矩阵分析结课论文
矩阵分析方法及应用论文
矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。
矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。
矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。
首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。
矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。
当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。
另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。
特征向量是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。
矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。
下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。
论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。
2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。
论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。
3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。
论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。
4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。
矩阵分析期末总结
矩阵分析期末总结引言：在矩阵分析这门课程中，我们系统学习了矩阵的基本概念、运算、性质和应用等知识。
通过学习矩阵分析，我们能够更好地解决线性方程组、矩阵特征值和特征向量、矩阵的相似性等问题。
本文将对我在矩阵分析课程中的学习内容和收获进行总结与归纳。
一、矩阵的基本概念与性质矩阵作为线性代数的基础概念，具有以下基本性质：1. 矩阵的定义与表示，包括行矩阵、列矩阵、方阵和零矩阵等。
2. 矩阵的大小与维度，用行数与列数来表示矩阵的大小，例如m x n矩阵表示有m行n列的矩阵。
3. 矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
4. 矩阵的转置与共轭转置，将矩阵的行与列进行互换，并对矩阵元素取共轭得到的转置矩阵。
5. 矩阵的逆与伴随，如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
二、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
2. 特征值与特征向量的计算方法，通过解方程(A-λI)x=0可以求得特征值λ和特征向量x。
3. 特征值与特征向量的性质，特征值与特征向量满足一系列重要的性质，例如特征值的重数与特征向量的线性无关性等。
4. 对称矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵的特征值都是实数，并且存在一组相互正交的特征向量。
5. 正交矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵的特征值的模长都等于1，特征向量是正交归一化的。
三、矩阵的相似性与对角化1. 相似矩阵与对角化，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A与D相似，且称A可对角化。
2. 相似矩阵的性质，相似矩阵具有一系列重要的性质，例如特征多项式、迹、行列式等。
3. 矩阵的谱分解与Jordan标准形，对于n维方阵A，如果存在P使得P^(-1)AP=J，其中J 是一个Jordan标准形矩阵，则称矩阵A可谱分解。
四、矩阵分析的应用矩阵分析在实际应用中具有广泛的应用，例如：1. 线性方程组的求解，可以通过矩阵分析中的逆矩阵、伴随矩阵等方法求解线性方程组。
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矩阵数学论文3000字_矩阵数学毕业论文范文模板矩阵数学论文3000字(一)：Pre5G获GSMA双料大奖揭秘：竟是多维矩阵的数学创新论文最受评委认可的是Pre5G的高技术含量，它是通过高超、复杂的数学方法实现的，绝非技术的简单包装。
如果每一年巴塞罗那MWC展会都会树立几个风向标的话，那么“创新加速5G”无疑是本届MWC大会当仁不让的主题。
本届展会的第二天，中国的5G创新再次掀起了MWC的高潮，中兴通讯凭借Pre5GMassiveMIMO荣获全球移动大奖“最佳移动技术突破”（BestMobileTechnologyBreakthrough）以及CTO选择奖（OutstandingoverallMobileTechnology-TheCTO’sChoice2016），一时间被全球广泛关注。
由GSM协会主办的MWC是全球最具影响力的移动通信领域的盛会，全球移动大奖则是目前被业界认可的最高荣誉，被誉为“通信业的奥斯卡奖”。
而CTO选择奖的重量级在于，获奖技术是从6个移动专项获奖中再次选出最佳的一个“奖中奖”，该奖项的评委是由来自全球16家运营商的首席技术官组成的，他们非常看重入选内容的独到创新点，以及是否可以真正改善客户体验、降低成本，真正通过创新提升运营商商业价值。
而且，中兴通讯今年作为惟一的中国企业获此殊荣。
事实上，这也是5G领域第一次获得行业最高奖项并获得CTO的一致认可，两大奖项不仅奠定了中兴通讯在无线宽带领域的领军者形象，更意味着从3G的试探、4G的积极，到5G的超前，中国技术的不断创新已经获得全球认可。
颠覆式创新的核心GSMA大奖评委会给出的获奖点评是“Pre5GMassiveMIMO技术是移动宽带演进上的颠覆性创新”。
从技术上看，Pre5G最主要的技术MassiveMIMO通过128天线阵元，支持多达12到16流的动态beamforming，在不改变空口、不增加频点、不改变终端的前提下，快速实现了频谱效率倍增，三维立体覆盖能力超强，且Pre5G兼容4G终端，使得现网引入Pre5G更加从容。
矩阵分析结课论文
矩阵分析在电路中的应用本人主要通简单的实例,进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。
在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。
一、 矩阵在相容方程求解中的应用已知n 元线性方程组如下表示：11112211211222221122...............n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵的表达形式如下：111112*********2n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵A 可记为111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果矩阵A 满秩,且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。
见如下示例：例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为321I I I 、、，如图2所示:图2已知14,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电流AB I 。
解：由基尔霍夫第二定律(电压定律）得如下方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-+=-+-+EI I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--143202404321321321I I I I I I I I I同样计算如下几个行列式21321241114=------=A843214241101=----=D12631412011042=----=D 21014210410143=----=D 所以10,6,4332211======AD I A DI A D I从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB 。
矩阵分析论文
矩阵分析在控制系统中的应用摘要:详细综述了LMI 在控制系统中的发展现状和应用,主要涉及了不确定系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性、不确定系统的鲁棒控制器设计、LMI 在时滞系统中的应用及存在的问题、不确定系统的鲁棒滤波应用状况、不确定系统的模型验证应用等,并分析了基于LMI 方法的变结构控制、极点配置、模糊控制等其它相关内容。
给出了上述控制问题的LMI 描述及相关求解方法,最后并指出了LMI 进一步的应用研究方向。
主题词: 线性; 矩阵; 控制系统; 控制器1 引言在过去的10 余年内,由于LMI 的优良性质和数学的规范以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。
研究者发现许多控制问题均可描述为LMI 问题[1～4 ] ,并呈现继续增长的趋势。
本文对LMI 在控制系统中的发展和现状进行综述,着重讨论LMI 在不确定控制系统中的应用研究成果、现状以及发展。
2 线性矩阵不等式LMI 一般形式为F ( x) ≡F0 + Σmi =1xi F i > 0 (1)其中x ∈Rm ———变量; F i = F Ti ∈Rn×n 是给定的。
显然式(1) 表明矩阵F( x) 是正定的。
式(1) 的另一个含义是集合{ x/ F( x) > 0} 是凸的。
LMI 问题可描述为:给定F( x) > 0 ,找到x,使得f ( x) > 0 ,或证明LMI F( x) 是不可解的。
动态系统分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。
1890 年Lyapunov 在出版他的被称为Lyapunov 理论的著作中,提出微分方程Ûx( t) = Ax ( t) (2)稳定,当且仅当存在对称正定矩阵P = P T > 0 ,使得下面的不等式成立A T P + PA < 0 (3)同时Lyapunov 也指出这样的LMI 可以精确求解。
20 世纪40 年代,前苏联科学家Lur’e、Postnikov 及其它学者将Lyapunov 方法应用于控制工程中的一些典型的问题,尤其是当执行机构具有非线性时的系统稳定性,虽然他们没有形成精确的矩阵不等式,但是所提出的稳定性准则具有LMI的雏形。
成都电子科技大学矩阵论课程结课论文
集成电路噪声模型的矩阵表示摘要：本文给出了集成电路的噪声模型及其矩阵表示，首先介绍了分立器件的噪声矩阵，根据叠加原理得出二端口网络及二端口互联网络的噪声模型。
运用矩阵理论分析集成电路噪声，直观，方便，主要运算过程都涉及矩阵的转置、矩阵的逆、矩阵的共轭以及矩阵的四则运算，便于进行计算机信息处理。
关键词：集成电路噪声二端口网络矩阵理论1引言噪声是影响现代电子系统性能的一个主要因素，随着集成电路工艺技术的发展，电源电压越来越低，噪声对电子系统的影响越来越大，已经成为大多数模拟电路设计中要考虑的最主要因素。
集成电路的低噪声化及其噪声特性分析是通信与信息系统领域中的重要研究课题，在近代信息技术各个应用领域中，低噪声集成电路的需求量越来越大，而且对噪声特性的要求越来越高，其原因是器件和电路的噪声水平及噪声特性直接关系到信号检测灵敏度和电路或系统的可靠性，关系到系统的整体性能,在电子系统设计阶段，不仅要选用低噪声集成电路器件，而且要对不同集成电路进行噪声分析，并优化各种参数及结构,显然，应用有效的噪声分析手段不仅可以大大缩短研制周期，节省研制费用，而且可保证研制开发的集成电路应用系统具有优良的性质。
集成电路应用系统通常是一个比较复杂的系统，然而，任何一个复杂的系统都可以分解成相对比较简单的单元，使大系统变成小系统，使复杂问题简单化，从而便于分析。
本文先讨论分立原件的噪声模型，进而分析互联电路网络的噪声。
2．MOSFET’s器件的噪声矩阵随着CMOS工艺技术的进步，CMOS 技术在无线通讯领域中的应用成为可能, 相应地MOSFET’s的噪声行为日益受到重视，近来有许多作者致力于MOSFET’s的噪声模型研究，一个精确的噪声模型可以使电路设计者更加充分利用现有技术。
图1是一个典型的MOSFET等效噪声电路模型，其中考虑了如下的噪声电流源：沟道噪声（i ds），栅极诱生噪声（i gs），栅极电阻热噪声（i g），源漏电阻热噪声（i s，i d）。
矩阵的分解毕业论文.
