人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数

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人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值教学设计

人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值教学设计
(4)小组合作题:以小组为单位,探讨特殊角的三角函数值在生活中的应用,并撰写一篇小论文。
作业要求:
1.学生需独立完成作业,诚实守信,不得抄袭。
2.解题过程要求步骤清晰,书写规范。
3.小组合作题需充分发挥团队合作精神,共同完成。
4.作业完成后,及时上交,教师将进行批改和反馈。
4.通过对特殊角的锐角三角函数值的学习,培养学生对数的敏感性和逻辑思维能力。
(二)过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动,引导学生自主发现特殊角的锐角三角函数值规律,培养学生自主学习的能力。
2.运用问题驱动的教学方法,激发学生的学习兴趣,引导学生通过合作、探究、讨论等方式,深入理解特殊角锐角三角函数的概念和计算方法。
针对学生的困惑,我会进行有针对性的解答,巩固学生对知识的理解。最后,强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的应用,提高学生的应用意识,为后续学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角的锐角三角函数值的学习,确保学生能够熟练掌握并运用到实际中,我设计了以下几类作业:
1.基础巩固题:布置一些基本的计算题,要求学生熟练掌握特殊角的正弦、余弦、正切值,并能快速准确地计算出结果。
学生在讨论过程中,可以相互提问、解答,共同探讨特殊角锐角三角函数值的规律。我会巡回指导,解答学生的疑问,引导学生深入思考。讨论结束后,每个小组汇报讨论成果,共同分享学习心得。
(四)课堂练习,500字
在课堂练习环节,我会设计不同难度的题目,让学生独立完成。题目包括基础题、提高题和应用题,旨在检验学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
四、教学内容与过程
(一)导入新课,500字
在导入新课环节,我将结合学生的生活经验,提出一个与学生实际相关的问题:“同学们,在我们的日常生活中,如建筑设计、制作家具等,经常会遇到各种角度的测量问题。那么,如何才能快速、准确地计算出这些角度的三角函数值呢?”通过这个问题,激发学生的好奇心,引导学生思考。

人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)

人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)

sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图:在Rt △ABC中,∠C=90°,
B
∠A+ ∠B =90°
sinA = BC

AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °-A)= cosB =
BC
(2) 0<sinA<1, 0<cosB<1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗?为什么?
可以大于1吗?
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗?
对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一的确定的 值与它对应,所以sinA是A的函数。
已知sinA= 3 ,那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin(A-15 °)=1,那么∠A=_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数(1)
——正弦、余弦
如图:在Rt △ABC中,∠C=90°,
B
角:∠A+ ∠B =90°
勾股定理

A
C 边:AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中,边与角之间有什么关系呢?
实践与探索
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, BC=35,求AB。 根据:“在直角三角形中, 30°角所对的边等于斜
一个固定值;
2
一般地,当∠ A取其它一定度数的锐角时,它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢?
这也就是说,
在直角三角形中, 当锐角A的度数一 定时,不管三角形 的大小如何,∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。

九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解

九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
【规律方法】 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形); 2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习 惯省去“∠”符号; 3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的边长无关.
九年级数学第28章锐角三角函数
B
10m
②sinB=
( ×)
6m
③sinA=0.6m ( × )
A
C
④SinB=0.8 ( √ )
sinA是一个比值,无单位.
2)如图,sinA=
(×)
九年级数学第28章锐角三角函数
2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sinA
的值( C )
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小 1
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
,则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.(温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°, AB=13,
BC=5,则sinA的值是(

A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A.由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
AB 5
BC 3
九年级数学第28章锐角三角函数
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100
倍,tanA的值( C )
B
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
C
2、下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.指

第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数:如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。

