排列组合中的分组分配问题
10.2排列组合中的分组分配问题
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
(1) (2) (3) 2 2 C6C4 1 2 C6C5 2 C2 3 C3 3 A3 (4) (5)
3 3 3 9 3 6
种．
3 ⑤先分3件为一堆有 C9 种方法，然后6件平均分配应有
3 2 2 2 C C C C C C C 9 6 4 2 1260 种． 种方法，故共有 3 A3 A
2 6
2 4 3 3
2 2
三：部分均分有分配对象的问题 例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
3 4 5 3 C 12 C 9 C 5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5
12! 8! 4!· 8! 4!· 4!
1 3!
5775
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中
选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长． 5 5 C10 C5 分组有 种方法， 2 A2
每组中选正、副组长都有 A 种方法． 由分步计数原理共有
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
2 5
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 研究背景在现代社会中，排列组合中的分组分配问题是一个经常出现的实际问题，如资源分配、任务分配、人员安排等。
这些问题具有复杂性和多样性，需要通过合理的解决方案来进行有效的分析和处理。
在实际应用中，我们经常需要考虑如何将一组对象分成若干组，并满足一定的条件和限制。
这涉及到不同对象的组合方式和分组方式，需要通过排列组合的方法来进行求解。
研究背景中，我们可以看到排列组合中的分组分配问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
在实际生活中，我们可能需要根据不同的需求和条件，对一组对象进行合理的分组分配，以达到最优的效果和利益。
研究如何在排列组合中找到最佳的分组分配方案是非常重要的。
通过深入研究和分析排列组合中的分组分配问题，可以为实际生活和工作中的决策提供科学依据和有效方法。
这一领域的研究具有重要的意义和价值，也为我们提供了更多挑战和机遇。
的探讨，将有助于我们更深入地了解排列组合中的分组分配问题的复杂性和研究现状，为接下来的内容提供更好的铺垫。
1.2 研究意义排列组合中的分组分配问题是组合数学中一个重要且具有实际应用意义的问题。
研究这一问题的意义主要体现在以下几个方面：分组分配问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。
在资源分配、任务调度、排班安排等方面，都需要考虑如何将不同的元素或任务进行合理的分组分配。
通过有效解决分组分配问题，可以提高资源利用效率，降低成本，提高工作效率，实现资源的最优配置。
研究分组分配问题有助于深入理解排列组合的基本概念和性质。
分组分配问题涉及到元素的排列和组合，需要运用排列组合的知识来解决。
通过深入研究分组分配问题，可以增强对排列组合问题的理解，并为进一步研究组合数学相关问题打下基础。
研究分组分配问题还可以促进算法设计和优化的发展。
分组分配问题在计算机科学领域涉及的算法设计和优化问题，可以启发人们思考如何设计高效的算法来解决复杂的组合问题。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。
在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。
1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。
在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。
2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。
在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。
具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。
3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。
在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。
具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。
在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题分组分配问题是高中数学排列组合学习中的常见问题,是学习重点也是难点，本文就排列组合中具体的分组分配问题进行归类，浅析求解方法。
一、明确分组、分配问题的含义将n个不同元素依据条件分成m组(或是m堆)是分组问题，辨别的关键要点是任意交换一种分组的两个组员，结果是同一种情况，组和组的地位之间没有区别;分组问题有平均分组、部分平均分组和不平均分组三种情况。
将n个不同元素依据条件分给m个不同对象(或是去处)，称为分配问题，分配问题又分为定向分配和不定向分配两种问题；分组问题和分配问题是有区别的，前者在分好组后，任意交换两个组员，结果是同一种情况，后者因为去向不同，交换成员后是算不同的情况，可区分的,对于后者常常先分组后排列。
二、不同元素的分组、分配问题（一）平均分组、分配问题例1 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，每组两本.（2）分给三个人,每人两本.（3）甲两本、乙两本、丙两本.【分析】(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分法是=15(种),为什么要除以？我们不妨把六本不同的书设为a,b,c,d,e,f六个号码，由分步乘法计数原理可以找出两种具体的分法为：(a，b) (c，d) (e，f)与(a，b) (e，f) (c，d)，实际这两种分法是同一种分法，只是后面两组出现的先后有区别，但是分好组后最终的结果是同一种结果。
究其原因实际上是在运用分步乘法计数原理的时候加入先后顺序，也就是相当于三个组员间排列了。
因此还应取消三个组员间排列的顺序，即除以三个组员的全排列数，所以最终的分组方法数为=15(种)。
（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)，（3）由于分配给三人，每人分2本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理得出：有=90(种)，（二）部分的平均分组、分配问题例2 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，一组四本，另外两组各一本.（2）分给三个人,一人四本、另两人各一本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.【分析】（1）是分组问题，分组方法是=15(种)，为什么要除以？跟例题1的一样，其中两组本数都是一本，由分步乘法计数原理的时候这两组有了一先一后挑选的顺序，也就是相当于这两本书在第二次和第三次分到组里去的过程中排列了，所以要除以这两个成员间的排列数，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复,所以最终分法是=15(种)。
