一类级数不等式的定积分放缩法
高中数学中常见的不等式放缩方法
高中数学中常见的不等式放缩方法作者：杨发莲来源：《学习与科普》2019年第31期摘要：在高中数学中，不等式扩展和收缩方法经常存在于各种不等式的证明中，这是证明不等式是否有效的常用方法，并且在学习过程中很难掌握这种方法。
本文重点研究了不等式的缩放方法，并以样本问题的形式详细解释了具体的缩放方法，以帮助学生更好地掌握该部分的内容。
关键词：关键词：高中数学;不等式;放缩方法一、浅析不等式缩放方法在高中不等式相关内容的学习过程中，缩放方法是一种常见的不等式计算方法。
它主要是扩大或缩小不等式左右两侧的项，以便找到中间项并帮助证明不等式是否正确。
例如，如果难以直接证明不等式A和B，那么我们可以找到A中间c，在不等式的左侧放大或缩小A到c，然后只需要证明A，c和B.这种证明不等式的方法称为缩放方法。
在使用此方法解决问题时，需要掌握一些技能。
例如，在简单的不等式的情况下，需要适当地丢弃一些不重要的项，而对于过于简单的不平等，应该适当地添加中间项，但必须很好地掌握程度，并且复杂性不应该是增加，只有准确把握相关内容，才能很好地运用这种方法。
二、常见的不等式缩放方法扩缩法是证明不等式的常用且非常重要的方法。
在证明过程中，适当的缩减和收缩可以简化复杂性并使难度变得更容易，从而以一半的努力获得两倍的结果。
但是，收缩的范围很难掌握，经常出现收缩后无法得出结论或得出相反的结论现象。
因此，在使用扩缩法时，如何确定收缩目标非常重要。
为了正确确定目标，我们必须根据结论，把握主题的特点。
掌握扩张和收缩的技能，真正理解并根据不同类型的问题，采用适当的扩展和收缩方法，解决问题，从而培养和提高他们的思维和邏辑推理能力，分析和解决问题的能力。
2.1不等式缩放基于特定目标要应用这种方法，有必要澄清问题的目标并掌握不平等缩放的程度方法主要包括添加一些项，删除一些项，使用分数的属性，还有使用不等式的属性，使用已知的不等式和使用函数的属性等。
添加一些项。
依据结构,分项放缩——一类高考不等式压轴题的解法技巧探究
由⑤ 构造条件式 ④ 中的 ∑ ， １ 这是能办到的，
在 ⑤ 式 中， ｎ＝ ２ ３ ４ ５ … 得 一 取 ， ， ，，
１ １
一
≥
１ ≥ １
１
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一
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—
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…
，
一
—
Ｌ
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．
将这些 不等式的两
这个例子 中， 我们发现通过构造“ 同元素” 相 来沟
通条件式与条件式， 或条件式与结论式之间的关 系， 某种意义 上说， 从 对于 问题的解决的确起 着
决定性的作用．
２ 依据题设结构， ． 结论导向与标志性 “ 中途 点” 架设起联系的桥梁
｛ 的各项 为正， ０） 由条件式 ② 的结构特征， 将 其两边取倒数得 ≥ —－ ａ － ｎ ｛— １： —Ｌ ＋ －ｎ
ｎ 十 ａｎ－ １
ｏ
得 一
１
＝ —
［ｇ ｎｊ １ ２ ］移项得 ｎ ｏ ａ
一
［ｇ 卅 １ｚ ｏ
２ １ ２ ］ ＋ｂ ｎ ［ｇ ｏ
，
由ｎ ｎ＞ ０ ６＞ ０ 知 。 ， ， ｎ＜
，… … ②
ｚｏ
，
佗＝ ３ ４ ５ ， ， ，…
礼 ２ ， ５ ・ ：ｎ 丽ｏ ＝ ， ４ ， 证明 ０ ＜ ３ ，… ｚ
２ １年第 ５ ０１ 期
数 学教 学
５３ —５
依据结构， 分项放 缩
一
一
类 高考不 等 式压轴 题 的解 法技 巧探 究
２５ ０ 安徽省淮北师范大学数学科学学院 张 昆 ３０ ０
不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
不等式的放缩法基本公式
不等式的放缩法基本公式1.加减法：对于不等式a<b，可以加上一个等式(或不等式)的两边，得到a+c<b+c。
同样地，可以减去一个等式(或不等式)的两边，得到a-c<b-c。
2. 乘除法：对于不等式a < b，如果c > 0，则乘以一个正数的两边，不等号方向不变，得到ac < bc。
如果c < 0，则乘以一个负数的两边，不等号方向反转，得到ac > bc。
同样地，除以一个正数的两边，不等号方向不变；除以一个负数的两边，不等号方向反转。
3.平方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数，可以对其进行平方运算，得到a^2<b^2、如果a和b都是负数，得到a^2>b^24.开方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数且不超过1，可以对其进行开方运算，得到√a<√b。
如果a和b都是正数且大于1，得到√a>√b。
5.绝对值：对于不等式，a，<，b，可以根据a和b的正负情况分别讨论。
如果a和b都是非负数，得到a<b。
如果a和b都是负数，得到-a<-b。
6.倍增法：对于不等式a<b，可以重复加或者减一个相同的数，直到得到符合条件的不等式。
这些是不等式的放缩法的基本公式和方法，但实际问题中常常还需要结合具体情况进行灵活运用。
同时，需要注意的是，放缩法只是解决不等式问题的一种方法，不是唯一的方法，有时候可能需要结合其他方法一起使用。
最重要的是，解决不等式问题时需要保持逻辑性和推理能力，严谨地进行分析和求解。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-Λ)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
常见级数不等式放缩公式
常见级数不等式放缩公式常见级数不等式放缩公式是数学中常用的一种技巧，可以用来对级数进行估计和近似计算。
在实际问题中，我们经常会遇到各种级数，通过对级数进行适当的放缩，可以更好地了解级数的性质和行为。
我们来介绍一些常见的级数不等式放缩公式。
这些公式可以帮助我们对级数进行估计，从而得到级数的一些重要性质。
下面是其中一些常见的放缩公式：1. 比较判别法：对于两个正项级数，如果它们的通项之间存在大小关系，那么级数之和也有相同的关系。
例如，如果对于所有的n，有an ≤ bn，那么an的级数之和小于等于bn的级数之和。
2. 比值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得an+1/an ≤ q，那么级数收敛；如果an+1/an ≥ q，那么级数发散。
3. 根值判别法：对于正项级数，如果存在常数q，使得lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≤ q，那么级数收敛；如果lim┬(n→∞)〖(an)〗^(1/n) ≥ q，那么级数发散。
4. 积分判别法：对于正项级数，如果存在连续函数f(x)，使得an = f(n)，那么级数与定积分∫_(1 to ∞)▒f(x)dx之间有相同的收敛性。
以上是一些常见的级数不等式放缩公式，它们在级数的研究中起着重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以得到级数的一些重要性质，比如级数的收敛性、发散性以及级数之和的估计。
