近代测量平差基础电子教案

8 近代平差基础

前面介绍的五种平差方法，我们称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及、测绘技术的发展和现代化建设的需要，对数据处理的精度要求越来越高，为此，在经典平差方法的基础上，产生了一些新的测量平差模型，如稳健估计、秩亏自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介绍这些平差基本理论及其应用。

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8.1稳健估计简介

经典平差总是假设观测值中只含偶然误差，不含粗差，平差模型正确，但测量实践表明，由于种种原因可能产生粗差或错误。粗差即粗大误差，粗差要比偶然误差大好多倍。

对粗差的处理，目前有两种基本途径。一是从函数模型入手，在未正式进行最小二乘平差计算之前进行数据预处理，设法探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，从而得到一组较干净的观测值,最后，再用这组较干净的观测值进行最小二乘平差,第7章中第6节介绍的粗差检验的数据探测法就属于这种方法；二是从随机模型入手，寻找既能自动抗拒粗差的影响，又基本上具备经典最优估计统计特性的估计方法，

218

稳健(Robust)估计就是这种途径的一种有效估计方法。

稳健估计是针对最小二乘估计不具备抗粗差这一缺陷提出来的，对粗差具有一定的抵抗能力，具有以下特点：

1.当不含有粗差时，所估计的参数是接近最优的；

2.当含有少量粗差时，所估计的参数变化也较小；

3.当含有较多粗差时，所估计的参数也不会太差。

第一个特点的不足之处是所获得的估计结果不是最优的，第二特点表明，虽然所获得的估计结果不是最优的，但能得到比较满意的结果，估计方法是比较好的，第三个特点可以防止某些相当坏的情况，估计结果也不会变得太坏。如果一个估计方法，在实际模型与假定模型相差较小时，其性能变化也较小，则称它是稳健的，可见稳健就是实际模型偏

219

220

离假定模型的不敏感性。

稳健估计的具体方法很多，下面只作简单介绍。 设有误差方程为

1

11????-=n t t n n l x B V

假定为等权观测，若不等权则可转化为等权观测。稳健估计的原则是

()()min ?1

1

=-=∑∑==n

i i

i

n

i i

l x b v ρρ (8-1)

令

?????

???????=

n b b b B 21

221

即i

b 为B 阵中第i 行向量。最小二乘估计，可理解为()2i

i

v v =ρ，由于2v 随v 的增加而迅速增大，所以最小二乘估计不具有稳

健性。为使估计稳健化，要求能控制奇异值对解的影响，寻求增长速度缓慢的有界函数作为极值函数。例如选取()V V =ρ，即一次范数最小，就是一种稳健估计的极值函数。选取不同的极值函数，就会得出不同稳健程度的估计值。

稳健估计是一种求非线性方程的极值解，其中迭代权函数法是一种利用已经掌握的最小二乘估计的计算方法，简单实用，以一次范数最小估计为例，说明这种解法。

设极值函数为

()min ==∑

∑i i

v v ρ

222

于是 ()

???

2

122

=??=

??

=

??

-

∑∑∑x

v v v v

x

v x i i

i

i

i (8-2)

由i i i l x

b v -=?得 i i b x

v =???

则式(8-2)为

=∑

i

i i v b v

或 0

=∑i

i T

i v v b (8-3)

令权函数为

223

???

?

??

??=?n n

n v v v diag W 111

2

1

(8-4) 则式(8-3)为

0==∑WV B v W b T

i i T

i

(8-5)

上式与间接平差中的方程0=PV B T

相似，故将W 视为间接平差的权阵P ，又因W 是改正数V 的函数，故称其为权函数，

W 必须通过迭代运算来确定。

定权函数时，为了避免因v =0而出现的计算问题，可取 c

v W i i

+=

1 (8-6)

一次范数最小估计的步骤是：

224

1.列出误差方程；

2.令121====n

P P P ，组成法方程l B x B B T

T =?； 3.计算x

?和改正数v ； 4.计算权函数1

W ，2W ，…，n W ；

5.再次组成法方程

Wl B x

WB B T T

=?；

6.重新计算x

?和v ，再定权函数W ； 7.重复第5和第6步，进行迭代，直至两次迭代权函数之差的最大值小于限值为止（或以最后两次参数之差的最大值小于限值作为结束循环条件），最后求得的x ?为其稳健估计结果。

225

稳健估计方法最常用的有Huber 估计法、丹麦法、周江文法以及李德仁法等等，这些方法都具有各自的稳健估计函数和权函数。

例[8-1] 以 3.5.1中水准网条件平差算例为例，如图8-1。有2个已知高程点A 、B ，3个待定高程点C 、

D 、

E 和6个独立高差观测

值，该例为三等水准测量，其1km 观测高差中误差0

.3 0

±=σ

mm ，观测值中不含粗差。现在2

h

位置加了4倍于中误差的粗差，观测值变为11.094m ，其它

条件不变，A和B点的高程、观测高差和相应水准路线的长度见表8-1，试进行稳健估计。

表8-1

线路号观测高差/m 线路长度/km 已知点高程/m h112.705 1.1 H A=788.135

h211.094 2.3

H B=811.920

h3 6.518 0.8

h4 4.570 1.5

h5-4.225 2.0

h615.302 1.9

解：本例中有6个观测值，必要观测数t=3，所以r=n-t=3，

226

227

选取C 、D 、E 三点高程3

21???X X X 、、为参数估值，参数改正数为

321???x x x

、、，参数近似值取

1

X =796.6m 、

2

X =800.8m 、

3

X =807.3m 。 1.误差方程为

18

25501826401

62

153

4

32

32221+-=+-+=+-=

-+-=

+-=-+=x v x x v x v

x x v x v x v (㎜)

