律及其在测量中的应用。
理解由真误差计算中误差的方法和测量平差中处理系统误差的方法。
本章重点：重点理解偶然误差的规律、方差、协方差、权、常用定权方法、协因数等概念，并在此基础上掌握协方差传播律、协因数传播律两个传播律及其在测量中的应用，以及由真误差计算中误差的方法和测量平差中处理系统误差的方法 教学难点：协方差传播律、定权方法及协因数传播律。
本章教学总的思路：首先讲较简单的误差分类、偶然误差特性，接着在对数理统计有关知识复习的基础上，方差、协方差概念，并给出协方差传播律公式，通过示例讲解加深理解；用同样的方法讲权的概念和常用定权方法、协因数概念及协因数传播律；举例说明在本章讲解过程中非常重要，它是帮助学生理解几个重要概念及两个传播律的最好方法。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
教学内容：§1-1～§1-4共2学时§1-1 概述简述引入有关概念测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评定测量成果的精度。
解决这两个问题的基础，是要研究观测误差的理论，简称误差理论。
本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法等。
1.2教案《误差理论与测量平差》第二章平差数学模型与最小二乘原理
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
测量平差基础(修改)
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
nm
c1n
c2n
cnm
矩阵转置的性质：
(1)C DT ,则：D CT (2)( AT )T A (3)( A B)T AT BT (4)(kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
L3=180°－L1－L2
L1
（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3， 由于有误差，一般情况下：
L1+L2+L3≠180°
L2
存在闭合差（观测值与理论值之差）
L3
w=L1+L2+L3－180°
出现了三角形三内角观测值之和不等于
180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何 来解决这些矛盾呢？
（6）若 AT A 则A为对称矩阵。
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
2．提出了相关平差 3．产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤 波，
推估和配置。 4．形成了秩亏自由网平差理论 5．出现后验定权方法，形成了方差－协方差估计理论。 6．展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。 7．展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
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0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
测量平差第02章
地图投影的方式有多种类型，以满足不同的应用目的。 不同投影方式生成的地图存在很大的差异。
墨卡托(Mercator)投影
爱凯特正弦投影(Eckert VI Equal-Area)
Sinusoidal (Equal-Area) Projection
1. 地球形体的一级逼近：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下 缺少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在 制图业务中，均把地球当作正球体。
3. 重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准 面的高度）。
1.2 地球的数学表面
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋 转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它 向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间 系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理 得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户
的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点 的距离和航向或提供图示。
§3 地 图 投 影
3.1 地图投影的概念
地球表面是曲面，而屏幕和纸张是平面。理论上球面 是无法展开成平面的。要把地球表面上的物体和现象绘制 到平面图纸上，就必须解决球面与平面之间的矛盾。如何 使球面转换到平面后少破裂、少重叠、变形小，并使变形
1.2 地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂 线）成正交，这个面叫水准面。
《测量平差》课程设计.