接下来，我们来看一些具体的例子，展示如何应用这些级数不等式放缩公式。
以比较判别法为例，我们考虑两个级数an=1/n和bn=1/n^2。
显然，对于所有的n，an ≤ bn，根据比较判别法，我们可以得到an的级数之和小于等于bn的级数之和。
而bn的级数之和是一个著名的数学常数，即π^2/6。
因此，我们可以得到1/n 的级数之和小于等于π^2/6。
这个结果对于研究级数的性质和行为非常有用。
除了比较判别法，还有其他的级数不等式放缩公式可以应用到各种级数的研究中。
例如，比值判别法和根值判别法可以用来判断级数的收敛性，积分判别法可以用来估计级数的和。
高中数学-放缩法(详解)
放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
教师与学霸专享优质资料：证明级数不等式的放缩法
n
Å
h 木k 朩 朽
k=1
n √ 朲 朱 √ n末 · n− k ．则 朳 朲 k=1
ã
Å
S1 朽
1 2 3
朱 朲 朱 末 ·朱−朱朽 朳 朲 朶
ã
这种想法称为“后移放缩起点” ，是可以配合所有放缩法使用的调整方式． 可以用分析通项法证明的级数不等式一定可以利用数学归纳法证明，其本质相同．
n
在实际应用时，对
ã
x=1
c 木 a 末 b朩 木ax 末 b朩
朽
c a末b
为了保证二者在 x 朽 朱 处相切，令
c 朽 朱 ， 即 c 朽 a 末 b ． 此时 a末b
Å
c 木x − 朱朩 木a 末 b朩 木x − 朱朩 朽 朽 ax 末 b ax 末 b
朱末
b 木x − 朱朩 a , b x末 a
ã
记λ 朽
b 朱末λ 朱末λ ，则 gλ 木x朩 朽 木x − 朱朩 ，考虑函数 F 木x朩 朽 杬杮 x − 木x − 朱朩 有 a x末λ x末λ F 木x朩 朽 朱 木朱 末 λ朩 木x − 朱朩 木x − λ2 朩 − . 2 朽 2 x 木 x 末 λ朩 x木x 末 λ朩
2
第 一 种 情 形， 当 λ 朽 朱 时 F 木x朩 单 调 递 增， 而 F 木朱朩 朽 朰 ， 于 是 在 木朰, 朱朩 上， 杬杮 x < 朲 朲 木x − 朱朩 ；在 木朱, 末∞朩 上， 杬杮 x > 木x − 朱朩 ． 由 于 此 时 gλ 木x朩 与 f 木x朩 朽 杬杮 x 在 x 朽 x末朱 x末朱 朱 处的二阶导数相同，所以这是一个很好的近似． 但是它有个明显的缺点，那就是不等号的 方向是不可控的． 我们接下来研究 λ 朽 朱 的情形． 第二种情形，当 λ > 朱 时 F 木x朩 在 木朰, 朱朩 上单调递增，在 木朱, λ2 朩 上单调递减，在 木λ2 , 末∞朩 上 单调递增，而 F 木朱朩 朽 朰 ，于是 在 木朰, 朱朩 上1 ， 杬杮 x < 在 木朱, λ2 朩 上， 杬杮 x < 朱末λ 木x − 朱朩 朻 x末λ 朱末λ 木x − 朱朩 朻 x末λ
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
用放缩法证明不等式时如何放缩
ｎ ＋ Ｃ 以 十Ｄ
又 因 为 ２ ＝（ １ ＋ １ ） ｃ ｎ ｏ ＋ ｃ ＋ｃ Ａ＋ｃ ＋ｃ １ ＋
十 八 槲１ ＞ ２ 川， 所 以 ｎ ） ＞ 者 。
３ “ 添舍” 放缩
＜ ２。
通过对 不等 式的一 边进行 添项 或减项 以达 到解题 目的 ， 这是常规思路 。
的氛 围 ， 为开展探究活 动做好思 想上 、 心理上 的准备。在探 究 解决 了学生 的学习态度 、 学习 习惯 问题 ， 使教 学质 量的提高和 过程 中 ， 教师 要通 过巡视 、 观察 、 参 与讨 论等方 式给 学生 以积 学生 学习能力 的发 展有了可靠保证 。 同时 ， 也 创设了富有生机
１ 分 式 放 缩
一
证明： 由题意 知 ， （ ， ｚ ） 一 ｎ 丁＝
＂ 十 ｌ
， ’ 十
Ｉ
一 ｎ 丁＝ （ １ 一
＂十 ｌ
， ＿ 十
ｌ
） 一
ｒ 一 ： ： 二 １ 丝 ± ２
３ ， 所 以只须证 ２ 一 ＞２ ｎ ＋１ ，
ｎ ＋ ｌ
ｎ ＋ ｌ ２ １ （ ｎ ＋ １ ） （ ２ １ ）’
个分式若 分子变大则 分式值变 大 ，若分 母变大 则分式
又因为 ｎ ＥＡ ｒ 且
值 变小 ， 一个真 分式 ， 分子、 分母 同时 加上 同一个 正数 则分式 值 变大 ， 利用这些 性质 ， 可达到证题 目的 。 例 １ ：已知 ａ 、 ｂ 、 ｃ为三 角 形 的三 边 ，求 证 ： １ ＜ Ｌ ＋
，
—
证明 ： 由题 设得 ａ ２ ＋ ａ ｂ ＋ ｂ ａ ＋ ｂ， 于是（ 口 ＋ ） ＞ａ ２ ＋ａ ｂ ＋ ＋— ＋ — ， 又 口 ， ｂ ， ｃ为三 角形 的 边 ， 故 ＋ ａ ＋ｂ ＋ｃ ’ａ ＋ｂ ＋ｃ 。 ａ＋ｂ ＋ｃ ’ ～ “’ ’ 。 — — ｎ 工’ 。 ｂ ２ ＝ａ ＋ ｂ ， 又ａ ＋ ｂ ＞０ ， 得 ｎ ＋ ＞ｌ ， 又 ＜ １（ 日 ＋ ６ ） ｉ ｌ ｉ ｉ （ 日 ＋ ６ ） ＝
例谈证明不等式的四种常用措施
=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
֍
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+
放缩法应用及定义
放缩法的应用范畴及其定义杜林涛【摘要】放缩法是针对不等式结构、性质，将一端向另一端进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段. 所以放缩法被认为只适用于证明不等式成立，不被重视，它的应用范畴也大多集中在中小学的证明题. 但放缩法也是始终贯穿证明不等式的指导变形方向的一种思考方法，从这作为出发点，对放缩法在数学分析、实变函数以及点集拓扑中进行了研究. 通过分析放缩法在一般分析学中的应用，进而重新认识放缩法，发现它不仅适用于任何有关不等式的证明，还可以作为定理用来求值或判别某种性质. 放缩法应用在不等式证明之外，脱离了不等式的结构、性质，那什么是放缩法，放缩法作为可以简化问题或解决问题的一种工具，抽象成概念，即在保持某种条件不变的情况下，向特定方向进行不等变形的方法是放缩法. 放缩法具有广泛的应用性，应重视运用放缩法解决问题.【关键词】放缩法；不等式；收敛法；集合.目录1引言 (1)2放缩法在数学分析中的应用举例 (1)2.1放缩法在不等式证明中的应用 (1)2.2放缩法在求值和判别原则中的应用 (6)2.3放缩法在实数基本定理中的应用 (12)3放缩法在实变函数中的应用举例 (14)3.1放缩法在集合中的应用 (14)3.2放缩法在测度中的应用 (15)4放缩法在点集拓扑中的应用 (16)5结论 (17)参考文献 (18)1 引言近年来，放缩法的主要研究方向是在不等式中应用的技巧．放缩的思想已经应用在生活的各个方面，只是进行了放大或缩小就被认为使用了放缩法，这种想法是错误的．单纯的放大或缩小既不能使问题简化，也没有其它的研究价值．随意的进行放大或缩小的行为不是放缩法．放缩法是不等式证明的一种方法．证明不等式A<B 成立，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，放缩法的主要理论依据是不等式的传递性，即若A<B ，B<C ，则A<C ．放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，放缩法可以将不等式证明化繁为简，化难为易．