相似三角形---射影定理的运用
高中 相似三角形的应用 射影定理(教学设计)
相似三角形的应用·射影定理（教学设计）怀化市铁路第一中学高用一、教材衔接分析初中阶段，《相似三角形的应用》是湖南教育出版社义务教育教科书《数学》九年级上册第3章第五节内容，射影定理以习题的形式出现在第3章复习题B组第12题，属于基于教材又高于教材的拓展性内容，学习射影定理可以进一步熟练掌握相似三角形的应用，同时也是相似三角形应用得出的重要结论，其本质是一种特殊且非常常见的相似三角形模型，熟悉这种模型对于很多平面几何问题的证明有非常重要的作用．高中阶段，原人教A版《数学》选修4-1《几何证明选讲》中专门有一节《直角三角形的射影定理》，在新高中课程中，相似三角形的应用和射影定理在基本不等式的几何解释、平面向量、立体几何和解析几何中都有重要的应用，还是物理学科中力的分析、几何光学等的重要数学基础．另外，平面几何证明思路的探寻过程中常用执果索因的方法，也就是高中阶段所说的分析法，这是思维层面的初高中衔接．二、教学目标1、能够熟练应用相似三角形证明射影定理及一些简单问题，发展学生几何直观、逻辑推理的核心素养；2、理解射影定理、熟悉射影定理的基本图形，并能利用射影定理求解和证明一些简单问题．三、教学重难点教学重点：1、熟练应用相似三角形的性质；2、理解射影定理、熟悉射影定理的基本图形，熟练利用射影定理求解或证明问题．教学难点：熟练应用相似三角形的性质、射影定理解决问题四、教学方法从回顾相似三角形的性质和判定定理入手，先探究射影定理，再引申到“歪射影定理”，形成问题探究、基础训练、思维拓展、反思提高四个教学环节．采取课堂讨论、问题探究的教学方法，发挥教师的主导作用，尽可能调动学生的积极性，参与到学习中来，学会构建数学模型解题，让学生在愉快的氛围中自然构建自己的知识体系．五、教学过程（一）旧知回顾相似三角形的判定：1、平行于一边的直线截得的三角形与原三角形相似；2、两角对应相等；3、三边对应成比例；4、两边对应成比例且夹角相等．若两三角形相似，则1、对应长度成比例，2、对应角相等．【设计意图】通过复习相似三角形判定方法和两三角形相似可以得到的结论，为进一步熟练应用相似三角形定下基调，更为探究射影定理作准备．（二）问题探究中，CD为斜边AB上的高．探究1：如图，在Rt ABC问题：图中有哪些相似三角形？由这些相似三角形，你能得到哪些与长度有关的结论？（学生自行探究并上黑板展示，教师点评并加以引导）例如，由ADC CDB ∆∆ ，可得CD AD AC BD CD BC==，从而可得2CD AD BD =⋅．类似地，可得2AC AD AB =⋅2BC BD BA=⋅【设计意图】通过引导学生自主探究射影定理，使学生进一步熟练应用相似三角形，同时在已有的知识基础上探究新知，符合学生最近发展区，体现数学自然生成的教学理念．注意到，CD AB ⊥，垂足为D ，则称点D 为点C 在AB 上的正射影，那么线段AD 为线段AC 在AB 上的正射影，线段BD 为线段BC 在AB 上的正射影．探究1得到的三个等式都反映了两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系，因而称之为射影定理．直角三角形中的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．（教师强调射影定理的图形特征：“双垂直结构”）【设计意图】介绍射影定理命名的缘由，让学生对定理理解更加形象、深刻，也使学生对射影定理的识记更加容易，培养学生用模型解决问题的能力．定理的初步应用例1如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，已知90ACB ∠=︒，2AD =，8DB =．求CD 、AC 和BC 的长．【解析】在Rt ABC ∆中，CD AB ⊥，则由射影定理有22816CD AD BD =⋅=⨯=，则4CD =，221020AC AD AB =⋅=⨯=，则AC =281080BC BD BA =⋅=⨯=，则BC =．【设计意图】通过例1对射影定理进行最直接、最简单的运用，让学生基本熟悉射影定理．思考：若AD a =，DB b =，计算CD 的长；当点C 在 AB 上运动时，ACB ∠始终为90︒，比较CD 与AB 的长度，你发现了什么结论？易得CD =，AB a b =+，当点C 在 AB 上运动时，CD 的长不超过圆的半径，2a b +≤（基本不等式）．【设计意图】在例1的基础上进行一般化，通过观察CD 长度的变化得到不等式2a b +≤，为高中学习基本不等式、理解基本不等式作铺垫．探究2：如图，已知ABC ∆中，D 为AB 上一点，且BCD BAC ∠=∠．是否还能得到类似在直角三角形中射影定理的结论？（学生自主探究，并展示成果）成果展示：因为BCD BAC ∠=∠，又同角B ∠，所以BCD BAC ∆∆ ，从而BD BC BC BA=，即2BC BD BA =⋅．教师点评：虽然ABC ∆不是直角三角形，D 也不再是C 在AB 上的正射影，但有BCD BAC ∆∆ ，从而仍得到一个类似直角三角形中射影定理的结论2BC BD BA =⋅，我们形象地称之为“歪射影定理”．【设计意图】“歪射影定理”的基本图形是一种较为常见的相似三角形的形式，通过“歪射影定理”的探究，主要是让学生熟悉这种相似三角形的图形结构特征，建立起一种解题模型，在较为复杂的证明问题中能快速识别图形，并用相似三角形求解．同时，引入“歪射影定理”还可以激发学生的学习兴趣，可以为今后学习圆幂定理奠定基础．（三）应用提升例2如图，AD 为Rt ABC ∆斜边BC 边上的高，过点B 作BE BA =，连接,ED EC ．求证：BED BCE ∠=∠．【思路分析】要证BED BCE ∠=∠，因为EBD CBE ∠=∠，只要证EBD CBE ∆∆ ，只要证BE BD BC BE=，即2BE BD BC =⋅，不难发现BA BE =，则只要证2AB BD BC =⋅，这就是射影定理，于是思路打通．【证明】由射影定理可得2AB BD BC =⋅，因为BA BE =，所以2BE BD BC =⋅，即BE BD BC BE=，又EBD CBE ∠=∠，所以EBD CBE ∆∆ ，从而BED BCE ∠=∠．例3如图，点D 为Rt ABC ∆直角边斜边AC 延长线上一点，连接BD ．过点A 分别作BC 、BD 的垂线，垂足分别为,E F ，连接EF ．求证：EF BD BE CD ⋅=⋅．【思路分析】要证EF BD BE CD ⋅=⋅，只需证EBF DBC ∆∆ ，因为EBF DBC ∠=∠，只要证BE BF BD BC=，即BE BC BF BD ⋅=⋅，联系题目的垂直条件，容易想到射影定理2AB BE BC =⋅，2AB BF BD =⋅，从而思路打通．【证明】由射影定理，有2AB BE BC =⋅，2AB BF BD =⋅，所以BE BC BF BD ⋅=⋅，即BE BF BD BC=，又EBF DBC ∠=∠，所以EBF DBC ∆∆ ，从而EF BE CD BD =，即EF BD BE CD ⋅=⋅．【设计意图】通过例2和例3，使学生进一步熟练应用相似三角形和射影定理、熟悉定理的基本图形，体会结论倒推法分析证明思路的思维方法，提升学生思维能力．（四）课堂小结1、射影定理、歪射影定理及其图形特征，本质上是一种特殊且常见的相似三角形模型；2、平面几何证明思路探寻方法：结论倒推法（执果索因法）．【设计意图】通过课堂小结进一步巩固本节课所学所得．。
