电磁波在正负折射率介质分界面上的折射与反射

损失的情况下同时改变介质με , 的符号 ,结果仍然满足麦克 斯维方程以及色散关系 ,因此他假想了一种材料 , 在这种材 料里电磁波的行为与在一般材料中的行为是完全不同的 。
[1 ]
Veselago 预言这种不平常的介质将展示出大量的新奇的光
学现象 ,从逆几何光学到逆 Doppler 效应 。然而 ,Veselago 的 观点一直没有被证实 ,直到最近人们才发现这种介质。
r r r 式分别为 eiKi・ 、 eiKr・ 和 eiKt・ , 其中 ,
( 9) ( 10)
θ 设θ 反射角和折射角 , 并且 θ i、 r 和θ t 分别表示入射角 、 i 和 θ , 0 <θ 。由于 kix 和 k rx r 的取值范围分别为 0 < θ i < 90° r < 90° 沿 x 轴正方向 , 根据相位匹配式 ( 7 ) , ktx 也沿 x 轴正方向 , 所 以θ <θ t 取值范围为 - 90° t < 0 , 即负折射率介质中折射线与 正折射率介质中折射线位置相比位于法线的另一侧 。由相 位约束条件和色散关系得到 θ θ Ki sin i = Kr sin r θ θ Ki sin i = Kt sin t
值得注意的是 , 波矢 K i , K 和 表示常数相位波前的传 r Kt 播方向 , 对于均匀平面波在相位波前具有常数幅度和相位 。 所以在区域 1 中任意一点 , 都同时存在入射波和反射波 。令
即反射角等于入射角 , 这就是反射定律的结论 , 这与分
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域 2 中介质的折射率 。这就是折射定律 , 形式上与分界面两 边都是正折射率介质的情况没有区别 , 所不同的是折射角 θ t 和折射率 n2 都为负值 。
( 2) 电磁波从负折射率介质入射到正折射率介质
如图 1 ( b) 所示 , 区域 1 是负折射率介质 , 介电常数 ε 1 和 磁导率 μ 和反射波波矢量 1 的值均小于零 , 入射波波矢量 K i
K分 r 别与相应的坡印亭矢量的方向相反 。区域 2 是正折射
率介质 , 介电常数ε 2 和磁导率 μ 2 的值均大于零 , 波矢量 K与 t 坡印亭矢量 S t 的方向相同 。根据相位匹配条件式 ( 7) , 取入 射角 θ 和 0 <θ ,则 i 和反射角θ r 分别满足和 0 < θ i < 90° r < 90° 折射 角 θ <θ t 仍 满 足 - 90° t < 0 。此 时 n1 = - c
摘 要 : 最近的理论和实验证明了人工合成负折射率材料的可能性 。本文详细研究了电磁波在正 、负折射率介 质分界面上的折射与反射规律 , 归纳出了不同情形下的 Snell 定律 , 并推广了菲涅耳定律 。此外还发现 , 在正负 折射率介质的分界面上依然存在全反射 , 全反射时的表面波能量有向前传播的 , 也有向后传播的 , 负折射只改 变折射方向 , 不改变反射与透射场强的幅度 。 关键词 : 负折射率 ; 折射 ; 反射 ; 菲涅耳定律 ; 全反射 中图分类号 : O43511 文献标识码 : A 文章编号 : 1673 — 0313 (2004) 06 — 0018 — 04
[2 ] 最近几年 ,关于负折射介质的争论非常激烈 。 1996 -
2 负折射介质中的波矢量与坡印亭矢量
电磁波在介质中传播遵循 Maxwell 方程组 ×E = ×H = 9B 9t
( 1)
1999 年 ,英国皇家学院的 John Pendry 等人相继发表文章从理
论上证明了用周期性排列的金属条和金属开口谐振环组成 的结构能够在一个给定的频率范围内产生负等效介电常数
注意上式中折射波矢量的幅值 Kt = - ω ε 2μ 2 , 其中的 负号是负折射率介质所具有的属性 , 表示与坡印亭矢量的方 向相反 , 即表示相速度方向与能量的传播方向相反 。 由式 ( 9) 和 ( 11) 得 θ r =θ i 界面两边都是正折射率介质的情况完全一样 。
( 10) 和 ( 12) 得 由式 ( 9) 、 ( 13)
