高二数学公开课教案

课 题：3.1.1数系的扩充和复数的概念

教学目标：

1．在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

2．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神

教学重点：理解复数的基本概念。

教学难点：数系扩充的过程，对复数概念的理解。

授课类型：新授课

教学方法：启发引导、讲练结合。

课时安排：1课时

教 具：多媒体教学设备。

教材简析：

首先简要地对自然数系扩充到实数系的过程作了说明，通过解方程210x +=的需要，引出虚数单位i ，从而将数的范围扩充到复数；然后介绍了复数的有关概念，并指出复数相等的充要条件。

由于学生对数系扩充的知识不熟悉，需对学生多作引导，课后通过阅读材料向学生介绍一些数的发展过程中的科学史；特别要抓住a bi +这一标准形式以及,a b 是实数这一特征，帮助学生理解复数的概念和解决有关复数的问题。 教学过程：

一、温故：

①从实际需要推进数的发展

自然数

整数 有理数

−−−−−−−−−−−−−−−−→表示量与量的比值（如正方形的边长与它的对角线长的比） 无理数

②从解方程的需要推进数的发展

负数 分数

无理数 二、知新：

1. 知识引入：

我们已经知道：一元二次方程210x +=没有实数根。

思考： 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

2

．类比引进解决方程2x 2=在有理数集中无解的问题，引入一个新数i ，并对i 作出说明: （1）21i =-；

（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与

乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

这样就会出现许多新数，如2i ，3i +等。

3．给出复数的有关概念

形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数。

全体复数所成的集合C 叫做复数集，即{}

,C a bi a b R =+∈。

复数的代数形式：通常用字母 z 表示复数，即(,)z a bi a b R =+∈，其中i 叫做虚数单位，a 与b 分别叫做复数z 的实部、虚部。

讨论：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？ ()000b z a bi b a =⎧⎪=+⎨≠=⎪⎩

实数 复数虚数 当时为纯虚数

探究：1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。

2 0.618 27

i 0 2i

(1i 32i -

2、判断下列命题的真假： （1）若,a b 为实数，则z a bi =+为虚数 真

（2）若b 为实数，则z bi =必为纯虚数 假

（3）若a 为实数，则z a = 一定不是虚数 真

例1 实数m 取什么值时，复数()11z m m i =++- 是

（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

110,110110110

m m z m m m m z m -==-≠≠+=⎧=-⎨-≠⎩解：（）当即时，复数是实数。

(2)当，即时，复数z 是虚数。 (3)当 即时，复数是纯虚数。

课堂练习一: 当m 为何实数时，复数 ()

2221z m m m i =+-+- 是 （1）实数 ？

（2）虚数 ？ （3）纯虚数 ？

4. 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．

,,,,a c a b c d R a bi c di b d =⎧∈+=+⇔⎨=⎩

若 例2()()213x i y y i -+=--已知，其中,x y R ∈，求,x y

解：根据复数相等的定义，得方程组

解得5, 4.2

x y == 课堂练习二:

1.()()()()2253,,x y x y i x x y i x y ++-=-++已知求实数的值.

3,2x y ==-

2.()()22232560,x x x x i x --+-+=若求实数的值. 2x =

三、小结 ：

虚数单位i 的引入

复数的代数形式: (,)z a bi a b R =+∈

⎩⎨⎧--==-)3(112y y x 11或m m ==-11

且m m ≠≠-2

m =-

复数的实部 、虚部

虚数、纯虚数

复数相等 ,,,,a c a b c d R a bi c di b d =⎧∈+=+⇔⎨=⎩

四、课后作业： 106P A 组第2题

思考：1．复数能比较大小吗？ 不能 2．方程21x =-的根是什么？ i ±

五、板书设计：

六、教后记：

本节课我在45分钟内完成了规定的教学内容，较好地完成了教学任务，达到了预期的教学效果。上完这节课后我认真地进行了反思，具体内容如下：

1、教学过程回顾：在由自然数系扩充到实数系的基础上，进一步研究如何解方程X 2 = －1，在老师引导下，类比解方程22=x 而引进无理数2，全班学生经过讨论，引进虚数单位i ，非常轻松地进入了新课，然后给出复数的有关概念。教学过程中鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极讨论和参与体验。终结阶段：一起总结本节课，作业分为巩固性和发展性两类。

2、成功之处：课堂上为学生的主动参与提供充分的空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点，调动学生学习积极性，让学生体会到他们是学习的主体，教学实效很好。

3、不足之处：留给学生思考问题的有效时间较少。