矩阵的分解毕业论文.学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号************指导教师姓名周末指导教师职称教授2014年4 月 16日矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebra．While as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems．In this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so on．Firstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given．And then，specific decomposition ways of theirs are illustrated．Finally，these decomposition methodsare clearly presented by the forms of some examples．Keywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目录摘要...................................................................... ABSTRACT. (II)目录 (IV)一、引言 0二、矩阵的QR分解 0（一）矩阵QR分解的基本概念及定理 0（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例 (1)三、矩阵的三角分解 (10)（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (10)（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (12)四、矩阵的满秩分解 (18)（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (18)（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (19)五、矩阵的奇异值分解 (22)（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (22)（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (23)六、结论 (25)参考文献 (26)致谢...................................................... 错误!未定义书签。
矩阵在数学中的应用本科毕业论文
本科毕业论文（设计）题目矩阵在数学中的应用____________________________________毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。
图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录摘要 (I)Abstract. (II)1 前言 (1)2 有关概念及重要结论 (1)2.1矩阵的概念 (1)2.2矩阵的秩 (2)2.3矩阵的逆 (3)2.4 用矩阵表示二次型 (3)3 矩阵的应用 (6)3.1矩阵的高次幂 (6)3.1.1 矩阵的幂 (6)3.1.2矩阵高次幂的求法 (7)3.2 解线性方程组 (13)3.2.1线性方程组的有解判定定理 (13)3.2.2 线性方程组一般形式的运用 (14)3.3 解矩阵方程 (16)3.4 矩阵对角化方法 (19)3.4.1 讨论对于有n个特征单根的n阶方阵 (19)3.4.2 讨论对于有特征重根的n阶方阵 (21)结论 (24)致谢 (24)参考文献 (24)矩阵及应用杨灿（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级重庆万州 404100）摘要:矩阵理论既是学习经典数学的基础,又是一门很有实用价值的数学理论.随着科学技术的发展,这一理论已成为现代各科技领域处理大量数据的有效工具.本文就是利用矩阵的基本理论,把矩阵作为计算工具,对实际问题如方程组的解、矩阵的幂、二次型进行了较为系统的研究并简化了一些计算.关键词: 矩阵;矩阵的幂;线性方程组Matrix and Its ApplicationYANG Can(Grade 2010, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and statistics, Chongqing Three Gorges University, Wan Zhou, Chongqing 404100 )Abstract:Matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.With the development of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.This article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,the two type are systematically studied and some simplified calculation.Keywords:Matrix; The power of matrix; Linear equation2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的主要研究对象之一,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了.18世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题,即二次型的化简.在这一问题的研究中,数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年,瑞士数学家欧拉(L ．Euler,1707—1783)在将三个变数的二次型化为标准形时,隐含地给出了特征方程的概念.1773年,法国数学家拉格朗日(J ．L ．Lagrange,1736—1813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换.1801年德国数学家高斯(C ．F ．Gauss,1777一1855)在《算术研究》中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念,在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念.在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象,也是处理高等数学很多问题的有力工具.矩阵的秩是一个基本的概念,也是矩阵最重要的数量特征之一,它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,无论是在线性代数中,还是在解析几何中,甚至在概率论中,都有不可忽略的作用．矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.2 有关概念及重要结论2.1矩阵的概念为了便于叙述并考虑以后的应用,我们引进矩阵的概念.由mn 个数排列而成的m 行（横的）n 列（纵的）的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个n m ⨯杨灿：矩阵及其应用矩阵.定义 1 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为A 的转置矩阵, 记作T A (或A ').即若,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A 212221212111. 2.2矩阵的秩定义2 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;所谓矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理1 如果齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211的行秩n r <,那么它有非零解.定理1 矩阵的行秩与列秩相等.定理 2 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .推论 1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式等于零.2.3矩阵的逆我们知道,n 阶单位矩阵E 单位性质,即对于任意n 阶方阵A 都有A EA AE ==,是否存在n 阶方阵B 使得E AB =呢？即是否与数域P 中数一样的性质:1)0(1=⋅⇒∈≠∀-a a P a .为此,我们引进逆矩阵的概念.定义1 n 阶方阵A 称为可逆的,如果有n 阶方阵B ,使得E BA AB ==. （2.3.1）这里E 是n 级单位矩阵.并且称B 为A 的一个逆矩阵.定义2 如果矩阵B 适合（2.3.1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记为1-A . 定理1 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化,此时,A 的逆矩阵为0,1*1≠==-A d A dA . 定理2 给出了矩阵可逆时逆矩阵的计算公式.下面给出可逆矩阵的一些性质: 性质1 如果n 阶方阵A 可逆,那么0≠=A d ,并且dA 11=-. 性质2 如果矩阵B A ,同级且都可逆,那么T A 与AB 也可逆,且11111)(,)()(-----==A B AB A A T T .性质3 如果n 阶方阵A 可逆,那么kA N k ,∈∀也可逆,并且k k A A )()(11--=. 性质4 如果n 阶方阵A 可逆,那么k A Z k ,∈∀也可逆,并且k k A A )()(11--=.性质5 如果n 阶方阵A 可逆,那么Z l k ∈∀,,有l k l k k l kl l k A A A A A A +===,)()(. 定理3 A 是一个n s ⨯矩阵,如果P 是s s ⨯可逆矩阵,Q 是n n ⨯可逆矩阵,那么)()()(A r AQ r PA r ==.推论1 在定3的假设下有,)()(A r PAQ r =成立.2.4 二次型及矩阵表示定义1 设P 是一个数域,一个系数ij a 在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 jinj i ij i ni ii n xx a x a x x x f ∑∑≤≤≤=+=121212),,,( . （2.4.1）定义2 记ij ji a a =,把n 元二次型（2.4.1）,写成对称形式j i ni nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,( . （2.4.2）这样,系数ij a 可以构成一个n n ⨯对称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n nn ij a a a a a aa a a a A 212222111211)(, （2.4.3） 称（2.4.3）为n 元二次型（1）的矩阵. 令Tn x x x x ),,,(21 =,则有i n i j nj ij j i n i n j ij n x x a x x a x x x f ∑∑∑∑======111121)(),,,( ,=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===n j j nj n j j j n j j j n x a xa x a x x x 1121121),,,( ,=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,(,=Ax x T, （2.4.4）这就是二次型的矩阵表示.对确定的n 元二次型（2.4.1）,就确定唯一的对称矩阵（2.4.3）通过（2.4.4）联系起来,即Ax x xx a x x x f T jin i nj ij n ==∑∑==1121),,,( .因此,一个n 元二次型（2.4.1）对应一个n 阶对称矩阵.每个二次型都有一个对称矩阵与之对应;反之,每个对称矩阵也有一个二次型与之对应.二次型与它的矩阵是相互唯一确定的.一般地,关于二次型的矩阵有下列结果.定理1 设B 是n n ⨯矩阵,则Bx x x x x f Tn =),,,(21 是一个二次型,它的矩阵为2BB T +.2.5 特征值与特征向量n 维线性变换空间V 与矩阵空间nn p ⨯是同构关系,可以通过矩阵来研究线性变换的性质,我们希望找到一组基,,,21n ξξξ 使得线性变换A L 在这组基下的矩阵A 的形式最简单.这个问题的一个简单设想是A 是否可以是对角形式？即),,,(,,,3,2,1,21n j j j A a a a diag A n j a L ===ξξ.这个设想可以归结为:对线性空间V 的线性变换ξξk L A =,P k ∈.这就是线性变换的特征值与特征向量.定义1 设A L 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数0λ,存在一个非零向量ξ,使得ξλξ0=A L .那么0λ称为A L 的是一个特征值,而ξ称为A L 的属于特征值0λ的一个特征向量.定义2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A -E λ的行列式nnn n nn a a a a a a a a a ---------=A -E λλλλ212222111211,称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个n次多项式.上面的分析说明, 如果0λ是线性变换A L 的特征值, 那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根; 反过来, 如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根, 即00=-E A λ, 那么齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-----=---+-=----0)(0)(0)(022111222012112121110n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (2.5.1)就有非零解. 这时,如果),,,(00201n x x x 是方程组(2.5.1)的一个非零解, 那么非零解向量.n n x x x ζζζζ0202101+++= .满足（2.5.1）式, 即0λ是线性变换A L 的一个特征值, ζ就是属于特征值0λ的一个特征向量．定理1 设A L 是数域P 上n 维线性空间V 的一个变换,则P ∈0λ是A L 的一个特征值当且仅当0λ是A L 的特征多项式)()(λλA L f f A≡的一个根.定理2 设0λ是线性空间V 的线性变换A L 的一个特征值,则集合{}V L V A ∈==ααλααλ,00 (2.5.2)构成V 的一个子空间.在有限维情形,)(dim 00A E R n V --=λλ,其中,V n dim =,A 是A L 在V 在某个基下的矩阵.定义3 设0λ是线性空间V 的线性变换A L 的一特征值,式（2.5.2）定义的V 的子空间称为A L 的对应特征值0λ的特征子空间0λV因此, 确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步: (1)在线性空间V 中取一组基n ζζζ,,,21 , 写出A L 在这组基下的矩阵A ;(2)求出A 的特征多项式A -E λ在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换A L 的全部特征值;(3)把所得的特征值逐个代入方程组（2.5.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（2.5.1）式,求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n ζζζ,,,21 下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值, 而相应的线性方程组（2.5.1）式的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量．3 矩阵的应用3.1矩阵的高次幂3.1.1 矩阵的幂定义1 设方阵n n ij a A ⨯=)(, 规定.,,0为自然数个k A A A A E A k k⋅⋅⋅==k A 称为A 的k 次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）: (1) );,(为非负整数n m A A A n m n m +=(2) .)(mn n m A A =注意: 一般地,,)(m m m B A AB ≠ m 为自然数命题1 设B A ,均为n 阶矩阵,,BA AB = 则有,)(m m m B A AB = m 为自然数,反之不成立.3.1.2 矩阵高次幂的求法矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.3.1.2.1 利用凯莱——哈密尔顿（Cayley —Hamilton ）定理求方阵的幂定理1 （Cayley —Hamilton 定理）设A 是n 阶矩阵,)(λf 是A 的特征多项式,则0)(=λf . 设A 是数域P 上n 阶方阵,其特征多项式为)(λf ,为求A n（n 是正整数）,令n g λλ=)(,做带余除法,)()()()(λλλλr q f g +=.由定理1知,)()(λλr g =,并且)(λr 的次数小于)(λg 的次数,进而可得n r g A =A =A )()(.利用上定理求幂时在计算过程中可分为两种情形:1、所求矩阵的幂指数相对较低,可直接利用定理1及余式定理求出)(λr .例1 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A ,求5A .解 令5)(λλ=g 矩 阵A 的 特 征 多 项 式 为)1()2(11121002)det()(2--=-----=A -I =λλλλλλλf 做带余除法,6811649)1750)(()(225+-+++==λλλλλλλf g 于是,由定理1知I +A -A =I +A -A ++A +A A =A =A 68116496811649)1750)(()(2225f g⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100016810112100211610334300449 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10313132310032 2、所求矩阵的幂指数相对较高,不便用上法直接求出余式.此种情形下矩阵的特征多项式有重根和无重根时分别给出下面的解法.(1)矩阵的特征多项式无重根.对于i ni i c q f r q f g λλλλλλλ∑=+=+=1)()()()()()(,以其n 个不同的特征值分别代入此式即可求出)(λr .例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 211110101,求991003A -A .解 令991003)(λλλ-=g .矩阵A 的特征多项式为)3)(1(211110101)det()(--=-------=A -I =λλλλλλλλf .做带余除法,注意到)(λf 的次数是3,即c b a q f g +++=-=λλλλλλλ299100)()(3)(. 