复合函数的导数教案
《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解复合函数的概念，记住复合函数的求导公式，以及会利用基本初等函数的求导公式求复合函数的导数。
【过程与方法】
通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备简单的形如的复合函数的导数的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
会分解简单的复合函数及会求导。
【难点】
正确分解复合函数的复合过程。
三、教学过程
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，求复合函数的导数，关键在于搞清楚
复合函数的结构，明确复合次数，由外向内层逐层求导，直到关
于自变量求导，同时注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果。
作业：想一想，生活中还有哪些量是成正比例的量?
四、板书设计
五、教学反思。
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
人教版高一数学教案-复合函数的导数
§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題,讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅
對於一般的複合函數，結論也成立，以y ′x 時，就可以轉化為求y u ′和的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.。
高三数学复习教案：简单复合函数的导数
高三数学复习教案：简单复合函数的导数教学目标：学生能够理解和计算简单复合函数的导数。
教学重点：简单复合函数的导数计算。
教学难点：应用链式法则计算复合函数的导数。
教学准备：教材、黑板、白板笔。
教学步骤：Step 1：复习导数的定义和基本计算法则。
复习导数的定义和基本计算法则，例如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
Step 2：引入复合函数的概念。
复习函数和映射的概念，并引入复合函数的概念。
举一个简单的例子，如：设函数f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 f(g(x)) 和 g(f(x))。
Step 3：简单复合函数的导数计算。
解释简单复合函数的导数计算方法，即通过链式法则计算复合函数的导数。
例如，设函数 f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 (f(g(x)))' 和(g(f(x)))'。
讲解计算过程，包括先求出 f'(x) 和 g'(x)，然后代入复合函数的内函数的导数和外函数的导数。
Step 4：课堂练习。
让学生做一些课堂练习题，如计算简单复合函数的导数。
示例题目：1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x，函数 g(x) = x^2 + 1，计算 (f(g(x)))'。
2. 设函数 f(x) = e^x，函数 g(x) = ln(x)，计算 (g(f(x)))'。
3. 设函数 f(x) = sin(x)，函数 g(x) = x^2，计算 (f(g(x)))'。
Step 5：课堂讨论和总结。
让学生分享自己的解题思路和结果，进行课堂讨论和总结。
总结复合函数的导数计算方法，强调链式法则的应用。
Step 6：作业布置。
布置一些作业题，要求学生练习计算简单复合函数的导数。
参考答案如下：1. (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = (6x^2 + 3) * (2x) = 12x^3 + 6x。
《简单复合函数的导数》教学设计
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数 的导数，提升数学运算的素养.
教学内容
大学复合函数求导公式教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。
2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。
2. 复合函数求导公式的应用。
教学准备：1. 复习导数的基本概念。
2. 复习函数的复合。
3. 准备相关例题和习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。
2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。
二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。
- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。
2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
- 举例：求y = ln(x^2)的导数。
解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。
三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。
解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。
2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。
解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。
四、课堂小结1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。
2. 回顾复合函数求导公式。
二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】 例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-． 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-， 当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==． 它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习 知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义． 参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。
