泰勒幂级数展开
泰勒级数展开
解：先计算展开系数
f (z) (1 z)m
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1
f '(0) m1m
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
……
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
(1 z)m 1m m 1m z m(m 1) 1m z2
1!
2!
m(m 1)(m 2) 1m z3 L 3!
易求其收敛半径为1，故
(1 z)m 1m{1 m z m(m 1) z2 m(m 1)(m 2) z3 L }, ( z 1)
1!
2!
3!
式中 1m (ei2n )m ei2nm
(| z | 1)
1 z n0
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
i f
(z)
n0
1
2
i
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，Fra bibliotek式即为其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
泰勒Taylor级数展开
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k
z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k coБайду номын сангаас(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
一、定理(泰勒定理)：
设f(z)在以z0为圆心的圆域 CR内解析，则对于圆内任意 z点，f(z)可展开为幂级数
f ( z ) ak ( z z 0 ) k
k 0
其中
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( ) ak d k 1 C 2i R1 ( z0 ) k!
收敛半径为R=|b-a|，收敛圆为|z-a|< |b-a|
例3：f(z)=lnz，在z0=1处展开 f(z)=lnz是多值函数，如理解为定义在黎曼 面上，则可看成单值解析函数。 支点为：0，∞ z0=1不是支点，以z0=1为中心展开时，邻域 内不能包含支点，这样各单值分支相互独立， 各自可看成单值解析函数。
当f(z)较复杂时，求f(n)(z0)比较麻烦，根据泰勒 展开式的唯一性，通常用间接展开法，即利用基 本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求 导或逐项积分等将函数展开。
初等函数幂级数展开式举例：
例1：将f(z)=ez在z=0处展开 f(z)=ez在复平面上解析(整函数)
f ( k ) (0) 1 ak k! k!
z 2 k 1 (1) (| z | ) (2k 1)! k 0
k
例5：把函数 幂级数，其中a、b是不相等的常数。
利用幂级数和泰勒级数展开法计算pai的值
利用幂级数和泰勒级数展开法计算pai的值计算π的值是数学中的一项重要任务，有多种方法可以用来计算π的近似值。
其中两种常见的方法是幂级数展开和泰勒级数展开法。
1.幂级数展开法：幂级数展开法是一种将函数用无穷级数的形式表示的方法。
这里，我们可以使用Taylor级数展开来计算π的值。
泰勒级数展开方法是将一个函数表达为一系列项的无穷级数之和的一种方法。
泰勒级数展开方法适用于在一些特定点附近进行展开，并可以用来计算在该点附近的函数值。
首先，我们需要选择一个函数，它在π/4附近的展开式是已知的。
一个常用的函数是arctan(x)，其在x=0处的泰勒展开式为：arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...由于arctan(1) = π/4，我们可以使用arctan(1)的级数展开来计算π/4的近似值，然后将该值乘以4得到π的近似值。
为了得到更高精度的近似值，我们可以使用更多的项进行展开。
下面是一个例子，展开8项：arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + ...现在我们可以计算π的近似值：π=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+...)为了计算π的精确性，我们可以根据需要选择展开的项数。
展开的项数越多，计算出的π的精确性越高。
2.泰勒级数展开法：泰勒级数展开法是一种用函数的纵坐标值和其在一些特定点的导数值来逼近函数的方法。
泰勒展开式允许我们用多项式进行逼近，并且这个多项式的次数可以任意选择。
需要注意的是，这种方法只在函数在展开点附近有效。
对于展开点附近的值，泰勒级数展开法可以给出函数的高精度近似值。
在计算π的近似值时，我们可以选择一个特定的函数来展开。
一个常用的函数是arcsin(x)，其在x=0处的泰勒展开式为：arcsin(x) = x + x^3/6 + x^5/120 + x^7/5040 + ...然后，我们可以用arcsin(1)的级数展开来计算π/2的近似值，最后将结果乘以2来得到π的值。
泰勒公式和幂级数展开