以3,1,0=λ分别代入上式得0)0(==c g .2)1(-=++=c b a g .039)3(=++=c b a g . 所以0,3,1=-==c b a .由定理1 ,A -A =I +A +A =A -A =A 33)(2299100c b a g⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000110112111101013631321312.（3）矩阵的特征多项式有重根.同上法,为获得足够的信息求出)(λr ,可对)()()()(λλλλr q f g +=求导.例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A 210111111,求100A .解 A 的特征多项式是)2()1()det()(2--=A -E =λλλλf 令100)(λλ=g ,做带余除法0122)()()(b b b q f g +++=λλλλλ以2,1=λ分别代入上式,有⎩⎨⎧=++==++=100012012234)2(1)1(b b b g b b b g 为求)2,1,0(=i b i ,就)(λg 对λ求导得10012'2'1002)()()()]1()2)(1(2[)(λλλλλλλλλ=+++-+--=b b q g q g 以1=λ代入上式,有100212=+b b ,从而求得 1000201110022102,3022,2201-=-=-=b b b , 于是 I +A +A =A0122100b b b .3.1.2.2 对于秩为1的n 阶方阵A 有下面定理定理1 对于n 阶方阵A,若1)(=A rank ,那么A 可分解为一个列向量与一个行向量的乘积'αβ=A ,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b b a a a a .,.321321 βα.例4 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 1233321231211,求n A . 解 显然1)(=A rank ,并且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 1233321231211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3121132`1,而331211321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡,所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ---123332123121133312113213111n n n n .3.1.2.3 可分解为数量矩阵和零幂矩阵之和的情况要点 观察推敲矩阵A ,看其是否可以分解为一个数量矩阵E λ与一个零幂矩阵P 之和,即P +E =λA ,其中O m ≠P ,但O m =P+1,因为数量矩阵E λ和P 可以交换,于是由二项式定理得m m n kn n k k n nk k k n nk nnm n n k n k n A P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++P +=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P +E =---=-=∑∑λλλλλλ 100)()(.例5 已知矩阵,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000420000210042A ,求n A . 解 观察矩阵A 的特点,可先将其分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2142B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2042C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn C OO B A ,下面就先求n B 和nC . 显然1)(=B r ,即pq B =,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12p ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21q ,且4=qp ,所以B B n n 14-=. 至于P +E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+E =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2004022042C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 0040满足O P =2,代入上述给出的二 次项式公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=P +E =P E +E =+E =---nn nn n n nnnn n n P C 2024222)2()2()2(111. 因此本题得解 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=---n n n n n n n A 2024200004200442111. 3.1.2.4 归纳法例6 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101αβαA ,求其n 次幂. 解 先来计算A 的较低次幂2A 和3A ,由矩阵乘法直接计算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=10021022122αβααA ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=100310333123αβααA ,……由此猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααn n n n n A n. 以下用数学归纳法加以证明. （1）当1=n 时成立.（2）归纳假设结论对k n =时亦成立,即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααk k k k k A k . 所以当1+=k n 时,A A Ak k =+1,而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+(++++(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100)110)1(2)1()11100101100102)1(122αβαααβααβααk k k k k k k k k k A A k , 即当1+=k n 时成立,从而证明结论成立.即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααk k k k k A k. 3.1.2.5 利用相似变换法要点 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时,即存在可逆矩阵P ,使Λ=AP P -1,其中Λ为对角阵,其对角线上元素为矩阵A 的特征值.由上可得1-PΛP =A ,1-P PΛ=A n n .于是求A的方幂就转化为求过渡矩阵P 和对角阵nΛ,而对于P 和阵nΛ,我们应用代数知识要好求得多了,具体如下:例7 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 122212221,求其n 次幂. 解 经过计算,矩阵A 的特征值1-=λ和5=λ,对于特征值1-=λ有线性无关特征向量T )101(1-=α和()3011Tα=-()T 1102-=α.对于特征值5=λ有特征向量()T 1113=α.令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==P 111110101,,321ααα,即P 可逆,且有,5000)1(000)1(,5000100011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ=AP P -n n n n 于是.,11--P PΛ=A PΛP =A nn计算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-+-+-+-+-=A ++++++n n nn n n n n n n nn n n n n nn n 52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(31111111.3.1.2.6 利用Jordan 标准形例8 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=A 411301621,求k A .解 第一步:首先求矩阵A 的若尔当标准形.由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=A -E 2)1(0001000141131621λλλλλλ.从而初等因子为)1(-λ,2)1(-λ,故A 的若尔当标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001J .第二步:求可逆矩阵T 使J AT T =-1,即TJ AT =.设),,(321ααα=T ,所以有332211,,αααααα=A =A =A .由22αα=A 得32)(αα-=A -E ,设()Tx x x 3212,,=α,()Ty y y 3213,,=α,则由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=A -E 3221321000311622311311622)(y y y y y y y , 而32)(αα-=A -E 有解,故32y y =,又33αα=A ,从而0)(3=A -E α即0311311622321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---y y y , 于是有03321=-+y y y ,所以得212y y =.令132==y y ,则21=y .于是T )112(3=α,再解T )001(2-=α.于是求得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==101100213,,321αααT . 第三步:由第二步得1-=A TJT .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==A -k k k k k k k kk k TTJ k k 31316221010311110100100011011002131.3.2 解线性方程组3.2.1线性方程组的有解判定定理定理1 （克拉默法则） 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （4.2.1）的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式,0≠=A d 那么线性方程组（4.2.1）有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为,,,,2211dd x d dx d d x n n ===其中j d 是矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式,即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n nj j nj j j==+-+-+- 定理(线性方程组的有解判定定理) 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sns s n n b a a a b a a a b a a a A 21222221111211有相同的秩.3.2.2 线性方程组一般形式的运用例9 求下述齐次线性方程组的一个基础解系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-+-=---+-=+-+-0931050320117630426354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------000000000078100650219131051312111716341263于是方程组的一般解为:⎩⎨⎧+=--=543542178652x x x x x x x 其中542,,x x x 是自由未知量.令0,0,1542===x x x 得)0,0,0,1,2(1=η 0,1,0542===x x x 得)0,1,8,0,5(2-=η 1,0,0542===x x x 得)1,0,7,0,6(3-=η 这里321,,ηηη就是方程组的一个基础解系.例10 解线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-+-=++-+-=---+-=++-+2573431272327225354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------000000666100121010875001000000666100545110112111257343112111721132712253从而得到此方程组的一般解为:⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=-+=66662875543542541x x x x x x x x x 其中54,x x 是自由未知量. 对于方程个数与未知量个数相等的非齐次线性方程组,如果它的系数行列式不为零,我们还可以用克莱姆法则求解.但是这种方法计算量很大,因此我们一般不用它,只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法来进行求解.例11 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-=+--=+--321934443522134321432143214321x x x x a x x x x x x x x x x x x 求当a 为何值时方程组有解？此时有多少解？解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------00000340000211001131132211193444352211311a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------00000340000211001131132211193444352211311a a 显然,当34≠a 时,方程组无解;当34=a 时,方程组无解,此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行,而未知量有4个,所以方程组有无穷多个解,易求出一般解为⎩⎨⎧+-=+-=27443421x x x x x 其中42,x x 是自由未知量.3.3 解矩阵方程矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.简单的矩阵方程有三种形式:.,,C AXB C XA C AX ===如果这里的A 、B 都是可逆矩阵,则求解时需要找出矩阵的逆,注意左乘和右乘的区别.它们的解分别为.,,1111----===B A X CA X C A X例如,求解方程C AC =先考察A 是否可逆,如果A 可逆时,方程两边同时左乘1-A ,得,11C A AX A --=即,1C A X -=这里要注意只能左乘不能右乘,因为矩阵的乘法不满足交换律.同样,对于方程,C XA =只能右乘1-A ,得,11--=CA XAA 即.1-=CA X 而对于方程,C AXB =只能是左乘1-A 而右乘1-B ,得,1111----=CB A ACBBA 即.11--=CB A X看下面解矩阵方程例题:例12 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡315432343122321X 解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332123315432111253232313154321343122321X 例13 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101343122321X解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-27525120111253232312121013431223212121011X 例14 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3154321325343122321X解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-532113251, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--532131543211125323231132531543234312232111X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=131148735331332123当矩阵方程C AXB C XA C AX ===,,中的A 、B 不是方阵或者是不可逆的方阵时,前面的方法就不能用了.这时,我们需要用待定元素法来求矩阵方程.设未知矩阵X 的元素为ij x ,即)(ij x X =,然后由所给的矩阵方程列出ij x 所满足的线性方程组,通过解线性方程组求出所有元素ij x ,从而得到所求矩阵)(ij x X =.例15 解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4152102011X解 利用元素法,先确定X 的行数等于左边矩阵的行数3,X 的列数等于积矩阵的列数2,则X 是23⨯的矩阵.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2221y y y x x x X ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41521020112121y y y x x x. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--4152222111y y x x y y x x ,于是得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-4212522211y y x x y y x x . 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=y y x x y y x x 2421522211,所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=y y y x x x X 245212,其中y x ,为任意实数.例16 解矩阵方程,C AX =其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=031334213A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7577111793C . 解 由于0=A ,所以A 是不可逆矩阵,需要用元素法求解.