(仅供参考)排列组合中分组(分堆)与分配问题
太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。
将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。
分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。
现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。
以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。
（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。
在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。
这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。
具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。
每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。
我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。
在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。
通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。
对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。
【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。
这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。
为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。
有效解法可以帮助我们节省时间和精力。
排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。
而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。
有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。
在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。
而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。
找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。
有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到的问题领域非常广泛，其中之一就是分组分配问题。
分组分配问题是指将一定数量的元素分配到若干个组中，并且每个组的元素数量可能不同。
在实际应用中，分组分配问题有着广泛的应用，比如分配任务、分配资源等。
在这篇文章中，我们将介绍一些有效的解决分组分配问题的方法。
让我们来定义一下分组分配问题的数学模型。
假设有n个元素和m个组，每个元素只能分配到一个组中，并且每个组的元素数量可能不同。
我们的目标是找到一种分配方案，使得每个元素都被分配到一个组中，且每个组的元素数量满足一定的条件。
在实际问题中，要解决分组分配问题，需要考虑以下几个因素：1. 元素的数量和组的数量：分组分配问题的规模取决于元素的数量和组的数量。
如果元素和组的数量都很大，那么问题的难度也会增加。
2. 分配条件：每个组的元素数量可能受到一些限制条件的约束，比如每个组的元素数量之和必须等于总的元素数量。
解决分组分配问题时，需要考虑这些条件，并找到满足条件的分配方案。
3. 目标函数：在分组分配问题中，我们通常会有一些额外的参考标准，比如使得每个组的元素数量尽可能均匀，或者使得某个组的元素数量最大等。
这些参考标准可以通过定义一个目标函数来实现，然后再根据目标函数来选择最优的分配方案。
在解决分组分配问题时，可以采用不同的方法，其中一些常用的方法包括：1. 暴力枚举法：暴力枚举法是一种常用的解决分组分配问题的方法。
它的基本思想是对所有可能的分配方案进行穷举，然后根据目标函数来选择最优的分配方案。
虽然暴力枚举法可以找到最优的分配方案，但是当元素和组的数量较大时，算法的时间复杂度会呈指数级增长，效率较低。
2. 贪心算法：贪心算法是一种常用的启发式算法，它的基本思想是每次选择当前最优的分配方案，并在后续的选择中继续按照最优的原则进行分配。
贪心算法可以在较短的时间内找到较好的解，但是不能保证一定能找到最优的解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是概率与统计中的基础知识点，其中包括排列、组合等概念。
在实际生活中，我们经常会遇到需要对一个集合内的元素进行分组和分配的问题，这些问题又被称为分组分配问题。
例如，在一个班级中，我们需要将学生分成若干组，或者在一个公司中，我们需要将员工分配到不同的部门，这些都属于分组分配问题，而排列组合则提供了有效的解决方法。
一、排列组合的基本概念1. 排列排列用于描述一组元素的各种排列方式。
例如，由 A、B、C 三个元素组成的集合，其所有排列包括 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA 共 6 种。
排列的数量为 n!，其中 n 为集合中元素的个数。
排列与顺序有关，即不同顺序的排列被视为不同的结果。
2. 组合二、分组分配问题的解决方法1. 确定组数解决分组分配问题的第一步是确定分成几组，或者分配到几个部门。
这个数目通常由具体问题所确定，如班级分组时可能要求分成 2、3 或 4 组等。
2. 确定元素第二步是确定需要分组或分配的元素，即确定学生、员工、球队等。
这个数目也由具体问题所确定。
接下来，我们需要确定分成的每一组的元素个数，或者每个部门中的员工个数。
这个分组方式的确定关系到具体问题的解决。
4. 应用排列组合最后，我们可以应用排列组合的知识来解决分组分配问题。
例如，在班级分组时，如果确定分成 2 组，每组各 10 人，则分组的总方法数为 45。
这个计算过程可以用排列组合的方法来解决：先从 20 个学生中选出 10 个，共 C(20, 10) 种方法，然后将这 10 个学生划分到两个组中，使用排列的方法可以得到 2(10!) 种方案。
因此，班级分组的总方案数为2(10!)C(20, 10) = 45。
在公司分配员工到部门时，如果要求每个部门中的员工数量相同，且每个部门至少要有一个员工，则可以使用组合数目和整数划分的知识来解决问题。
具体方法如下：设共有 n 个员工，要分成 k 个部门，每个部门包含 m 个员工。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，也是现实生活中经常遇到的问题之一。