课程设计课程名称：误差理论与测量平差基础学院：矿业学院专业：测绘工程姓名：学号：班级：指导教师：《误差理论与测量平差基础》课程设计任务书一、本课程设计的性质、目的、任务《误差理论与测量平差基础》是一门理论与实践并重的课程，该课程设计是测量数据处理理论学习的一个重要的实践环节，它是在学生学习了专业基础课“误差理论与测量平差基础”课程后进行的一门实践课程。
其目的是增强学生对误差理论与测量平差基础理论的理解，牢固掌握测量平差的基本原理和基本公式，熟悉测量数据处理的基本技能和计算方法，灵活准确地应用于解决各类数据处理的实际问题，并能用所学的计算机理论知识，编制简单的计算程序或借助常用软件，如Matlab、Excel等解决测绘数据处理问题，从而为将来走向工作岗位，进行工程实测数据资料的处理打下基础。
二、课程设计内容和重点根据上述的教学目的和任务，本课程设计主要是要求学生完成一个综合性的平面控制网的平差处理问题，如目前生产实践中经常用到测角网严密平差及精度评定，通过此次课程设计，重点培养学生正确应用公式、综合分析和解决问题的能力，以及借助计算机解决实际问题的能力，具体内容如下：根据题目要求，正确应用平差模型列出观测方程和误差方程、法方程并解算法方程，得出平差后的未知点坐标平差值、点位中误差、在控制网图上按比例画出误差椭圆等。
三、课程设计要求总体要求：课程设计必须体现平差过程，每一步不得直接给出结果，课程设计过程中如有问题，可以向指导老师请教或同学之间讨论解决，但不得相互抄袭，必须独立完成，任何同学，一经其他同学检举抄袭或被发现发现抄袭，本次课程设计即以零分记，毕业前重修此环节。
具体要求如下：1.设计说明书必须严格按照贵州大学矿业学院课程设计格式要求（见附件一）进行认真、按时撰写完成（课程设计起止时间：2015年6月8日-2015年6月21日，共2周）。
2.完成课程设计报告一份，即课程设计说明书文本（相关格式等要求见附件一）一份，报告必须包括以下内容：1)近似坐标计算过程2)误差方程系数计算过程（可自行绘制表格，并辅以文字计算说明）。
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8 近代平差基础前面介绍的五种平差方法，我们称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及、测绘技术的发展和现代化建设的需要，对数据处理的精度要求越来越高，为此，在经典平差方法的基础上，产生了一些新的测量平差模型，如稳健估计、秩亏自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。
本章将介绍这些平差基本理论及其应用。
2178.1稳健估计简介经典平差总是假设观测值中只含偶然误差，不含粗差，平差模型正确，但测量实践表明，由于种种原因可能产生粗差或错误。
粗差即粗大误差，粗差要比偶然误差大好多倍。
对粗差的处理，目前有两种基本途径。
一是从函数模型入手，在未正式进行最小二乘平差计算之前进行数据预处理，设法探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，从而得到一组较干净的观测值,最后，再用这组较干净的观测值进行最小二乘平差,第7章中第6节介绍的粗差检验的数据探测法就属于这种方法；二是从随机模型入手，寻找既能自动抗拒粗差的影响，又基本上具备经典最优估计统计特性的估计方法，218稳健(Robust)估计就是这种途径的一种有效估计方法。
稳健估计是针对最小二乘估计不具备抗粗差这一缺陷提出来的，对粗差具有一定的抵抗能力，具有以下特点：1.当不含有粗差时，所估计的参数是接近最优的；2.当含有少量粗差时，所估计的参数变化也较小；3.当含有较多粗差时，所估计的参数也不会太差。
第一个特点的不足之处是所获得的估计结果不是最优的，第二特点表明，虽然所获得的估计结果不是最优的，但能得到比较满意的结果，估计方法是比较好的，第三个特点可以防止某些相当坏的情况，估计结果也不会变得太坏。
如果一个估计方法，在实际模型与假定模型相差较小时，其性能变化也较小，则称它是稳健的，可见稳健就是实际模型偏219220离假定模型的不敏感性。
稳健估计的具体方法很多，下面只作简单介绍。
设有误差方程为111⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l x B V假定为等权观测，若不等权则可转化为等权观测。
稳健估计的原则是()()min ˆ11=-=∑∑==ni iini il x b v ρρ (8-1)令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b B 21221即ib 为B 阵中第i 行向量。