2.sinA 、cosA 是一个比值(数值,无单位)。

3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。

正切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 直角三角形五元素之间的关系: 1. 勾股定理()2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1.(2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中)如图,在54⨯的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin BAC ∠的值为( )A .43B .34C .35D .45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ,首先根据勾股定理求出AC ,然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值.【详解】如图,过C 作CD AB ⊥于D ,则=90ADC ∠︒,∴AC =222234=+=+AC AD CD =5. ∴4sin 5CD BAC AC ∠==. 故选D . 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.变式1-1.(2018·西城区·北京四中九年级期中)如图,在Rt ABC ∆中,90C =∠,10AB =,8AC =,则sin A 等于( )A .35B .45C .34D .43【答案】A 【解析】分析:先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得. 详解:在Rt △ABC 中,∵AB=10、AC=8, ∴2222=108=6AB AC --,∴sinA=63105BC AB ==. 故选:A .点睛:本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义.变式1-2.(2019·山东淄博市·九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=45,AC=6cm,则BC的长度为()A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=,设BC=4x,AB=5x,又因AC2+BC2=AB2,即62+(4x)2=(5x)2,解得:x=2或x=﹣2(舍),所以BC=4x=8cm,故答案选C.考查题型二余弦典例2.(2020·福建省泉州市培元中学九年级期中)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于()A 5B25C5D.23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,222425+=∴cos∠25525=.故选B .变式2-1.(2016·辽宁铁岭市·九年级期末)在ABC 中,C 90∠=,AB 6=,1cosA 3=,则AC 等于( ) A .18 B .2C .12D .118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义,在直角三角形ABC 中,cosA =ACAB,即可求得AC 的长. 【详解】解:∵在△ABC 中,∠C =90°,∴cosA =ACAB , ∵cosA =13,AB =6,∴AC =123AB =,故答案选:B . 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系.变式2-2.(2019·山东滨州市·九年级期末)如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为M (5,2),那么cosα的值是( )A 5B .23C 25D 5【答案】D 【分析】如图,作MH⊥x轴于H.利用勾股定理求出OM,即可解决问题.【详解】解:如图,作MH⊥x轴于H.∵M(5,2),∴OH=5,MH=2,∴OM=22(5)2+=3,∴cosα=5 OHOM=,故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.考查题型三正切典例3.(2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1 C3D3【答案】B【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求. 【详解】 如图,连接BC ,由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°, 则tan ∠BAC=1, 故选B .【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.变式3-1.(2018·江苏苏州市·九年级期末)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 是AC 上一点,若1tan 5DBA ∠=,则AD 的长为( ).A .2B .3C .2D .1【答案】A 【解析】分析:本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形.解题的关键是作辅助线,构造直角三角形,运用三角函数的定义建立关系式然后求解. 解析:如图,作DE ⊥AB 于E .∵tan ∠DBA==,∴BE=5DE .∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠A=45°,∴AE=DE .∴BE=5AE ,又∵AC=6,∴AB=6,∴AE+BE=AE+5AE=6,∴AE=,∴在等腰直角△ADE中,由勾股定理,得AD=,AE=2.故选A.变式3-2.(2020·河北唐山市·九年级期末)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若2tan5BAC∠=,则此斜坡的水平距离AC为()A.75m B.50m C.30m D.12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解:因为2tan5BCBACAC=∠=,又BC=30,所以,3025AC=,解得:AC=75m,所以,故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数,熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4.(2018·南昌市期末)点M(-sin60°,cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A.(32,12) B.(-32,-12)C.(312) D.(-123【答案】B 【详解】∵点(-sin60°,cos60°)即为点(312),∴点(-sin60°,cos60°)关于y 3,12).变式4-1.(2019·山东淄博市·九年级期中)下列式子错误的是()A.cos40°=sin50°B.tan15°•tan75°=1C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析:选项A,sin40°=sin(90°﹣50°)=cos50°,式子正确;选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1,式子正确;选项C,sin225°+cos225°=1正确;选项D,sin60°=3,sin30°=12,则sin60°=2sin30°错误.故答案选D.变式4-2.(2018·河北唐山市·九年级期末)如果△ABC中,sin A=cos B=22,则下列最确切的结论是()A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2,所以∠A=∠B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5.(2018·山东潍坊市·九年级期末)在Rt△ABC中,∠C =90°,sinA=45,则cosB的值等于( )A.35B.45C.34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°,则cos B=sin A=45.故选B.点睛:本题考查了互余两角三角函数的关系.在直角三角形中,互为余角的两角的互余函数变式5-1.(2018·浙江台州市·九年级期末)在Rt △ABC 中,cosA= 12,那么sinA 的值是( )A .2B .2C .3D .12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可. 【详解】:∵Rt △ABC 中,cosA=12 ,∴ =2, 故选B . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键.变式5-2.(2018·湖南岳阳市·九年级期末)在Rt ABC 中,C 90∠=,如果4cosA 5=,那么tanA 的值是( ) A .35B .53C .34D .43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,∴cosA=b c ,tanA=ab ,a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45,设b=4x ,则c=5x ,a=3x .∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6.(2020·东北师大附中明珠学校九年级期中)如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A .tan tan αβB .sin sin βαC .sin sin αβD .cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中,分别求出AB 、AD 即可解决问题;【详解】在Rt △ABC 中,AB=AC sin α, 在Rt △ACD 中,AD=AC sin β, ∴AB :AD=AC sin α:AC sin β=sin sin βα, 故选B .【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题. 变式6-1.(2020·山东枣庄市·九年级期末)如图,在ABC ∆中,144CA CB cosC ==,=,则sinB 的值为( )A .10B .15C .6D .10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,在Rt ACD ∆中可求出AD ,CD 的长,在Rt ABD ∆中,利用勾股定理可求出AB 的长,再利用正弦的定义可求出sinB 的值.【详解】解:过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,如图所示.在Rt ACD ∆中,1CD CA cosC ⋅==,2215AD AD CD ∴=-=;在Rt ABD ∆中,315BD CB CD AD =﹣=,=,22BD AD 26AB ∴=+=,AD 10sin AB B ∴==. 故选:D .【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理,通过解直角三角形及勾股定理,求出AD ,AB 的长是解题的关键.变式6-2.(2019·辽宁沈阳市·九年级期末)如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°,则甲楼高度为( )A.11米B.(36﹣153)米C.153米D.(36﹣103)米【答案】D【分析】分析题意可得:过点A作AE⊥BD,交BD于点E;可构造Rt△ABE,利用已知条件可求BE;而乙楼高AC=ED=BD﹣BE.【详解】解:过点A作AE⊥BD,交BD于点E,在Rt△ABE中,AE=30米,∠BAE=30°,∴BE=30×tan30°=103(米),∴AC=ED=BD﹣BE=(36﹣103)(米).∴甲楼高为(36﹣103)米.故选D.【点睛】此题主要考查三角函数的应用,解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7.(2019·河南许昌市·九年级期末)如图,某消防队在一居民楼前进行演习,消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后,又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°,点A 距地面2.5米,点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者,云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米?(结果保留整数.参考数据:tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4)【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ,AD BC ⊥于点D ,在Rt ABD ∆中,求得AD 的长;在Rt ACD ∆中,求得CD 的长,根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ,AD BC ⊥于点D ,∵CN EF ⊥ ,∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒,∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=(米),由题意可知,45BAD ∠=︒,65CAD ∠=︒,∵AD BC ⊥,∴90ADB ∠=︒,在Rt ABD ∆中,tan BD BAD AD ∠=, ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒(米). 在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=, ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=(米).∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈(米).答:云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题,添加辅助线,构造直角三角形,建立直角三角形模型是解决问题的关键.变式7-1.(2018·江苏无锡市·九年级期末)如图,为了测量出楼房AC 的高度,从距离楼底C 处603米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:3的斜坡DB 前进30米到达点B ,在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°,求楼房AC 的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈43,计算结果用根号表示,不取近似值).【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ,BM ⊥AC 于M ,先在RT △BDN 中求出线段BN ,在RT △ABM 中求出AM ,再证明四边形CMBN 是矩形,得CM=BN 即可解决问题.【详解】如图作BN ⊥CD 于N ,BM ⊥AC 于M .在RT △BDN 中,BD=30,BN :ND=13,∴BN=15,DN=153,∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,∴四边形CMBN是矩形,∴CM=BM=15,BM=CN=603153453-=,在RT△ABM中,tan∠ABM=43 AMBM=,∴AM=603,∴AC=AM+CM=15603+.【点睛】构造适当的直角三角形,并应用锐角的三角函数,正确理解坡比的概念.变式7-2.(2018·山西晋中市期末)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm .【解析】分析:利用锐角三角函数,在Rt △ACE 和Rt △DBF 中,分别求出AE 、BF 的长.计算出EF .通过矩形CEFH 得到CH 的长.详解:在Rt △ACE 中,∵tan ∠CAE=CE AE, ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中,∵tan ∠DBF=DF BF, ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm )∵CE ⊥EF ,CH ⊥DF ,DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形,∴CH=EF=151(cm ).答:高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm .点睛:本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.。