在这个问题中，我们需要将一组物品或者对象分成若干个部分，并且满足一定的条件。
分组分配问题在很多领域都有应用，比如在工程设计中，人力资源分配中，商品生产中等。
解决这类问题需要用到排列组合的知识，以及一些有效的解法。
本文将介绍一些排列组合中的分组分配问题的有效解法。
一、排列组合的基本概念在开始介绍分组分配问题的有效解法之前，我们需要先了解一些排列组合的基本概念。
排列和组合是数学中的两个基本概念，它们都是用来描述从一个集合中选取若干元素的方式。
1. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列。
在排列和组合中，元素的重复情况也是一个需要考虑的问题。
比如在排列中，元素的重复次序是不同的排列，而在组合中，只考虑元素的选择而不考虑顺序。
二、分组分配问题的有效解法1. 贪心算法贪心算法是一种解决分组分配问题的有效方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择局部最优解，最终将得到全局最优解。
在分组分配问题中，我们可以根据一定的标准进行分组，比如按照物品的重量、价格、大小等进行分组。
在每一步中，选择当前最优的分组方案，经过若干步之后得到整体最优解。
贪心算法的优势在于可以快速得到一个较好的解，但是也有一定的局限性，可能不能得到全局最优解。
在实际应用中，可以根据具体情况选用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种有效方法。
动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将问题分解成若干子问题进行求解，最终得到全局最优解。
3. 回溯算法回溯算法是解决分组分配问题的一种基本方法。
回溯算法的基本思想是逐步尝试每一种可能的分组方案，直到找到满足条件的分组方案为止。
在回溯算法中，需要考虑到可能的分支和剪枝，以及如何快速得到解。
在解决分组分配问题时，可以根据具体情况选择贪心算法、动态规划、回溯算法等不同的解法。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。
解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。
A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点.某些排列组合问题看似非分配问题,实际上可运用分配问题的方法来解决.一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列.二、基本的分组问题例1 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法1每组两本.2一组一本,一组二本,一组三本.3一组四本,另外两组各一本.分析：1分组与顺序无关,是组合问题.分组数是624222C C C=90种 ,这90种分组实际上重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码,考察以下两种分法：1,23,45,6与3,41,25,6,由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数33A,所以分法是22264233C C CA=15种.2先分组,方法是615233C C C,那么还要不要除以33A我们发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有615233C C C=60种分法.3分组方法是642111C C C=30种 ,那么其中有没有重复的分法呢我们发现,其中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样,不可能重复.所以实际分法是41162122C C CA=15种.通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法.结论1：一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m1,m2,…,mp,其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯.三、基本的分配的问题 一定向分配问题例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法 (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计数原理不难解出：分别有222642C C C =90种,615233C C C =60种, 411621C C C =30种.二不定向分配问题例3六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法 (1) 每人两本.2 一人一本、一人两本、一人三本.3 一人四本、一人一本、一人一本.分析：此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题.由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题.实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人”,因此只要将分组方法数再乘以33A ,即22264233C C C A 33A =90种, 615233C C C 33A=360种 41162122C C C A 33A =90种.结论 2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列. 例4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人不能空手.因此,考虑先分组,后排列.先分组,六本书怎么分为三组呢有三类分法1每组两本2分别为一本、二本、三本3两组各一本,另一组四本.所以根据加法原理,分组法是22264233C C C A +615233C C C +41162122C C C A =90种.再考虑排列,即再乘以33A .所以一共有540种不同的分法.四、分配问题的变形问题例5 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种 分析：恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个,另一组2个,分组方法有11243222C C C A 种,然后将这三组即三个不同元素分配给四个小盒不同对象中的3个的排列问题,即共有11243222C C C A 34A =144种.例6有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有多少种分析：先考虑分组,即10人中选4人分为三组,其中两组各一人,另一组二人,共有112109822C C C A 种分法.再考虑排列,甲任务需2人承担,因此2人的那个组只能承担甲任务,而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,所以共有112109822C C C A 22A =2520种不同的选法.