最小二乘估计，可理解为()2iiv v =ρ，由于2v 随v 的增加而迅速增大，所以最小二乘估计不具有稳健性。
为使估计稳健化，要求能控制奇异值对解的影响，寻求增长速度缓慢的有界函数作为极值函数。
例如选取()V V =ρ，即一次范数最小，就是一种稳健估计的极值函数。
选取不同的极值函数，就会得出不同稳健程度的估计值。
稳健估计是一种求非线性方程的极值解，其中迭代权函数法是一种利用已经掌握的最小二乘估计的计算方法，简单实用，以一次范数最小估计为例，说明这种解法。
设极值函数为()min ==∑∑i iv v ρ222于是 ()ˆˆˆ2122=∂∂=∂∂=∂∂-∑∑∑xv v v vxv x i iiii (8-2)由i i i l xb v -=ˆ得 i i b xv =∂∂ˆ则式(8-2)为=∑ii i v b v或 0=∑ii Ti v v b (8-3)令权函数为223⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⨯n nn v v v diag W 11121(8-4) 则式(8-3)为0==∑WV B v W b Ti i Ti(8-5)上式与间接平差中的方程0=PV B T相似，故将W 视为间接平差的权阵P ，又因W 是改正数V 的函数，故称其为权函数，W 必须通过迭代运算来确定。
定权函数时，为了避免因v =0而出现的计算问题，可取 cv W i i+=1 (8-6)一次范数最小估计的步骤是：2241.列出误差方程；2.令121====nP P P ，组成法方程l B x B B TT =ˆ； 3.计算xˆ和改正数v ； 4.计算权函数1W ，2W ，…，n W ；5.再次组成法方程Wl B xWB B T T=ˆ；6.重新计算xˆ和v ，再定权函数W ； 7.重复第5和第6步，进行迭代，直至两次迭代权函数之差的最大值小于限值为止（或以最后两次参数之差的最大值小于限值作为结束循环条件），最后求得的x ˆ为其稳健估计结果。
225稳健估计方法最常用的有Huber 估计法、丹麦法、周江文法以及李德仁法等等，这些方法都具有各自的稳健估计函数和权函数。
例[8-1] 以 3.5.1中水准网条件平差算例为例，如图8-1。
有2个已知高程点A 、B ，3个待定高程点C 、D 、E 和6个独立高差观测值，该例为三等水准测量，其1km 观测高差中误差0.3 0±=σmm ，观测值中不含粗差。
现在2h位置加了4倍于中误差的粗差，观测值变为11.094m ，其它条件不变，A和B点的高程、观测高差和相应水准路线的长度见表8-1，试进行稳健估计。
表8-1线路号观测高差/m 线路长度/km 已知点高程/m h112.705 1.1 H A=788.135h211.094 2.3H B=811.920h3 6.518 0.8h4 4.570 1.5h5-4.225 2.0h615.302 1.9解：本例中有6个观测值，必要观测数t=3，所以r=n-t=3，226227选取C 、D 、E 三点高程321ˆˆˆX X X 、、为参数估值，参数改正数为321ˆˆˆx x x、、，参数近似值取1X =796.6m 、2X =800.8m 、3X =807.3m 。
1.误差方程为18255018264016215343232221+-=+-+=+-=-+-=+-=-+=x v x x v x vx x v x v x v (㎜)2.令1621====P P P，组成法方程, 计算得xˆ和改正数v []Tx3.515.347.13ˆ=(㎜)[]TV 2.42.43.13.15.85.5----=(㎜)228单位权中误差6.87ˆ0±=P ±=TγσVV (㎜)3.后验方差检验假设为22200.3:==σσH ；2021:σσ≠H统计量为732.150.387.63ˆ)()3(222022=⨯=-=σσχt n以自由度f =3, α=0.05查2χ分布表得348.9)3()(,216.0)3()(2025.022/2975.022/1==-==--χχχχααt n t n现2χ落在了(0.216，9.348)区间外，故拒绝0H ，即认为在α=0.05的显著水平下，观测数据可能存在粗差。
4.计算权函数W,取c=1，得权函数值为iW=[0.15385 0.10526 0.44444 0.44444 0.19048 diag0.19048]5.再计算得xˆ和改正数v[]Tˆ=(㎜)139.5134x4.9.[]T--=(㎜)1.5--9.8V1.41.44.14.16.再计算权函数W,取c=1，得权函数值为iW=[0.16277 0.1014 0.41184 0.41184 0.19717 diag0.19717]7.再次计算得xˆ和改正数v为[]Tˆ=(㎜)1.141.x6.5135229230[]TV 9.39.36.16.11.99.4----=(㎜)8.再次计算权函数i W ,取c =1，得权函数值为diag W =[0.17024 0.09876 0.39018 0.39018 0.202550.20255]08.0max 1<--k iki W W停止迭代，最后一次计算结果即为稳健估计结果，成果如下。