人教版九年级下册数学:第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角三角函数的概念

人教版九年级下册数学:第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角三角函数的概念
人教版九年级数学(下册) 第二十八章
28.1 锐角三角函数(2)
——余弦、正切
斜边c
B
sinA
∠A的对边 a
斜边
c
∠A的对边a
A
C
∠A的邻边b
成果检测
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,
则sinA的(B ).
A. 15
B. 1
C. 1
15
4
3
D. 15 4
B
1
4
A C
成果检测 2.如图,在△ABC中, AB=AC=5, BC= 6, 求sinB 。 A
. P(2,3)

O
A
x
【试一试】
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13, AC=12,求sinA , cosA , tanA的值。
13
B
A
12
C
B
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
求sinA , cosA , tanA的值。
A
C
若∠A=45°,求sinA,cosA,tanA的值。
小结 反思
1.你有哪些收获? 2.你学到哪些好方法? 3.在学习中应注意什么? 与大家一起分享。
七、作业布置:
A组:P65练习2 P68 第1题
B组:P68习题1 P69第10题
5
5
B
D
C
【问题探究 如图,在】Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,
∠A的对边与斜边的比就随之确定,此时,其他边之 间的比是否也确定了呢?为什么?
B
斜边c
对边aΒιβλιοθήκη A邻边bC
一般地,在Rt△ABC中,∠C=90°,

第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册

第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册

第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠A的对边与斜边比,叫做∠A的正弦,记为sinA,即sinA=∠A的对边斜边=aa(2)∠A的邻边与斜边比,叫做∠A的余弦,记为cosA,即cosA=∠A的邻边斜边=aa(3)∠A的对边与邻边比,叫做∠A的正切,记为tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示:sin A 不是sin与A的乘积,而是一个整体,cosA和tanA同理;锐角三角函数的三种表示方法:sin A,sin 56°,sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值,它与三角形的大小无关,它没有单位.在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3(1)正弦值、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.(2)sin α=cos(90°-α)cos α=sin(90°-α)tan α·tan(90°-α)=1(3)锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为:0<sin A<1,0<cos A<1, (4)cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2(90°-α)=1(5)tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值,它只与角的度数有关,将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°,则sin α=cos α; 若α<45°,则sin α<cos α; 若α>45°,则sin α>cos α;28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中,三边之间的关系是a 2+b 2=c 2(勾股定理); 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边,cosA=∠A 的邻边斜边,tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素,就可以求出其余三个元素,其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若已知∠A=α,AB=c ,较简便的方法是用正弦求出BC ,用余弦求出AC ,也可用勾股定理求出AC ,根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角,且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图,在∠ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值为( )A.52B.12C.255D.554.如图,在4×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图,在∠ABC中,∠C=90°,AB=15,sinB=35,则AC的长为( )A.3 B.9 C.4 D.127.如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图,在∠ABC 中,CA =CB =4,cosC =14 ,则sinB 的值为( )A.102 B .153 C .64 D .10410.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线 AC 与BC 相互垂直,∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A ,B ,C 都在格点上,以AB 为直径的圆经过点C ,D ,则cos∠ADC 的值为( )A .21313B .31313C .23D .53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,CD∠AB,垂足为D,若AC= 5 ,BC =2,则sin∠ACD的值为_________.16.某物体沿着坡比为4:3的坡面上升了8米,那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.三、解答题19.图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图,经测量,钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长;(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据:aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上,求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数.参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)。

人教版九年级数学下第28章28.1《锐角三角函数》优秀教学案例

人教版九年级数学下第28章28.1《锐角三角函数》优秀教学案例
4.定期对学生的学习成果进行评价和总结,激发学生的学习动力,提高学生的数学素养。
四、教学评价
1.评价学生的知识掌握程度:通过课堂提问、作业批改等方式,了解学生对锐角三角函数知识的掌握情况;
2.评价学生的实践操作能力:通过实际问题解决,评价学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力;
3.评价学生的合作交流能力:通过小组讨论、互动交流等方式,评价学生在团队合作中的表现;
3.讲练结合:在课堂中及时进行练习,巩固所学知识,提高学生的实际操作能力;
4.反馈调整:根据学生的学习情况,及时调整教学方法,以提高教学效果。
五、教学过程
1.创设情境,引入新课:通过生活实例,引导学生思考并引入锐角三角函数的概念;
2.自主探究,小组合作:让学生在小组内讨论交流,共同探究锐角三角函数的定义及应用;
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱,激发学生学习数学的内在动力;
2.培养学生合作交流的意识,提高学生团队协作的能力;
3.让学生感受数学与生活的紧密联系,培养学生的应用意识;
4.通过对本节课的学习,使学生树立正确的数学学习观念,相信自己通过努力可以掌握并运用好数学知识。
三、教学重难点
4.评价学生的情感态度与价值观:通过观察学生的学习态度、课堂表现等,评价学生对数学学科的兴趣和热爱。
五、教学拓展
1.利用多媒体技术,展示锐角三角函数在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣;
2.推荐相关的数学读物和网站,让学生课后进行拓展学习,提高学生的数学素养;
3.结合学校或社区的活动,让学生运用所学知识解决实际问题,提高学生的实践能力。
六、教学反思
在教学过程中,教师应不断反思自己的教学方法、教学内容等方面,以确保教学的质量和效果。同时,关注学生的学习反馈,根据学生的需求调整教学策略,以提高教学效果。通过不断的反思和调整,使教学更加符合学生的实际情况,提高学生的数学素养。