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点几何学是研究空间和形状的学科，其中射影定理和相似三角形是其中重要的概念和定理。
本文将介绍这两个知识点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、射影定理射影定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两条平行线与一条横截线所形成的射影关系。
射影定理可以用于求解平行线之间的距离、角度和比例等问题。
射影定理的几何表述如下：当一条横截线与两条平行线相交时，它们所形成的对应的线段长度相等。
换句话说，射影定理说明了平行线与横截线之间的相似关系。
射影定理的应用非常广泛。
在建筑设计中，我们常常需要确定建筑物的高度、宽度等尺寸，射影定理可以帮助我们通过测量建筑物的阴影长度来确定其实际尺寸。
在地理测量中，射影定理也可以用于确定高山的高度、河流的宽度等。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，即对应边的比例相等。
相似三角形的判定条件有两种：AAA判定和AA判定。
AAA判定是指两个三角形的对应角度相等，而AA判定是指两个三角形的两个对应角度相等且对应边成比例。
相似三角形的性质有很多。
首先，相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
其次，相似三角形的周长和面积之间也存在一定的比例关系。
另外，相似三角形的高度、中线、角平分线等也成比例。
相似三角形在几何学中的应用非常广泛。
例如，在地图上测量两座建筑物之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质来计算。
此外，在工程设计中，相似三角形也可以用于计算物体的尺寸、角度等。
总结：几何学中的射影定理和相似三角形是非常重要的知识点。
射影定理描述了平行线与横截线之间的射影关系，可以用于求解距离、角度和比例等问题。
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边成比例。
相似三角形的性质有很多，可以用于计算距离、尺寸和角度等。
这些知识点在实际应用中具有广泛的用途，对于几何学的学习和应用都具有重要意义。
通过学习射影定理和相似三角形，我们可以更好地理解和应用几何学知识，提高解决实际问题的能力。
2017中考射影定理及其运用
相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
相似三角形中的射影定理知识讲解
相似三角形――相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U2+(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。
( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。
(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。
精品文档(4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则① S s②射影定理：CD 2= ______【常规题型】AC 2= _____ BC 2= ____1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90BM 2=MN • AM 。
例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB • AF【拓展练习】1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。
求证：△ BEFACF,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的CBCFD3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。
二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
三、用三角函数证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA 在Rt△ABD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。
(2021年整理)直角三角形的射影定理教案
（完整）直角三角形的射影定理教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）直角三角形的射影定理教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一讲相似三角形的判定及有关性质3。
4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组主备人:柴海斌持案人：授课班级：授课时间：教学目标知识与技能:掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题。
方法与过程：通过问题设计,层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。
情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用;难点：直角三角形的射影定理的证明。
教学过程二、教学引入什么是射影?点和线段的正射影简称为射影A B(让学生复习并挖掘下图中的基本性质。
）已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
（1)图中有几条线段？(答:6条，分别记为AB=c,AC=b，BC=a,CD=h,AD=m,BD=n。
)(2）图中有几个锐角？数量有何关系？（3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC，可分别写出三组比例式：CD AD BD CD CB AC == （ΔACD ∽ΔCDB ）;AC CDBC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC ）; CADABC CD AB AC == （ΔACD ∽ΔABC ）。
（4）观察第(3）题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CADAAB AC =（5)由上可得到哪些等积式？CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.请同学们自己写出已知条件并证明.已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。
相似三角形中的射影定理