泰勒公式和幂级数展开摘要：1.泰勒公式和幂级数展开的定义与区别2.泰勒公式和幂级数展开的联系3.泰勒公式和幂级数展开的应用4.总结正文：一、泰勒公式和幂级数展开的定义与区别泰勒公式和幂级数展开都是数学中常见的用于描述函数近似的方法，它们之间有着密切的联系，但也存在一些区别。
泰勒公式是指用多项式来近似函数，使得多项式的表达比函数的形式更加友好。
泰勒公式可以用来求解函数在某一点附近的值，它的展开式包含有限个幂函数之和再加一个拉格朗日余项。
幂级数展开则是指将一个函数展开为一个函数项级数，这个级数的每一项均为与级数项序号n 相对应的以常数倍的（x-a）的n 次方。
幂级数展开可以看作是泰勒公式在某一点的特殊情况，它要求函数在展开点a 的各阶导数存在且有限。
二、泰勒公式和幂级数展开的联系尽管泰勒公式和幂级数展开在定义上有所区别，但它们之间存在着紧密的联系。
事实上，泰勒公式可以看作是幂级数展开的一种推广。
当泰勒公式中的拉格朗日余项趋于零时，泰勒公式就退化为幂级数展开。
也就是说，一个函数在某点附近的泰勒展开如果满足拉格朗日余项趋于零，那么这个函数在这个点附近就可以展开成一个幂级数。
三、泰勒公式和幂级数展开的应用泰勒公式和幂级数展开在数学以及实际应用中都有着广泛的应用。
在数学研究中，泰勒公式和幂级数展开常常用来研究函数的性质，比如函数的零点、极值、曲率等。
在实际应用中，泰勒公式和幂级数展开可以用来近似计算复杂函数的值，这在工程、物理等领域中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，泰勒公式和幂级数展开常用来计算二维或三维图形的像素颜色值。
四、总结总的来说，泰勒公式和幂级数展开都是数学中重要的概念和工具，它们在理论研究和实际应用中都有广泛的应用。
八个泰勒公式展开式
八个泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一种用幂级数来表示一个函数的展开式的方法。
它利用函数在一些特定点的一阶、二阶、三阶……导数值来逼近函数在该点附近的近似值。
下面将介绍八个常用的泰勒公式展开式。
1.一阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)这个展开式是最简单的泰勒公式展开式，它将函数在点a的一阶导数值f'(a)和函数在点a的函数值f(a)结合起来来逼近函数在点x的值f(x)。
2.二阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2这个展开式在一阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的二阶导数值f''(a)和(x-a)^2项，用来更精确地逼近函数在点x的值f(x)。
3.三阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3这个展开式在二阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的三阶导数值f'''(a)和(x-a)^3项，用来更加精确地逼近函数在点x的值f(x)。
4.四阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3+(1/24)f''''(a)(x-a)^4导数值f''''(a)和(x-a)^4项，进一步提高了精确度。
5.五阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3+(1/24)f''''(a)(x-a)^4+(1/120)f'''''(a)(x-a)^5这个展开式在四阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的五阶导数值f'''''(a)和(x-a)^5项。
函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件
o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。
使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。
2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。
一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。
例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。
请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。
因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。
泰勒级数展开讲解
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,
)
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
内展开成幂级数.
数学物理方法
2、加减法
例 3.3.4 将函数 f (z) cos z 在 z0 0 处
展开成幂级数。
cos z 1 (eiz eiz ) 1 (
(iz)n
(iz)n )
2
2 n0 n! n0 n!