人教版2024九年级下册数学 第二十八章 锐角三角函数 课后练习

人教版2024九年级下册数学   第二十八章   锐角三角函数   课后练习

第二十八章锐角三角函数课后练习锐角三角函数的定义与求值1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则tan A的值是.2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的余弦值()A.不变B.扩大为原来的2倍C.缩小为原来的12D.不能确定3.在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=8,sin A=34,则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.54.如图,已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上,则下列结论错误的为()A.cos B.sin B=5C.tan B=12D.tan B·tan C=1特殊角的锐角三角函数值5.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan B-3)2+2cosA是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形,那么锐角α为30度.7.计算:3tan30°+tan45°-2sin60°.解直角三角形及其应用8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,CB=43,解这个直角三角形.9.如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等于()A.125B.1312C.135D.121310.某县动车站于2014年开通,方便了更多的人出行,如图是该动车站某扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).琪琪同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则琪琪同学上升的铅直高度BC为m.11.如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌.经测量得到如下数据:AM=4m,AB=8m,∠MBC=30°,∠MAD=45°,则警示牌的高CD为多少米(结果保留根号)?12.2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂AC=BC=10m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离(结果精确到0.1m;参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).13.如图,某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度AB.该古塔旁有一个小山坡,在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为60°,已知BC=10m,ED⊥BD(点B,C,D在同一直线上).(1)求古塔的高度AB(结果保留根号);(2)涛涛站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为30°,该山坡的坡度i=tan∠ECD=1∶3,求山坡的高度DE(结果保留根号).14.如图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6m到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).。

人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值优秀教学案例

人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值优秀教学案例
这些亮点体现了本教学案例在教学设计、教学方法和教学评价等方面的优势,有助于提高学生的学习兴趣、参与度和效果,培养学生的综合素质和能力。
4.利用多媒体手段,如动画、视频等,形象地展示特殊角的三角函数值的变化规律,增强学生的直观感受。
(二)问题导向
1.设计一系列具有启发性的问题,引导学生思考特殊角三角函数值的意义和作用。
2.引导学生通过实验、观察、讨论等方式,自主探究特殊角三角函数值的规律。
3.提出挑战性的问题,激发学生深入思考,提高学生解决问题的能力。
在实际教学中,我发现许多学生在学习这一部分内容时存在一定的困难,主要是由于对三角函数概念的理解不够深刻,以及对特殊角三角函数值的记忆不牢固。因此,在教学过程中,我需要针对学生的实际情况进行有针对性的教学设计,通过合理的教学方法和手段,帮助学生理解和掌握特殊角的三角函数值,提高他们的学习效果。
二、教学目标
4.采用小组合作学习的方式,培养学生团队合作的精神,提高学生的沟通表达能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣,激发学生学习三角函数的内在动机。
2.使学生认识到特殊角三角函数值在实际生活中的应用,提高学生对数学价值的认识。
3.培养学生勇于挑战自我,克服困难的意志,增强学生的自信心。
4.引导学生树立正确的价值观,明白努力学习三角函数的重要性,为今后的学习和生活打下坚实的基础。
4.鼓励学生提出自己的疑问,培养学生敢于质疑、善于思考的良好习惯。
(三)小组合作
1.组织学生进行小组讨论,鼓励学生分享自己的观点和思考,培养学生的团队合作精神。
2.设计小组合作任务,让学生在实践中运用特殊角的三角函数值,提高学生的动手操作能力。
3.采用小组竞赛的方式,激发学生的竞争意识,提高学生的学习积极性。

人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数:余弦函数和正切函数

人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数:余弦函数和正切函数
3 4. tan30°= 3 ,tan60°= 3.
5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是 A. tan70°<cos70°<sin70° B. cos70°<tan70°<sin70° C. sin70°<cos70°<tan70° D. cos70°<sin70°<tan70°
∴ cos A AC = 4,tan B AC = 4 .
AB 5
BC 3
随堂即练
如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,
tanA= 3 , 求sinA,cosB 的值.
4
B
解:∵ tan A BC 3,
AC 4
∴ BC 3 AC 3 8 6, C
8
A
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10,
RJ九(下) 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)
新课引入
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当锐角 A 确定 时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.
随堂即练
( )D
解析:根据锐角三角函数的概念,知 sin70°< 1,cos70°<1,tan70°>1. 又∵cos70°=sin20°, 正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°>cos70°= sin20°.
随堂即练
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,cosA = , 15 17
A
C
cos A AC = 8 = 4,tan A BC = 6 = 3 .

九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件

九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件

=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
解: A = 9 0 º - B = 9 0 º - 3 5 º = 5 5 º ,A
∵ tanB=b ,
c
b
a
20
∴ a = tan bB = tan 20 35°≈ 28. 6 . C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB=b , c
A. b=a·tan A
B. b=c·sin A
C. b=c·cos A
D. a=c·cos A
四、课堂训练
3.如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,EC=4, sin B= 4 ,则菱形的周长是( C ).
5 A.10 B.20 C.40 D.28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4.如图,已知 AC=4,求 AB 和 BC 的长.
一般地,由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元 素的过程,叫做解直角三角形.
二、探究新知
(1)在直角三角形中,除直角外还有哪几个元素? (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系? (3)知道这几个元素中的几个,就可以求其余元素? 解:(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素,三边: AB,AC,BC 或 a,b,c 两锐角:∠A ,∠B.
∴ c= sin bB = sin 23 05°≈ 34. 9. 注意:选取函数关系求值时尽可能用原始数据,减少因 为近似产生的累积误差.
二º,∠B=72º,c=14,解这个
直角三角形. A
解: A = 9 0 º - 7 2 º = 1 8 º ,
, B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中,∠C=90º,a=30,b=20.解这个直 角三角形. 在 Rt△ACD 中,

人教版初中数学九年级下册第二十八章:锐角三角函数(全章教案)

人教版初中数学九年级下册第二十八章:锐角三角函数(全章教案)