但放缩法不只适用于不等式证明，它还可以应用到更广阔的领域，在解决某些问题时，放缩法可以达到事半功倍，如何理解放缩法尤为重要．本文将主要举例探讨放缩法在数学分析、实变函数、点集拓扑中的应用，推广放缩法在分析学中的应用，并指出保持某种条件不变向特定方向不等变形的方法，就是放缩法．2 放缩法在数学分析中的应用举例2.1放缩法在不等式证明中的应用例2.1 证明不等式111123n ααα++++<2 ，1,2,n = 成立，其中实数2α≥．证明 2221111111232311111122334(1)11111111(1)()()()223341122.n n n nn n n ααα++++≤1++++≤+++++⨯⨯⨯-⨯=+-+-+-+--=-< 其中1,2,n =… ，证毕．这道题利用了不等式的传递性，从左端向右端放大了三次得到了结果，有两个中间量，其实已经得到了两个更强的结论22211111112323n nααα++++≤1++++和11111223n nααα++++≤-，在体现了放缩法的基本思想．如果把α改成2，这就是一道运用放缩法的中学题目．例2.2 设()f x 为[]0,1上的非负连续函数，且2()12()xf x f t dt ≤+⎰，证明：()1f x x ≤+,[0,1]x ∈.证 令0()12()xF x f t dt =+⎰，则2()()f x F x ≤，且()2()F x f x '=≤，于是001x x dt x==≤=⎰⎰⎰ ,因此()1f x x ≤≤+．此题构造了一个中间量，从左向右放大了两次．这是典型的放缩法，证明A<C ，寻找一个中间量B ，使得A<B ，证明B<C 成立即可．说明在积分不等式中，放缩法也适用．例2.3 设 ()f x 在[]0,2π上具有一阶连续导数，且()0f x '≥，求证：对任意自然数n 有[]202()sin (2)(0)f x d nx f f nππ≤-⎰. 证 不等式左端＝[][]22200020111()cos ()cos ()cos 11(2)(0)()2(2)(0)f x d nx f x nx f x nxdx n n n f f f x dx n n f f nππππππ'=-'≤-+=-⎰⎰⎰即证．本题向右端只放大了一次，就得到了结果．虽然没有中间量，但这也是放缩法，因为它利用了不等式的传递性并向右端进行放缩来得到证明结果．我们发现在不等式证明中只要向一端有选择性的进行放大或缩小的方法，就是放缩法．定理2.1 （泰勒定理） 若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导函数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点()ξ,a b ∈，使得200000()(1)1000()()()()()()2!()(ξ)()().!(1)!n n n n f x f x f x f x x x x x f x f x x x x n n ++'''=+-+-++-+-+（带有佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++．我在这里介绍泰勒定理，是因为泰勒定理可以把满足条件的多项式()f x 分解成关于x 的一元多项式，在证明不等式()()f x g x >时，多项式()f x 按照泰勒定理分解后，在原不等式成立的条件下保留有限项，向右端进行放缩．而麦克劳林公式是泰勒公式的变形，至于它们的余项，在这里不用考虑，因为在不等式用放缩法的过程中是要舍掉的．二项式定理也具有同样的特点，例如()11nλλ+>+，在这里就不作介绍了．在某些不等式的证明中，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以把不等式化简，给不等式证明带来了很大的便捷．我在这里举几个常用函数的麦克劳林公式：21()2!!nxn x x e x o x n =+++++.(2.1)352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+-.24221cos 1(1)()2!4!(2)!mmm x x x x o x m +=-+++-+.231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n -+=-+++-+.例2.4 证明不等式:当0x ≠时,1x e x >+.证明1 函数x e 在(),-∞+∞上存在直至1n +阶的连续导函数,则根据公式（ 2.1），当0x >时明显有21()12!!nn x x x o x x n +++++>+, 当0x <时，设(0)x y y =->，即()22222122()()1()1()()2!!2!!1()2!(2)!(21)!11.n n nn m m m x x y y x o x y o y n n y y y y o ym m y x ++--+++++=+-++++-⎛⎫=-+++-+ ⎪+⎝⎭>-=+即证当0x ≠时1x e x >+．这道题如果只证明0x >的情况，用这种方法进行放缩就很简单了．除了用麦克劳林公式进行放缩，这道题还有其他的方法．证明2 设()(1)x f x e x =-+，则当0x >时，()10x f x e '=->,所以，()()(0)00f x f x >=>，即1x e x >+ ()0x >.同理可证，当0x <时，1x e x >+.总之，当0x ≠时，1x e x >+.此不等式的几何意义是,曲线x y e =位于曲线1y x =+的上方．在例2.1.3的分析中我们知道本题运用了放缩法，它是通过设立函数，利用微分判别函数的单调性，再对函数()f x 运用放缩法得到结果．这道题的特点是没有在原不等式两端进行放缩，而是移项后和0比较，函数之间运用放缩法．例2.5 证明不等式：1a a e +<，式中a 为正有理数． 证明 ()11nx nx +≥+（x >0,n 为正整数）.设pa q=，p ，q 为正整数，则由于 11qe q ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭,故111111qa pa pe a q q q ⎛⎫⎛⎫>+=+≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这道题利用了两个已知不等式关系进行放缩，如果把放缩法看成不等式证明的一个工具，在本题中利用已知不等式关系证明不等式就是放缩法．因为放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，而利用不等式关系本身就是在指导变形方向．例2.6 证明不等式：1!2nn n +⎛⎫< ⎪⎝⎭当1n >．证 当2n =时,因为2219()22!24+=>= ,故不等式成立． 设n k =时,不等式成立,即1!2kk k +⎛⎫< ⎪⎝⎭,则对于1n k =+时,有111(1)!(1)222k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由于11211211k k k k k +++⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭(1,2,)k =，从而有1(1)1(1)!2k k k +++⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦，即对于 1n k =+时，不等式也成立． 