设,222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x z y x z yxX 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--7577111793031334213222111z y x z y x z y x,即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-+-+-+-+-+-7577111793323334334334232323111212121212121z z y y x x z z z y y y xx x z z z y y y x x x .比较第一列元素得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+-73133432312121x x x x x x x x ,解得⎩⎨⎧-=-=9537121x x x x 同样,比较第二、三列元素可得对应方程组,分别解得7537,3535121121-=-=-=-=z z z z y y y y ,所以可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=7573535953711111`1z z y y x x X ,其中111,,z y x 是任意实数. 总之,对于矩阵方程,当系数矩阵是方阵时,先判断是否可逆.如果可逆,则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵,如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵,则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵.3.4 矩阵对角化方法3.4.1 讨论对于有n 个特征单根的n 阶方阵3.4.1.1 基本原理引理1 设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,且()n TE A−−−→−行初等变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*--n r n mr n rmP D )()(0 其中D 是秩为r 的行满秩矩阵,则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系即为矩阵P 所含的r n -个行向量),,2,1(r n i i -= ξ.引理2 矩阵A 的特征矩阵)(λA 经过一系列行初等变换可化为上三角形的λ－矩阵)(λB ,且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的解为矩阵A 的全部特征根.引理3 对于数域P 上的n 阶方阵A ,若A 的特征多项式在P 内有n 个单根,则由特征向量构成的n 阶可逆矩阵T ,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T λλλ211定理1 若数域P 上的n 阶方阵A 的特征多项式)(λf 在P 内有n 个单根,则A 可通过如下方法对角化:设()())()()(,)(λλλλλQ B E A A E A n TT T −−−→−-=行初等变换且)()1λB 为上三角形矩阵,则有方阵A 的特征根i λ即为)(λB 中主对角线上各个元素乘积的解;)2对于方阵A 的每一个特征根i λ,总有)(i B λ中零行向量所对应的)(i Q λ中的行向量i ξ与之对应.3.4.1.2举例说明例17 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210131012A ,问方阵A 是否可以化为对角形,若可以,求出其对角化后的方阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=100210010131001012)(λλλλE A T−−−−−−→−第一行与第二行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------100210001012010131λλλ −−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)2(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+----10021002125500101312λλλλλλ−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+------02125501002100101312λλλλλλ −−−−−−−−−−→−+-行上乘以第二行再加到第三)55(2λλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----------5521)4)(2)(1(001002100101312λλλλλλλλ =())()(λλQ B由题意知)4)(2)(1(---λλλ=0⇒11=λ,22=λ,43=λ ,此时方阵A 有3个特征单根,故方阵A 可以化为对角形;将11=λ代入)()(λλQ B 和中知)(λB 的第三行为零,由定理1知)(λQ 的第三行向量)1,1,1(-即为属于1λ的特征向量,同理可知)1,2,1(),1,0,1(-分别为属于32λλ和的特征向量.于是可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111T ,使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4211AT T .3.4.2 讨论对于有特征重根的n 阶方阵对于有特征重根的方阵,可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵,接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵,这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形. 3.4.2.1基本定理定理2 设TT A E A -=λλ)(,则()())()()(λλλP D E A T −−−→−初等变换且)(λD 为对角形矩阵,则有)1对于A 的每个特征根i λ,)(i P λ中与)(i D λ的零行对应的行向量即为属于i λ的特征向量;)2设s λλλ ,,21为A 的所有不同的特征根,重数分别为s r r r ,,21,则A 可以化成对角形⇔)(i D λ中的零行数目等于i λ的重数),,2,1(s i r i =.由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下:)1作()()())()()()()(λλλλλP D Q B E A T −−−→−−−−→−初等变换行初等变换,其中))(),(),(()(21λλλλn d d d diag D =,则A 的特征根恰为0)()()(21=λλλn d d d 的根;)2若A 的特征根全在P 内,且每个i λ有)(i D λ中零行数目等于i λ的重数,则A 可以化为对角形方阵,否则A 不可以化为对角形方阵;)3对于每个特征根i λ,在)(i P λ中取出与)(i D λ中零行对应的行向量),,,(21im i i P P P 得A属于i λ的特征向量且都是线性无关的. 3.4.2.2 举例说明例18 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110111110)1A ; ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100112001)2B问方阵A 和B 是否可以化为对角形,若可以,试求出其对角化后的方阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=10011101011100101)()1λλλλE A T−−−−−−→−第一行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------00101010111100111λλλ−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)1(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0010111020100111λλλλ−−−−−−−→−行上乘以第一行再加到第三λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------λλλλλλλ0110110201001112 −−−−−−−−→−-二行上）乘以第三行再加到第（1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------λλλλλλλ011011110111122−−−−−−−−−→−-三行上）乘以第二行再加到第（1λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++------------112)1(001111010*******λλλλλλλλλ−−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)(2λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------+--112)1(00111010100111222λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−→−-+-列上乘以第一列再加到第三)1(2λλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------112)1(0011101010001122λλλλλλλ−−−−−−→−第二行加到第一行上⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++------------112)1(001110101100122λλλλλλλλ())()(λλP D =由题意知0)1(2=-λλ⇒01=λ,)(12二重=λ,因为)(2λD 中零行数目≠1等于2λ的重数,故A 不可以化为对角形方阵.)2 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=100110010010001021)(λλλλE A T2014届数学与应用数学专业毕业（论文）第 23 页 共 24页−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---010*********001021λλλ −−−−−−−−−→−+行上乘以第二行再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1101001001100010212λλλλ −−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----110100100010001)1(2212λλλλ −−−−−−−−→−-列上乘以第一列再加上第三)2(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1101001000100010212λλλ −−−−−−−→−行上乘以第二行再加到第一2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1101001000102010012λλλ())()(λλP D =. 由题意知0)1)(1(2=--λλ⇒)(11二重=λ,12-=λ,此时)(1λD 中零行数等于=21λ的重数,故B 可以化为对角形方阵;将11=λ代人)()(λλP D 和中知)(λD 的第一行和第三行为零,由定理2知)(λP 的第一行向量)2,0,1(和第三行向量)2,1,0(即为属于1λ的特征向量,同理可知)0,1,0(为属于2λ的特征向量.由此可知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022110001T 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1111BT T .结 论通过以上对矩阵的学习,我们知道,想要在学习过程中灵活应用矩阵思想,首先要理解矩阵思想,在此基础上,遇到难解的数学问题,能发现矩阵是可以解决此类问题的关键,最后能正确无误的利用矩阵思想把数学问题得以解决.矩阵是代数特别是线性代数的一个主要研究对象,他对于研究矩阵的相关运算、解线性与非线性方程组、特征值和特征向量的求解方法、对角化及二次型矩阵、求解矩阵高次幂等重要问题都有极为广泛的应用.杨灿：矩阵及其应用参考文献[1]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].科学出版社,2008.205-211[2]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）.高等教育出版社[3] 张禾瑞．高等代数（第五版）[M]．北京:高等教育出版社,2007[4] 吕林根,许道子．解析几何[M]．北京:高等教育出版社,2006[5] 许以超．线性代数与矩阵[M]．北京:高等教育出版社,1992[6] 李师正．高等代数解题方法与技巧［M］.北京:高等教育出版社,2004[7] 徐仲,张凯院,陆全,冷国伟．矩阵论简明教程［M］．北京:科学出版社,2005[8] 贾美娥．矩阵的秩与运算的关系［J］.赤峰学院学报,2010,26(9):3-4[9] 钟成义,肖宏儒．方阵秩与零特征值代数重数相关性探讨[J]．高等数学研究．2009,12(1):96-97[10] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京科学技术出版社.1985[11] 徐德余.高等代数（第二版）[M].四川大学出版社.2005:175-178[12] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996[13] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006[14] 程云鹏.矩阵论[M].第二版.西安:西北工业大学出版社,2002[15] 赵树塬.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1997[16] 李君文.线性代数理论与解题方法[M].长沙 :湖南大学出版社,2002致谢从上学期选题、收集资料到这学期写开题报告,完成初稿,到定稿,期间几个月历经喜悦、聒噪、痛苦、彷徨,在写论文时心情如此复杂,到今天随着论文的完成,都落下了帷幕.在此论文撰写过程中,要特别感谢我的导师向以华老师的指导与督促,同时感谢他的谅解与包容.没有老师的帮助也就没有今天的这篇论文.求学历程是艰苦的,但又是快乐的．感谢我大学所有教过的老师,谢谢他们在这四年中的教诲．在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富.在此,也对他们表示衷心感谢.本文参考了大量的文献资料,在此,向各学术界的前辈们致敬!第24页共24 页。
论文矩阵
矩阵特征值求解与应用摘要 矩阵计算是科学和工程计算的核心，大部分科学与工程问题都要归结为矩阵计算的问题，探究矩阵计算有助于学生对高等代数有更深入理解，有利于提高学生素质。
此论文对于矩阵特征值特征值求解进行总结，对其应用进行归纳。
关键词 特征值，特征向量，具体矩阵，抽象矩阵，特征值应用特征值和特征向量设A 是数域P 上的n 阶方阵，如果对于数域P 中的一个数0λ，存在非零向量α，使得0A αλ=α，那么称0λ是A 的特征值，α称为A 的属于0λ的特征向量.重要结论1.A 与T A 有相同的特征值2.如果A 可逆，那么特征值λ0≠3.若A 可逆，且λ为A 的特征值，则1λ-为1-A 的特征值4.若A 是n 阶方阵，其n 个特征值为1λ2,,n λλ，它们的和等于A 的主对角线元素之和，它们的乘积等于A 的行列式A5.如果n 阶方阵A 与B 相似，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征向量6.是对称矩阵的特征值必为实数题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量求法 解方程法. 计算特征多项式f ()λ=A -E λ，求出它的根，即得A 的特征值；然后对每个特征值λ，求()A -E λ0=X 的非零解，记得A 的属于特征值λ的特征向量.因()=A -E =λλf n λ+1a 1-n λ++ia i n -λ++n a ，这里1a =-(11a + +nn a )=-tr A ，n a =(-1)n A ，i a 是(-1)i 与A =(ij a )nn ⨯的所有i 阶主子式的和的乘积，而且当秩 (A )=1时，i a =0（i ≥2），得到=A -E λnλ+1a 1-n λ= nλ-∑=ni ii a 11-n λ=n λ-tr(A )1-n λ可利用上式简化特征值的计算.例1 求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值和对应的特征向量. 解λE -A =312014101λλλ+-+---=3100122101λλλλ++--=()1λ-31001211λλ++=()1λ-31021201λλ+-+=()1λ-[()3λ+()1λ++2]=()1λ-(2λ+4λ+5).实矩阵的特征值、特征向量都可能是负的.本例只要求求出是矩阵特征值及其对应的特征向量，显然λ=1.为求A 的属于1λ=的特征向量，解特征方程()0E -A X =.因412024100-⎡⎤⎢⎥E -A =-⎢⎥⎢⎥⎣⎦→100012000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，该方程的基础解系只含一个解向量α=（0，2，1）T ，故A 的属于特征值1λ=的所有特征向量k k α=()0,2,1T (k 0≠，任意常数).注意 （1）为将λE -A 展成λ的因式的乘积最好先利用行列式性质化简，将其不含λ的某元素消成零（如上例将λE -A 中第1行第3列处元素消成0）使0所在的列或行出现λ的一次因式（如上例第3列出现1λ-因子），直到行列式为λ的第二次多项式才展开行列式计算.(2)全部特征向量不能写成α，这只是其中的一个，任意常数k ≠0,保证k0，k α才是特征向量.例2 求矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111的非零特征值和特征向量。
矩阵分析小论文
浅谈正交矩阵与酉矩阵矩阵是数学中重要的基本概念,是高等代数的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置。
对矩阵性质的概括、改进和推广，以及对正交矩阵在数值分析中、矩阵分解中和对方程求解、数理统计中的应用的研究，对矩阵的理论研究有重要意义。
本文列举了正交矩阵与酉矩阵的一些常见的性质与定理，并对其应用进行了一些列举。
首先认识什么是正交矩阵，什么是酉矩阵。
酉矩阵的定义：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix)。
即若n 阶复矩阵A 满足条件：E A A AA H H ==(E 为单位矩阵，H A 表示“矩阵A 的共轭转置矩阵，即TH A A =”)，则此时矩阵A 称为酉矩阵。
此时，容易验证，当矩阵A 、B 为酉矩阵时，则有如下的结论成立：（1）H A A =-1也为酉矩阵（2）1det =A（3）n n T U A ⨯∈,即T A 为酉矩阵（4）AB,BA 也均为酉矩阵正交矩阵的定义：正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵。
如果实数矩阵A 满足E A A AA T T ==（E 为单位矩阵，T A 表示“矩阵A 的转置矩阵”），则n 阶实矩阵 A 称为正交矩阵。