z2 z4 1
(1)m z2m
(3.3.3)
1
an 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2, )
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1
f '(0) m1m
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
微积分 第九章 第五节 泰勒公式与幂级数展开
n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数
数学物理实验第三节(泰勒级数展开)
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) k 0
k
根据柯西公式
f
(n)
n! • f ( ) ( z) d n 1 l 2i ( z )
上式就是以z0为
中心的泰勒级数
f ( z)
k 0
解： 多值函数f(z)＝lnz的支点在 z 0, 而现在的展开中心
z0＝1不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自
是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。 展开系数计算如下：
f ( z ) ln z , f (1) ln1 n2 i ( n Z ) 1 , f (1) 1 z 1! f ( z ) 2 ，f (1) 1 z 2! (3) f ( z ) 3 , f (3) (1) 2! z 3! (4) (4) f ( z ) 4 , f (1) 3! z f ( z )
2
（1）
z z0 z z0 z z0 1 1 ... 1 z z z0 z z 0 0 0 1 z0
代入（1）可得
1 1 t t ... t ... 1 t
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
函数的泰勒级数和幂级数展开
函数的泰勒级数和幂级数展开泰勒级数和幂级数展开是微积分中的重要概念，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
这种展开方式在数学和工程中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和计算各种函数。
一、泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个函数表示为多项式的形式，通过求函数在某个点的各阶导数来展开。
设函数f(x)在x=a附近有各阶导数，那么泰勒级数展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2 + ...其中f'(a)，f''(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶导数和二阶导数。
泰勒级数展开的一般形式为：f(x) = f(a) + \frac{{f'(a)}}{{1!}}(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 + ...泰勒级数展开依赖于函数在某点附近的导数，当函数在该点的导数存在且具有一定的性质时，展开式收敛于原函数。
二、幂级数展开幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，通过将函数进行幂级数展开，可以更好地研究其性质和行为。
幂级数展开的一般形式为：f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n其中a_n为展开式的系数，(x-a)^n为幂项。
幂级数展开的关键在于求解展开系数a_n。
具体求解方法根据具体的函数和要求而定，有时需要利用函数的导数，有时需要使用复杂的数学技巧。
幂级数展开有很好的数学性质，可以在一定条件下收敛于原函数。
通过取幂级数展开的有限项，可以得到原函数的近似值。
在实际计算中，幂级数展开也有广泛的应用，比如在工程中用于信号处理、电路分析等领域。
总结：函数的泰勒级数和幂级数展开是微积分中常用的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
泰勒级数展开是将函数表示为多项式，而幂级数展开是将函数表示为无穷级数。
通过泰勒级数和幂级数展开，我们可以更好地理解函数的性质和行为，并在实际应用中应用这些展开式进行计算。
函数的泰勒展开式
函数的泰勒展开式泰勒展开式是数学分析中一个重要的工具，用于表示任意可微函数为无限次可导函数的多项式。
它的发现者是英国数学家布鲁克泰勒（Brook Taylor），因此得名为泰勒展开式。
1. 泰勒展开式的定义泰勒展开式可以将一个函数在某个点附近用幂级数来逼近。
设函数f(x)在x=a处有n阶导数，那么它的泰勒展开式可表示为： f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(a)为函数在点a处的函数值，f'(a)为一阶导数在点a处的函数值，f^(n)(a)为n阶导数在点a处的函数值，Rn(x)是余项。
2. 泰勒展开式的应用泰勒展开式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
它可以用来近似计算各种函数的值，在数值计算和数值求解方程中起到重要作用。
(1) 函数逼近：泰勒展开式可以将复杂的函数逼近为简单的多项式形式，便于计算和理解。
在实际应用中，我们常将函数展开到某个阶数，然后截取部分项进行计算。
(2) 数值微分和数值积分：通过泰勒展开式，可以得到函数导数和不定积分的近似表达式，从而用数值方法求解微分方程或数值积分问题。
(3) 函数极值和拐点：通过泰勒展开式，可以分析函数的局部极值和拐点的位置，从而帮助我们理解和优化复杂函数的行为。
3. 泰勒级数和常见泰勒展开式(1) 泰勒级数：当x在某个范围收敛时，泰勒展开式可表示为无穷级数的形式，称为泰勒级数。
泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将函数用无穷多个幂函数相加来表示。
(2) 常见泰勒展开式：常见的泰勒展开式包括正弦函数、余弦函数和指数函数的展开式。
