说题比赛高考数学
2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 新高考I卷第21题
2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会新高考I卷第21题CONTENTS目录01试题讲解030402方法总结模型应用溯源推广05[2023全国I ，21] 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下: 若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第1次投篮的人选，第一次是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率(3)已知:若随机变量X i 服从两点分布，且P(X i =1)=1−P(X i =0)=q i ,i =1,2，...n,则Eσi=1n X i=σi=1n q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮中甲投篮的次数为Y ，求E Y .试题赏析（1）求第2次投篮的人是乙的概率；实际问题数学抽象数学问题A 1A 2A 1A 2B 2A 2B 2A 1B 2B 1B 1A 2 B 1B 2记A i ：第i 次投篮的人是甲；B i ：第 i 次投篮的人是乙由全概率公式得：P(B 2)= P(A 1B 2)+P(B 1B 2)= P(A 1)P(B 2|A 1)+P(B 1)P(B 2|B 1) =0.5 x （1-0.6）+ 0.5 x 0.8 = 0.6第2次第1次[2023全国I ，21] 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下: 若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第1次投篮的人选，第一次是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率(3)已知:若随机变量X i 服从两点分布，且P(X i =1)=1−P(X i =0)=q i ,i =1,2，...n,则Eσi=1n X i=σi=1n q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮中甲投篮的次数为Y ，求E Y .试题赏析思路1：依托教材，分析递推A 1A 2 A 1A 2B 2A 2B 2A 1B 2 B 1B 1A 2 B 1B 2第2次第1次A 2A 3 A 2A 3B 3A 3B 3A 2B 3 B 2B 2A 3B 2B 3第3次第2次第4次？第5次？ …… 第i +1次呢？A iA i+1 A i A i+1B i+1A i+1B i+1A iB i+1 B iB i A i+1B i B i+1第i +1次第i 次由全概率公式得：因果执果索因、追根求源p i+1=0.6p i +(1−0.8)(1−p i )=0.4p i +0.2 ……②P(A i )+ P(B i )=1P(A i+1)= P(A i A i+1)+P(B i A i+1)= P(A i )P(A i+1|A 1)+P(B i )P(A i+1|B i )……①记P(A i )=p i ，则P(B i )=1-p i ,则 式可写作：0.2一阶线性递推求通项的数列问题同除法不动点法配凑法差分法得出递推式②后，则问题转化为一阶线性递推求数列通项，接下来，提供四种方法:(一)同除法对于递推式: p i+1+1 = 0.4p i + 0.2 ....②等式两边同除0.4i+1得:p i+1 0.4i+1=p i0.4i+0.20.4i+1……③③式可改写为:q i+1−q i=0.20.4i+1……④累加法不妨换元，令p i0.4i =qi，初始条件q 1=p 10.4=54q i =q 1+q 2−q 1+q 3−q 2+⋯+(q i −q i−1)q i+1−q i =0.20.4i+1q i =54+0.210.42+10.43+⋯+10.4i=512+56∙(52)i−1∴p i =0.4i ×q i =16×(25)i−1+13p i0.4i =q i(二)不动点法一般地，对于递推数列{X n}，若其递推式为X n+1=f(X n)，且存在实数x0，使得f(x0)，则称x0是数列{X n}的不动点.递推关系结合p1=12,p1=12,p1−13=16不动点考虑初始条件构造等比数列p i+1=0.4p i+0.2……②0.4x+0.2=x x=1 3p i+1−13=25(p i−13)p i−13=16×(25)i−1p i=16×(25)i−1+13特征方程(三)配凑法p i+1=25p i+0.2②p i+1−13=25(p i−13)λ=13利用待定系数构造等比数列设p i+1+λ=25p i+λ计算整理构造等比数列p i+1−13=25(p i−13)殊途同归做法同方法(二)(四) 差分法p i+1=0.4p i +0.2……②②-⑤p i+1−p i =0.4(p i −p i−1)……⑥r i =0.4r i−1令r i =p i−1−p i（等比数列）r i =(−0.1)×0.4i−1r i =p 2−p 1=−0.1p i =0.4p i−1+0.2,i ≥2……⑤r i =(−0.1)×0.4i−1p i =p 1+p 2−p 1+p 3−p 2+⋯+(p i −p i−1)r i =p i−1−p i累加法p i =16×25i−1+13即：p i+1−p i =0.4i−1×(−0.1)同除法不动点法配凑法差分法实际问题数学问题依托教材活用全概率公式考虑基本事实P(B i )=1−P(A i )得出递推式p i+1=0.4p i +0.2一阶线性递推求通项的数列问题思路2:数形结合，直观递推设第n 次甲投篮的概率为a n ,是乙投篮的概率为b n由题意列出第n 次投篮到第n +1次投篮的状态转移图如下:状态转移图第n 次第n +1次甲投篮乙投篮甲投篮乙投篮中(0.6)中(0.8)a n+1=0.6a n +0.2b n b n+1=0.4a n +0.8b na n +b n =1a n+1=0.4a n +0.2a n+1b n+1a nb n思路3:马尔可夫，一招致胜借助思路2的状态转移图，可整理得到条件概率表:状态转移图第n 次第n +1次甲投篮乙投篮甲投篮乙投篮中(0.6)中(0.8)a n+1b n+1a nb n第n +1次第n 次甲乙甲0.60.4乙0.20.8条件概率表概率转移矩阵P(A n+1|A n )Q =0.60.40.20.8a i =a 1q i−1πi =π1Q i−1类比等比数列马尔可夫链马尔可夫链在时刻n 的分布完全由初始分布π(1)和概率转移矩阵Q 决定.第一次是甲、乙的概率各为0.5.则本题的初始状态π(1) = (0.5 0.5).为方便计算Q i−1，将Q 对角化(《线性代数》)可得:Q =0.60.40.20.8=121−11000.4121−1−1Qi−1=121−1=1i−1000.4121−1−1∴πi =π1∙Q i−1=0.50.5⋅121−11i−1000.4i−1121−1−1∴πi =π1∙Q i−1=16×25i−1+13−16×25i−1+231/21/21/21/2112-1×+×=实际问题数学问题思路1:全概率公式思路2:数形结合法思路3:马尔可夫链●根据情境判断马尔可夫问题●画出状态转移图、写出概率转移矩阵●考虑初始状态π(1),代入公式π(i) =π(1)Qi−1123(3) 已知:若随机变量X;服从两点分布，且P X I =1=1−P X i =0=q i ,i =1,2，…n,则E σi=1n X i =σi=1n q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求E(Y).