) ,男 ,湖南祁阳人 ,衡阳师范学院物理与电子信息科学系副教授 ,在读博士 ,主要从事传输光学 作者简介 : 游开明 (1959 —
的研究 1
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2004 年第 6 期
入射波 、 反射波和折射波电场切向分量的幅度分别为 Ei0 、
Er0 和 Et0 。根据 z = 0 处的边界条件可以得到 Ei0 exp ( i Kix x + i Kiy y ) + Er0 exp ( i Krx x + i Kry )
= Et0 exp ( i Ktx x + i Kty y ) + Er0 = Et0 , 其约束条件为
( 6)
式中 ε和μ 分别为介质的介电常数和磁导率 。 对于波矢量为 k , 角频率为的平面电磁波
E ( r , t ) = E0 exp ( K ・ r- ω t) H ( r , t ) H0 exP ( K ・ r- ω t) ( 3)
上式在 z = 0 的边界上任意一点都是成立的 , 于是有 Ei0
3. 2 反射定律与折射定律 ( Snell 定律)
图 1 是根据相位匹配条件画出的正 、 负折射率介质的各 种组合图 , 下面分别讨论各种情形下电磁波在其界面上的反 射与折射规律 。
2 ω μ| E|
再根据坡印亭矢量 S 与电场强度 E 和磁砀强度 H 的关系 S
= E ×H 有
K K
S=
2 ω ε| H| 在负折射率介质中有 μ < 0 和 ε< 0 , 因此负折射率介质
游开明 ,文双春 : 电磁波在正负折射率介质分界面上的折射与反射
19
式中 E , D , H , B 分别表示电场强度 , 电位移矢量 , 磁场强度 , 磁感应强度 , J 和ρ分别表示电流密度和电荷密度 , 且均是
( r , t) 的函数 。其中 D , B 与 E , H 之间满足如下本构关系 B =μ H , D =ε E ( 2)
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衡阳师范学院学报 θ sin n2 i = θ sin n1 t 其中 n1 = c ε 1μ 1 , n2 = - c
( 14)
2004 年第 25 卷
则区域 2 中的折射波电场表示为
Et = Et0 exp ( - α z ) exp ( i Kx x - ω t) ( 19)
ε 2μ 2 分别是区域 1 和区
[7 ] 现Leabharlann Baidu ,从而实验证明了构造负折射率介质是可能存在的 。
11 引言
光学中最基本的现象之一是折射 。当一束光入射到两 种不同介质的分界面时 ,它的路径将根据两种介质的折射率 之差而改变 。 折射率之差越大 ,则光束折射越大 。对于自然 界中所有已知的介质来说 ,折射率均取正值 。但是否情况必 须如此呢 ?
中波矢量 K 的方向与坡印亭矢量 S 的方向相反 。
图1 电磁波在正 、 负折射率介质分界面上的反射与折射
表示为
Ki = Kr = ωε 1μ 1 Kt = ωε 2μ 2
2 2 2 2 2
3 反射定律与折射定律 ( Snell 定律)
3. 1 相位匹配
为了研究电磁波在正 、 负折射率介质分界面上的反射与 折射规律 , 我们先研究相位匹配条件 。考虑一由两均匀介质 的边界构成的平面 , 如图 1 所示 , 边界的位置为 z = 0 , z < 0 的区域为区域 1 , z > 0 的区域为区域 2 。一平面电磁波从区 域 1 的介质入射到边界上 , 在该介质中产生反射波 , 并在区 域 2 中产生折射波 。入射波 、 反射波和折射波的空间变化形