以正弦函数为例，它的泰勒展开式为： sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...通过截取不同的项，可以得到不同精度的逼近结果。
随着项数的增加，逼近结果会越来越接近真实值。
4. 泰勒展开式的收敛性泰勒展开式的收敛性与函数在展开点附近的性质有关。
幂级数的展开
x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
常见级数展开公式
常见级数展开公式级数展开是将一个函数或者表达式表示成无穷项的和的形式。
级数展开由级数展开公式给出。
以下是一些常见的级数展开公式：1.幂级数展开公式：幂级数展开是将一个函数展开成幂函数的和的形式。
幂级数展开公式为：f(x) = Σ(n=0 to ∞) ( aₙ * (x - c)ⁿ )其中，aₙ为常数系数，c为展开点。
常见的幂级数展开公式包括泰勒级数（泰勒展开）、麦克劳林级数、幂级数等。
2.泰勒级数（泰勒展开）：泰勒级数是将一个函数展开成无穷项的幂函数的和的形式。
泰勒级数的公式为：f(x) = Σ(n=0 to ∞) ( fⁿ(c) / n! * (x - c)ⁿ )其中，fⁿ(c)表示函数f在展开点c处的n阶导数。
泰勒级数广泛应用于近似计算、函数逼近、解析几何等领域。
3.拉格朗日级数：拉格朗日级数是将一个函数展开成无穷项的插值多项式的和的形式。
拉格朗日级数公式为：f(x) = Σ(n=0 to ∞) ( fⁿ(c) * (x - c)ⁿ / n! )其中，fⁿ(c)表示函数f在展开点c处的n阶导数。
拉格朗日级数常用于插值运算、近似计算等领域。
4.傅里叶级数展开公式：傅里叶级数展开是将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数的和的形式。
f(x) = a₀/2 + Σ(n=1 to ∞) (aₙ * cos(nx) + bₙ * sin(nx))其中，a₀、aₙ、bₙ为傅里叶级数的系数。
傅里叶级数展开在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
5.勒让德多项式展开公式：勒让德多项式展开是将一个函数在[-1,1]区间展开成勒让德多项式的和的形式。
勒让德多项式展开公式为：f(x) = Σ(n=0 to ∞) (aₙ * Pₙ(x))其中，aₙ为常数系数，Pₙ(x)为勒让德多项式。
勒让德多项式展开在物理学、数学等领域有广泛应用。
以上是一些常见的级数展开公式，这些公式在数学和工程中被广泛使用，能够帮助解决一些复杂的问题，并进行近似计算、函数逼近、插值运算等。
函数的幂级数展开
y
6
4
2
对任何实数 x, 都有 e| x| n 1 lim | x | 0, n ( n 1)!
因而 lim Rn ( x ) 0.
n
y ex
(n 2)
(n 0)
1 2
(n 3)
1
O
2
x
由定理 14.11 得到
1 1 2 e 1 x x 1! 2!
§2 函数的幂级数展开
由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和 . 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法.
一、泰勒级数
二、初等函数的幂级数展开式
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一、泰勒级数
在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ), (1) n! 这里为 Rn ( x )拉格朗日型余项
这是泰勒公式带来的重要结论.
再进一步, 设函数 f 在x x0 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n , n!
1 x ( n1) Rn ( x ) f ( t )( x t )n dt , n! 0
1 Rn ( x ) f ( n1) ( ) x n1 , 在 0 与 x 之间, ( n 1)!
常见的幂级数展开
常见的幂级数展开常见的幂级数展开是数学分析中常用的一种展开方法，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。
在本文中，我们将介绍几个常见的幂级数展开，包括泰勒展开、麦克劳林展开以及常见函数的幂级数展开。
一、泰勒展开泰勒展开是最常见的幂级数展开方法之一，它可以将一个函数在某个点附近展开成幂级数。
泰勒展开的公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\]其中，\(f(x)\)是要展开的函数，\(a\)是展开点，\(f'(a)\)、\(f''(a)\)等分别表示函数在\(a\)点的一阶、二阶导数。
二、麦克劳林展开麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊情况，它将一个函数在原点附近展开成幂级数。
麦克劳林展开的公式如下：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x ^3+\cdots\]麦克劳林展开将函数展开成了以\(x\)为自变量的幂级数，适用于一些特殊的函数展开。
三、常见函数的幂级数展开1. 指数函数的幂级数展开：指数函数的幂级数展开如下：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]这是一个非常常见的幂级数展开，它可以用来计算指数函数的近似值。
2. 正弦函数的幂级数展开：正弦函数的幂级数展开如下：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]这个展开式是非常有用的，可以用来计算正弦函数的近似值。
3. 余弦函数的幂级数展开：余弦函数的幂级数展开如下：\[\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]这个展开式也是非常有用的，可以用来计算余弦函数的近似值。
第三章 幂级数展开 3.1 泰勒级数展开
− −
a )k a
=
∞
−
k =0
1 (b − a)k +1
(z
−
a)k
（ z − a < b − a ）．
3.常见解析函数的泰勒级数展开（取 z0 = 0 ）
①[书例]
∑ e z = ∞ z k k=0 k !