前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数的期望E(Y)思路1:利用定义，代入公式思路2:利用结论，突出本质思路1:利用定义，代入公式由(2)知:第i次投篮是甲的概率为p i=16×(25)i−1+13,i=1,2…n第i次投篮第1次投篮第2次投篮...第n次投篮每次共投篮个数11 (1)第i次甲投篮概率p;p1p2…p nE Y=1×p1+1×p2+⋯1×p n=161−25n1−25+n3=5181−25n+n3思路2:利用结论，突出本质(3) 已知:若随机变量X i 服从两点分布，且P X i = 1= 1−P X i = 0=q i ,i =1，2，..n ，,则E(σi=1n X i )=σi=1n q i 记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求E(Y).构造两点分布:设第i 次投篮中甲的投篮次数为Y i P(Y i = 1)= 1− P(Y i =0)=p i ,E Y =E i=1nY i =E i=1np iE Y =p 1+p 2+⋯p n =5181−25n+n3数学期望的线性性基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力数学抽象、逻辑推理、数学建模直观想象、数学运算、数据分析。
2023新高考数学说题
2023新高考数学说题2023年新高考数学说题：一、说教材本次考试，试卷命题以《2023年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》为依据，考查了集合、函数与导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、计数原理和概率等高中数学主干知识，同时还考查了数学运算、数据处理以及运用数学思想方法解决问题的能力。
全卷整体难度适中，知识覆盖面广，注重对基础知识、基本技能和基本方法的考查，突出了对重点知识、重点内容的考查，同时也呈现了多角度、多层次考查能力的趋势。
二、说学生学生在答题中存在的主要问题有：1. 基础知识不扎实。
部分学生对基础知识掌握不够牢固，导致答题时出现概念模糊或计算错误。
2. 解题能力不强。
部分学生不能灵活运用所学知识解决问题，解题思路不清晰，方法不得当。
3. 缺乏数学思想方法。
部分学生只关注具体题目的解答，而忽略了数学思想方法的运用，导致遇到新问题时无法应对。
三、教学建议针对学生在答题中存在的问题，教师在教学中应注意以下几点：1. 强化基础知识教学。
教师在教学中应注重基础知识的传授和巩固，加强学生的计算能力训练。
2. 培养学生的解题能力。
教师可以通过讲解例题、引导学生进行探究和讨论等方式，提高学生的解题能力。
3. 注重数学思想方法的渗透。
教师在教学中应注重数学思想方法的运用，引导学生逐步形成数学思维方式，提高解决实际问题的能力。
4. 加强数学实验和实践教学。
教师可以利用数学软件和工具开展实验教学，让学生通过实验和实践活动来加深对数学知识的理解和应用。
5. 关注学生的个性化需求。
针对不同层次的学生，教师可以采用分层教学和个性化辅导等方式，帮助学生解决学习中遇到的问题。
四、说备考策略针对本次考试的特点和学生在答题中存在的问题，教师在备考时应采取以下策略：1. 全面复习，夯实基础。
教师应对高中数学的主干知识进行全面梳理和复习，帮助学生巩固基础知识和基本技能。
2. 强化训练，提高解题能力。
高中数学说题比赛课件集锦王坤峰说题课件
……① ……②
∴ y1 k1(x1 2), y1 k2 (x1 2) 两式相加得 即 0 (k1 k2 )x1 2(k1 k2 )
x1
2(k1 k2 ) k1 k2
又由 得 ， ∴ 即
y
k1
(
x
2)
y k2(x 2)
x 2(k1 k2 ) k1 k2
直线 A1P 的方程为 直线 A2Q 的方程为
y y1 (x 2)
y
x1y1
2 (x
2)
x1 2
……① ……②
设点M(x, y)是A1P与 A2Q 的交点，由①×②得
y2
y12 x12 2
(x2
2)
……③
又点P(x1, y1)在双曲线
上 x2 y2 1
2
∴
x x1 2
x 2, x1
∴
y1
k1
2(k1 k2 ) k1 k2
2
2
2k1 k2 k1 k2
y
k1
2(k1 k2 ) k1 k2
2
2 k1
2k1 k2
k2
以下同法一 ∴
∴ y1 k1 k2 2
y2
2 1
0
得 x 2, y 0 所以直线 l
与双曲线只有唯一交点 A2 。故轨迹E不经 过点 (0,1)。
综上分析，轨迹E的方程为 x2 y2 1, x 0 且x 2 2
法三：由题设知 A1( 2,0) A2( 2,0) ，则有
高中数学说题比赛课件集锦谷艳波的课件
谢谢 请多指教
以பைடு நூலகம்
上
两
式
相
减
，
得
a2k 1 a2k 1 2 于是有
a1 a3 a5 a59 (a1 a3 ) (a5 a7 ) (a57 a59 ) 15 2 30
。 。 。 。 。 （1）
又由 an 1 (1)
n
an 2n 1 ，令 n=1,3,5......59,知
关于一道高考题的 解法探究
浩良河化肥厂学校 谷艳波
2012 年高考全国新课程卷理科第 16 题：
n
数列 {a n} 满足
an1 (1) an 2n 1 ， 则
{a n } 的前 60 项和为
n a ( 1) an 2n 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
a2 a1 1, a4 a3 5, a6 a5 9....... a60 a59 117
以上各式相加，得
(a2 a 4 a6 a60 ) (a1 a3 a5 a59 ) 1 5 9 117 1770
于是可知
a4k 3 a, a4k 2 a (8k 7), a4k 1 2 a, a4k a (8k 1),
所以 a4k -3 a4k 2
a4k 1 a4k 16k 6 ， 知每连续四项之和成等差
15(10 15 16 6) s60 1830 数列，则 2
g (n)an
an1 qan d （其中 q,d 为常数）构造
想通过以上几种方法求出通项，在进一步进行求和， 但进一步分析哪种形式都不符合，原因出在这道题有
高考数学原创题命题说题比赛
1 3x
AM
1 3y
AN
三.例谈命题
（3）M、N、G 三点共线
A
M
G N
【论题】M、N、G 三点共线，A 为平面内一点，若 AG xAN y AM, 则 x y 1
【论证】M、N、G 三点共线，存在实数 ，使得 MG MN(0 1)
即 AG AM (AN AM) ， 所 以 AG AN (1 )AM xAN y AM, 而
人教 A 版八年级数学上册：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 【论题】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1，
（如图，D、E 分别是 ABC的边 BC,AB 的中点，AD 与 CE 交于点 G，求证：AG: GD 2 :1 ）
A
【论证】
E
F
G
B
C
D
过 D 作 DF // CE 交 AB 于 F，因为 D 为 BC 中点，所以 F 为 BE 中点，（平行线分线段
选择题 12
填空题 15
解答题 21
改编：
原创
试题来源：模拟试题 试题来源：联考测试题，
难度 0.3，区分度 0.29 难度 0.45，区分 0.41
原创，试题来源：
1、教材 P32B 组 1（4 2、 2017 年（全国 II 卷（理）
难度 0.25，区分 0.4
创新性：由形到数
创新性，指数运算，整 化归与转化，类比思想、运
.