于是，对于任何自然数n ，有1!2nn n +⎛⎫< ⎪⎝⎭．该题目在不等式证明中用的是数学归纳法，没有直接用放缩法，但我们可以看出在证明1n k =+时，不仅运用了n k =时不等式成立的假设，还利用了一个不等式关系11211211k k k k k +++⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭(1,2,)k =，根据对例2.1.5的分析，这道题明显运用了放缩法．例2.7 证明：(){}222inf sin sin 1sin(2):0n n n n ++++∈>．证 方法1 反设(){}222inf sin sin 1sin(2):0n n n n ++++∈=，那么存在着自然数列{}n k ，使得()()222limsin limsin 1limsin 20n n n n n n k k k →∞→∞→∞=+=+=．由()()2221122n n n ++--=得()()222sin 2sin sin 1sin 2n n n n n n k k k αβγ=++++，其中，n α，n β，n γ皆为有界量．上式两边取极限后得sin20=．矛盾． 方法2 注意到对任意的α，β，()sin sin sin αβαβ+≥+，于是()()222sin 1sin 1sin n n n ++-+ ()()()(){}()()22222222221sin 1sin 12sin 21sin 1sin 121sin 11221sin 2.2n n n n n n n n n n ⎡⎤≥++-+⎣⎦⎡⎤⎡⎤≥+-+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤≥++--⎣⎦=这道例题的第一种证明方法用的是反证法，在其中并没有运用到放缩法，说明不是所有证明不等式的就一定要用到放缩法．第二种证明方法用的就是放缩法,说明有关不等式的证明都可以用放缩法进行尝试.由以上例子我们可以发现，在数列、函数、积分的不等式证明中都运用了放缩法，甚至任何有关不等式的证明中都用到了放缩法．这说明放缩法在证明不等式中至关重要，涉及有关不等式证明的都可以用放缩法进行尝试．在不等式证明中无论是借助泰勒公式、函数的单调性还是已知的不等式关系，我们发现放缩法就是在保持原不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法．2.2 放缩法在求值和判别原则中的应用在证明等式成立时有的也可以运用放缩法，等式的证明可以分成两个不等式的证明，即证明A=B 等价于证明A ≥B 和A ≤B ，这就相当于不等式B ≤A ≤B .这种形式类似于极限的迫敛性，证明极限的值也就是在证明等式成立．下面我们统称寻找适当的量B,使得B ≤A ≤B 的方法叫迫敛法．其中迫敛法就是A 向两端进行放缩寻找B 使得不等式成立的方法，即保持不等式两端相等（可以是值相等，也可以是两个极限值相等的不同的数列或函数），选择性的放大或缩小的方法，所以迫敛法本身就是放缩法．例2.8 证明：2112!!lim2nn n n n n n e →∞++++=.证 由带积分余项的泰勒展开式知()2112!!!n n nn x n n e n e n x dx n n =+++++-⎰， 因而原命题等价于证明()01lim !2n nnx n e e n x dx n -→∞-=⎰. 再利用斯特林公式12!nn n n e e θ⎫=⎪⎭，()0,1θ∈，知原命题等价于证明()101nxn e x dx ⎡⎤-=⎣⎦首先，注意到()()2210x x ex e x -≥-≥，于是)2222lim 1lim nx t nnx n n x e dx dx e dt +∞--→∞→∞-≤==⎰⎰⎰其次，对任何1α>，考虑辅助函数()22()1x x f x x e eα-=--，0x ≥．因为22()1x x xf x xe e αα+-⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭，而220lim 110x x x e ααα++-→⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭， 故存在着实数()0,1x α∈，使得当()0,x x α∈时，2210x x eαα+-->．因而，()f x 在[]0,x α中递增，故()[]()2210,x x x e ex x αα--≥∈．从而，)2222lim 1lim n x x nnx n n x e dx dx edx αα+∞--→∞→∞-≥==⎰⎰⎰． 再由α的任意性知)lim 1nnx n x e dx →∞-≥⎰综上所述，可得()101nx n e x dx ⎡⎤-=⎣⎦．这道题用的就是迫敛法，其中还运用了其他大量的放缩法，在上节中已经讲述．这里的迫敛法是极限的迫敛性和上极限、下极限的混合使用．定理2.2 （迫敛性） 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=．级数的迫敛性就是向两端缩放寻找收敛数列n a ，n b ，从而得出数列n c 收敛及其极限值．数列极限的迫敛性本来是用来求极限的，它用的就是迫敛法即放缩法，所以放缩法也可以用来求数列的极限．函数的极限也具有迫敛性，和数列的类似，这里就不再赘述了．迫敛性又叫做夹逼定理．例2.9 求数列的极限 ()21lim !n n n →∞．解 由不等式122nn x x x x n+++≤，有1212n n n ++++≤=， 于是()211111!2nn n n n n +⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭． 由于1lim 1nn n →∞=，故由夹逼定理可得()21lim !1n n n →∞=． 这是用数列极限迫敛性的典型的例子．其中1n a =，1nn b n =，1的极限明显就是1本身，右端进行放缩求得的极限与左端一致，从而求出数列n c 的极限．也就是说通过放缩法求出了数列的极限．定义2.1 （函数的上、下极限） 设函数()f x 在区间()00,x c x c -+()0c >上有界，对任意的()0,c δ∈，令 ()[]000,sup ()x x x x M f x δδδ∈-+-=，()[]000,inf ()x x x x m f x δδδ∈-+-=分别是δ的单调递减和递增有界函数，因此0lim ()M δδ+→和0lim ()m δδ+→存在，我们分别称之为函数()f x 当x 趋于0x 时的上、下极限．记为00lim ()lim ()x x f x M δδ+→→=，00lim ()lim ()x x f x m δδ+→→=． 定理2.3 0lim ()x x f x A →=的充要条件是 00lim ()lim ()x x x x f x f x A →→==． 此定理可以用来验证一个函数在某点是否有极限，若有则同时求得函数的极限．数列的极限也适用．若将极限值A 改为函数在某点的值0()f x ，这就成了连续函数的等价定义了．在例2.2.1中，运用的迫敛法是夹逼定理和上、下极限的混合方法．夹逼定理本身是用做求极限的，而上、下极限定理是用做验证和求数列或函数在某点的极限，两者有其互通性．