第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括:锐角三角函数的概念;30°,45°,60°角的三角函数值;利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角;利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用.在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上,引入了锐角三角函数的概念,进而学习解直角三角形,是中学几何的重点与难点.本章是中考的必考内容,主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用.教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题.【本章思想方法】1.体会数形结合思想.如:在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时,注意数形结合思想的应用,即需根据实际问题画出几何图形,并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系.2.体会转化思想.如:(1)把实际问题转化成数学问题:把实际问题的情境转化为几何图形;把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.(2)把数学问题转化为解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,需要添加适当的辅助线构造出直角三角形.3.体会方程思想.如:在解决直角三角形的实际问题中,经常设出未知数来表示某一个量,并利用直角三角形的边、角关系建立方程,将几何问题转化为求方程的解.课时计划28.1锐角三角函数4课时28.2解直角三角形及其应用3课时28.1 锐角三角函数第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值,从而引出正弦的概念.2.理解锐角的正弦的概念,并能根据正弦的概念进行计算. 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳、推理能力.【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义,会求锐角的正弦值. 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61~P63的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ,即sin A =a c.3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若a =3,b =4,则sin B =45.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,求sin A 和sin B 的值.【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值,需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比.【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ,底边长为30 cm ,求底角的正弦值. 【互动探索】(引发学生思考)转化法:将已知条件转化为几何示意图,再作出辅助线构造出直角三角形求解.【解答】如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D. ∵AB =AC =25 cm ,BC =30 cm ,AD 为底边上的高, ∴BD =12BC =15 cm ,∴在Rt △ABD 中,由勾股定理,得AD =AB 2-BD 2=20 cm , ∴sin ∠ABC =AD AB =2025=45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结,老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求,当图形中没有直角三角形时,要通过作高构造直角三角形解答.活动2 巩固练习(学生独学) 1.如图,sin A 等于( C )A .2B .55C.12D . 52.在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =4,sin A =23,则AB 的长为( B )A.83 B .6 C .12D .83.如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin B 24.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,若AD =9,DC =5,E 为AC 的中点,求sin ∠EDC 的值.解:∵AD ⊥BC , ∴∠ADC =90°. ∵AD =9,DC =5,∴AC =AD 2+DC 2=92+52=106. ∵E 为AC 的中点, ∴DE =AE =EC =12AC ,∴∠EDC =∠C ,∴sin ∠EDC =sin C =AD AC =9106=9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB ,BC =6,AC =8,求sin ∠ABD 的值.【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD =∠ABC ,然后由直径所对的圆周角是直角,得出∠ACB =90°,从而由勾股定理算出斜边AB 的长,再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值,进而得出sin ∠ABD 的值.【解答】∵AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB , ∴AC ︵ =AD ︵, ∴∠ABD =∠AB C. ∵AB 为直径, ∴∠ACB =90°.在Rt △ABC 中,∵BC =6,AC =8, ∴AB =BC 2+AC 2=10, ∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =AC AB =45.【互动总结】(学生总结,老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中.在圆中,由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 1.如图,sin A =∠A 的对边斜边.2.求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中,若没有直角三角形,可通过作垂线构造直角三角形.练习设计请完成本课时对应练习!第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1.掌握余弦、正切的定义.2.了解锐角∠A的三角函数的定义.3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动,体验数学学习充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念,并会求指定锐角的余弦值、正切值.【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P64~P65的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,即cos A =bc ;(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,即tan A =ab .2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若a =3,b =4,则cos B =35,tan B =43.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,BC =6,求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图,△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足是D ,若BC =14,AD =12,tan ∠BAD =34,求cos C 的值.【互动探索】(引发学生思考)观察图形,cos C =DC AC ,所以需要通过tan ∠BAD =34和已知条件求出DC 、AC 的长度,再代入求值.【解答】∵在Rt △ABD 中,tan ∠BAD =BD AD =34,∴BD =AD ·tan ∠BAD =12×34=9,∴CD =BC -BD =14-9=5, ∴AC =AD 2+CD 2=122+52=13, ∴cos C =DC AC =513.【互动总结】(学生总结,老师点评)在不同的直角三角形中,要根据三角函数的定义分清它们的边角关系,再根据勾股定理解答.活动2 巩固练习(学生独学)1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =13,AC =12,则cos A =( C ) A.513 B .512C.1213D .1252.已知Rt △ABC 中,∠C =90°,tan A =43,BC =8,则AC 等于( A )A .6B .323C .10D .123.如图所示,将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan ∠AOB =12.4.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是BC 边上一点,AC =2,CD =1,设∠CAD =α.(1)求sin α、cos α、tan α的值; (2)若∠B =∠CAD ,求BD 的长.解:在Rt △ACD 中,∵AC =2,DC =1, ∴AD =AC 2+CD 2= 5.(1)sin α=CD AD =15=55,cos α=AC AD =25=255,tan α=CD AC =12.(2)在Rt △ABC 中,∵tan B =AC BC, 而∠B =∠CAD , ∴tan α=2BC =12,∴BC =4,∴BD =BC -CD =4-1=3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据三角函数定义尝试说明: (1)sin 2A +cos 2A =1; (2)sin A =cos B ; (3)tan A =sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论.【证明】(1)由勾股定理,得a 2+b 2=c 2,而sin A =a c ,cos A =bc ,∴sin 2A +cos 2A =a 2c 2+b 2c 2=c 2c 2=1. (2)∵sin A =a c ,cos B =ac ,∴sin A =cos B.(3)∵tan A =a b ,sin A cos A =a c b c =ab,∴tan A =sin Acos A.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.题目中的三个结论应熟记.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习!第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1.掌握30°,45°,60°角的三角函数值,能够用它们进行计算. 2.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说出相应锐角的大小. 【过程与方法】1.通过探索特殊角的三角函数值的过程,培养学生观察、分析、发现的能力. 2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中,学生积极参与数学活动,培养学生独立思考问题的能力. 二、重难点目标 【教学重点】根据30°,45°,60°角的三角函数值进行有关计算. 【教学难点】正确理解与记忆30°,45°,60°角的三角函数值.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65~P67的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.sin 30°=12,cos 30°2tan 30°32.sin 60°2cos 60°=12,tan 60°3.sin 45°2cos 45°2tan 45°=1. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值: (1)cos 260°+sin 260°; (2)cos 45°sin 45°-tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值.【解答】(1)cos 260°+sin 260°=⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫322=1. (2)cos 45°sin 45°-tan 45°=22÷22-1=0. 【互动总结】(学生总结,老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆,既能由角得值,又能由值得角,记忆这个结果,可以结合直角三角形三边的大小关系,也可以结合数值的特征,30°,45°,60°的正弦值分母都是2,分子分别为1,2,3,而它们的余弦值分母都是2,分子正好相反,分别为3,2,1;其正切值分别为1÷3,1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B 、C 、E 在同一直线上,若BC =2,求AF 的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF =AC -F C.【解答】在Rt △ABC 中,∵BC =2,∠A =30°, ∴AC =BC tan A =23,∴EF =AC =2 3. ∵∠E =45°,∴FC =EF ·sin E =6, ∴AF =AC -FC =23- 6.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用,掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.活动2 巩固练习(学生独学)1.若3tan (α+10°)=1,则锐角α的度数是( A ) A .20° B .30° C .40°D .50°2.若∠A 为锐角,且tan 2A +2tan A -3=0,则∠A =45度. 3.计算.(1)2sin 30°-2cos 45°; (2)tan 30°-sin 60°·sin 30°; (3)(1-3tan 30°)2. 解:(1)0. (2)312. (3)3-1. 4.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,∠A =30°,D 是边AB 上一点,∠BDC =45°,AD =4,求BC 的长.解:∵∠B =90°,∠BDC =45°, ∴△BCD 为等腰直角三角形, ∴BD =B C.在Rt △ABC 中,∵tan A =tan 30°=BC AB ,∴BC BC +4=33,解得BC =2(3+1). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1-tan A )2+⎪⎪⎪⎪sin B -32=0,试判断△ABC 的形状.【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状.【解答】∵(1-tan A )2+⎪⎪⎪⎪sin B -32=0, ∴1-tan A =0,sin B -32=0, ∴tan A =1,sin B =32, ∴∠A =45°,∠B =60°, ∴∠C =180°-45°-60°=75°, ∴△ABC 是锐角三角形.【互动总结】(学生总结,老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数,当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 特殊角的三角函数值:练习设计请完成本课时对应练习!第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值,能用计算器求相应的锐角.3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题,通过求值探讨三角函数问题的某些规律,提高学生分析问题的能力.【情感态度与价值观】通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题.【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P67~P68的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.