此时，容易验证，当A 、B 为正交矩阵时，则有如下结论成立：（1）n n T E A A ⨯-∈=1，即1-A 、T A 均为正交矩阵（2）1det ±=A（3）AB,BA 也均为正交矩阵正交变换的定义：设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,若A 保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V 都有(A α，A β) = (α，β)，则称A 为V 的正交变换。
矩阵分析论文
矩阵多项式一、矩阵多项式的定义和性质 1.定义设nn n n a x a x a x a x f ++Λ++=--1110)(是X 的n 次多项式，A 是方阵，E 是与A 同阶的单位阵，则称E a A a A a A a A f n n n 01110)(++Λ++=--为由多项式nn n n a x a x a x a x f ++Λ++=--1110)(形成的矩阵A 的多项式。
记作)(A f 。
2.性质设 p （z)是复数域上的多项式，即：若λ为矩阵A 的特征值，则)(λp 为 )(A p 的特征值。
3.化零多项式设p （z ）是复数域上的多项式，A 是n 阶矩阵，如果 p(A)=0,则称p （z ）是矩阵A 的化零多项式 4.Hamilton-Cayley 定理设A 是n 阶矩阵，f （A ）是A 的特征多项式，则 f(A)=0该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式 5.最小多项式设A 是n 阶矩阵，称A 的首项系数为1，次数最小的化零多项式为A 的最小多项式。
例：主对角元为λ0的n 阶Jordan 块J 的最小多项式为P(λ) = (λ-λ0)n 主对角元为λ0的n 阶Jordan 形J=diag (J 1, J 2, …, J s )的最小多项式为 P(λ) = (λ-λ0) k其中k 是J 的Jordan 块Ji 的最大阶数。
6.最小多项式的性质（1）矩阵A 的任意化零多项式能被A 的最小多项式整除。
（2）相似矩阵有相同的最小多项式。
（3）矩阵A 的特征多项式与最小多项式有相同的根。
证明：（1）设()()λλψp ,分别是矩阵A 的最小多项式和化零多项式，由最小多项式的定义可知()[]()[]λλψp 00∂≤∂利用多项式的带余除法知，存在多项式()()λλr q ,使得T A p T B p AT T B )()(,)1(11--==则若则若),,,,()2(21s A A A diag A =))(,),(),(()(21s A p A p A p diag A p =xp x A p x Ax )()(,)3(λλ==则若()()()()λλλψλr q p += ()[]()[]λψλ00∂<∂r 由于()()0,0==A p A ψ，则()0=A r ；又()λψ是矩阵A 的最小多项式，而()[]()[]λψλ00∂<∂r ，因此()0=λr ，即()()λλψp矩阵A 的任意化零多项式能被A 的最小多项式整除。
矩阵的特征值与特征向量毕业论文
矩阵的特征值与特征向量摘摘 要要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。
接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。
最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。
这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。
让我们的社会得到更快的发展。
让我们的社会得到更快的发展。
通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，可以使读者在以后可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式Matrix eigenvalue and eigenvectorZhong Y ueyuan(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)AbstractThis paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extendsto some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector,the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finallygives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actualexample.Let us understand this study them not only because they are theacademic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practicalproblems, to make our society develop quickly. By reading this article,readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial录目 录中文摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)引言 (1)1 矩阵的特征值与特征向量 (1)1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论 (1)1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 (4)2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (7)2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化 (7)2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量 (9)3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用 (10)3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项 (11)3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用 (12)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。
矩阵论课程论文~
研究生课程论文西尔维斯特及其矩阵理论课程名称矩阵论姓名郭辉学号1000203040专业检测技术与自动化装置任课教师刘强开课时间2009.09——2010.01教师评阅意见：论文成绩评阅日期课程论文提交时间：10年 3 月 4 日西尔维斯特及其矩阵理论摘要矩阵是伴随着其他理论的研究而产生的，众多数学家为其早期的发展做了大量的工作。
在此基础上，西尔维斯特创用了矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念，给出了矩阵的一些重要结论和著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。
关键词矩阵的早期发展西尔维斯特矩阵名词矩阵理论矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前一世纪，我国最重要的数学经典著作《九章算术》已能够相当成熟地运用矩阵形式解方程组，魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术注》中进一步完善，给出了完整的演算程序[1]。
但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立独立完善的矩阵理论。
从18世纪早期到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛。
在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反[2]，因此在矩阵引进的时候它的许多基本性质就已经非常清楚了。
行列式以及代数型的发展为矩阵理论进一步的发展提供了条件。
在矩阵发展的早期，矩形阵列本身并没有引起单独的注意但是，19世纪数学家们在其他数学领域的研究工作导致了矩形阵列更加形式的计算，促进了矩阵理论的诞生。
西尔维斯特在矩阵理论方面的贡献，不仅体现在对矩阵理论内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类等等，还有其更深刻的地方:一方面他的工作使得当时比较零散的矩阵知识趋于系统化、理论化，为凯莱创立矩阵理论提供了有利条件；另一方面，西尔维斯特的行列式和矩阵的思想，为代数不变量理论的创立奠定了重要基础。
1.矩阵的早期发展矩阵的早期发展是伴随其他理论的研究而产生的。
重庆大学研究生矩阵论小论文
矩阵的奇异值分解在信号处理中的应用摘要机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测试等过程中，经常要处理许多变量和变量之间的关系，这些变量间常存在着线性关系，某些不是线性变量的也可以通过最小二乘法等进行拟合。
对于现目前所选择的方向，接触最多的就是对外界信号的测量，当通过传感器接收到信号之后，进行FFT变换。
但是还是会有一些频率相近的信号会被丢失，需要一种方法将信号在时域和频域进行分段，对需要进行分析的频率段进行有效分析。
这就是基于矩阵的奇异值分解信号的方法。
关键词：微型直流电机，信号处理，奇异值分解1 前言微型直流电机的参数包括转速，换向频率等。
通过电刷的换向可以检测到一定时间内电机两端的电压出现脉冲尖峰个数，从而得到电机的换向频率[1]。
但是由于电机的运转，必然存在一些振动，造成需要的信息信号失真。
引起振动的原因很多，例如可能是同轴度不高，造成电机轴的转动不平衡，也可能是实验平台的水平度不够。
经典的频谱分析方法对这一问题的解决效果并不是很好，提出采用奇异值分解的方法对信号进行分析[2]。
将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵，即如何确定矩阵的行数m和列数n，这对奇异值分解的分析效果有很大影响。
奇异值的大小决定着相应分量信号的信息量，因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构。
其次奇异值分解分离的各分量信号是两两正交的，而且还是一种零相位分离方法，没有相位失真;同时综合考察所有奇异值的信息来确定矩阵的合理结构。
在此基础上，可以比传统的FFT分析更加精确，甚至优于小波基的频谱分析。
2 基于奇异值分解的信号分离原理奇异值分解是指:对于一个实矩阵m n A R⨯∈必定存在正交矩阵12[,....]m mm U u u u R ⨯=∈和正交矩阵12[,....]n n n V v v v R ⨯=∈，使得T A U S V = (1) 其中12[(...),]p S diag σσσ=O 或者其转置，这取决于m<n 还是m>n ，m n S R ⨯∈ ，O 为零矩阵，p=min(m, n)，123...0p σσσσ≥≥≥≥≥。
毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的相关研究分析
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY本科毕业设计（论文）（2015 届）题目:矩阵的特征值与特征向量的相关研究____________学院：数理与信息工程学院__________________________ 专业:数学与应用数学_______________________________ 学生姓名: ________________ 学号: __________________ 指导教师: ________________ 职称: ____________________ 合作导师: ________________ 职称: ____________________ 完成时间: __________ 201 年月日__________________ 成绩: _____________________________________________浙江师范大学本科毕业设计（论文）正文目录摘要 (1)英文摘要 (1)1引言 (1)2选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 (2)2.1选题背景 (2)2.2 特征值与特征向量的定义 (2)2.3 特征值与特征向量的性质 (2)3矩阵的特征值与特征向量的求解方法 (3)3.1求解数字方阵的特征值与特征向量 (3)3.2已知矩阵A的特征值与特征向量,求与A相关的矩阵的特征值 (7)4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解 (7)4.1矩阵的全部特征值与全部特征向量,反求解矩阵A的方法 (7)4.2已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反求矩阵A的方法 (9)5矩阵的特征值与特征向量的应用 (9)5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用 (9)5.2经济发展和环境污染的增长模型 (14)6结论 (16)参考文献 (16)矩阵的特征值与特征向量的相关研究摘要：矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块，但是其重要性无可比拟，它可以应用在数学和生活上，尤其是对现在的科学技术领域，有着至关重要的作用•本篇论文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念，性质，解法以及应用，通过具体的例子，来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性，深刻研究了矩阵的特征值与特征向量和它相关的应用•正文总共分为四个大部分•第一部分：阐述了它的概念和性质；第二部分：对于它的求解方法，本篇论文叙述了几种不同的方法，并且有相关例题的作法；第三部分：关于它的反问题，本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法；第四部分：关于它在数学领域和生活上的应用•矩阵；特征值；特征向量；反问题；应用关键词：Correlati on matrix eige nvalues and eige nvecto -rs Mathematical and Information Engineering Mathematics and Applied Mathematics Che n Do ng( 11170126)In structor: Lvjia Feng (Associate Professor)Abstract: Eigenvalues and eigenvectors occupy the higher mathematics in a small, but its importa nee is un paralleled, it can be used in mathematics and life, especially in the field of scie nee and tech no logy right now， has a vital role. This paper describes and summarizes the main characteristics and eige nvector matrix con cept，n ature，soluti on and applicati ons，through specific examples，to reflect the breadth and practicality matrix eigenvalues and eigenvectors，profound study of matrix eige nvalues and special Eige nvectors and its related applicati ons.Total body is divided into four parts. The first part： it describes the con cept and n ature； Part II：For its soluti on method，this paper describes several differe nt methods，and releva nt examples of practice；Part III： Anti question about it，this papers are also several different corresponding method for solvi ng; part IV： on its applicati on in the field of mathematics and life.Key Words: Matrix； eige nvalues; feature vector； in verse problem； Applicati on1引言在已经有相关深刻探讨的前提下，本篇论文给出了它的的概念以及它的性质，掌握它的性质是研究其求解方法的前提，所以要先熟悉它的性质，再对它的求解方法作详细的步骤和说明.本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反问题以及相关应用，展现了它在矩阵运算中的重大作用，在例题的求解过程中充分运用某些性质，使得问题变得简单，运算方面上也更简洁，是简化一些有关矩阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径.本篇论文通过一些具体的例题详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法，并且在数学领域以及生活方面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用性. 2特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质2. 1选题背景随着科技的迅猛发展，现在的社会发展的速度日益增加，高等代数作为一门大学数学的基础学科已经向所有的领域渗透，它在所有领域内表现出来的作用已经越来越明显..物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题.但是通过特征方程求解它是有一点难度的，而且在现在的高等数学的教材中用特征方程求它总是要求解带含有参数的行列式，而且只有先求解出它才能用方程组求解之后的问题•本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性的归纳，并且有相关的例题给予帮助理解•2.2特征值与特征向量的定义它在《高等代数》和《线性代数》课程中占据了一席之地，在大多数的《高等代数》教材中，把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换/ A的，它的定义如下：定义1设/ A是数域P上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P 中的数■,存在一个不是零的向量V,使得/A=-那么■是矩阵A的一个特征值，向量x称作矩阵A关于特征值•的特征向量.在大多数的《线性代数》的教材中，它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要的组成部分，它的定义如下所述：定义2设A是n阶的方阵，如果存在数字•和n维不是零的向量x,使得Ax = x那么就称■是A的特征值,x是A的对应特征值•的特征向量.2. 3特征值与特征向量的性质(1)如果-i是A的r i重的特征值,A所对应的特征值'i就会有S i个线性无关的特征向量.(2)如果x「X2都是矩阵A的属于特征值0的特征向量,那么当Kh不全都是零时,kN，k2X2依然是A的属于特征值'o的特征向量.