夹逼定理就是迫敛法，即运用了放缩法；而上、下极限定理是等式形式，等式的证明有可能会用到放缩法，但是上、下极限定理无法单独用来证明极限的等式，在此题中它是结合了夹逼定理来证明的．回想一下夹逼定理，它是通过向两端进行放缩使两端的极限值一致，从而求出极限值；上、下极限定理也是上、下两个方向，但是它并没有进行放大和缩小，所以没有用放缩法．例2.10 证明极限01limsin x x→不存在． 证 设1n x n π'=，122n x n ππ''=+ ()1,2,n =，则显然有0nx '→，0n x ''→ ()n →∞， 011limsinlimsin 0n x x x →∞→=='，011limsin lim sin 1x n n x x →→∞==''．故由上、下极限的定理，极限01limsin x x→不存在． 这道题用的就是数列的上、下极限，虽然 000111limsinlimsin limsin x x x x x x→→→≤≤形式上很像迫敛法，但过程中并没有进行放缩，因为01limsin x x →是01limsin x x→的最小值，01limsin x x →是01limsin x x →的最大值，这个过程只是在求01limsin x x →的最大最小值．保持不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法是放缩法，而这道题的证明过程中不等式是恒成立的，但不具有选择性．因此，利用上、下极限定理的过程中并没有运用放缩法．所以此题没有应用放缩法．定理2.4 （比较原则） 设n u ∑和n v ∑是两个正项的级数，如果存在某个正数N ，对一切n N >都有n n u v ≤，则（i ）若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； （ii ）若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散．推论 设12n u u u ++++ (2.2)12n v v v ++++ (2.3)是两个正项级数，若 limn n nu l v →∞=， 则 （i ）当0l <<+∞时，级数（2.5）、（2.6）同时收敛或同时发散； （ii ）当0l =且级数（2.6）收敛时，级数（2.5）也收敛； （iii ） 当l =+∞且级数（2.6）发散时，级数（2.5）也发散．级数的比较原则，若要证明n u ∑收敛，只要通过适当的放缩找到收敛级数n v ∑，这很明显运用的是放缩法．根据上节对放缩法在不等式证明中的认识，比较原则就是放缩法的应用．根据比较原则我们得到，在保持收敛性不变的情况下，向特定的方向进行不等变形的方法，也是放缩法．比较原则的推论也是放缩法应用，虽然其中并没有不等式，但推论中要证明级数（2.5）的敛散性，n u 需要找到容易做比值取极限的n v ，所以n u 需要进行放缩找到合适的n v ，而正项级数（2.5）跟（2.6）的敛散性一致．在这过程中保持了敛散性不变，并向特定方向发生了不等变形，因此级数比较原则的推论也是放缩法．例2.11 考察211n n -+∑的收敛性．解 由于当2n ≥时，有22211111(1)(1)n n n n n n n ≤=≤-+---． 因为正项级数221(1)n n ∞=-∑收敛，故由比较级数知，级数211n n -+∑也收敛． 此题用的就是级数的比较原则，很容易发现它运用的就是放缩法，所以放缩法也可以用来考察级数的敛散性．级数除了比较原则还有比式判别法和根式判别法，这些判别法都是以比较原则为基础的，所以在比式判别法和根式判别法的证明中都运用了放缩法，但它们本身并不是放缩法，就像证明等式或不等式成立，虽然在证明过程中运用了放缩法，但等式或不等式本身和放缩法无关．这些判别式的证明就不再叙述了．例2.12 判别级数21111n n n ∞+=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 的敛散性．解 此级数为正项级数，由公式21()x e x o x =++ ()0x →知2221ln 1122ln ln 1111n n n n n n a n e o n n ++⎡⎤⎛⎫=-=-=+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 于是便有2lim 1ln 1n n a n n →∞=+．因此由21ln 1n n n ∞=+∑的收敛性知21111n n n ∞+=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑收敛． 这道题用的就是级数比较原则的推论，推论的放缩法用到了麦克劳林公式，它是利用麦克劳林公式进行放缩找到合适的级数21ln 1n n n ∞=+∑，这说明级数比较原则的推论就是放缩法．并且我们发现脱离了不等号连接的形式，也能应用放缩法，说明放缩法还具有很大的应用性．通过以上分析，我们发现极限的迫敛性，级数的比较原则及其推论都是放缩法的应用，也可以说它们就是放缩法，放缩法可以用来求极限和判别级数的敛散性．还有不是所有类似于A B C ≤≤形式的方法都是放缩法，放缩法必须一方通过另一方放缩得到，例如函数的上、下极限定理在求或验证函数极限时的应用．级数比较原则的推论使放缩法脱离了不等号连接的形式，以上都显示出放缩法的应用广泛，还有保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法也是放缩法．2.3 放缩法在实数基本定理中的应用定理2.5 （确界存在原理） 设S 为非空数集．若S 是上方有界，则S 一定存在上确界；反之亦然．证 设S 含有非负数．由于S 有上界，故可以找到非负整数n ，使得1）对于任何x S ∈有1x n <+；2）存在0a S ∈，使得0a n ≥．对半开区间[,1)n n +作10等分，分点为.1,.2,,.9n n n ，则存在0,1,2， (9)的一个数1n ，使得 1）对于任何x S ∈有11.10x n n <+； 2）存在1a S ∈，使得11.a n n ≥．继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间，可知对任何1,2,k =，存在0,1,2，…，9中的一个数k n ，使得 1）对于任何x S ∈有121.10k k x n n n n <+； 2）存在k a S ∈，使得12.k k a n n n n ≥．将上述步骤无限进行下去，得到实数12.k n n n n η=．以下证明sup S η=．为此只需要证明：（i ）对一切x S ∈有x η≤； （ii ） 对任何αη<，存在a S '∈使得a α'<．下面我就不再给出证明了，因为我想说明的是在区间10等分的过程．集合S 的上界是1n +，为了确定上确界把区间[,1)n n +进行10等分，然后选取区间使其包含上确界，无限记性下去从而找到上确界．换成不等式形式就是1n n η<<+，最后lim n n n a a η→∞≤≤是B A B ≤≤的形式，所以用的就是迫敛法，也就是放缩法． 定理2.6 （布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weierstrass ）引理） 由任何有界数列12,,,,n x x x 内恒能选出收敛于有限极限的部分数列12,,,,n n nk x x x ．（这种写法不致除去在所给数列内有相等的数的可能性）证明 设一切数n x 都位于界限a 与b 之间．