复合函数求导教案大学生
教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。
2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。
3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。
2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。
教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。
2. 复合函数求导的复杂情况分析。
教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。
2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。
2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。
2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。
- 例2：求y=sin(x^2)的导数。
- 例3：求y=e^sinx的导数。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。
- 求y=tan(x^2)的导数。
- 求y=e^(1/x)的导数。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。
2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。
五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。
2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。
- 求y=e^(x^2)的导数。
教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。
高二数学选修2-2复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式． 例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2Ay ′＝(2 cos 2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ． 【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos 2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。
复合函数的导数(二)教案示例
复合函数的导数 ( 二) ·教课设计示例目的要求1．掌握复合函数的求导法例．2．会用复合函数的求导法例解决一些简单的问题．内容剖析1．本节要点是复合函数求导法例的应用．2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数．例 2 在教科书原题基础上，增添几道小题作为学生训练题，而后提出娴熟此后可简化过程，并予以示范．例 3 是根式形式的复合函数求导，第一应将根式表示为分数指数，x以方便使用幂函数求导公式，而后设中间变量u＝对x求导，介绍1 x两种求法．方法一是作为商对x求导，方法二是当作u＝－ 1＋1，即1 x当作 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，仍用复合函数求导法例求导．用到的求导法例或公式，解题的过程应向学生清楚地展现．自然，可指引学生思虑并达成．3．应用之二是解决实质应用问题．教师除了教课生会学数学，更重要的是指引学生会用数学．培育学生应用数学解决实质问题的意识和能力是数学教课的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增添一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于指引学生应用复合函数的求导法例及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就表现了复合函数求导法例的应用宽泛性，也表现了思想的多样性和变通性，培育了发散思想能力，更重要的是能够激发学生学好用好数学的意识和踊跃性．4．经过这节的学习，应使学生对复合函数的观点、求导法例和步骤及其应用，有一个整体的掌握．教课过程1．复习求导法例让学生回回复合函数定义、求导法例、求导步骤．本节将在应用中娴熟掌握复合函数的求导．2．应用求导法例(1)应用之一对复合函数式求导例 2求以下函数的导数：(1)y ＝ 1 4； (2)y ＝ sinx 2； (3)y ＝ cos(3x x) ； (4)y ＝ 1 x 2．(1 3x) 6 请学生登台达成．答案：(1) 12 5； (2)2xcosx 2； (3) 3sin(3x x)； (4) x ．(1 3x) 6 1+ x 2注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．师生一同评论．可夸奖四位同学达成得较好．接着提请注意，娴熟后可省写步骤，并作示范．如，解 (1) 可表达为y′x＝[(1 －3x) -4 ] ′＝－ 4(1 －3x) -5·( －3) ＝ 12(1 － 3x) -5．这里最后结果可写负指数或分数指数．出示教科书例 3 并解说．x此中对 u＝求u′ x，可让学生在底稿上达成．此处，教师可1 x作以下指导：方法一按商的求导法例求导．方法二先化为 u＝－ 1＋1，即 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，按复合1 x函数求导．(2)应用之二解简单的应用问题增例当n∈N *时，求证： C1n＋2C 2n＋C3n＋＋ nC n n＝n· 2n 1．指引学生剖析，联想到二项睁开式(1＋x) n＝C0n＋ C1n x＋C2n x 2＋＋ C n n x n．(*)对照睁开式通项 C k n x k与待证和式通项 kC k n，可决定对 (* )式求导并赋值 x＝ 1 证得．视学生水平由教师解说或学生达成证明．