【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕中，，，垂足为D ，DE 、DF 分别是的高，这时是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。
求证：△BEF ∽△ACFA B A B C N3、，如图，是直角三角形斜边上的高，在的延长线上任取一点，连结，垂足为，交于，求证：.4、如图，在四边形ABCD 中，，由点D 作AC 的垂线交AB 于E ，交AC 于F 。
求证：。
【作业】1.中，是高，假设，，，且，那么 ， ， ， .2.假设直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为和，那么两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 .3.如图，，于，，那么 .4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，CD=4，AC=，那么EF:AF=〔 〕A ．1:2B ．:2C ．:5D ．:55．如下图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，假设AD ：BD=9：4那么AC ：BC 的值为〔 〕B C DA．9：4 B．3：2 C．4：9 D．2：36. 如下图，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，，那么〔〕A．B．2:3 C．3:2 D．7．如下图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DE⊥BC于E，求DE的长。
8．如图，在中，于，以和为边在形外作等边三角形和，求证：∽.。
三角形的射影定理
三角形的射影定理篇一：三角形的射影定理是一个重要的几何定理，它描述了一个三角形在某个边上的射影与其对边之间的关系。
具体而言，射影定理指出，如果一个点在三角形的一条边上，那么该点的射影将与另外两条边的射影成一比例。
假设有一个三角形ABC，其中点D位于边AB上。
根据射影定理，我们可以得出以下结论：1. 若点D在边AB的延长线上，则AD与AC的射影成比例。
2. 若点D在边AB上，则AD与BC的射影成比例。
3. 若点D在边AB之外，则BD与BC的射影成比例。
这个定理的应用非常广泛，特别是在解决相关三角形的问题时。
例如，我们可以利用射影定理来证明两个三角形相似。
如果两个三角形的对应边在同一直线上的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
此外，射影定理还可以用于解决三角形的边长和角度的问题。
通过确定一个点在三角形边上的位置，并利用射影定理，我们可以推导出其他相关边长和角度的数值。
总之，射影定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。
它可以帮助我们理解三角形内部的几何关系，并应用于解决三角形的相似性、边长和角度等问题。
篇二：射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个三角形的某一边上的线段在三角形的另外两边上的射影长度之和等于该边上的线段长度。
具体来说，如果在三角形ABC中，有一条线段DE平行于边BC，其中D在AB上，E在AC上，那么DE与BC的长度之比等于AD与AB的长度之比，即DE/BC = AD/AB。
这个定理的证明可以通过相似三角形的性质来进行。
根据三角形ABC和ADE的相似性，我们可以得到DE/BC = AD/AB。
因此，射影定理得证。
射影定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用射影定理来计算无法直接测量的长度。
另外，射影定理也为解决一些几何问题提供了便利，比如在构造中确定点的位置或者计算三角形的面积等。
除了射影定理的基本形式之外，还存在一些相关的定理和性质。
例如，如果在三角形ABC中，有一条线段DE平行于边BC，其中D在AB上，E在AC上，那么AD 与DE的长度之比等于AB与BC的长度之比，即AD/DE = AB/BC。
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等 于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
谢谢观看！
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA·CD＝BC·AD. 证明：由射影定理知： CD2＝AD·BD， CA2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. ∴CA·CD＝ AD2·BD·AB＝AD· BD·AB， BC·AD＝AD· AB·BD. 即 CA·CD＝BC·AD.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
ACD 900
ACD B
BCADC, ∴即DB(2A∽AD9D0+·0BBDDC=)B²BA=CACDDC²-.A²+DB²C+B²C²-BCAD²DD
CD BD
即 即 考 A ACB察 CCBDCD是 2R222tD公ABAAB共 DDDDD角 CBA和 BDA,DBB RtBBBCD((∵∴∴而12AC)A2CA)ACDC∽D²²²-==·ABAADDDDB²=²=·+2BCCCCDDADD²²，²=ABDCBB²²C+-BDCADD²·=BCDBADC²B
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简述:三边对应成比例,两三角形相似
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，
射影定理在中学数学中的应用
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完整性。
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC²=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC²=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为 圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名 的切割线定理：AC²=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的 射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
任意三角形的射影定理(3篇)
第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。
射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。