用计算器求sin 24°37′18″的值,以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″=B.24°′″37°′″18°′″sin=C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″=D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF=2.使用计算器求下列三角函数值.(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067;(2)cos 35°≈0.8192;(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题:(1)求sin 63°52′41″的值;(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值;(精确到0.0001)(3)已知tan x=0.7410,求锐角的值.(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程.【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”,再按下列顺序依次按键:sin 63°′′′52°′′′41°′′′=显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”,再按下列顺序依次按键:tan 19°′′′15°′′′=显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”,再按下列顺序依次按键:SHIFT tan 0.7410=显示结果为36.538 445 77.再按°′′′,显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结,老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的,大体分两种情况:先按三角函数键,再按数字键;或先输入数字后,再按三角函数键,因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.【例2】如图,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.求:(1)AB边上的高(精确到0.01);(2)∠B的度数(精确到1′).【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形.【解答】(1)作AB 边上的高CH ,垂足为H . ∵在Rt △ACH 中,sin A =CHAC ,∴CH =AC ·sin A =9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中,cos A =AH AC ,∴AH =AC ·cos A =9cos 48°,∴在Rt △BCH 中,tan B =CH BH =CH AB -AH =9sin 48°8-9cos 48°,∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角,一般情况下要构造直角三角形.活动2 巩固练习(学生独学)1.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,BC =2,AC =3,若用科学计算器求∠A 的度数,并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数,则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3=B.tan 2÷3DMS =C.2ndF tan (2÷3)=D.2ndF tan (2÷3)DMS =2.用计算器求下列锐角的三角函数值.(精确到0.0001) (1)tan 63°27′; (2)cos 18°59′27″; (3)sin 67°38′24″; (4)tan 24°19′48″. 解:(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3.根据下列条件求锐角A 的度数.(精确到1″) (1)cos A =0.6753; (2)tan A =87.54; (3)sin A =0.4553; (4)sin A =0.6725.解:(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习!28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1.了解什么叫解直角三角形. 2.掌握解直角三角形的根据. 3.能由已知条件解直角三角形. 【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想. 【情感态度与价值观】在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法. 【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72~P73的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.任何一个三角形都有六个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余,即∠A +∠B =90°; (2)三边满足勾股定理,即a 2+b 2=c 2;(3)边与角关系sin A =cos B =a c ,cos A =sin B =b c ,tan A =a b ,tan B =b a .3.Rt △ABC 中,若∠C =90°,sin A =45,AB =10,那么BC =8,tan B =34.环节2 合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(A)A.c sin A=a B.b cos B=cC.a tan A=b D.c tan B=b2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为3.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=4,c=8;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,a=12.解:(1)a=43,∠B=30°,∠A=60°.(2)∠B=30°,b=43,c=8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=122,试求CD的长.【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M,求出BM与CM的长度,在△EFD中求出∠EDF=60°,再解直角三角形即可.【解答】如题图,过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=45°,AC=122,∴BC=AC=12 2.∵AB∥CF,∴∠BCM=∠CBA=45°,∴BM=BC sin 45°=122×22=12,CM=BM=12.在△EFD中,∵∠F=90°,∠E=30°,∴∠EDF=60°,∴MD=BMtan 60°=43,∴CD=CM-MD=12-4 3.【互动总结】(学生总结,老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形,然后利用所学的三角函数的关系进行解答.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应练习!28.2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.了解仰角、俯角等有关概念,会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题.【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题.【教学难点】建立合适的三角形模型,解决实际问题.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P74~P75的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.在进行测量时,从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.2.如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端点A的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为a tan α米.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面点P的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与点P的距离是多少?(地球半径约为6400 km,π取3.142,结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图,热气球探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图,为了测量河的宽度AB,测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上),则河的宽度AB 约是多少?(精确到0.1 m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:由题易知,∠DAC=∠EDA=30°. ∵在Rt△ACD中,CD=21 m,∴AC=CDtan 30°=2133=213(m).∵在Rt△BCD中,∠DBC=45°,∴BC=CD=21 m,∴AB=AC-BC=213-21≈15.3(m).即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,某大楼顶部有一旗杆AB,甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°,且C、D、E在一条直线上.如果DE=15米,求旗杆AB的长大约是多少米?(结果保留整数,参考数据:sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ,先求出AE 与BE →解直角三角形:Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∵∠ADE =65°,DE =15米, ∴tan ∠ADE =AE DE,即tan 65°=AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米.在Rt △BCE 中,∵∠BCE =42°,CE =CD +DE =6+15=21(米), ∴tan ∠BCE =BE CE,即tan 42°=BE21≈0.9,解得 BE ≈18.9米.∴AB =AE -BE =31.5-18.9≈13(米). 即旗杆AB 的长大约是13米.【互动总结】(学生总结,老师点评)先分析图形,根据题意构造直角三角形,再解Rt △ADE 、Rt △BCE ,利用AB =AE -BE 即可求出答案.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应练习!第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度i =坡面的铅直高度坡面的水平宽度=坡角的正切值. 【过程与方法】1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值.二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题.【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76~P77的内容,完成下面练习.【3 min 反馈】(一)方向角1.方向角是以观察点为中心(方向角的顶点),以正北或正南为始边,旋转到观察目标的方向线所成的锐角,方向角也称象限角.2.如图,我们说点A 在O 的北偏东30°方向上,点B 在点O 的南偏西45°方向上,或者点B 在点O 的西南方向.(二)坡度、坡角1.坡度通常写成1∶m的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i=hl=tan α.2.一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型);2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形,解决航海问题【例1】如图,海中一小岛A,该岛四周10海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续向东航行,你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗?【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论.【解答】如题图,过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中,∵tan ∠BAD =BD AD, ∴BD =AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中,∵tan ∠CAD =CD AD, ∴CD =AD ·tan 25°.∵BD =BC +CD ,∴AD ·tan 55°=20+AD ·tan 25°,∴AD =20tan 55°-tan 25°≈20.79(海里). 而20.79海里>10海里,∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.【互动总结】(学生总结,老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题,通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决.应先求出点A 距BC 的最近距离,若大于10海里则无危险,若小于或等于10海里则有危险.(二)解直角三角形,解决坡度、坡角问题【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD ,AD ∥BC ,路基顶宽BC =9.8 m ,路基高BE =5.8 m ,斜坡AB 的坡度i =1∶1.6,斜坡CD 的坡度i ′=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°).【互动探索】(引发学生思考)将坡度i=1∶1.6和i′=1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD=AE+EF+DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值.【解答】如题图,过点C作CF⊥AD于点F,则CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8 m, i=1∶1.6, i′=1∶2.5,∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m),∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tan α=i=1∶1.6,tan β=i′=1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m,斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形.活动2巩固练习(学生独学)1.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为2.“村村通”公路工程拉近了城乡距离,加速了我区农村经济建设步伐.如图所示,C 村村民欲修建一条水泥公路,将C 村与区级公路相连.在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向,沿区级公路前进500 m ,在B 处测得C 村在北偏东30°方向.为节约资源,要求所修公路长度最短,画出符合条件的公路示意图,并求出公路长度.(结果保留整数)解:如图,过点C 作CD ⊥AB ,垂足落在AB 的延长线上,CD 即为所修公路,CD 的长度即为公路长度.在Rt △ACD 中,根据题意,有∠CAD =30°.∵tan ∠CAD =CD AD, ∴AD =CD tan 30°=3C D. 在Rt △CBD 中,根据题意,有∠CBD =60°.∵tan ∠CBD =CD BD,∴BD=CDtan 60°=33C D.又∵AD-BD=500 m,∴3CD-33CD=500,解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶ 3 ,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离.【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形,DE=CE=AC+AE→求得BD长.【解答】如图,延长CA交DB延长线于点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F,则∠。