一.试题呈现
【解答题】
21.已知函数f
(x)
ln
x,
f
(x
1)
ax在其定义域内恒成立, 数列an 满足a1
2022年全国高考数学1卷第22题讲题比赛课件精选全文
= 经过 与 的交点
x
解法1：
x
由（1）知， f ( x) e x, g ( x) x ln x
1
设函数 G( x) f ( x) g ( x) e ln x 2 x, 则G ( x) e 2
x
放缩法
x
1
ln x 2 x, 则G ( x) e 2
且
，
e x0 b x2 ln x2 b
x1
x1
ⅇ
−
ln
ⅇ
=b
x
即
注意 f (x) 与 g (x) 的结构，可得 f ( x) g (e ) ，
ⅇx0 − ln ⅇx0 = b
所以 g ( x0 ) g (e 1 )
x
而由 0 x0 1,0 e 1 1 ， g (x) 在 (0,1) 上单调递减，
x
等价于 e x b 和 ln x x b 共有三个不同的根.
x
因为 = ⅇ 和 = ln 互为反函数，图像关于 = 对称，
= + 和 = − 也互为反函数，图像关于 = 对称
得∃ ∈ ，使得 = ⅇ 与 = + 交于，两点，
= ln 与 = − 交于，两点，且，横坐标相同时有3根.
x
'
所以当 >
x
因为 e x 1
x
0时， ′
'
x
=
ⅇ
1
+ −2> 1+
所以 G(x) 在（0，
）单调递增.
1
+
−2>0
2
高中数学说题比赛课件集锦张庭树 说题
AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。
B1 D Ａ Ｃ E
BD=DC，∴AB=AC
三.解题方法
几何解法
向量解法
A1 C1
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
证明1）（法二）连结EB。 由Rt△DEB≌Rt△DEC得到DB=DC AB=AC
B1
D Ａ Ｂ
E
Ｃ A1 C1
证明1）（法三）取BC中点H，连结EH
向量解法
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
A1
解2）（法二）建立空间直角坐标系
二面角的平面角 侧棱和底边的关系
C1
B1
D
Ａ
E
求出面BCD的法向量
Ｂ
Ｃ
两个向量的数量积
直线与平面所成的角
四、高考连击：
2012年山东高考理科第18题
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，
０ ＡＢ ＣＤ，ＤＡＢ＝６０，ＦＣ 面ＡＢＣＤ， ＡＥ ＢＤ，ＣＢ＝ＣＤ＝ＣＦ
五、考题变式
A1 B1
C1
D Ａ Ｂ C
1
E
Ｃ B1
变式（一）如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， 1 D、E分别是棱AA1，B1C的中点。AB= AA1 2 DE B1C 1）证明AB BC 2)若二面角A-BD-C的为60 ， 求B1C与面BCD所成角的大小。
0
A1
E
D C A B
图2
五、考题变式
Ｂ B1 D Ａ Ｃ E A1 C1
二.解题思路
条件分析
结论分析解题关键源自2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 DE 面BCC1 1）证明AB AC 2)若二面角A-BD-C的为60 ， 求B1C与面BCD所成角的大小。
高中数学第二届说题比赛试题说题——圆锥曲线1共18张PPT
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
(
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
BN = 2 AM
解 法 一 ：
结束语
我想，如果拿到一个题目，作为教师都能这 样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起到 以一当十、以少胜多的效果，既可以增大课堂的 容量，又可以培养学生各方面的能力，特别是自 主探索，不断创新的能力。如果在教学中能够尝 试让学生自己说题，讲题，相信教学的效果会更 好。
我想今后我会继续努力深入去研究课本的例 题、习题和全国各地的高考试题，不断追求新知， 完善自己，将说题的意识进行到底。
说拓展
变式1（类比）： 已知直线 y k (x 2)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两点， F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
变式2（进一步提升）：
已知直线 y k (x a)与抛物线 C: y 2 8x 相交 A、B 两 点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
x1 x2
8 4k 2 k2
x1x 2 4
(2x 2 2)x 2 4 x 2 2(舍)或x 2 1
y2 2 2
k 22 3
缺乏严谨性
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
翻译——代数讨论——翻译
20xx年说题稿(数学)—谭丹风
20xx年说题稿(数学)—谭丹风上期高中部《说题比赛》说题稿（数学组、谭丹风）本题选自(xx年高考，全国1卷理科21，满分12分)设函数，曲线在点（1，f(1)）处的切线为方程为（1）求（2）证明：一、选题理由xx年，湖南高考将采用全国卷，那么函数综合试题是高考的必考题型，满分12分，并且是高考解答题的压轴题。
总体来讲，本题对能力要求较高，有明显的区分度。
但本题的起点并不高，低层次考生都能动笔做，只要掌握函数曲线的切线基本求法，就能得到2-5分；它很好地贯彻了考纲的要求，堪称完美。
二、学情分析部分学生觉得这是高考的压轴题，肯定比较难，怕时间不够，也有少部分学生觉得第2问无从下手。
主要失分原因有以下五点：1、忽略求函数的定义域、如，的定义域为;2、求导公式和求导法则记得不牢,如，的导函数的求解出错；3、曲线切线方程的斜率的求法理解不清、如，在点（1，f(1)）处的切线的斜率应为；4、方法掌握不牢、如，在证明时，我们要采用构造函数的方法，往往学生不会构造出便于求导的新函数；5、导数在函数性质中的应用掌握不够、如，不会利用导数去判断的单调性和最值；三、考纲要求纵观近年的高考全国卷的题目，我们不难发现这些高考题都涉及到考查导数的几何意义及利用导数研究函数的性质的综合性问题，尤其是函数的单调性和最值与导数的关系。