将区间[],a b 分成两半，则必有一半包含着所给数列的无穷多个元素，因为，若不是这样，则在全区间[],a b 内所包含着的元素将是有限个数，但这是不可能的．因此设包含着无穷多个n x 的那一半是[]11,a b （若两个半区间都是如此，则任取其中之一）．类似地，在区间[]11,a b 内分出它的一半[]22,a b ，使得在它里面包含着无穷多个n x ．继续这种步骤至于无穷，在第k 次分出的区间[],k k a b 内照样包含着无穷多个的n x ．这样构成的区间（由第二个开始），每一个都包含在前一个之内，等于它的一半．此外，第k 个区间的长度等于2k k kb a b a --=． 它随着k 的增大而趋向零．把关于区间套的引理应用到这里来，便得结论：k a 及k b 趋向一个公共极限c ．现在部分数列{}nk x 可由下列方法归纳地产生出来．在所给数列的元素n x 内任取包含在[]11,a b 中的一个（例如，第一个）当作1n x ．在1n x 后面的元素n x 内任取包含在[]22,a b 中的一个（例如，第一个）当作2n x ，等等．一般地说，在以前分出的1n x ，2n x ，…，1nk x -后面的元素n x 内包含在[],k k a b 中的一个（例如，第一个），当作nk x ．这种产生数列方法是完全可能的：因为每一个区间[],k k a b 内包含着无穷多个n x ，即包含着序号可为任意大的元素n x ．再则，因为k nk k a x b ≤≤，又lim lim k k a b c ==，故必有lim nk x c =．此即所要证的．这个引理就是致密性定理．在证明引理时，用了逐次等分所考察的区间的方法，称为布尔查诺方法．根据对定理2.5的分析，布尔查诺方法是放缩法，所以该定理的证明用了放缩法．在证明该定理中还用到了区间套原理．定理2.7 （区间套原理） 设[],n n a b 是一串闭区间，满足：（a ）[][]11,,n n n n a b a b ++⊃，1,2,n =，（b ）()lim 0n n n b a →∞-=， 则存在唯一的0x ，[]0,n n x a b ∈，()1,2,n =．这个定理的证明很简单，不再给出证明过程，过程中用到只是列出来的满足条件，没有用到放缩法．因为已经给出了闭区间套，不需要布尔查诺方法，而且两个数列的极限值相等也给出．实数空间的七个基本定理包括确界定理，单调有界定理，柯西收敛准则，区间套定理，聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理．前六个定理都是用来直接论证函数局部性质的，而有限覆盖定理则是用来直接证明函数整体性质的，它的作用在于将函数在各点的局部性质扩展到整个闭区间上．有限覆盖定理的证明中也用到了布尔查诺方法即放缩法，在函数的“整体性质”和“局部性质”的证明中都用到了放缩法．数学分析是建立在实数上的，极限是数学分析的基础，不等式贯穿了整个数学分析，综上，放缩法在数学分析中具有广泛的应用性并且不可或缺．3 放缩法在实变函数中的应用举例3.1 放缩法在集合中的应用下面出现的A,B,C,……大写字母都是指集合．定义3.1 集合是指把具有某种性质或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素．集合之间的包含关系A B C ⊂⊂是具有传递性的，可以类比不等式的传递性．集合之间的交和并也可以看做是集合的缩小和放大．所以集合的不等关系也可以运用放缩法进行证明．定义3.2 设有集合A 与B ．若存在一个从A 到B 的一一映射，则称集合A 与B 对等(也就是说可以把A 与B 的全部元素通过映射一一对应起来），记为A B ． 对等的意思就像数学分析中代数式的相等，A B 是指集合A 中的元素个数与集合B 的相等．定理3.1 （Cantor-Bernstein 定理） 若集合X 与Y 的某个真子集对等，Y 与X 的某个真子集对等，则X Y ．此定理本身没有用到放缩法，证明这个定理的方法有两种也都没有运用放缩法．我要说明的是伯恩斯坦定理的特例．定理的特例：设集合A ，B ，C 满足下述关系：C A B ⊂⊂，若B C ，则B A ．这个特例应用了放缩法，证明B A ，就要对集合A 进行缩小寻找集合C ，使得B C 成立．这就像函数()()f b f c ≤证明()()f b f c =，只要对()f b 进行缩小找到()f a 使得()()f a f c =，即利用了不等式的传递性，在保持等式关系成立的条件下，向特定缩小的方向变形的方法．这个特例则是利用了集合的包含关系的传递性，在保持对等关系成立的条件下，向特定缩小方向变形的方法，明显就是运用了放缩法．因此，伯恩斯坦的特例就是放缩法．例3.1 []1,1-，这是因为已知()1,1-，且有()[]1,11,1-⊂-⊂． 如果我们要直接建立[]1,1-与之间的一一对应关系，就会比较繁琐些．至少用一个连续函数来表达是不可能的，因为闭区间上的连续函数之值域仍为一个闭区间．由以上说明，放缩法在集合中也具有应用性．3.2 放缩法在测度中的应用定义3.3 点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n <<=称为一个开区间(n 维)，如将其中不等式一律换成i i i a x b ≤≤，1,2,,i n =（或i i i a x b <≤，1,2,,i n =），则称之为一个闭区间（或左开右闭区间）．当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作I ．i i b a -()1,2,,i n =称为I 的第i 个“边长”，()1n i i i b a =-∏称为I 的“体积”，记为I ．定理3.2 设n E ⊂，则()()c m I m I E m IE ***=+式对n 中任何开区间I 都成立的充要条件是对n 中的任何点集T 都有 ()()c m T m TE m TE ***=+． 证明 充分性显然成立．下证必要性．设T 为n 中的任意集合，则由外侧度定义，对于任何0ε>，有一列开区间{}i I ，使得1i i T I ∞=⊂，且1i i I m T ε∞*=≤+∑． 但由于()1i i TE I E ∞=⊂，()1c c i i T E I E ∞=⊂，故 ()()1c ii m T E m I E ∞**=≤∑，()()1c ii m T E m I E ∞**=≤∑．从而()()()()()()11111.c c i ii i c i ii i i i m TE m T E m I E m I E m I E m I E I m T ε**∞∞**==∞∞**==∞*=+≤+=+=≤+∑∑∑∑∑ 由于ε的任意性，即得()()c m TE m T E m T ***+≤.另一方面，显然有 ()()c m TE m T E m T ***+≥.故 ()()c m TE m T E m T ***+=. 由上述引理，我们现在可以给出n 中集合属于μ的定义，即可测定义．这个定理的证明，利用了已知不等式关系，所以很明显是运用了放缩法．由以上我们可以看出，放缩法在集合和测度中也具有应用性，实变函数是建立在集合上的，而测度又是实变函数的基础，所以放缩法在实变函数中也具有广泛的应用性．4 放缩法在点集拓扑中的应用定理4.1 设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足条件Y Z Y ⊂⊂．则Z 也是X 的一个连通子集．证 假设Z 是X 中的一个不连通子集．