本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。
一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。
设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。
根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。
（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。
根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。
（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。
（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。
（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。
根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。
（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。
（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。
（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1
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D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������������������22.
12
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又∵AC=3,AD=2,
∴AB=
������������2 ������������
=
92.
答案:
9 2
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D典例透析 IANLI TOUXI
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2-1】 如图,已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D, 且CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
相似三角形-基本知识点+经典例题
相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，假如说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，假如b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 现在有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 差不多性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =⇔=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （5）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）如此能够减少未知数的个数，这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,同时和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.B此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论： 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形---射影定理的运用
相似三角形----射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（1） : R t^ABC中，若CD为高，贝U有C D 2=BD? AD、BC 2=BD ?AB或AC 2 =AD ?AB。
（证明略）二、变式推广1 •逆用如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC2 =BD?AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2 = BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AABC为直角三角形。
（证明略）2 •—般化，若AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（2） : △ABC中，D 为AB上一点，若ZCDB = ZACB，或/DCB = ZA，则有△CDBs^ACB，可得BC 2 =BD?AB ;反之，若AABC 中，D为AB上一点，且有BC 2 =BD ?AB，则有△CDBs^ACB，可得到/CDEC 2 )B=/ACB，或/DCB=/Ao（证明略）三、应用例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中，AB = AC,高AD、BE交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2分析：易证/BAD = /CAD =90°-/C = /HBD，联想到射影定理变式（2）,可得BD 2 =DH ?DA，又BC=2BD，故有结论成立。
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ BCA B是公共角 , BDC BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.
2
在 ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形 .
习题1.4 3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项 的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等 积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图 形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 有AC AD ? AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
(3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.