主要考查的数学思想有：函数思想、转化与化归思想；同时考查的基本能力有：运算求解能力、转化能力以及灵活运用所学知识分析能力和解决问题的能力。
四、命题立意本题在命制时把函数的性质、导数、不等式等放在一起，有机融合了函数与导数以及导数与不等式的关系。
本题的命题意图是三维的：一是考查数学思想：如:在解决第1问时要用到：函数与方程的思想。
解决第2问时要用到：函数与方程、转化与化归的思想；二是要考查数学能力：解决第2问时要用到：运算求解能力、通过构造函数求单调性及最值问题、对不等式进行转化等考查学生分析问题、解决问题的能力；三是让学生学会利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性及最值解不等式，以及探究与猜想在数学中的重要性。
说题:多维视角下解析一道高考试题
说题：多维视角下解析一道高考试题傅婷【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】4页(P37-40)【作者】傅婷【作者单位】浙江省宁波中学 638400【正文语种】中文笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前，笔者的学生问了这样一个问题：已知一个抛物线型的酒杯，杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中，当玻璃球的半径在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？笔者在给学生解答的过程中，发现这个酒杯中的数学与2016年浙江高考理科数学试卷第19题其实是同一类型的问题.遂选择了这个题目进行说题，题目如下：如图，设椭圆(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.1 解法分析考点弦长公式;圆与椭圆的位置关系;椭圆的离心率几何条件含参圆与椭圆至多有三个交点;离心率范围目标动态圆锥曲线交点问题的转化第(I)题：考查直线与椭圆相交的位置关系，涉及到线段长，可以考虑用弦长公式，解法如下：由题意可得：解得：x1=0,.直线y=kx+b被椭圆截得的线段长为：·第(II)题：考查的是双二次曲线的交点问题，本题中有动态和恒成立两个难点，故问题的解决关键在于交点问题的转化.视角一代数视角由于圆锥曲线的交点个数可以转化为方程有解问题，便有解法1.解法1 方程在区间上根的分布问题由得(a2-1)y2+2y+r2-1-a2=0(*)先考虑有四个交点情况，则需要方程(*)在(-1,1)上有两不同根，由得当时，存在这样的r, 使得方程(*)在(-1,1)上有两解，圆与椭圆有4个交点.故圆与椭圆至多有3个公共点时，1<a≤,椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、根的分布问题策略正难则反思想方程思想方程的有解问题可以转化为函数的交点问题，故有解法2.解法2 函数在区间上的交点个数(1-a2)y2-2y+1+a2=r2.令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2(-1≤y≤1) ，得而1-a2<0，假设存在r，使函数t=f(y)与t=r2在(-1,1)上有两个不同的交点，则需求函数f(y) 在 (-1,1)不是单调函数，只需,即a2>2.当a2>2时，圆与椭圆有4个不同的公共点.所以当1<a≤时符合题意,椭圆的离心率范围是0<e≤.思想函数与方程思想、数形结合思想视角二几何视角椭圆具有对称性，要保证圆与椭圆至多有3个公共点，则圆与椭圆y轴单侧不可能有2个公共点，即弦长在y轴单侧处处不相等.将两条动态曲线的交点问题转化为弦长问题,再代数解决.解法1 弦长相等(浙江省考试院提供的参考答案)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ,记直线AP、AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0，k1≠k2．由(1)知·,·,故··，所以.由于k1,k2>0，k1≠k2，得：.①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是：1+a2(a2-2)>1,所以.因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a2≤2.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、弦长公式思想函数与方程思想在解法1的基础上，若AP=AQ,则三角形APQ为等腰三角形，连接PQ，取其中点M，连接AM，如图所示，则AM垂直PQ.涉及中点、垂直的位置关系，可以考虑用点差法，将弦长相等的数量关系转化为几何的位置关系.解法2 点差法假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为M(x0,y0).则两式相减得：. 即(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，得x0+a2y0·.②由AP=AQ，得AM⊥PQ,即kAM··.所以,代入②式得：x0+a2y0·,由得：a2>2.因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、点差法思想设而不求思想、函数思想视角三函数视角圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上定点逆时针旋转到下定点时,PA处处不相等，即弦长在y轴左侧单调.可以考虑构造函数，将交点问题转化为函数的单调性.解法1 弦长在y轴单侧单调递增由(1)知，设k2=t,则在区间(0,+∞)内单调递增.只需t2+t≤,即t≤恒成立，得≥1,即a2≤2.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识弦长公式、单调性思想函数思想在解法1的基础上，弦长单调递增，即意味着弦长是具有最大值的.反思解法1，利用弦长公式构造出的函数，较为复杂，不便于研究.点P为椭圆上的任意动点，可以利用椭圆的方程进行三角换元来设点P的坐标，则PA为P、A两点间的距离公式.