在X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z A B =． 因此Y A B ⊂．由于Y 是连通的，所以Y A ⊂，或者Y B ⊂．如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B ⊂=∅，因此B Z B ==∅；同理如果Y B ⊂，则A =∅．这两种情形都与假设矛盾．即证．我们已经知道集合具有传递性，也可以应用放缩法，本定理的证明过程中Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B ⊂=∅，运用的就是放缩法．该定理与级数的迫敛性很相似，只不过迫敛性是求极限，该定理是验证子集的连通性，所以该定理用的就是迫敛法．因此放缩法也是，保持连通性不变，向特定方向不等变形的方法．拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．上面的定理就是迫敛法，即放缩法，连通性是拓扑不变性，而点集拓扑是以集合为基础的，所以放缩法可以拓宽为，在保持某种拓扑不变性的情况下，向特定方向不等变形的方法．在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质，那么在连续映射下，是满射但不是一一映射，那么必定保持某种性质不变，而且特定方向是缩小的方向进行的不等变形，所以这也是放缩法．这具有广泛的应用性，适用很多种情况，例如在斜裁服装样板上面料缩率缩放新方法，其中有坐标取点放缩法和曲线轨迹法，这是建立在连续映射下进行的放大，所以运用了放缩法．因此放缩法在点集拓扑中也具有广泛的应用性．让我们再结合例2.2.5的结论，保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法是放缩法，所以我们可以概括得出，保持某种性质不变，向特定方向不等变形的方法，是放缩法．5 结论通过对数学分析、实变函数、点集拓扑中放缩法的研究，重新认识放缩法．放缩法是保持某种条件不变向特定方向不等变形的方法．保持某种条件不变，可以是保持原不等式成立、夹逼定理的左右极限相等以及某种性质，这是为了让放缩有意义，有目的性，具有某种研究价值，在连续映射下不用考虑，因为在连续映射下就保持了拓扑不变性质；向特定方向即为放大或缩小的方向；不等变形指的是变成不等同、不相同，不相似的事物，即不是单纯的放大或缩小，例如一个圆，我又画了一个更大的圆，我就说是运用了放缩法，这是荒谬的．从放缩法的定义可以看出，放缩法不仅应用于不等式的证明，放缩法在分析学中具有广泛的应用性，而分析学是数学的理论基础，所以放缩法可以应用在整个数学．我们应该更加重视和理解放缩法在解决问题中的应用．。
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
证明不等式的基本方法----放缩法
证明不等式的基本方法----放缩法放缩法证明不等式案例分析徐州市第一中学王雪内容摘要,1、放缩法是证明不等式的常用方法。
放缩具有一定的技巧性,对学生知识和能力的要求都较高。
因此,本节选择了三个例题,重点使学生体会放缩法的基本思想,而不在于掌握各类问题的放缩技巧。
2、证明不等式难度大而且有些枯燥,如何提高学生的兴趣,吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手,从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。
3、本章是不等式选讲,书中的内容不宜挖的过于深入,可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型,数列的,分式的等,。
关键词,贝努利不等式,放缩,添项,删项,基本不等式教学目标:(1)认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法;(2)了解贝努利不等式与放缩法;(3)通过放缩法培养学生的思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析:1、放缩法是证明不等式的常用方法。
放缩具有一定的技巧性，对学生知识和能力的要求都较高。
因此，本节选择了三个例题，重点使学生体会放缩法的基本思想，而不在于掌握各类问题的放缩技巧。
2、证明不等式难度大而且有些枯燥，如何提高学生的兴趣，吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手，从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。
3、本身是不等式选讲，书中的内容不宜挖的过于深入，可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型(数列的，分式的等)。
教学建议放缩时应注意应注意以下几点:(1)如果要证明左边小于右边，那么只能将左边放大(不能缩小)，或者将右边缩小(不能放大);如果要证明左边大于右边，那么只能将左边缩小(不能放大)，或者将右边放大(不能缩小)。
(2)放缩后所得的不等式必须是正确的。
如果放缩后的不等式不能够成立，那么表明放得太大或缩得太小了，需要修正。
(3)放缩后的式子应是易于化简、估计或求和的。
(4)放手让学生去做，去讨论，出现问题，解决问题，加深记忆。
教学过程:一、引入练习(教师)前面我们学习了一些证明不等式的方法，下面请大家动手完成这两个练习。
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LHS
0
n i2
1 i
1 i2
n 1
1 x
1 x2
dx l n
x 1 n x 1
l n n 1 1 l nn 1 RHS
n
所以， n N ，不等式 l
nn 1
n i 1
i 1 i2 成立。
1
nN 。
此题解法正是“数形结合”思想的高度运用。
11
天津市第一〇二中学
综述：
定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决 由“数项级数”所引申出的“证明数列前 n 项和不等式”的 问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为 学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。
由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与 多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。
参考文献
1.《浅谈高等数学在中学数学中的应用》M .广东石油化工学院，22-24 2.李广修.证明不等式的定积分放缩法J .数学通报，2008,47（7）：55-57 3.意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法J .光量子，2015；10；29 4.《高等数学》M .同济大学数学系，2014 第 7 版：251-327
大”，再根据“这个不等式是非严格成立的（即含等号）” 判断放大之前需先将首项单独说明，而后再空出首项从第二 项开始进行“放大”（即保留首项取等）。