人教版九年级数学下册:28锐角三角函数《锐角三角函数优秀教学案例》教案

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1.了解锐角三角函数的概念、定义及性质,掌握锐角三角函数的计算方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题,提高学生的应用能力。
3.学会使用三角板和直尺等工具进行角度测量,培养学生的动手操作能力。
4.能够运用信息技术辅助学习,提高学生的信息素养。
(二)过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法,引导学生主动发现锐角三角函数的规律。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.生活实例引入:教师通过展示一些实际生活中的图片,如建筑物的设计图、物理实验场景等,让学生观察并思考其中涉及到的角度问题。
2.提问引导:教师向学生提出问题,如“这些图片中的角度是如何计算的?”“你能想到一些与角度相关的实际问题吗?”等,激发学生的思考兴趣。
3.学生回答:鼓励学生积极回答问题,分享自己的观点和思考。
三、教学策略
(一)情景创设
1.生活情境:通过设置一些与生活密切相关的实例,如建筑设计、物理实验等,让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣。
2.问题情境:设计一些具有挑战性的问题,让学生在解决问题的过程中自然地引入锐角三角函数的知识,引导学生主动探究。
3.互动情境:创设轻松、愉快的课堂氛围,鼓励学生积极参与课堂讨论,培养学生主动表达自己观点的能力。
2.作业反馈:教师及时批改学生的作业,给予反馈和评价,指出学生的错误和不足,帮助学生提高。
3.学生自我检查:学生对自己的作业进行自我检查,总结自己在作业中的优点和不足,不断提高自己的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的引入:通过展示与学生生活密切相关的实例,如建筑设计、物理实验等,让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用,使学生感受到数学的实用性,激发学生的学习兴趣。这种生活情境的引入,不仅能够引起学生的兴趣,还能够增强学生对知识的理解和记忆。

初中人教版数学九年级下册28.1【教学课件】《锐角三角函数》

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应用新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值。
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应用新知
例3:求下列各式的值:
2 2
cos 45 tan 45。 (1)cos 60 sin 60 ;(2) sin 45
在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值。
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正弦函数概念:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正 弦(sine),记住sinA,即
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第二十八章●第一节
锐角三角函数
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问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系?
⑵在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有什么关系? ⑶在直角三角形中,斜边与两条直角边之间有什么关系?
问题2 据研究,当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时,人脚的感觉最
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问题6 如图,两块三角尺中有几个不同的锐角?这几个锐角的正弦值、余弦值 和正切值各是多少?
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探究新知
问题7 我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。如果已知锐角三角函数值, 也可以使用计算器求出相应的锐角。 如用计算器求sin18°的值。 第一步:按计算器sin键; 第二步:输入角度值18。 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994。 再如已知sinA=0.501 8,用计算器求锐角A。 第一步:依次按计算器2nd F、sin键; 第二步:然后输入函数值0. 501 8。 屏幕显示答案: 30.119 158 67°。(按实际需要进行精确)