这里将式 ( 18) 取 “+ ” 号 , 这样沿着 ^ z 方向折射波的幅度将做 指数衰减 。这时折射波沿 ^ x方向以相速度ω / | ktx | 在边界表 面上传播 , 其传播方向依区域 1 介质属性而定 : 当区域 1 为 正折射率介质时 , 相速度沿 ^ x 正向 , 当区域 1 为负折射率介 质时 , 相速度沿 ^ x负向 。全反射时当折射波相速度方向确定 以后 , 能流的方向就由区域 2 介质属性来决定 : 当区域 2 为 正折射率介质时 , 能流沿与相速度方向相同 , 当区域 2 为负 折射率介质时 , 能流沿与相速度方向相反 。由于我们已经规 定入射波能流的 X 分量总是沿 ^ x 正向的 , 于是称能流沿 ^ x正 向的反射波为向前波 , 能流沿 ^ x负向的反射波为向后波 。这 些新的规律与以前我们所见到的大不相同 。
1964 年前苏联物理学家 V. G. Veselago 在考虑没有能量
从此 ,负折射率介质激发了国际学术界对这种介质中出现的 新现象及其可能的应用前景的积极思考 。 由于负折射率介质是一种全新的 、 自然界不存在的材 料 ,要想弄清楚电磁波在其中的传播特性就必须对一些 “众 所周知” 的电磁理论进行重新评估 。现在的经典电磁学课本 里还没有包含负磁导率的公式 ,假如应用这些已经存在的公 式来分析负折射率介质可能会导致错误的结果 ,因此我们有 必要利用负的介电常数和负的磁导率重新研究一些基本的 电磁场理论问题 。本文详细研究了电磁波在正负折射率介 质分界面上的折射与反射规律 ,并与经典电磁学中已有的常 规介质分界面上的折射与反射规律进行比较 ,找出它们不同 之处 。
( 11) ( 12)
入射波波矢量 K = i = ^ x Kix + ^ y Kiy + ^ z Kiz 反射波波矢量 K r= ^ x Krx + ^ y Kry + ^ z Krz 折射波波矢量 K t = ^ x Ktx + ^ y Kty + ^ z Ktz
z = 0 处的边界条件要求 , 对于所有的 x 和 y , 电场 E 和磁场 H 的切向分量连续 。
1 ( K ×E) ×( K ×H) = 2 ω ε μ
( 1) 电磁波从正折射率介质入射到负折射率介质 ( 5)
如图 1 ( a) 所示 , 区域 1 是正折射率介质 , 介电常数和磁 导率分别为 ε 1 和μ 1 , 区域 2 是负折射率介质 , 介电常数和磁 导率分别为ε 2 和μ 2 。正折射率介质和负折射率介质的主要 特性区别是 :正折射率介质的介电常数 ε、 磁导率 μ 和折射 率 n 的值均大于零 , 波矢量 K 与坡印亭矢量 S 的方向相同 ; 负折射率介质的介电常数 ε、 磁导率 μ 和折射率 n 的值均小 于零 , 波矢量 K 与坡印亭矢量 S 的方向相反 。 因入射波的波矢量在 y 方向上的分量 Kiy = 0 , 根据相位 匹配条件式 ( 8) , 有 Kry = Kty = 0 , 入射波 、 反射波和折射波的 波矢量都处在同一平面上 , 因此该平面称为入射面 。考虑两 种介质都是各向同性介质的情形 , 波矢量的幅度用色散关系
[3 ,4 ,5 ] 和负等效磁导率 。 2000 年 , 美国麻省理工学院的 Smith
研究小组根据 Pendry 等人的理论首次人工合成了具有负折
[6 ] 射率的 “超物质” 。 2001 年他们又做了一个实验 ,首次观测
9D +J 9t
・ D =ρ ・ B =0
到微波束在这种 “超物质” 和空气的分界面上出现了负折射 收稿日期 :2004 — 09 — 27
第 25 卷第 6 期 2004年12月
衡阳师范学院学报 Journal of Hengyang Normal University
No. 6Vol. 25 Dec . 2 0 0 4
电磁波在正负折射率介质分界面上的折射与反射
游开明1 ,2 , 文双春3
( 1. 武汉理工大学 信息工程学院 , 武汉 430070 ; 2. 衡阳师范学院 物理与电子信息科学系 , 湖南衡阳 421008 ; 3. 湖南大学 计算机与通信学院 通信与电子工程系 , 长沙 410082)
Kix = Krx = Ktx = Kx ( 7)
和
Kiy = Kry = Kty = Ky ( 8)
在无源区域 , 麦克斯韦方程组 ( 1) 变为 μH K ×E = ω ε K ×H = - ω E
K・ E=0 K・ E=0 ( 4)
因此满足边界条件的结果是所有波矢的切向分量是连续的 。 这一结果称为相位匹配条件 。