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例 4 1：（2016 天津六校联考）
证明：l
nn
1
1
1 2
1 3
1 n
n
2n
1
n N
根据“列项求和”的经验，我们注意到：
n
2n
1
1 2
1 1
1 2
1 2
1 3
1 n
n
1
1
★
分析式★的几何意义为阴影部分面积，且函数
f
x
1 x
是下凸函数，故易知 S矩形 S曲边梯形 SRt ，从而
,
x 1
由于函数 y f x 在 1 , 上是减函数，故：
n
LHS 2
2 2 n 2
n
dx l n2x 1 2
i2 2i 1
1 2x 1
1
l n2n 1 2 l n2n 1 2 RHS
所以，
n i 1
2 l n2n 1
2i 1
2
,
n N 成立。
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天津市第一〇二中学
例 3 3：（2016 天津市耀华中学第一次校模）
证明：不等式
1
n i 1
i
2
i
1
l
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
之前例 1.例 2.的处理方法，都是利用数列的通项直接
对于这类不能够直接使用定积分放缩的题目，在构造被
积函数的思路上具有一定的方向性。方向一：构造出的被积 函数应该利用高中知识很容易求得其积分函数。方向二：根 据不等号方向与不等号是否严格（即是否含有等号）可以预
测构造方向。比如：对于例
3.中对于
n i 1
i2
i 1
1 2
l
n
n的
证明，我们可以先根据“小于号”判断要对原通项进行“放
当n
2
时，构造函数：
f
x
1 x2
；
LHS
1
n i2
1 i2
1
n1 1 x2
dx 1 1 n x1
2 1 2 RHS n
对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十
分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。
4
天津市第一〇二中学
构造函数：
f
Байду номын сангаас
1 x
x
1 ，在定义域上为减函数，从而：
S矩形
n 1 i1 i
n1 1 1x
dx 1 2
n 1 1 i1 i i 1
ln
n 1
n
2n 1
即：
l
nn
1
1
1 2
1 3
1 n
n
2n
n1
dx l nx 1
i1 i 1 1 x 1
1
l
n
n 2
1
l
n
e 2
LHS
所以，
l
n
n 1
n i 1
i i2 1
l
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
即： 1
n i 1
i2
i l 1
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
p
i p
p 1
向右作矩形
向左作矩形
5
天津市第一〇二中学
②若 f x 在 p 1 , q 1 上为增函数，则：
q
q
f x dx
f i
q1 f x dx
p 1
i p
p
向左作矩形
向右作矩形
下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体 会定积分放缩法的优越性。
然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适
2
天津市第一〇二中学
用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前 n 项和的“极限”， 而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们 通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成 为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进 一步证明我们想要的结论（如果将变形后数列的前 n 项和看 作一个函数，那么待证明的常数 C 通常是这个函数的极限）。
n1 1x
dx
l n x n 1 l n n 1 RHS
12
2
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天津市第一〇二中学
②不等式左半链：
由于
i2
i 1
i2
i
i
i
1 1
n N ，从而
构造函数：
f
x
1 x
x 1
1，在定义域上为减函数，故：
n
RHS
1 n1 1
数列，高考的重中之重。而对于数列前 n 项和不等式的
证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：第
一种，证明
n
f
i
gn
n
；第二种，证明：
f
i
C
（其中
im
im
C 是常数）。如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型
会比第一种更复杂 2 。
对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对
定理：设定义在 Df 上的函数 y f x ， p 1 , q 1 Df
若 f x 满足，在闭区间 p 1 , q 1 上连续，开区间
p 1 , q 1 可导，则有：
①若 f x 在上 p 1 , q 1 上为减函数，则：
q1 f x dx q f i q f x dx
是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不
等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。
例 2：（2012 天津卷）
证明：
n i 1
2 l n2n 1
2i 1
2
,
nN
当 n 1 时，不等式显然成立；
当 n 2 时，构造函数：
f x
2 2x 1
为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容 易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能 普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内 在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。
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经典举例：证明
1
1 22
1 32
1 n2
2 nN
（1）一般放缩法：
n
n 1
n i 1
i i2 1
l
n
n
1 2
n 1 , 2 ,
①不等式右半链：
当 n 1 时，显然成立；
当n
2
时，由于
i
2
i
1
i i2
1 i
，从而
构造函数：
f
x
1 x
x
1 ，在定义域上为减函数，故：
LHS
1 2
n i2
i2
i 1
1 n 11 2 i2 i 2
构造被积函数，而后使用定积分直接放缩至待证对象的加强
不等式，再进一步得证，均属于较简单、较直接的题目。
例 3.则是无法直接使用定积分，而是先要对通项进行简
单放缩和变形，之后再使用定积分放缩，在难度上有所提升，
需要一定的“数学远见”去预测放缩后的“对象”，从而构
造出我们所需要的被积函数。
原设即证： l