人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数(教案)

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3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
在实践活动环节,学生们分组讨论和实验操作的表现值得肯定。他们能够积极参与,主动探究,展示出良好的团队合作精神。但同时,我也注意到有些小组在讨论过程中,成员之间的交流不够充分,导致讨论成果不够深入。针对这一问题,我将在后续的教学中,加强对学生讨论过程的引导,鼓励他们多发表自己的观点,提高讨论效果。
在学生小组讨论环节,大家对于锐角三角函数在实际生活中的应用提出了很多有趣的例子。这说明学生们能够将所学知识应用到实际问题中,达到了教学目标。但在讨论过程中,我也发现有些学生的思考不够深入,容易停留在表面。为了提高学生的思考能力,我将在以后的课堂中,多设置一些具有挑战性的问题,引导学生深入思考。
4.锐角三角函数的应用:解决直角三角形中的计算问题,如求边长、角度等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面:
1.培养学生的逻辑思维能力,通过锐角三角函数定义的理解,使学生掌握数学概念之间的内在联系;
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人教版九年级下册数学第二学期单元质量检测
九年级数学·28章·锐角三角函数
九( )班 号 姓名 成绩
本试卷共100分。

考试时间100分钟。

一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若tan A =
34,则sin A 等于( ). A.43 B.34
C.53
D.35
2310)1α+︒=,则锐角a 的度数是( ). A .20° B .30° C .40° D .50°
3.如图所示,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC 上找一点B ,取∠ABD =145°,BD =500 m ,∠D =55°,要使A ,C ,E 成一直线,那么开挖点E 离点D 的距离是( ).
A .500sin 55°m
B .500cos 55°m
C .500tan 55°m D.500cos55︒
m 4.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m ,则他升高了( ).
A .2005
B .500 m
C .3
D .1 000 m
5.已知在△ABC 中,∠C =90°,设sin B =n ,当∠B 是最小的内角时,n 的取值范围是( ).
A .0<n <22
B .0<n <
12
C .0<n <3
D .0<n 36.某个水库大坝的横断面为梯形,迎水坡的坡度是13背水坡为1∶1,那么两个坡的坡角和为( ). A .90° B .75° C .60°
D .105°
7.计算6tan45°-2cos60°的结果是( )
A .4 3
B .4
C .5
D .5 3 8.野外生存训练中,第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3 km ,第二小组向南偏东30°方向前进了3 km ,第一小组准备向第二小组靠拢,则行走方向和距离分别为( ).
A .南偏西15°,32
B .北偏东15°,32
C .南偏西15°,3 km
D .南偏西45°,329.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,若AC =2 3,AB =4 2,则tan ∠BCD 的值为( ) A. 2 B.153 C.155 D.33
10.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B 处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m ,测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ,则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m ,3≈1.73).
A .3.5 m
B .3.6 m
C .4.3 m
D .5.1 m
第12题图第13题图
二、填空题(
每小题4分,24共分)
11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则
梯子的顶端沿墙面升高了__________ m.
12.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为24米,则旗杆AB的高度是__________米.
13.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M,N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan ∠ADN=__________.
14.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边,△ABC最小的角为A,那么tan A的值为__________.
15.等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于________ .
16.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则cosA= .
三、解答题(共46分)
17.(10分)计算:
(1)sin245°+tan 60°cos 30°-tan 45°;(2)|2
|+(cos 60°-tan 30°)0+8
18.(7分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=
163
3
.
(1)求∠B的度数;
(2)求边AB与BC的长.
第11题图
19.(7分)如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20 m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度(3≈1.732,结果保留一位小数).
20.(7分)我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC∥AD,斜坡AB =40 m,坡角∠BAD=60°,为防夏季因暴雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A不动,从坡顶B沿BC削进到E处,问BE至少是多少米(结果保留根号)?
21.(7分)已知:如图,△ABC中,AB=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sin B.
22.(8分)已知:如图,△ABC中,∠B=30°,P为AB边上一点,PD⊥BC于D.
(1)当BP∶PA=2∶1时,求sin∠1、cos∠1、tan∠1;
(2)当BP∶PA=1∶2时,求sin∠1、cos∠1、tan∠1.
第二学期单元质量检测
九年级数学·28章·锐角三角函数(详细答案)
一、选择题
1、D
2、A
3、B
4、A
5、A
6、B
7、C
8、A
9、B 10、D
二、填空题
11
、; 12、83;13、
43;14、13
或4 ;15、75°或15° ;16、55 三、解答题
17. 解:(1)
原式=212⎛ ⎝⎭=1322+-1=1.
(2)||+(cos 60°-tan 30°)0
1
+=1
+18. 解:(1)在Rt △ACD 中,∵cos ∠CAD

AC AD ==,∠CAD 为锐角, ∴∠CAD =30°,∠BAD =∠CAD =30°,即∠CAB =60°.∴∠B =90°-∠CAB =30°.
(2)在Rt △ABC 中,∵sin B =
AC AB ,∴AB =8sin sin 30AC B =︒=16.又cos B =BC AB , ∴BC =AB ·cos B =16
×2
=. 19. 解:根据题意可知:∠BAD =45°,∠BCD =30°,AC =20 m .在Rt △ABD 中,由∠BAD =∠BDA =45°,得AB =BD .在Rt △BDC 中,由tan ∠BCD =
BD BC ,得BC
.又BC -AB =AC ,
BD -BD =20,∴BD
27.3.∴古塔BD 的高度约为27.3 m. 20. 解:作BG ⊥AD 于点G ,作EF ⊥AD 于点F 在Rt △ABG 中,∠BAD =60°,AB =40,
∴BG =AB ·sin 60°
=AG =AB ·cos 60°=20.同理,在Rt △AEF 中,∠EAD =45°,
∴AF =EF =BG
=∴BE =FG =AF -AG =
-1).
因此BE 至少是
1) m. 21.sin B=
13
22提示:作AE ⊥BC 于E ,设AP =2.
(1)当BP ∶PA =2∶1时,求sin ∠1=23 ;cos ∠1=2
1;tan ∠
(2)(2)当BP ∶PA =1∶2时,sin ∠1=
721 ;cos ∠1=772;tan ∠1=23。

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