(R =∞ )
②[书例]
∑∞
sin z =
(−1) k
z 2k +1
k=0 (2k + 1)!
且收敛圆半径不变.
5.两个幂级数在它们共同的收敛区域（常为两个同心圆的共同部分）进行加、
减、乘运算后的级数之和，仍在该区域收敛.
五. 幂级数的例题
∞
求幂级数 ∑ z k 的收敛半径及有限项函数表示. k =0
解：用比值判别（审敛）法求收敛半径， ∵ 系数 ak = 1
∴
收敛半径： R = lim ak = lim 1 = 1 ；
n=1 (1 + x 2 ) n
复变函数讲稿
314
(R =∞ )
③[书例]
∑ cos z = ∞ (−1)k z 2k k=0 (2k)!
(R =∞ )
（重要公式） （重要公式） （重要公式）
313
作业：P.52：(8) [提示：可利用 cos z 的展式]；
∑∞
附注：x 为实数，①
(−1) 2
一致收敛但不绝对收敛；
n=1 n + x 2
∑∞
②
x2 绝对收敛但不一致收敛.
a0 = ln i
；
k = 1,2,3, ……
f ′(z) = 1 z
, f ′′(z) = − 1 , …… z2
6.4 函数的幂级数展开
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解 因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以 解
常用的幂级数展开式
常用的幂级数展开式幂级数展开式是数学中常用的一种表达式形式，它可以将一个函数表示为一系列幂函数的和的形式。
常用的幂级数展开式包括泰勒级数、麦克劳林级数和洛朗级数等。
泰勒级数是将一个可导函数展开成一系列无限次可导函数的和的形式。
其表达式为：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}$表示$f$的$n$阶导数，$a$是展开点。
泰勒级数具有很好的逼近性质，因为它是在展开点处的无限阶导数的展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情形，即展开点$a=0$的情况。
其表达式为：$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$洛朗级数是将一个函数在一个圆环内展开成带有负幂次的幂函数的和的形式。
其表达式为：$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n $$其中$z_0$是展开点，$a_n$是展开系数。
洛朗级数可以用于分析包括孤立奇点在内的复变函数的性质。
除了上述三种常用的幂级数展开式外，还有一些特殊的幂级数，如勒让德级数、傅立叶级数和庞加莱级数等。
这些级数在物理学、工程学、数学等领域中具有重要的应用。
在实际应用中，人们常常需要根据需要选择适当的幂级数展开式，并确定展开点和展开系数，以尽可能准确地描述函数的性质和行为。
例如，在微积分和物理学中，通过泰勒级数展开可以求得一个函数在某一点的导数和高阶导数，从而可以了解函数在该点的特征。
而在信号处理、图像处理等领域，则广泛应用傅里叶级数展开来描述信号的频域特性。
因此，深入理解各种幂级数展开式及其应用，对于数学和应用学科的学习都具有重要的意义。
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数学物理方法
3.3.1泰勒级数 泰勒(Taylor)展开定理 设 f ( z ) 在区域 D：z z0 | R 内 | 解析，则在 D 内 f ( z ) 可展为泰勒级数
f ( z ) an ( z z0 ) n ,
n
数学物理方法
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数.
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n0 n0
1 n (1 n ) z 2 n0
作业
数学物理方法
P52
（2）， （3）， （5），（6），（8）
补充：
（1）将 shz 在 z0 0 领域展开。
补充 泰勒展开的方法（参见陆全康教材）
数学物理方法
1、替换法 z 1 例 将函数 f ( z ) 3 ，以为 z 1 中心展开为幂
f ( k ) ( z0 ) f ( k ) (0) 1
f ( z ) e z 在 z0 0 领域上的泰勒级数写为 故
z z 2 z3 e z 1 1! 2! 3!
易求收敛半径无限大
数学物理方法 例3.3.2 在 z0 0 的邻域把 f1 ( z ) sin z 和 f 2 ( z ) cos z 展开。
' 解： 函数 f1 ( z ) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z ) cos z
f1'' ( z ) sin z
f1(3) ( z ) cos z
f1(4) ( z ) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
f1'' (0) 0 且在 z0 0 有 f (0) 1
1 z n , (| z | 1) 1 z n 0
因为
根据
数学物理方法
z z z z 2 ( z z )n 1 1 0 0 0 1 z z 0 z0 z0 ( z0 )n1 n 0
数学物理方法
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) C z d 2πi
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方 (n) 法，即求出 f ( z0 ) 代入即可，这种方法称 为直接展开法.