(3)如果’1, '2,…，’n是矩阵A的互相不一样的特征值，而且它所对应的特征向量分别是x1, x2,...,x n,那么x n x2,...,x n线性无关.⑷女口果A二a j nn的特征值是-1, '2, ；n.,.，那么為 + 再+...打=a^ +a22 +•••+ a nn,打花…扎n = A .(5)实对称矩阵A的特征值都是实数，属于不同的特征值的特征向量正交.(6)如果i是实对称矩阵A的r i重的特征值，那么所对应特征值i刚好有r i 个线性无关的特征向量.(7)假设入是矩阵A的特征值,P(x)是多项式的函数,那么P(・)是矩阵多项式P(A)的特征值.3.矩阵的特征值与特征向量的求解方法3.1求解数字方阵的特征值与特征向量(1)求解特征多项式fA '二’E-A.(2)特征方程’E-A=O,它的全部根mJ,…，’n就是A的全部的特征值.(3)对于任何一个特征值二1_i _ n ,求解出齐次的方程组H i E-Ax = O的一个基础解系a i1,a i2,...,a ir就是A的属于二1叮乞n的线性无关的特征向量•那么A的属于入的全部的特征向量是+k2a2+ •••+吊"，其中k1, k2,..., k是不全都是零的数.求解特征多项式是解决问题的难度所在，方法一：观察特征矩阵的每一行之和，如果相等而且都是a,那么将第2列及以后各列都加到第1列，提取公因子, 再作化简,而且a就是其中的一个特征值,1,1,…,1T是A的属于特征值a的特征向量.方法二：将特征矩阵的的两个不是零的常数(不含参数■)之一化为零，如果有公因子，提取出来再作化简.从上述可以知道，求解它是相当繁琐的.这里将阐述一个有效的方法，只是需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它，所以给出如下定义：定义：称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换：(1)互相更换矩阵的i,j两列，同时互相更换矩阵的i,j两行；(2)矩阵的第i行乘以不是零的数字k,同时矩阵的第i列乘以丄；k(3)矩阵的第i行乘以k倍加到矩阵的第j行，同时第j列乘以-k倍加到矩阵的第i列.定理：A为n阶的可以对角化的矩阵，而且(A T En 1 -系列亍列互逆变竺T (DP T),其中，-N D = +P T =■V n丿r b in i =1, . . n ,,那么‘1, ‘2,…，’n是A的全部特征值，：\ = 7是A的属于-的特征向量.证明：因为P A （P ） = D即 P 」AP = D T =D 从而AP=PD 因为人1D = 匕 P =匕… a n ]所以A （C （1…£ ）=（H …J ） 匕 则] 九jAl j ， -：：n L I h -可…’n -：：n 丨所以A ： i - ■ ■■ i（： i= 0）, i =1, , n为了运算的简洁，约定：（1） a j ka i 表示为矩阵的第i 行乘以k 倍加到第j 行. （2） a j -ka i 表示为矩阵的第i 列乘以-k 倍加到第j 列. 因为用定理求解题目时，总是会遇到一些类似B 」|a 0I 或者Cl（ a^b ）形式的矩阵的化对角阵的问题，所以给出对 ]c b 」 [0 b 一应的求解方法：其中,k c,所以1,k T ,心二0,1T 是B 的分别属于特征值c 和b （a —b ）的特征向量.l=1,0T ,^-：-k,1T 是C 的分别属于特征值a 和b 的特征向量.下面将有3道例题来说明其求解方法，第一道例题不使用刚才描述的方法 则后面两道例题运用，以此来说明这个方法的可操作性以及简便性.- XJra a_k 11 OOb ao_或C TE 2 二 1第一行 r 2-kr 1,第二行 r , kr 2、 0 1 ' c 01 0 ]o b -k I. 第一行片“也，第二行$ -朗o 11 o cb例1: 求解矩阵-2<6-r-1的特征值与特征向量. 4」-6 1 0 0 -31■一41■ -432]>-----?-31-61 1■ -4■ -1-■ 1-1-%：；；■12 -■3-21-4 0 0 1'■■■■■「11 -■11 211—扎一2所以，矩阵A的特征值是’1 = ' 2 = ' 3 = 1 当，=1时(13 = P1 1—3111 1 -1 —3丿于是,可以知道属于特征值■ =1的特征向量是1二0,1,-1丁，2 = 1,1,-3丁.3 11-1 1-13 1-11-11.0 0 0 —3 —111 -1所以特征值分别是‘1 = ' =2 ' 3 = = -3；特征向量分别是：1 = 3,1,1,-1T , ：2 = 1,T,3,1T , ：3=IT ,1,T ,1T , m1,-1T . F 面给出上述定理的推广定理：定理：A 是任意n 阶的矩阵，如果例2:求解 ■1 1 -1 0 -1 -1 0 11 的特征值与特征向量(B TE4) 01 -110 0 0 -1 1 0 10 0 0 10 0 101 0 0 0 0 1「2 4j 1 0 -1「1十2「3十4 0 -1 0 20 -1 1 1-1 1J3 2 0 -110 0 0-110 0 0 0 10 0 0-11110 0 1 熒-0-3 0 0 -1—0-1100 J3 20 1 01 1 -1 34 0 0 1 0 0 0 1-3 0 0 -1 1 1 -1-34 1 0 0 0 1 032 0 1 0 0 -1 10 0 0 3/4 1/4 1/4 -1/41 -3 0 0 _111 _ 1 0 10 1/4 -1/4341/40 0 1 -1/2 1/2 -12 12 一0 -1 110 0 0 |0 1 0 00 0 10J 1j_ 一系列行列互逆变巴-(J P T ),其中J =所以特征值是八1 = ' ~2~ 2,八3 = 4, ■■■-1= 1 -1 1T.3. 2已知矩阵A 的特征值与特征向量，求与A 相关的矩阵的特征值 此种题目可以运用性质7来求解计算，用定义就可以求解算得.4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解4. 1矩阵的全部特征值与全部特征向量，反过来求解矩阵A 的方法 方法一：用对角化法求解可逆矩阵P,使得P ‘AP =B,那么A = PBP = 方法二：用对角化法求解正交的矩阵T 仃，二T T)使得T'AT 二B,所以A =TBT 〜TBT T .方法三：特定元素法设n 阶矩阵A = (a j j 场的全部特征值是 W 入,相应的n 个线性无关的 特征向量是玄“？， ,a n ,所以有■i i =1,…,r)是约当标准形,R T(i ", ,r)； r-i r 2征向量. 例3:求解B 2 0 〕2-1 3 1 J r■p i J:,P =:.P Jr r 二n 所以i 是A 的特征值,二育T 是A 的特征值的特1-1 3的特征值与特征向量. ■2解(A TE3)= -1 'J 0 3-1010 1■1 -1 L 11 3 -1 -10 1 再作一系列变换1 -1 10 1 -1 -11 1 1(r 兰n)是约当矩阵， =2 =2的特征向量 ％=(-1 1 1『，嘉=4的特征向量从这里可以得到以A 的第1行，第2行,...,第n 行的元素a il®?,…，am (i =1,2,…，n)当作未知数的n 个非齐次的线性方程组,求解每个方程 组求出A 中的元素a j ,那么就能得到A= a j . 例4:设三阶方阵A 的特征值是i =1,・2 =0,七=-1,对应的特征向量分别是X i 二 1,2,2T,X 2 二 2,-2,1T,X 3 =：一2,-1,2丁，求解 A.解：因为X i (i =1,2,3)是矩阵A 对应于特征值i(i =1,2,3)的特征向量,所以有AX j V Xj ,令就是问题所要求得的答案• 例5:设三阶的实对称矩阵A 的特征值是6、3、3,与特征值6对应的特征向量 是 5 =(1,1,1 T ,求解 A.解:设对应于3的特征向量是X = X 1,X 2,X 3T .因为实对称矩阵的不同特征值下 的特征向量正交，也就是X 的分量满足x-i x 2 x^ 0,又因为特征值3的重数是 2,所以对应于3刚好有2个线性无关的特征向量，明显X 1 X 2 X ^ 0的基础解 系就是对应于3的2个线性无关的特征向量.从x 1 x 2 x^ 0得到它的一个基础解系是 0 = (-1,1,0 A , P3 = ( -1,0,1 ),令q-1 -rP =(P 1,P 2, P 3 )= 11 0<1 0 1丿所以可以得到Aa 1=，i a i, Aa2 =，2a 2； ,Aan(1 P = (X1 , X2 , X3 ) = 22-21、1 ,那么1 2-2 2 -2-1(1所以有AP 二PB, 其中,就从上述式子可以得到A 二 PBP 」J 3-12■60 O'P」AP = B = 0 3 00 3>‘4 1 1 '所以,A-PBP"1- 1 4 1J 1 4>就是问题所要求得的答案•4.2已经知道实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反过来求解矩阵A的方法从实对称矩阵属于不同的矩阵的特征值的特征向量正交求解出其余的特征向量，可以运用上述各种的方法求解.5矩阵的特征值与特征向量的应用5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用求解常系数齐次递推关系的方法多种多样，这里将说明一下如何利用它来求解线性齐次递推关系的一种方法•设k阶线性循环数列风?满足递推关系：X n =G X n d QX nd C k X nA,(门=k 1,k 2/ )其中C i(i =1,2, ,k)是常数,并且C k 7.方程组Xn =GXn』+gXn,十八+CkX^^Xn』=x n」丿X2 =X2那么(1)可以写作:C k4 0 0 C kX ndC kUC k [<n0 0 1X n斗0 0 ,Ct n==X n,1 0 一(1X n* 一(1)C2 0 110 X n* C21_Xz:nr A ：g （2）由（2）式子递推可以得到 宀…心―八=A —1. 其中宀=k,X k 」,…X 2,X i T所以求解通项X n 就可以归结为求解:njs 1，也就是求解A nJ\如果A 可以对角化,那么存在可逆矩阵P,使得P 」AP=A,所以AZ-PA^P-1, 因为- ck0 0第一列开始每一列乘以■加到后一列上，就得到如下的矩阵：—1 … 0 0…如果X 是’A 的特征值，明显有R®E -A ）=k-1, •所以线性齐次方程组I-E^-AX =0°1 勺基础解系中仅含有一个解向量，因此当A 有k 个特征值'1,'2,…J3时，这k 个特征值对应的特征向量分别是 P 1,P 2/ ,P k ,由这k 个特征 向量为列构成的方阵记作 P,那么P 是可逆的，并且P 」AP 二A . 其中「人 0…0 ■ 0 妇…A =I ■.■■ ■ ■■ <■.■ ■ cB <■I]o 0…打一例6设数列乂 ？满足递推关系：X n = 2X n 4 Xn^ -2Xn^（n 一 4），并且人=1, X ? = -2, X 3 = 3,求解通项 X .. 解：&n [是三阶循环数列，将方程组Xn- 2X n 」X n _2 -2Xn _3Xn _4 = Xn凶 _2 = Xn _2用矩阵表示:kJ -C i 02k k_1 ... 二，—c 〔・__ C k _1' _~2\Xnj I0 Xz■2 令A= 1■0-21 0 0那么由上式可以递推得到其中 x 1 =1, X 2 - -2, x 3 = 3 因为九E —A =0,即丸-2 -1 232-1 九 0 =九3 —2X 2+2—九=0 ,-1入得到A 的特征值："・1 = 1,九2 - - 1,九3 = 2再从特征方程［E —AX =0i =1,2,3解得对应A 的特征值'3的特征向量分 别是：一1] 一1]-41R = 1 巳— -1P3 =2 A1 1 1i 1所以j 0 0存A n ，=P 0 -1 0 P 」0 0 2 一6+2(_1 厂-2n 1 6+2(-1严-2心6+2(_1 厂-2心代入（1）式子可以得到:心匕一宀2"—1、‘6 2-宀2川=訂9 11 * 2"兮彳卄討例 7 数列 F 0 =1,F 1 =3,F 2 =4,F 3 = 7,F 4 =11,F 5 =18,F 6 =29,「-3+(-1 厂+2nP,巳,巳 1 -1 21 1 1一■1 411P ■-3 3 6 1 [ 1 0 01 1 -3 2 A= P 0 —1 0 P 〕2 0 一2一0 0 2j1 -j6■Xn-% J-Xn/X njL =A X n/=A 2 X n 」 =••• =A n 」 X 2• Xn — 1 1 X n 亠1X n”1 1人一(1)3-3 -1 2 3-3 -1 z 3-3-1心F 7 =47,求解这个数列的通项F n . 解：通过分析这个数列满足条件F n 2]=F n 1 F n (n =0,1,2,)根据戶卄2厂(计小叫= 0,1,2,…F( n+1)=F( n+1 )an 1= Aa n(n= 0,1,2,)其中从（2）式子递推可以得到：=A na 0( n=0,1,2,)因为得到A 的特征值是1.5.■■■1二对应于■仆’2的特征向量分别是X 2那么所以有于是-3 + (-1 尸 +2心 •_3+(_1厂+22午(n +2)1a n午(n +1)'l F (n )」,a0 =F (0)丿(1)(2)(3)■ -1 -1 -12- 一1 =0(4)X 1,所以P厂1‘-1A n=P<0P JF(n 1) I F(n)丿=an二 A n a ° =1F n3 ； -3'；，1，2 — '21打一'-2把（4）式子代入到（5）式子得到就是题目所要求解的通项. 例8计算D 1 = 1, D 2 =0把(1)变成 D n ・2 =D n 1 -D n n =1,2,3, 因为D n42 = Dn 卅一 D n D n^ = D n ■+从（2）这个式子递推可以得到a n = A n」a i n =1,2,3,因为 得到A 的特征值是对应于\,鼻的特征向量分别是1 -1A =,an =,a 1 =l Dn 卅丿J °」1 Dn 」◎其中an 1 =a n 1 = Aa n n =1,2,3,X iX 2i 2(5)1 1 0 0 … 0 01 1 1 0 … 0 00 1 1 1 … 0 0D n =9 99 - -0 0 0 0 ・・I.1 10 0 0 0 ・・■ 1 1D n : 二Dn 」 =D n_2 (n >3)(1)(2)(3)n ；iF n 二解：按照矩阵的第一行展开那么所以就有于是5. 2经济发展和环境污染的增长模型为了研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系 ，可以建立如下数学模型：设x o , y o 分别是这个地区目前的环境污染水平和经济发展水平 ,X 1,y 1分别是这个 地区若干年后的水平，而且有下述的关系：X = 3x o + y o y =2x o +2y ° 令所以上面描述的关系的矩阵形式是：r 二A 0. 那么经济发展与环境污染的增长模式是所以上面描述关系的矩阵形式是:-二A 〉」t=1,2，…,k 所以从上述这个形式可以得到：,那么P-1厂1'-iJA n A 0 、/ nnnn 、P 」1—人2 加丸2 —氐2几3n Am n 二 ?n 」” nA $ - n A卜2丿旳一畑 0 —人2 MS —扎2几A n±-P■'D( n +1)\D(n)=ann n1 2 _，2 " 1--r n 4_ r n」I 'F _ 穴f y X ogfX 1 ‘3 <2 12>X =3x 「yi4 y =2人4+2丫匚4(i =1,2, ,k)D n2 2/. 1 /. 2~\2/. 1■2'1：1 = A : 05= A o^ = A a 03-^3 = A-； 2 = A 0_：订=A 二i 訂= A 用0下面我们将进行更深一步的讨论： 从矩阵A 的多项式得到A 的特征值是-^4, .2 =1对于・1=4,可以求解方程4E-AX=0得到特征向量1 对于2 =1,可以求解方程E-AX=0得到特征向量2二明显，1, 2线性无关 下面分作三种情况分解析：(* )以及它的性质可以知道上面描述的式子表示：在当前的环境污染水平和经济发展水平的条件下下 ,i 年后，当经济发展水平达到相当高的程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势•因为y 。
矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。
矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。
关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix AnalysisAbstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．Key words：CDMA；Matrix analysis ；Transfer function；Flow diagram ；Acquisition1 引言同步是直接序列扩频码分多址(DS- CDMA1)系统接收的第一步，因为数据解调只能在同步成功后进行。
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。
本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。
关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。
矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。
定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。
常记a=，或a=（），或。
有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。
视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。
例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。
令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。
例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。
例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。
矩阵分析与应用2篇
矩阵分析与应用2篇【矩阵分析与应用】第一篇：线性代数的重要性矩阵是数学中一个重要的概念，它包含了线性代数、微积分、统计学和物理学等领域的知识。
线性代数是一门关于向量空间和线性映射的数学学科，是现代数学及其应用的一个重要组成部分。
线性代数的基本概念就是矩阵和向量，这些基本概念可以通过矩阵的运算和变换来解决许多实际问题。
例如，在机器学习领域，矩阵计算可以实现反向传播算法，用于优化神经网络的参数。
在图像处理领域，矩阵计算可以实现图像变换和处理。
在经济学领域，矩阵计算可以实现数据挖掘和预测。
矩阵的运算和变换通常包括加法、乘法、转置、求逆等操作，这些操作可以通过矩阵的行、列和元素来进行计算。
例如，矩阵的乘法可以用行列式的方式计算，或者用列向量组成的矩阵的乘积来计算。
矩阵的转置可以将矩阵的行和列互换，用于保持矩阵的结构特性。
因为矩阵具有简单、统一和易于计算的特性，它在各种学科中得到了广泛应用。
无论是数值计算还是图像处理，矩阵都是一种非常重要且必不可少的数学工具。
在面对复杂的实际问题时，熟练掌握矩阵分析和应用能够极大地提高问题求解的效率和准确性。
同时，也有助于提高数学素养和创新能力，为未来的学习和实践奠定坚实的基础。
【矩阵分析与应用】第二篇：矩阵在数据分析中的应用矩阵在数据分析中具有非常重要的作用。
在数据分析中，矩阵用于描述数据集合和变换，它可以表示数据的结构、模式和趋势，也可以实现数据的降维处理和分类。
数据分析在生命科学、物理学、化学、经济学等领域中得到广泛应用，矩阵在这些领域中发挥着重要的作用。
矩阵在数据分析中最常用的操作是矩阵乘法，即将一个矩阵和另一个矩阵相乘得到新的矩阵。
矩阵乘法可以用于计算各种数据分析工具的核心算法，例如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）。
这些算法可以将数据的维度降低到更低的维度，从而提高数据处理的效率和准确性。
另一个重要的矩阵操作是矩阵奇异值分解（SVD），它可以将一个矩阵拆分成三个矩阵的乘积。
矩阵研究毕业论文