解法2 弦长的最大值圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上顶点逆时针旋转半圈到下顶点时,PA 单调递增，即当且仅当点P(acosθ,sinθ)为下顶点B(0,-1)时，PAmax=2.PA2=a2cos2θ+(sinθ-1)2=(1-a2)sin2θ-2sinθ+1+a2,(-1≤sinθ≤1)因为PA的最大值当且仅当sinθ=-1时取到，且1-a2<0,所以对称轴≤-1,又a>1,得1<a≤.离心率,因此椭圆离心率的取值范围为知识距离公式、二次函数最值思想函数思想、数形结合思想对于一个复杂的动态圆锥曲线的交点问题，若直接处理起来比较困难，有时候可以考虑特殊位置.视角四特殊视角若需满足题目条件，只需当临界情况，即半径r=2时，椭圆完整在圆内，否则只需半径再大一点就会有4个交点.取相同y时，,即(1-y2)a2<4-(y-1)2,所以，当-1<y<1时，a2≤2.离心率∈(0,.策略考虑临界位置思想函数思想、数形结合思想解法小结对于本题，解法众多，但笔者认为最理想的解法是转化为距离(弦长)的最值.2 背景分析2.1 本质研究本题所涉及的动态圆与椭圆的交点问题，其本质是y轴上的定点A到圆锥曲线椭圆上动点P的距离PA的最值问题.解决步骤如下：(1)两点坐标；(2)距离公式;(3)构造函数；(4)函数最值.深入研究本问题，还是得到一些其他的结论：在y轴单侧，PA单调递增时，圆与椭圆的交点个数为2或1或0个；在y轴单侧，PA不单调时，圆与椭圆的交点个数为4或3个.2.2 问题链接以下两个问题也是定点到圆锥曲线(椭圆、抛物线)上动点的距离的最值问题. (1990年全国卷)已知椭圆的中心为坐标原点，长轴在x轴上，已知点P(0,到椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.有一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4米，深8米，称之为抛物线酒杯，当玻璃球的半径为多大时，玻璃球一定会触及到酒杯底部.3 拓展变式对于2016年浙江高考理科数学试卷第19题，定点A在y轴上的位置比较特殊，恰为椭圆的上顶点，故对这个问题还可以进行拓展.变式1 点A在y轴上，椭圆外设椭圆,若任意以点A(0，tb)(t>1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求离心率e的取值范围.变式2 点A在在y轴上，椭圆内设椭圆,若任意以点A(0，tb)(0<t<1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求离心率e的取值范围.变式3 点A在y轴正方向上运动设椭圆,若任意以点A(0,tb)(t>0)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求e,t满足的条件.解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则PA2=a2cos2θ+(bsinθ-tb)2=(b2-a2)sin2θ-2b2tsinθ+t2b2+a2,(-1≤sinθ≤1),由≤-1得0<e≤.一般结论点A在y轴上时，当0<e≤(t≠0)时，至多有3个交点；点A在y轴上时，当(t≠0)时，有4个交点；变式5 点A在x轴正方向上运动设椭圆,若任意以点A(ta,0)(t>0)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求e、t所满足的条件.解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则PA2=(acosθ-t)2+b2sin2θ=(a2-b2)·cos2θ-2atcosθ+t2+b2(-1≤cosθ≤1),由≥1得0<e≤.一般结论：点A在x轴,当0<e≤(t≠0),至多有3个交点；点A在x轴,当(t≠0),有4个交点；变式6 圆与抛物线的交点问题设抛物线方程为x2=2py(p>0),若任意以点A(0,t)(t>0)为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，求t、p需满足的条件.解设抛物线上点为p(x0,y0),则，当≤0时,t≤p.变式7 点A为平面上任意一点设椭圆,若任意以点A(m,n)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求离心率e的取值范围.4 教学启示通过对这道高考试题的研究，笔者得到了一些启发.任何一个复杂解析几何问题的解决，都需要用到基本知识，因此在教学的过程中应该注重学生基础知识、基本技能的夯实；引导学生从不同视角下进行研究，挖掘问题的本质；关注解析几何问题(比如交点问题)转化中的通性通法，方程与函数、数形结合等思想的应用.通过对问题的变换、推广和转化，可以有效培养学生思维的广阔性.。
高中数学说题比赛课件集锦苏晓霞1
2 x1 2 y1 1 4 2 x1 2 2 y1 2 1 4 16
2 x1 2 y1 1 4 2 2 x2 y2 1 4 16
两式相减， （这里要注意设而不求的解题技巧）
整理得x1 y1 x1 y1 0 又OB 2OA ,O,A,B三点共线且不在y轴上 得
训练２．特点与训练１相同，但多了一条动直线AB， 且动直线被定直线ＯＰ平分，就提供了一个平行直线 系的问题，利用三角形面积的最值将直线定下来，从 而确定直线的方程，难度显然加大，但仍符合圆锥曲 线大题求解的常规思路
于是得到斜率k=1或k=-1
2
解法3：
设椭圆 C1 的参数方程
2
设椭圆 C 的参数方程
x 2 cos y sin
则 A2 cos , sin B2 cos ,4 sin
x 2 cos y 4 sin
由 OB 2OA 得
cos 2 cos sin 1 sin 2
高 中 数 学 说 题
牡丹江管理局
苏晓霞
题目：(2012年高考陕西卷理科19)
已知椭圆
x2 C1 : y2 1 4
，椭圆 C 2 以 C1
的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率． （1）求椭圆 C 2 的方程； （2）设 O 为坐标原点，点A，B分别在椭圆 C1 和 C 2 上， OB 2OA ，求直线AB的方程
解法1： (1) 椭圆 C 2 的方程为 （2）设:A、B两点的坐标 Ax1 , y1 Bx2 , y2 由 OB 2OA 得 x2 , y2 2x1 , y1 ，所以
y2 x2 1 16 4
2022年新高考全国1卷17题说题比赛课件
04
解题思路与方法总结
(2022全国1卷17题)记Sn为数列an的前n项和，已知a1 1,
Sn an
是公差为13
的等差数列.