例3.3.1 在 z0 0 的邻域上把 f ( z ) e
z
展开。
f ( z ) e z 的各阶导数 f ( k ) ( z ) e z 而 解：函数
' 1
f1(3) (0) 1
f1(4) (0) 0
故有
z z z z sin z 1! 3! 5! 7!
3
5
7
数学物理方法 同样的方法，可求得 cos z 在 z0 0 邻域上的泰勒级数
z z z cos z 1 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
数学物理方法
例 3.3.5 将函数 f ( z ) ln(1 z ) 在
z0 0 处展开成幂级数.
数学物理方法
解: 我们知道， ln(1 z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内 是解析的，而 1 是它的一个奇点，所以它在 z 1 内可以展 开成 z 的幂级数.
1 因为 ln(1 z ) (1) n z n , ( z 1), 1 z n 0
点 z 1，而在 z 1 内处处解析，所以它在 z 1 内可展开成 z 的幂级数.
1 1 ( 1) n z n (1 z ) 2 1 z n0
(1) n 1nz n 1 , z 1
n 0
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数，基本展开公式如下：
1 z n , z 1; 1 z n 0 1 (1) n z n , z 1; 1 z n 0
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
正整数）。 解：先计算展开系数
f ( z ) (1 z )
m
f (0) 1m
f '( z ) m(1 z )
m 1
f '(0) m1m
m2
f ''( z ) m(m 1)(1 z )
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) ( z ) m(m 1)(m 2)(1 z ) m3
假设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f ( z ) bn ( z z0 )
n 0
n
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
f n ( z0 ) bn an , (n 0,1, 2,) n!
故展开式系数是唯一的。
(3.3.6)
f '( z ) 1 z
1! z2
f '(1) 1
f ''( z ) 1!
f ''( z )
f (3) ( z )
2! z3
f (3) ( z ) 2!
……
于是可写成 z0 1 在邻域上的泰勒级数
数学物理方法
1 1! 2! 2 ln z ln1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 1! 2! 3! 2 3 4 ( z 1) ( z 1) ( z 1) n 2 i ( z 1) 2 3 4
所以
z 1 n n ln(1 z ) dz (1) z dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n 1
数学物理方法
1 例 3.3.6 将函数 在 z0 0 处展开成幂级数. 2 (1 z )
解: 由于函数
1 在单位圆周 z 1 上有一个奇 2 (1 z )
数学物理方法
z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ，在 | z 1| 2 z 1
内展开成幂级数. z 1 解： f ( z ) 1 z 1 1 z
1 n z 1 1 1 (1) 2 1 z 1 2 n 0 2 2 ( z 1) n 1 (1) n , ( z 1 2) n 1 2 n 0
(3.3.2)
数学物理方法 其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0
从而
z0
z z0 1 z0
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z z0 z0
以此代入(3.3.2)，并把它写成 1 f ( )d f ( z) ( z z0 ) n C ( z0 )n1 2 i n 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
(3.3.3)
m m
式中 1m (ei 2 n ) m ei 2 nm 在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z ) m的主值。上式也就是指数为非整数的二项式 定理。
数学物理方法
f ( z ) 较复杂时，求 f ( n ) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式 二、当
zn e z , z ; n 0 n ! (1) n z 2 n 1 sin z , n 0 (2n 1)!
z .
(3.3.10)
数学物理方法
例 3.3.4 将函数 f ( z ) sin z 和
f ( z ) cos z 在 z0 0 处展开成幂级数.
z
级数.
解：令 z 1 即
z 1 2 3 z (1 )3
利用 (1 z )
m
a
k 0
m k
z 得到
k
(1 ) 3 ak3 ( ) k
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2πi (0,1, 2,)
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f ( z ) 在圆 | z z0 | R 内的幂级数展 开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
2
4
6
数学物理方法 例3.3.3 在 z0 1 的邻域把 f ( z ) ln z 解：多值函数 f ( z ) ln z 的支点在 展开。
z 0, z
现在展开中心 z0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 f ( z ) ln z f (1) ln1 n2 i