首都师大附中2019-2020学年上学期高一数学期末考试卷附答案详析

首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[12-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +rr与-ra 2b r共线？（3）若（k a +r 2b r ）∈（-r r a kb ），求实数k 的值.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.解析首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅===⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∵4cos 5θ===-， ∵3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫=⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>， 所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∵2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r，∵1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算 7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2fx x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈ B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. ∵f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足； ∵f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；∵f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ∵f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r ，由λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x-=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[1-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】∵∵.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cossin22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有∵∵正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线？（3）若（k a +r2b r）∈（-rra kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案.（3）计算（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20， 所以42-ra 4a r •b -r32=rb 4×9﹣4a r •b -r 3×4＝20，解得a r •b=r1；（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，故,12m m λ==-，12λ=-.即存在λ12=-，使得λa b +r r 与-r a 2b r 共线；（3）若（k a +r 2b r ）∵（-r r a kb ），则（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，即k 2+r a （2﹣k 2）a r •b -r 2k 2=r b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案. （3）计算2x 6π+∵[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∵R ），且f （3π）=∵f （3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+）， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∵Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∵Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∵Z ， （3）∵x ∵[0，2π]，可得：2x 6π+∵[6π，76π]，∵当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（∵）7； （∵）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(∵) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(∵)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(∵)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∵sin 7BDC ∠=． (∵)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∵116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∵156022.540t=⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数. 【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∵（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∵f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0，即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∵()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ）， 记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾；∵f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。