9.C 、D 和E 点高程平差值为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3516.8078351.8006141.796ˆˆˆˆE D CHH H H (m)单位权中误差2312.61ˆ0±=P ±=TrV V σ(㎜)经2χ检验，平差模型正确。
平差后D 点的高程中误差5.3ˆˆ0±==DD DH H H Q σσ(㎜)D 点至E 点间高差平差值的中误差4.3ˆˆ222ˆˆ0ˆ±==hh h Q σσ(㎜)2328.2 附加系统参数的平差经典平差中总是假设观测值中只含偶然误差，不含系统误差，平差模型正确，但测量实践表明，尽管采用各种有效的观测措施，仍会含有残余的系统误差。
消除或减弱这种残余系统误差也可借助于平差方法，即通过在经典平差模型中附加系统参数的方法对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。
经典的高斯—马尔可夫模型为⎪⎭⎪⎬⎫==∆==∆∆-=-120200~P Q D L D E X B L σσ）（）（）（， (8-7)当观测值中含有系统误差时，显然2330≠∆）（E在这种情况下，需要对经典的高斯—马尔可夫模型进行扩充。
设观测误差G ∆包含系统误差S∆和偶然误差∆，即∆+∆=∆S G考虑平差是线性模型，可设SA S~=∆，于是有∆+=∆S A G~(8-8)及 SA E S ~)(=∆将式(8-8)代入式(8-7)，即得附加系统参数的平差函数模型和随机模型为⎪⎭⎪⎬⎫==∆=++=∆-+=-12020ˆˆˆ~~P Q D L D d S A X B L S A X B L σσ）（）（或 (8-9)由式(8-9)得误差方程为234())(,ˆˆˆˆ1111d BXL L L l l S xA B l S A xB V oo n m m n t t n n +-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (8-10)上式为间接平差的误差方程，t B R =)(，m A R =)(，为列满秩，参数xˆ之间和S ˆ之间相互独立，)(m t n +>。
按最小二乘准则min=PV V T分别对xˆ和S ˆ求偏导数，并令其等于零，转置以后，将误差方程代入得法方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Pl A Pl B S xPA A PB A PA B PB B T T TTTT ˆˆ (8-11)令PAA N N PAB N PB B N TT TT====22211211，，式(8-11)可简写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Pl A Pl B S xN N N N T T ˆˆ22211211 (8-12)235由分块矩阵求逆公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---------Pl A Pl B MN N M MN N N N M N N N S xT T 111121111211111121112111111ˆˆ (8-13)式中 121112122N NN N M --=如果平差模型中不含有系统误差，即0~=S ，则有Pl B N xT1111ˆ-=考虑到此关系式，则式(8-13)可写成)ˆ(ˆˆ1211121111xN Pl A MN N x x T--=-- (8-14)和)ˆ(ˆ1211xN Pl A M S T-=- (8-15) 由间接平差的协因数公式知，式(8-13)右端的系数是法方程式系数阵的逆，亦即平差参数估值xˆ和S ˆ的协因数阵为236⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-==+=-------112111ˆˆ1ˆˆ11121112111111ˆˆMN N Q MQ N N MN N N Q S X S S X X (8-16)单位权中误差为)(ˆ0m t n PV V T+-±=σ(8-17)加入系统参数，改变了原有的平差模型，为了确保平差参数的正确性，要对系统参数的显著性进行检验，即对SA ~的显著性进行检验。