(1)求an 的通项公式；
思路1: 利用an与Sn的关系消去 Sn ,与an相关的累乘法
思路3: 消元, 构造an相关新数列
思路4 : 消元, 构造Sn相关新数列
思路2 : 利用an与Sn的关系消去 an ,累乘法得 Sn ,再求an
所以Sn
n(n
1)(n 6
2)
(n
N ),
利用an与Sn
的关系消去an ,
与S
相关的累乘
n
法
则Sn-1
(n
1)n(n 6
1)
(n
2),
所以an
Sn
Sn-1
n(n
1)(n 6
2)
(n
1)n(n 6
1)
n(n 1) 2
(n
2),
又a1 1也满足上式.
所以an
n(n 1) 2
(n
N)
04
2( 1 1 ), n n 1
1 a1
1 a2
1 an
2(1
1) 2
(
1 2
1) 3
(
1 n 1
1) n
(1 n
n
1
1)
2(1 1 )
n 1
Text
2
04
解题思路与方法总结
破解此类题需过四关:一是“定义”关,即熟练利用等差(比)数列的定义 进行应用与证明; 二是“基本量法”关,若干个能唯一确定一个数列的量称为 该数列的“基本量”，首项与公差(比)是等差(比)数列的“基本量”,在解决 等差(比)数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法; 三是“裂项相消法” 关,注意其解题思路流程为一项裂开两项→互相抵消→注意余下的项→得结果; 四是会利用放缩法证明不等式,需注意数列的增减性与函数的单调性的本质区 别。
高中数学说题比赛课件集锦马凤说题
3.2010新课标文
已知函数 f ( x) x(e 1) ax .
x 2
（Ⅰ） 若 f ( x ) 在 x 1 时有极值， 求函数 f ( x ) 的解析式； （Ⅱ）当 x 0 时， f ( x) 0 ，求 a 的取值范围.
对本题的二次思考
在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易 或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最 值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
不等式e x x 1及其变形在高考中的应 用
2012年山东理科试卷22题 2012年辽宁理科试卷21题 2012年天津理科试卷20题 2012年湖南理科试卷21题 2012年全国新课标试卷21题
说题的参考文献
几乎每年的高考试题的压轴题都有应用
谢谢指导
不等式e x 1及其变形在高考中的应 用
x
（2010全国卷1理数）(20)(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ( x 1) ln x x 1 . （Ⅰ）若 ( x 1) f ( x) 0 ，求的取值范围； 2 （Ⅱ）证明：xf '( x) x ax. 1 （2010全国卷2理数）(20)(本小题满分12分) x 设函数 f x 1 e ． x f x （Ⅰ）证明：当 x＞-1 时， ； x 1 x f x （Ⅱ）设当x 0 时， ，求a的取值范围． ax 1 （2011湖北理理数）(21)(本小题满分12分) （Ⅰ）已知函数 f ( x) ln x x 1 ，x (0, )，求函数 f ( x) 的最大值； （Ⅱ）设 ak , bk (k 1,2,3,, n) 均为正数，证明： bn b1 b2 （1）若 a1b1 a2b2 anbn b1 b2 bn , 则a1 a2 an 1 1 （ 2） bn b2 2 2 若b1 b2 bn 1, 则 b1b1 b2 bn b12 b2 bn . n
(完整版)高考数学说题稿
试题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-（1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-； （3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<1说题目立意（1）考查常见函数的导数公式（包括形如()f ax b +的复合函数求导）及导数的四则运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化化归等思想。
2说解法解：()f x 的定义域为(0,)+∞ 定义域优先原则1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；若0a >，则由()0f x '=，得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 分类讨论的思想 当1(+)x a ∈∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减；归纳小结：本问主要考查导数法确定函数单调性，属导数中常规问题。
（2）分析：在函数、导数的综合题中，不等式证明的实质就是转化成函数求最值。
本问只要考查构造函数法，完成不等式的证明。
形如11()()f x f x a a +>-的不等式叫“二元不等式”，二元不等式的证明，多采用“主元法”。
方法一：构造以x 为主元的函数 设函数11()()()g x f x f x a a=+--则()ln(1)ln(1)2g x ax ax ax =+---32222()2111a a a x g x a ax ax a x '=+-=+-- 当10x a<<时，()0g x '>，而(0)0g =，所以()0g x > 故当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-。
说题比赛的题目(高中)
说题比赛的题目（高中）一、题目1：已知O 是坐标原点，点()1,1-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OMOA ⋅的取值范围是（ ）A 、[]0,1-B 、[]1,0C 、[]2,0D 、[]2,1-1、题目背景本题是2011年福建高考理科第8题，以向量运算为切入点，以不等式组所表示的平面区域为载体，以对学生数形结合思想、化归转化思想考查为突破口，重点考查了不等式组表示平面区域、向量运算、最值问题等基础知识以及解决数学问题的运算能力．因此，在本题的问题解决过程中，学生要注意以下几个方面：（1）是否掌握了利用不等式组表示平面区域的方法； （2）是否掌握了向量的运算；（3）是否掌握了求最值问题的基本方法； （4）是否掌握了数形结合、化归转化的数学思想与方法．本题可以在课本必修5第91页练习第1题的小题(2)找到原型题．题目：求y x z 53+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x两题目条件一样，解题方法也一样，只是线性目标函数的体现形式不同，但又可以转化为一样：设()y x M ,为可行域内任一点，()5,3A ，则OM OA y x z ⋅=+=53，体现了近年来高考试题“追根溯源，回归课本”，“源于课本，高于课本”的理念，因此我们在高考复习中应当充分重视课本，研究课本，汲取课本的营养价值，发挥课本的示范功能． 