证明：由 (1＋x) n＝C0n＋C1n x＋ C2n x 2＋＋ C n n x n，两边对 x 求导，得n(1＋ x) n 1·1＝ 0＋C1n＋ 2C2n x＋＋ nC n n x n 1．令 x＝1，得n· 2n 1＝C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n．注：应向学生讲清 (1 ＋x) n是作为复合函数对x 求导的．对本题再思虑．在《摆列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不如重温一下．方法一倒序相加法令 S n＝C1n＋ 2C2n＋＋ (n－ 1)C n n1＋nC n n(1)(1)式右侧倒序，写为S n＝nC n n＋ (n－1)C n n1＋ (n－2)C n n2＋＋ C1n(2)注意到组合数性质 C r n＝ C n n r(r＝ 0，1，， n)(2)式可改写为S n＝nC0n＋ (n－1)C1n＋ (n－ 2)C2n＋＋ C n n 1(3) 将 (1) 、(3) 两式相加 ( 注意错位 ) 得2S n＝n(C0n＋C1n＋C2n＋＋ C n n1＋C n n )即 2S n＝n·2n∴S n＝n·2n-1即C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n＝n·2 n 1方法二通项变换法k ＝·n! ＝·(n 1)! ＝k 1kC n kk ! · ( n k )! n1)![( n 1) (k 1)]!nC n 1 (k即kC n k＝nC n k 11在这一等式中按序取k＝1，2，， n，并相加得C 1n＋ 2C 2n＋＋ nC n n＝ nC0n 1＋ nC1n 1＋＋ nC n n11＝n(C 0n 1＋ C 1n 1＋＋ C n n11 )＝n· 2n 13．反应练习学生达成教科书练习第1、 2 题4．讲堂小结由y＝ f(u) ，u＝ (x) 可得复合函数 y＝f[ (x)] ．对于复合函数的导数，要理解法例，掌握步骤，擅长应用．(1)法例 y ′x＝ y′u·u′x(2)步骤分解——求导——回代(娴熟后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导；能解相关的应用问题部署作业教科书习题 3．4 第 2(3)(4) 、 3 题．研究题已知曲线 y＝ 400 x 2 3(100 x)(0 ≤ x≤100) 在点 M 处5有水平切线，求点M的坐标．略解：易得y′＝xx 2－3．400 5令y′＝0，解得x＝15．点M的坐标是(15 ，76) ．。
大学复合函数教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本法则。
2. 通过实例分析，使学生能够熟练运用复合函数求导法则进行计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 复合函数求导的基本法则。
2. 复合函数求导的应用。
教学难点：1. 复合函数求导法则的应用。
2. 复杂复合函数的求导。
教学内容：一、导入1. 复习一元函数求导的基本方法。
2. 介绍复合函数的概念，强调复合函数在数学中的应用。
二、新课内容1. 复合函数的定义- 给出复合函数的定义，让学生理解复合函数的概念。
- 通过实例，让学生感受复合函数在数学中的应用。
2. 复合函数求导法则- 介绍复合函数求导的链式法则。
- 通过实例，让学生掌握链式法则的应用。
- 介绍复合函数求导的乘积法则和商法则。
- 通过实例，让学生掌握乘积法则和商法则的应用。
3. 复合函数求导的应用- 通过实例，让学生学会运用复合函数求导法则解决实际问题。
- 强调复合函数求导在求解极限、求导数、研究函数性质等方面的应用。
三、课堂练习1. 给出几个复合函数的求导题目，让学生在课堂上进行练习。
2. 教师对学生的练习进行点评和指导。
四、总结1. 复习本节课所学的复合函数求导法则。
2. 强调复合函数求导在数学中的应用。
教学过程：1. 导入新课，复习一元函数求导的基本方法，引入复合函数的概念。
2. 讲解复合函数求导的基本法则，通过实例让学生掌握链式法则、乘积法则和商法则。
3. 通过课堂练习，让学生学会运用复合函数求导法则解决实际问题。
4. 总结本节课所学内容，强调复合函数求导在数学中的应用。
教学评价：1. 课后作业：布置几道复合函数求导的题目，让学生课后练习。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的练习情况，了解学生对复合函数求导法则的掌握程度。
3. 期末考试：在期末考试中，考察学生对复合函数求导法则的掌握程度。
简单复合函数的导数教学设计
简单复合函数的导数教学设计
一、教学目标
1.了解复合函数的定义;
2.熟练掌握求解简单复合函数导数的技巧;
3.在熟悉的背景下建立简单复合函数的直观印象;
4.学会分类求复合函数的导数。
二、教学方法
首先利用PPT呈现复合函数的基本定义，通过问答形式进行一定的知
识点的讲解，来协助学生对复合函数的结构逻辑的形成比较准确的认识。
之后利用课本上的题例，并发放已完成部分的学习练习，引导学生结
合实例掌握简单复合函数的导数求解技巧。
最后结合习题，让学生运用所学技巧，建立简单复合函数的直观印象，达到提升个人解题技能的目的。
三、教学过程
1. 呈现复合函数：了解基本定义和函数结构，简单讲解已有函数的求
导法与复合函数求导法的不同。
2. 学习练习：给出学习练习，向学生展示给定函数的函数表达式，引导学生根据函数表达式求求解复合函数的导数步骤。
3. 探究题：利用引导性探究题，让学生通过比较同类型函数，对复合函数形式和求导规律进行归纳，结合习题在熟练的背景里建立简单复合函数的直观印象。
4. 练习：结合习题，让学生掌握求解简单复合函数的技巧，学会分类求复合函数的导数，提升个人解题技能。
五、教学反思
复合函数的导数的求解在数学里有较多的定理和技巧，建议多利用实际案例，让同学们熟练掌握技巧，提高解题能力。
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§1.2.3复合函数的导数
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.
【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.
令y=uv ，u=2x 2－3，v=21x +, 令v=ω，ω=1+x 2
x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2
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