例7设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A 为定义域,B 为值域,则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个分析：由于集合A 为定义域,B 为值域,即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”,而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限,所以此问题实际上还是分组后分配的问题.先考虑分组,集合A 中4个元素分为三组,各组的元素数目分别为1、1、2,则共有11243222C C C A 种分组方法.再考虑分配,即排列,再乘以33A,所以共有11243222C C C A 33A =36个不同的函数. 总之,掌握上述两个结论,就能顺利解决任何分配问题.而且,学会了分配问题,还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决.练习：把编号为1,2,3,4,5的五个球完全放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球,则不同放法的总数是： A60B150C300D540。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到对象的排列和组合方法。
在实际生活中，排列组合可以帮助我们解决很多实际问题，尤其是在分组分配问题上。
分组分配问题是指将一些对象按照一定的规则分配到不同的组中，这个问题在实际生活中常常出现，比如分班分组、分工分配等。
在这篇文章中，我们将探讨排列组合中的分组分配问题，并提出有效的解法。
我们需要了解一下排列组合中的基本概念。
排列指的是从一组对象中按照一定的顺序选出一部分对象的方法，而组合指的是从一组对象中选出一部分对象并将其无序排列的方法。
在分组分配问题中，我们通常需要考虑的是对象的分组和分配顺序。
在实际生活中，有时我们需要将一组对象分成若干个组，并且每个组中的对象数量可能是不同的，这就涉及到了排列组合中的分组分配问题。
我们需要将一些学生分成若干个班级，每个班级的人数可能是不同的；又如，我们需要将一些任务分配给若干个团队，每个团队的任务量可能是不同的。
如何有效地解决这些问题呢？下面我们将介绍一些常见的有效解法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通常适用于求解最优化问题。
在分组分配问题中，我们可以通过贪心算法来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以按照一定的规则来选择对象并将其分配到不同的组中，直到所有对象都被分配完为止。
对于任务分配的问题，我们可以按照任务的难易程度或者工作量来排序，然后依次将任务分配给团队，直到所有任务都被分配完为止。
贪心算法的好处是简单易实现，但它并不能保证得到全局最优解，因此需要根据具体情况来选择是否使用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，它适用于分组分配问题中复杂的情况。
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最后将这些子问题的最优解组合起来得到原问题的最优解。
在分组分配问题中，我们可以通过动态规划来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以定义一个状态转移方程，根据这个状态转移方程来对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的最优解。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
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这A33 种只 能算一种
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基础探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
3 9
C36
C
3 3
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成
四堆有多少种不同的
分法？
(1)
（2）按2∶2∶2∶4分给
甲、乙、丙、丁四个
人有多少种不同的分 (2)
法？3人2本1人4本？
C120
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？(每人2本)
方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
练习4：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列 条件，各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
三：部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法 ?甲4本，乙丙各一本？1人4本，1人1本，1人1本？
C64C21C11 A22
四非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
C61C52C33
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
三：部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· （2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
(2)
C
132C
3 9
2 有分配对象和无分配对象 二非均分组问题
1有分配对象和无分配对象
2分配对象确定和不固定
引旧育新
1 把abcd分成平均两组
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
有_____多少种分法？
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
2平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种 情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表 示组数。
部分均匀分组 3. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有 2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？ 分析：记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、 h、i、j写出一些组来考察
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
(3)
C
2 12
C
பைடு நூலகம்
5 10
C
5 5
(4)
A
1 3
C
122C
5 10
C
5 5
课堂小结
一平均分组问题
1 平均分成的组，不管它们的顺序如 何，都是一种情况，所以分组后要 除以Amm，即m!，其中m表示组数。
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C120
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·