2.令1621

====P P P

，组成法方程, 计算得

x

?和改正数v []

T

x

3.515

.347.13?=(㎜)

[]

T

V 2.42

.43

.13

.15

.85

.5----=(㎜)

228

单位权中误差

6.87

?0±=P ±=T

γ

σ

V

V (㎜)

3.后验方差检验假设为

22

2

00.3:==σ

σ

H ；20

2

1:σ

σ

≠H

统计量为

732

.150

.387.63?)()3(2

2

20

22

=?=

-=

σ

σ

χt n

以自由度f =3, α=0.05查2

χ分布表得

348

.9)3()(,

216.0)3()(2

025.022/2

975.022/1==-==--χχχχααt n t n

现

2

χ

落在了(0.216，9.348)区间外，故拒绝0H ，即认为在

α=0.05的显著水平下，观测数据可能存在粗差。

4.计算权函数

W,取c=1，得权函数值为

i

W=[0.15385 0.10526 0.44444 0.44444 0.19048 diag

0.19048]

5.再计算得x?和改正数v

[]T

?=(㎜)

13

9.

51

34

x4.

9.

[]T

-

-

=(㎜)

1.5-

-

9.8

V1.4

1.4

4.1

4.1

6.再计算权函数

W,取c=1，得权函数值为

i

W=[0.16277 0.1014 0.41184 0.41184 0.19717 diag

0.19717]

7.再次计算得x?和改正数v为

[]T

?=(㎜)

1.

14

1.

x6.

51

35

229

230

[]

T

V 9.39

.36

.16

.11

.99.4----=(㎜)

8.再次计算权函数i W ,取c =1，得权函数值为

diag W =[0.17024 0.09876 0.39018 0.39018 0.20255

0.20255]

08

.0max 1

<--k i

k

i W W

停止迭代，最后一次计算结果即为稳健估计结果，成果如下。

9.C 、D 和E 点高程平差值为

????

???

??

?=??????????=3516.8078351

.8006141.796????E D C

H

H H H (m)

单位权中误差

231

2.61

?0

±=P ±

=T

r

V V σ(㎜)

经2

χ检验，平差模型正确。 平差后D 点的高程中误差

5.3??0±==D

D D

H H H Q σσ

(㎜)

D 点至

E 点间高差平差值的中误差

4.3??2

22

??0?±==h

h h Q σσ(㎜)

232

8.2 附加系统参数的平差

经典平差中总是假设观测值中只含偶然误差，不含系统误差，平差模型正确，但测量实践表明，尽管采用各种有效的观测措施，仍会含有残余的系统误差。消除或减弱这种残余系统误差也可借助于平差方法，即通过在经典平差模型中附加系统参数的方法对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。 经典的高斯—马尔可夫模型为

??

???==?==??-=-1

20200

~

P Q D L D E X B L σσ）（）（）（， (8-7)

当观测值中含有系统误差时，显然

233

0≠?）（E

在这种情况下，需要对经典的高斯—马尔可夫模型进行扩充。设观测误差G ?包含系统误差S

?和偶然误差?，即

?+?=?S G

考虑平差是线性模型，可设S

A S

~=?，于是有

?

+=?S A G

~

(8-8)

及 S

A E S ~

)(=?

将式(8-8)代入式(8-7)，即得附加系统参数的平差函数模型

和随机模型为

??

?

??==?=++=?-+=-12020???~~P Q D L D d S A X B L S A X B L σσ）（）（或 (8-9)

由式(8-9)得误差方程为

234

())

(,????1

1

1

1

d BX

L L L l l S x

A B l S A x

B V o

o n m m n t t n n +-=-=-???

? ??=-+=?????? (8-10)

上式为间接平差的误差方程，t B R =)(，m A R =)(，为列满秩，

参数x

?之间和S ?之间相互独立，)(m t n +>。按最小二乘准则min

=PV V T

分别对x

?和S ?求偏导数，并令其等于零，转置以后，将误差方程代入得法方程

??

????=????????????Pl A Pl B S x

PA A PB A PA B PB B T T T

T

T

T ?? (8-11)

令PA

A N N PA

B N PB B N T

T T

T

====2221

1211，，

式(8-11)可简写为

??

????=????????????Pl A Pl B S x

N N N N T T ??2221

1211 (8-12)

235

由分块矩阵求逆公式得

??

?

????????

?--+=??????---------Pl A Pl B M

N N M M

N N N N M N N N S x

T T 1

1

112111

121111

1121112111111?? (8-13)

式中 12111

2122N N

N N M --=

如果平差模型中不含有系统误差，即0~

=S ，则有

Pl B N x

T

1

11

1?-=

考虑到此关系式，则式(8-13)可写成

)?(??1211

121

111x

N Pl A M

N N x x T

--=-- (8-14)

和

)?(?1211

x

N Pl A M S T

-=- (8-15) 由间接平差的协因数公式知，式(8-13)右端的系数是法方程

式系数阵的逆，亦即平差参数估值x

?和S ?的协因数阵为

236

???

????

-==+=-------1

12111??1

??1

11211

12111111??M

N N Q M

Q N N M

N N N Q S X S S X X (8-16)

单位权中误差为

)

(?0m t n PV V T

+-±=σ

(8-17)

加入系统参数，改变了原有的平差模型，为了确保平差参数的正确性，要对系统参数的显著性进行检验，即对S

A ~

的显著性进行检验。如果系统参数不显著，而仍采用附有系统参数的间接平差模型，必将影响x

?和X X Q ??的正确性。