0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性．定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211，称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间V 中取一组基12,,,nξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2) 求出A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部特征值;3) 对于A 的每个特征值,j λ求其次线性方程组()0jI A X λ-=的一组基础解系：12,,,.t ηηη于是A 的属于jλ的全部特征值组成的集合是}{1122,0,1,2,,t t i i k k k k K k i t ηηη+++∈≠=例1 设V 是数域K 上3维线性空间，T 是V 上的一个线性变换，它在在V 的一个基1α，2α，3α下的矩阵A 是222214241A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，求A 的全部特征值与特征向量. 解: 因为特征多项式为2222214(3)(6)241I A λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=+-=-+ ⎪⎪+⎝⎭所以A 的全部特征值3（二重），-6．对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0I A X -=，12312312322024402440x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩得到一个基础解系：210-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A 的属于3的两个线性无关的特征向量就是1122ζαα=-+，2132ζαα=+ 而A 的属于3的全部特征向量就是 .{}11221212,,,0k k k k K k k ζζ+∈且不全为对于特征值-6代入, 求出(6)0I A X --=的一个基础解系：122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.因此, A 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是312322ζααα=+-，而A 的属于特征值-6的全部特征向量是{}3,0k k K k ζ∈≠且.例2 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,求T 的特征值和特征向量. 解 ：1012201221100001000100001000010000100001n n n n I A λλλλααααλαλαλαλαλαλα-------=-+--=--+令01221000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+下面用数学归纳法求解()2n D n ≥当2n =时，22101.1D λαλαλαλα==++-+假设对于上述形式的1n -阶行列式，有012-132000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+n-1n-2n-210=+++λαλαλα，对于n 阶行列式，把它第1行展开，得12102112111210121210000100010010(1)001000100101()(1)(1).n n n n n n n n n n n n D xλαλαλλαλαλαλλλλαλαλααλαλαλαλα+----+----=---+----+-=+++++--=++++根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数2n ≥都成立. 故121210.n n n I A λλαλαλαλα---=++++即为T 的特征多项式.设12,,n λλλ 是I A λ-的全部复根. 对于1i n ≤≤，有111122201111,n n n n i i i i i i i ii i i n i A λλλλλλλλλλααλαλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此12'(1,,,,)n i i i λλλ-(1i n ≤≤)是A 的属于特征值i λ的一个特征向量. 由于()()11,2,,110,2,3,,n i n I A n λ--⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭而i I A λ-=，因此()1i rank I A n λ-=-. 从而齐次线性方程组()0i I A X λ-=的解空间的维数为(1)1n n --=. 于是A 的属于特征值i λ的所有特征向量组成的集合是{}21'(1,,,,)|,0.n i i i k k C k λλλ-∈≠从而T 的属于特征值i λ的全部特征向量是{}21'123()|,0.n i i i k k C k αλαλαλ-++++∈≠(1i n ≤≤)例2 在空间[]nP x （n>1)中(P 为实数域), 求微分运算D'()()f x f x ∂= 的 特征多项式，并证明：D 在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在[]nP x 中取一组基()211,,,,2!1!n x x x n --微分运算D 在此基下的矩阵为.0000100001000010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=DD 的特征多项式是.01000010001n D E λλλλλ=---=-从而D 的特征多项式为nλ. 因此D 的特征值为210n λλλ====.又D 的对应特征值0的奇次线性方程组()0A X -=的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于[]nP x 的维数n(n>1),故D 不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算D 在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用定义2.1.1如果V 中存在一个基，使得线性变换A 在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么A 可对角化.由于线性变换A 在V 的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换A 可对角化当且仅当A 在V 的基下的矩阵A 可对角.定理2.1.1域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量12,,,nξξξ，此时A 在基12,,,nξξξ下的矩阵A 为1000,00n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中i λ是i ξ所属的特征值（即i i i A ξλξ=），1,2,,.i n = 矩阵A 称为线性变换A 的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的标准形是有A 唯一决定的.推论2.1.1 域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当V 中存在由A的特征向量组成的一个基.定义2.1.2设A 是域F 上线性空间V 上的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，令 {}00|,defV A V λααλαα==∈ .易验证V λ 是V 的一个子空间，称0V λ是A 的属于特征值0λ的特征子空间. 0V λ中全部非零向量就是A 的属于特征值0λ的全部特征向量. 由于()00000().V A I A Ker I A λααλαλααλ∈⇔=⇔-=⇔∈-因此 00().V Ker I A λλ=-即线性变换A 的属于特征值0λ的特征子空间等于线性变换0I A λ- 的核.设V 是域F 上n 维线性空间，V 上线性变换A 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵为A,λ是A 的一个特征值. 设σ是V 到nF 的一个同构映射，它把V 中向量对应于它在基12,,,nααα下的坐标，则()0V λσ等于n 元齐次线性方程组()00I A X λ-=的解空间，即矩阵A 的属于特征值0λ的特征子空间. 于是()()00dim V n rank I A λλ=-- .定理2.1.2设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，则A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔V 中存在由A 的特征向量组成的一个基⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 12,s V V V V λλλ⇔=⊕⊕⊕其中12,,,sλλλ 是A 的所有不同的特征值.例 3 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,称它是Frobennis 矩阵. 求T 的特征多项式和属于特征值i λ的全部特征向量(1,2,3,,)i n =；T 是否可对角化？令122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭情形112,,n λλλ两两不等. 此时0.p ≠从而P 的列向量组线性无关. 于是A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化.此时{}112,,n p AP diag λλλ-=从而T 可对角化.情形 212,,n λλλ中有相等的. 此时0.p = 从而P 线性相关. 这时A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不可对角化, 从而T 不可对角化.例4 设T 是数域K 上n 维线性空间V 上的对合变换（即T 满足2T I =），(1)证明T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)判断T 是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设T 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵是A ，由2T I =，可得2A I =. 即A 是数域K 上的对合矩阵，设0λ是对合矩阵A 的一个特征值，则有0,α≠使0.A αλα=从而2200.A A αλαλα== 由于2A I =，因此20αλα=，即20(1)0.λα-=由于0,α≠因此2010.λ-= 即01.λ=± 当A I =时，1是A 的特征值，-1不是；当A I =-时，-1是A 的特征值，1不是； 当A I ≠±时，0.I A ±≠由于()()rank I A rank I A n -++=因此 ()().rank I A n rank I A n -=-+< 从而0.I A -=从而1是A 的一个特征值.同理可证，-1是A 的一个特征值.(1)从而，T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)设().rank I A r +=由于()()rank I A rank I A n -++=，因此().rank I A n r -=- 属于特征值1的特征子空间1W 的维数为1dim ()();W n rank I A n n r r =--=--=属于特征值-1的特征子空间1W -的维数为1dim ()();W n rank I A n rank I A n r -=---=-+=-由于11dim dim (),W W r n r n -+=+-=因此A 可对角化.A 的相似标准形为{},.r n r diag I I --从而T 可对角化，且它的相似标准形为0,0rn r I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭其中().r rank I A =+2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用当矩阵A 可对角化时，可根据A 的特征值和特征向量来确定它的元素.例 5 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量分别是1231222,2,1.211ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .分析：此题给了3阶矩阵A 的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵A 可对角化，显然可用A 的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由i ξ是方阵A 对应于特征值i λ 的特征向量，于是i i i A ξλξ=()1,2,3.i =令()123122221212P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭， ,PA PD =其中100000,001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由上式可得：11021012,3220A PDP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ 即为所求.2.3特征值与特征向量在n 阶矩阵的高次幂的求解中的应用当n 阶矩阵A 可对角化时，即矩阵A 可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂()k A k N *∈，且比较简单.当n 阶矩阵A 满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即1.A PDP -=n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量. n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值.n 阶矩阵A 的每个特征值的几何重数等于其代数重数. A 为是对称矩阵. 对于(){}11212,,,,,,,,n n A PDP P D diag ξξξλλλ-===其中12,,,nλλλ是A 的n 个互不相等的特征值，i ξ是A 的属于特征值i λ的特征向量()1,2,,.i n =例6 已知矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求k A （其中k N *∈）. 分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵A 为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为,T A A =所以矩阵A 为实对称矩阵，故A 可对角化为D .()()212221251221I A λλλλλλ----=---=-+---故A 的特征值为1231,5,λλλ==-=当1λ=-时，解齐次线性方程()0,I A X --=求出一个基础解系：12111,001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当5λ=时，可求()50A X λ-=的一个基础解系：311,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 令111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1001,1,5010005D diag -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭ 则()11,1,5P AP D diag -==--则1A PDP -=于是()()()()()()()()1111111111111()()1001112111101010121301100511121515151152153k kkkkk k k k k k k k k k k A PP APP PP APP PP APP P P AP P AP PAP P -------------==⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-+-+=-+-+-()()()()111151515215k kk k k k k k---⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用由一些特殊数列的递推公式，构造关系矩阵A ，并列出递推关系，当关系矩阵A 可对角化时，可利用A 的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci ）数列是0,1,1,2,3,5,8,13,它满足下列递推公式：21,n n n ααα++=+ 0,1,2,n=以及初始条件010, 1.αα== 求Fibonacci 数列的通项公式，并且求1lim.nn n αα→∞+解 由2111,,n n n n n ααααα++++=+⎧⎨=⎩ 可得21111.,10n n n n αααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令11,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,0,1,2,n n n D n αα+⎛⎫== ⎪⎝⎭上式可写成1,n n D AD +=又由1001,0D αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0,.n n D A D n N *=∈于是求Fibonacci 数列的通项公式就只要去计算nA .可利用A 的相似标准形来求简化nA 的计算.211111122I A λλλλλλλ⎛⎫⎛---==--=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是A的特征值为12λλ==从而A 可对角化.对于特征值1λ，解奇次线性方程组()10,I A X λ-=求出一个基础解系：11,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值2λ，可求出()20I A X λ-=的一个基础解系：22,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1120,0P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭从而12121121211212112010011101.1nn nn n n n n A P P λλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎝-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎭由于110n n n A αα+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此))2121211110.n nn n n n nλαλλλλλ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即为Fibonacci 数列的通项公式. 