2、解法探究 方法一：目标函数法解析：b x y y x OM OA b +=+-=⋅=,，作出可行域如图所示，由图1可知：当直线b x y +=经过D 点时，纵截距b 取得最大值，则2max =b ；经过C点时，纵截距b 取得最小值，则0max =b ．所以，OM OA ⋅的取值范围为[]2,0 [O ，2]，故选C ．评注：解题过程中，关键是利用向量运算y x OM OA +-=⋅，将问题转化为求目标函数b x y +=在可行域内纵截距b 的取值范围，化难为简，注重考查数形结合思想、化归转化思想等，考查学生对基本思想和基本数学方法的掌握程度．根据目标函数的几何性质，通过数形结合寻找最优解，这是解决线性规划问题的常规方法． 方法二：向量法解析：作出可行域如图2所示，AOM AOM OM OA ∠=∠=⋅cos cos ，所以，OM OA ⋅的最值信赖于OM 在OA 方向上的投影的最值，由图可知：当点M 运动到点D 时，OM 在OA 方向上的投影最大，()()()22,01,1max=⋅-=⋅=⋅OD OA OM OA ；当点M 运动到点C 时，OM 在OA 方向上的投影最小，()()()01,11,1min=⋅-=⋅=⋅OD OA OM OA ．所以，OM OA ⋅的取值范围为[]2,0[O ，2]，故选C ．评注：向量中的投影也是实现目标函数几何化的重要载体，为我们解决线性规划问题筑起一个崭新的方法平台，并且利用向量工具解决此类问题，目标函数的几何意义更直观、更形象，解题过程操作性更强． 3、 试题价值平面向量作为一个基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位与作用，而将它的思想延伸到解决线性规划问题，可谓匠心独特．这不仅仅是知识层面上的交汇，更重要的是思想上、方法上的交汇，不仅有效实现了数学知识和方法的整合，同时对于学生创新意识的培养大有裨益．引申变式一、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，则1+x y 的最大值为___________．解析：作出可行域如图3所求，设()y x M ,为可行域的任意一点，()01，A -，则()y x AM ,1+=与向量()0,1夹角的余弦为()2211cos yx x +++=θ，由图可知：当点M 在点()2,0D 处时，θcos 取得最小值55，而此时θtan 取得最大值2，故1+x y 的最大值为2．引申变式二、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，则22--=y x z 的最大值为___________．解析：作出可行域如图4所示，将目标函数转化为522522--⋅=--=y x y x z ，则所求的问题化归为求可行域内的点()y x M ,到直线 022=--y x 距离的5倍的最大值．由图可知，当点M 在()2,0D 处时，它到直线022=--y x 距离最大，此时在直线022=--y x 上取一点()0,2N ，则点M 到直线022=--y x 距离的最大值为d =max ，又()()2,1,2,2-=-=n ND，则654255max =+⋅==z ．我们在解决有关线性规划问题时，若能站在向量的角度，利用向量的观点，高屋建瓴，有意识地强化用向量解题，就能变单向思维为多向思维，逐步完善学生的认知结构，提高学生的解题能力．二、题目2：如图1，已知椭圆E 经过点()3,2A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率21=e ． (1)求椭圆E 的方程；(2)求21AF F ∠的角平分线所在的直线的方程．1、题目背景这道题是2010年高考数学安徽卷文科第17题，完全符合新课标的目标要求，即“了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．”本题是以椭圆为背景考查椭圆的方程及直线的方程．试题背景是大家熟悉的椭圆与角平分线的有机结合，使题目内容饱满、丰富．从知识角度看，能够考查学生对椭圆的方程、直线方程以及角平分线的性质理解程度；从能力角度看，区分学生的运算能力、综合分析能力．有效地考查了学生的层次性和差异性．主要表现在对所提供的条件以及对有关概念的准确理解，通过运算、推理，可以求得问题的正确解答．尤其通过图形，抓住问题的本质，做特殊化处理，得到不同的解题思路，这样既考查了学生能否准确地抓住问题的本质，又能考查学生思维的灵活性和创造性．故此题虽小，其中的“巧”“活”注入了经典题的“灵性”，其中所含的“能力立意”既蕴含数形结合的数学思想方法，也凸现在文字、符号、图形之中，这样的题一定会成为“亮点”题． 2、解法探究对于第一问，容易求得椭圆的方程是1121622=+y x ，下面仅对第二问进行解题探究．1．抓住“角平分线”的概念作为突破口从上述分析可知，题目涉及的知识点除去椭圆及离心率外，剩下的就是“角平分线”这个知识点，也是第二问涉及的一个概念．根据“角平分线”的概念、性质进行联想，角平分线具有对应的角的对称轴、内角平分线定理等等，自然形成下面几种解法．解法1：如图2，1F 关于直线l 的对称点是B 点，对称点B 必然在直线2AF 上，并且有51==AF AB ，由于x AF ⊥2轴，32=AF ，故点B 的坐标为()22-，所以直线B F 1的斜率2122021-=+--=k ，即可得直线l 的斜率是2=k ，所以所求角平分线所在直线l 的方程为()223-=-x y ，即012=--y x ．解法2：由题设知，()()52,3,3,2,0,22122=-==AF a AF AF A F ，设21AF F ∠的角平分线所在的直线交x 轴于点C ，点C 在线段21F F 上，点C 的坐标为()0,m ，根据角平分线的性质定理知2121CF CF AF AF =，则()mm ---=2235，解得21=m ，所以点2203,0,21=--=⎪⎭⎫⎝⎛m k C AC ，由点斜式，可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．解法3：由题设知，()()()3,2,0,20,221A F F -，设21AF F ∠的角平分线所在的直线交x 轴于点C ，点C 在线段21F F 上，根据题意易知21AF F ∆为直角三角形，而且54,31212===AF ，F F AF ，根据角平分线的性质定理知352121==AF AF CF CF ，由和比性质335221+=+CF CF CF ，化简得232=CF ，由斜率的定义得2tan 222==∠=CF AF ACF k AC ，故而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ． 归纳：上述的三种解题方法，完全利用了角平分线的性质(对称性、角平分线性质定理等)进行解题，方法自然顺畅，容易想到思路，过程简单、简捷．2．抓住“角平分线”的“几何意义”作为突破口由第一问的椭圆性质和角平分线的几何意义可知，条件所涉及的“角平分线”一定通过直角21AF F ∆的内心，再根据直角三角形的内切圆的性质也可以解决；或利用点到直线的距离公式、点关于直线的对称等基础知识来体现解析几何的基本思想方法；或利用向量的几何性质进行解决此问题．