三角形射影定理及其变形的应用
三角形射影定理及其变形地应用-中学数学论文三角形射影定理及其变形地应用辽宁铁岭高级中学张敬东在普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教B版）第一章解三角形地本章小结中地《巩固与提高》题中有一道习题：在中，求证：a=bcosC+c cosB ①b=acosC+c cosA ②c=acosB+bcosA ③其实这是三角形中地一个重要定理，即射影定理（以下简称定理）.它与正、余弦定理一样也是刻画三角形边角关系地一个重要定理.一、关于射影定理地证明定理可以应用正、余弦定理来证明，也可应用三角函数知识和平面几何知识证明.本文给出一个最简捷地证明方法———向量法证明.证明：如图1.二、射影定理地变形这是射影定理地一个变形，它形式上与射影定理非常相似，由射影定理及正弦定理或余弦定理很容易证明.下面再给出它地一个向量证法.三、关于射影定理及其变形应用例1（2013 年陕西卷）：设吟ABC 地内角A、B、C 所对地边分别为a、b、c，若bcosC+ccosB=asinA，则吟ABC 地形状为( )A.直角三角形B援锐角三角形C.钝角三角形D援不确定解析：由定理得a=asinA，则sinA =1评注：从以上两例可以看出三角形射影定理具有使解法简单，思路明快地特点，在高考解题中往往会有“秒杀”地效果.评注：从本例可以看出利用射影定理在解决有关三角形中地向量问题有着独特地应用.评注：这是著名地莫尔外德公式,它地证明方法很多,但利用射影定理变形证明显得更加简捷、自然.评注：本题利用射影定理变形得出了一个非常自然地解法，从而可看出定理变形在处理有关三角形问题中地应用价值.下面再利用射影定理变形解决一道经典名题：四、教学建议首先，教材编者可能是为了减轻学生学习负担把射影定理放在习题中,目地是让学生学习余弦定理地应用.射影定理作为余弦定理应用确是一道经典习题,教师在教学中可把这道习题作为典型例题向学生介绍，这样既可以起到复习巩固正、余弦定理应用地作用，又可提高学生学习数学地兴趣.其次，建议教师可把射影定理及其变形作为习题课地一个专题或作为研究性学习地一个课题来进行,这样可把三角形问题地整体内容联系起来.学生通过研究、探索还可推出许多结论或变形公式，以激发学生学习兴趣，有利于培养学生探究能力和创新意识.再次，教师在命题考试中可把射影定理及其变形作为命题背景知识和命题资源加以充分利用，这样既可提高教师命题水平，又可命制出一些经典试题.最后，在指导学生解题技巧方面，射影定理及其变形可作为“秒杀”一些试题地技巧与方法.参考文献：[1]高存明.普通高中课程标准实验教科书数学（B 版）[M].北京：人民教育出版社，2008.[2]薛金星.2013 年高考试题全解数学卷[M].西安：陕西人民教育出版社，2013.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and otherrelevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。
射影定理的推广及应用
射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
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相似三角形------射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）
二、变式推广
１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•
ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
（证明略）
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠
ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△Ａ
ＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，
可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
（证明略）
三、应用
例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，
求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２
分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得
ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）
例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，
故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８
(解略)
例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交
ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，
求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，
∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，
∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
射影定理练习
【选择题】
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD
=（ ）
A 、34
B 、43
C 、169
D 、916
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60
【填空题】
5、ABC 中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22
:AB AC = 。
6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．
【解答题】
7、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽
8、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是
正三角
形，求证：DE DF ⊥
9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，
DE AM ⊥，E 是垂足，求证：2224ab
DE a b =+
10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E ．求证：
（1）△AED ∽△CBM ；
（2）AE •CM=AC •CD ．
11、已知：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，过点B 做射线BG ，交AD 、AC 于E 、F 两点，与过点C 平行于AB 的直线交于点G 。
求证： （1）BE 2=EF •EG
（2）若过点B 的射线交AD\AC 的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C 平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。
参考答案
1、C
2、B
3、C
4、C
5、3,35,4:1
6、 8
7、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，
2CD CE AC =，在Rt BCD 中，2CD CF BC = ,CE BC CE AC CF BC CF AC ∴=∴= 又ECF BCA ∠=∠，CEF CBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中，22,AC CD CB AB BD BC ==
222AC CD CD CD CD AD AB BD CD BD AD AD BD
∴=====
,,AE AD AC AE AB AF BF BD ==∴=
60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又
FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠
90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠=
DE DF ∴⊥
9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠=
所以Rt AMB ～Rt ADE
所以AB AM DE AD =，因为AB=a ，BC=b ， 所以2222244AB AD a b ab DE AM b
a b a ===++
10、证明：（1）∵△ABC 是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠CDB=90°，
即∠MCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠MCB，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠DMB=90°，
∵DH⊥BM，
∴∠1+∠DMB=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，
∴∠ADE=∠CMB，
∴△AED∽△CBM；
（2）∵△AED∽△CBM，
∴AE：AD=CB：CM，
∴AE•CM=AD•CB，
∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：AD=CB：CD，
∴AC•CD=AD•CB，
∴AE•CM=AC•CD．
11、连结EC。
证明先BE=EC。
再证△ CEF∽△ GEC。