于是211211112212111lim lim lim112nn nnnn nn n nnλλαλλαλλλλλλλ++→∞→∞→∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭==例8已知()11,1,2i ii i ib cc b c--=⎧⎪⎨=+⎪⎩其中2,3,.i =设11,b c已知，求,.n nb c解由题可得1101,2,3,1122i ii ib bic c--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令01,1122B⎛⎫⎪=⎪⎝⎭则111,n nnb bBc c-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面求1n B-.()111.11222I Bλλλλλ-⎛⎫-==-+⎪--⎝⎭因此B的全部特征值是11,.2-从而B可对角化.对于特征值1，解奇次线性方程组()0,I B X-=得到它的一个基础解系：11,1ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值1,2-解齐次线性方程组10,2I B X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得到它的一个基础解系：22.1ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则110.102P BP -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭ 从而1111122111010210121211111130211122213111222n n n n n n n n B P P ---------⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此22111111111112,3232111112.3232n n n n n n b b c c b c ----⎧⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫=--++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩2.5特征值与特征向量行列式计算中的应用用矩阵的特征值和特征向量计算三对角形的方法如下:设00000000000n a b c a b c a D a b ca =按第一行展开，得：12,n n n D aD cbD --=- 3,4,n =上式可写成21,n n n D aD cbD ++=- n N +∈由于2111,,n n n n n D aD cbD D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111,,,10n n n n n n D D a cb d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中2211D a cb d D a ⎛⎫-⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 这样求nD 的问题就转化为nd 的问题，因而转化为求1,n A -即存在可逆矩阵P 使得 1P AP D -=（对角形），就可以算出1.n A -由201a cbI A a cb λλλλλ--==-+=-得A 的特征值12λλ==1) 若24a cb ≠① 若240,a cb -<则A 有两个不相等的复特征值12,,λλ在复数域上对应于12,λλ的特征向量分别为12,.ξξ取()12,P ξξ=则P 可逆 于是就有11111200n n n AP P λλ----⎛⎫=⎪⎝⎭所以111n n n n D d A d D+-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而可求出nD .如果A 限制在实数域上，A 有复特征值，这时A 不可对角化.② 若240,a cb ->则A 有两个不同的特征值，则A 可对角化，按在复数域上的情况可求出nD2) 若24,a cb =这时A 有重根.若A 有两个线性无关的特征向量，则A 可对角化；若A 只有一个特征向量，这时可利用相似变换，把A 化若当标准形1100λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可以算出1n A -，即可求出n D .例9 计算n 阶行列式：950004950004900.9500049n D =解：按第一行展开，得：12920,n n n D D D --=-()3,4,n =上式可写成21920,n n n D D D ++=-()n N +∈ 由2111920,,n n n n n D D D D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111920,,,10n n n n n n D D d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中211619D d D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()()2920920451I A λλλλλλλ--==-+=---因此A 的特征值是124, 5.λλ==对于特征值14,λ=解其次线性方程组()40,I A X -=求出一个基础解系：14,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值25,λ=解其次线性方程组()50,I A X -=求出一个基础解系：25,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭令45,11P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则140,05P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 从而14005A P P-⎛⎫= ⎪⎝⎭111111111400545154011140554 5.4 4.554 5.4 4.5n n n n n n n n n n n n A P P---------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭由于11619n n n D A D +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()11111161545.44.5549n n n n n n n D ----++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭例10 计算n 阶行列式：2120000121200012120000000210022n D ------=.解：将nD 按第一列展开得：1231232(2)22,n n n n n n n D D D D D D D ------=--+=+- ()4,5,6,n =上式可写成32122,n n n n D D D D +++=+-()n N *∈ 根据321221122,,,n n n n n n n n D D D D D D D D +++++++=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令323121*********,,100,5,0102n n n n n n n n D D D D D A D D D D ααα++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得1,n n A αα+=11,n n A αα-=由于()()()2121011201I A λλλλλλλ---=-=-+-- 因此A 的特征值是1231,1, 2.λλλ==-= 对于特征值11,λ= 解其次线性方程组()0,I A X -=得到一个基础解系;111,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 同理，分别可求231, 2.λλ=-=的一个特征向量23141,2,11ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令114112,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1100010002P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 于是1100010002A P P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭从而()()()()11111111111000100021001143361112010132611100220211233611121326202112n n n n n n n n n n n A P P -------+--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭于是()()()1121111123361011121325,62022112n n n n n n n n n D D D -+++--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭从而()()()()()121013123 3.16 2.12562112263n n n nn n n n D -+⎛⎫ ⎪=-+-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-++3.小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4版) [M] . 北京:高等教育出版社,2003.[3] 奚传志. 矩阵的特征值与特征向量在行列式计算中的应用枣庄师专学报，1992年2期[4] 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法[J]. 高等数学研究.[5] 谢国瑞. 线性代数及应用[M]. 北京:高等教育出版社,1999.[6] 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展[J]. 南京航空航天大学学报,1995.[7] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社.[8]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的研究.菏泽学院.计算机与信息工程系.山东菏泽（274015）[9] 朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6 .[10] [英]S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法[M] .北京：化学工业出版社.1984.126-137.[11]丘维声，高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社[12] tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) [M].Prentice Hall/Pearson，1998.[13] Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.[14]丘维声，高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社[15] 熊全淹，线性代数[M].北京；高等教育出版社，1987.4.[16]丘维声，高等代数学习指导（下册）.北京：清华大学出版社，2009[17]杨子胥，高等代数习题解（下册）.济南:科学技术出版社，2009[18]丘维声，高等代数学习指导（上册）.北京：清华大学出版社，2009致谢本学位论文是在我的指导老师张宝环老师的亲切关怀与细心指导下完成的.由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周到的地方，从论文的选题、资料的搜集到论文的撰写编排整个过程中，张老师始终都给予了悉心的指导和不懈的支持，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.张老师的一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人,给我以终生受益无穷之道.感谢老师们对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究.在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.同时我要感谢同组的同学们，是我们相互的鼓励和支持才使得做论文的过程充满着快乐和感动.在此，我对所有帮助我的老师和同学们表达我衷心的感谢!。
矩阵论课程结业论文
浅谈矩阵论的发展在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。
直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。
矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。
一、矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
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《矩阵分析的应用与学习心得》
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学号：**********
学院：宇航学院
矩阵分析的应用
摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。
例2求矩阵
的满秩分解。
解：对矩阵A只做初等行变换
注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为1，并且该元素1所在列的其他元素必为0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵A的各列向量构成矩阵B
以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C
容易验证A=BC
在构造B矩阵时，若所化简的阶梯阵形式不同，则所选取的列向量会有差别，这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。那么，是否与伪逆矩阵的唯一性相协调？
虽然，矩阵的满秩分解不唯一，如 ，但由 以及 求得的伪逆矩阵是唯一的。即 。现给出证明，
证明：
若 ，则 ，
易知 （r也为矩阵A的秩）， ，
则 （1）
记
同理可知 ，（2）
记
将式（1）、（2）带入 可得
则有
因此 =E
再将 、 带入到
可得
通过以上内容介绍了矩阵在方程求解过程的应用。
参考文献
[1].史荣昌，魏丰．矩阵分析(第三版)[M]．北京：北京理工大学出版社，2010．
在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵A的伪逆矩阵 。伪逆矩阵是唯一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足Penrose-Moore4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。
伪逆矩阵 的求法一般通过矩阵A的满秩分解A=BC，得到矩阵B、C，然后以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过 = 得到伪逆矩阵。
通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法，
解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：
即
同样计算如下几个行列式
所以
从而，流过中央支路 的电流为 .
即电流是从 流向 的.
二、矩阵在不相容方程组求解中的应用
但是在实际问题中，会出现A不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。
关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解
一、矩阵在相容方程求解中的应用
已知n元线性方程组如下表示：
其矩阵的表达形式如下：
矩阵A可记为
如果矩阵A满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例：
例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 ，如图2所示：
图2
已知 ，计算流过中央支路 的电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ .
记得老师曾说过，这门课程多半篇幅是比线性代数更深的知识。矩阵分析层面的内容并不多，也不是非常深入。就我个人的学习情况来看，我真觉得自己还不能很好理解这些定理以及定理之间的相互联系。在接触到线性代数之前的数学学习，一般都是借助数学的工具对自然当中存在的客观规律的模型建立或者数学描述。但是，初学线性代数的时候，我就觉得线性代数非常抽象，听一些数理基础好的人说，数学是事物的抽象，线性代数就是在数学基础上的第二次抽象。在考研期间的线性代数的学习，也渐渐体会到刚理解速度概念的人理解起加速度的概念的确需要一些功夫。并且在专业课学习的过程中，如理论力学当中在不同坐标系下运动之间需要坐标变换；材料力学当中应力应变关系以及结构受力的计算求解用到了矩阵方程的一些求解方法；在有限元方法中形状函数建立也需要坐标变换把所划分的不归在单元变换成在某一坐标系下的规则单元，在规则单元下进行有关计算求解，然后再将结果通过逆变换回到真实的不规则单元上。以及在控制理论当中，也多次用到矩阵的相关知识。
如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。
若线性方程组 ，对于任意m维向量 ，有使解 成立的 存在时，便称 为 矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足 。
设 n维向量 满足对于任何一个n维向量x，都有
便称 是方程组 的一个最小二乘解。
是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵 还需满足Penrose-Moore方程（1）、（3）。即满足 、 。
虽然目前，我所能用到的矩阵知识多是在线性代数当中，但我也深信通过矩阵分析的学习，使我收益非浅。身边的学长、老师都认为一些问题的更深层次的研究，就需要更多，更深入的数学理论作为支撑。
我常常开玩笑，学矩阵分析伤了好多脑细胞，所以我非常羡慕数理基础好的人，我看到好多与专业相关的文章书籍涵盖着大量的公式定理。
魏丰老师一学期尽职尽责的传道授业解惑，在此，请允许我向一位老师致以感谢，同时表达对研究数学工作者的敬意！
[2].David y.线性代数及其应用[M]．北京：机械工业出版社，2005．
[3].徐仲．线性代数典型题分析解集(第二版)[M]．西安：西北工业大学出版社，2000．
矩阵分析学习心得
在整个学期矩阵分析的学习中，我能够感受到老师教学任务的繁重，与课程学时安排的不足。为了跟上老师的上课速度，我课下需要相当的时间来进行预习、复习。即便如此，我还是感觉到这门课程的学习具有一定的挑战，这种挑战不是应对考试，而是整个思维的训练，是在掌握基本概念定义的基础上，理清书本上各个定理的证明、推导过程。
有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端b向量的误差最小。
通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。
矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。 ，则u为最佳最小二乘解。