故容易得到下列方法．解法4：如图3，由题意可以得到Rt 21AF F ∆，其中54,31212===AF ，F F AF ，借助直角三角形的内切圆的性质得：内切圆的半径1=r ，又x AF ⊥2轴，22=OF ，结合图形易求得内切圆的圆心坐标为()1,1，故角平分线所在的直线的斜率为2=k ，从而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．解法5：根据题意可知，()()0,20,221F F -，直线1AF 的方程为0643=+-y x ，直线2AF 的方程为2=x ．再由点A 在椭圆上的位置可知，直线l 的斜率为正数．设()y x P ,为l 上的任一点，则有方程25643-=+-x y x ，从而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．归纳：内切圆的圆心就是三角形的内角平分线的交点，依此对题目进行剖析，梳理思路，在解题过程应用中显得很“巧”．3．抓“角平分线”的关键词“角”作为突破口角平分线就是这个角的对称轴，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆(等圆)中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质，进而求得角平分线所在直线的斜率，自然可知其方程．依此思路可以得到下面的解法．解法6：根据题意可知，()()()3,2,0,20,221A F F -，且有Rt 21AF F ∆，其中4,3212==F F AF ，可以设()002190,0,2∈=∠ααAF F ，由34tan 1tan 22tan 2=-=ααα，解方程得21tan =α或2tan -=α(舍去)，在Rt 21AF F ∆中，()2cot 90tan 0==-=ααl k ，故所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．解法7：设 ()002190,0,2∈=∠ααAF F ，椭圆的焦点三角形Rt 21AF F ∆的面积公式得αtan 2b S =∆，又122221==⨯∆S AF F F ，从而解得21tan =α，故2cot ==αl k ，从而可得所求角平分线所在直线l 的方程为012=--y x ．归纳：上述解题方法，反映了解析几何问题最常用、最基本的解决方法：解析法、几何法等．都是从“角平分线”的“角”作为突破口进行探索，发现角平分线就是这个角的对称轴的几何特征，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆(等圆)中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质的策略与手段，进而求解得其方程．。
浙江省第二届高中数学说题比赛题目及解答【最新】
个人赛：1. 设集合1|),{(-≤=a b a M ，且}m b ≤，其中R m ∈.若任意M b a ∈),(，均有032≥--⋅a b a b ，求实数m 的最大值. 解法1：（纯代数解法）由题意得：0)32(≥--⋅b a b 对于1-≤∀a 恒成立.（这里看做a 的一次函数）于是有⎪⎩⎪⎨⎧≥--⋅-≤-0)32()1(032b bb，)32(32≤≤+⇒b b b （*）构造函数x x g x +=2)(，显然)(x g 在R 上单调递增，（*）式转化为)1()(g b g ≤， 也就是1≤b 恒成立，所以1≤m ，即实数m 的最大值为1.解法2：（数形结合）由题意得：b a b ≥-⋅)32(，abb≤-⇒32对于1-≤∀a 恒成立.（再把b 看做x ）这里32-=x y 是不变的，而axy =是一条绕着原点旋转的直线，其斜率范围是)0,1[1-∈a，要使得axx ≤-32在),(m -∞上恒成立，也就是在),(m -∞上无论斜率怎样变化，都要满足直线在曲线上方，那么直线最“陡”时，满足题意即可，也就是当1-=a 时，不等式b b -≤-32恒成立. 以下同解法一.解法3：（用必要条件减少范围）由题意得：当1-=a 时，不等式032≥--⋅a b a b 也应成立，即32≤+b b，解得1≤b （过程同解法一），此时032<-b，从而有32-≤b b a 对于1-≤∀a 恒成立，也就是32max-≤b ba 恒成立，也就是132-≥-bb恒成立，即32≤+b b ，得1≤b . 所以1≤m ，即实数m 的最大值为1.32. 在非等腰直角ABC ∆中，已知︒=∠90C ，D 是BC 的一个三等分点，若552cos =∠BAD ，求BAC ∠sin 的值.解法1：由于点D 是BC 的三等分点，若点D 靠近点B ，则︒<∠30BAD ，即23cos >∠BAD ，又因为2352<，所以点D 靠近点C . 设α=∠BAD ，β=∠DAC ，设h AC x BC ==,3，则由题意可得21tan =α，h x h x 3)tan(,tan =+=βαβ，因为)t an(t an ββαα-+=，所以可得2)(31221hx h x+=，得到1=h x 或31=h x . 因为x h 3≠，所以x h =，所以10103sin =∠BAC . 综上所述，10103sin =∠BAC . 解法2（代数方法）：设b AC a BC ==,3，运用余弦定理可得，2cos 222BD AD AB BAD -+=∠，即2222222222222299292552a b a b a b a a b a b AD AB BD AD AB =⇒+⋅+-+++=⋅-+=或者22a b =. 因为a b 3≠，从而得到a b =，又因为2293cos a b a B +=，从而得到10103cos sin ==∠B BAC .EP 3. 如图，在矩形ABCD 中，E b a b BC a AB ),0,0(,>>==为边BC 的中点，设Q P ,分别是CD BC ,上的点，且满足PECPQC DQ =，连接AQ 与DP 交于点M ，求动点M 的轨迹方程，并指出它的形状.解法1：如图建系，设)1,0[∈==λCECPDC DQ 则x a b y l AQλ=:，x ab b y l dp 2:λ-=-两式相乘得2222)(x ab b y y -=- 化简得124)2(2222=+-ax b b y ，],32(),32,0[b b y a x ∈∈ a b 2=时，是圆的一部分，a b 2≠时，是椭圆的一部分，解法2:构造新长方形,取a b 2=，设)1,0[∈==λCECPDC DQ 则a DQ λ=,a CP λ22=此时DCCPAD DQ =,即DCP ADQ ∆∆≈ 即AQ DP ⊥,所以M 点轨迹为以AD 为直径的圆弧2)22(222a a y x =-+，]2,322(),32,0[a a y a x ∈∈ 当a b 2≠时，则原题可看作新模型的纵方向上的伸缩变换，即y 乘以b a 2即可，得到2)222(222a a yb a x =-+化简得124)2(2222=+-a x b b y ，圆经过纵向伸缩之后得到的自然是椭圆。