矩阵直积PPT课件
线性代数矩阵及其运算ppt课件
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
矩阵直积
,t )nt，B=(1,
,
s
)则 ps
A B=(1 1,
,1 s ,
,t 1,
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1, , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 nen (e1, , en ) , 其中 =(1, ,n )T为x的坐标向量.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
《直积》课件-优质公开课-人教A版选修3-4精品
直积的定义与性质
定义：设A=(a ij ) mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵 a11B a12 B a12 B a B a B a B 22 2n 21 a B a B a B m2 mn mpnq m1 为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(a ij B) mpnq .
A
k 2 A ，A C mn ;
其中x0 =(e1 ,, en ) ',y0 =(e1 , , en )', ',' S.
x( ) V, 设 x 1e1 n e n , 将x单位化得 2 2 i i i 1 i 1 x' x' x k1 k2 .而此时 = ，故 k1 x x' x' x则y i ei V，则有
i 1
(1 , , n )- (1 , , n ) = x y x y
( i i ei ) ( ei ) ( i i )
2 2 i 1 i 1 i 1 n n 1 2 n 1 2
B=( 1 , , s ); 3)设A=(1 , , t )nt，B=(1 , , s )ps则
A B=(1 1 , ,1 s , , t 1 , , t s )npts .
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
2 2 2 2
x 2 2 Re( x, y ) y x 2 2 x
2 2
x 2 2 ( x, y ) y x 2 y
2
2 2
y 2 y
6-3_矩阵Kronecker积
n i 1 n
B1 , B2 可乘，则
b1 s B2 b2 s B2 bns B2
a1n B1 b11 B2 b12 B2 a2 n B1 b21 B2 b22 B2 amn B1 bn1 B2 bn 2 B2
a b B B 1 i is 1 2 i 1 n a 2 i bis B1 B2 i 1 n ami bis B1 B2 i 1
mm nn A C , B C 定理3： 设 ，则
（ 1）
| A B || A | | B |
n
m
（ 2）
tr ( A B) tr ( A) tr ( B)
Department of Mathematics
证明：设 1 , 2 ,...,m 是 的特征值，
J 是 A 的约当标准型。则存在非奇异阵 P
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 六 章
矩阵分析
Department of Mathematics
§6.3 矩阵Kronecker积
矩阵的Kronecker积（直积）是一种重要的 矩阵乘积，它不仅在矩阵理论的研究中有着广 泛的应用，而且在诸如信号处理与系统理论中
Department of Mathematics
证明：我们仅证明（5），
矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
《直积》课件
a1
1,
an
,
a1
s
an
a1
1,
an
a1
,
s
an
( 1 ,, s) .
直积的基本性质： 1)k(AB)=(kA)B=A(kB),k为常数； 2)分配律(A+B)CACBC,C(A+B)CACB; 3)结合律(AB)CA(BC); 4)吸收律(AB)(CD)(AC)(BD),AC与BD有意义.
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
x y xy
n
例 1： x=(1,2, ,n)TCn,定 义x1 i, xm axi,
i1
1in
A k) ( B 1 B 2
B) ; k
2 ) ( A 1 A 2A k)(B 1 B 2 B k) ( A 1 B 1) (A 2 B 2) (A kB k) ;
范数有以下性质：
命题： 1)x时，x 是范数为一的向量（单位化） ;
x 2) -x = x ; 3)x，yV,有x y xy .
a1
a n
a 1 B a1 (1,
B
a n B an (1,
第8讲矩阵的直积及其应用
第8讲 矩阵的直积及其应用内容：1. 矩阵直积的定义与性质2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积定义1.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，q p ij C b B ⨯∈=)(，称如下的分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n212222111211为A 与B 的直积（Krionecker积，张量积），记为B A ⊗．B A ⊗是一个n m ⨯个块的分块矩阵，简写为nq m p ij C B a B A ⨯∈=⊗)(．显然B A ⊗与A B ⊗为同阶矩阵，但一般A B B A ⊗≠⊗，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有m n n m mn E E E E E ⊗=⊗=.例1.1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，)1,1(-=B ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⊗11000011B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⊗10100101A B . 定义 1.2 若nT n T n C y y y y x x x x ∈==),,,(,),,,(2121 ，则T T y x xy ⊗=，称T xy 为向量x 与y 的外积.1.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：（1）)()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗； （2）)()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗；（3）C A B A C B A ⊗+⊗=+⊗)(，A C A B A C B ⊗+⊗=⊗+)(； （4）T T T B A B A ⊗=⊗)(； （5）H H H B A B A ⊗=⊗)(；（6）若,,,,t q s n q p n m C D C C C B C A ⨯⨯⨯⨯∈∈∈∈则)()())((BD AC D C B A ⊗=⊗⊗，若g E B =，n E C =，则D A D E E A n g ⊗=⊗⊗))((； （7）若A ，B 均可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A ； （8）若A 和B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则B A ⊗也分别是这种类型的矩阵.定义 1.3二元复系数多项式为∑==lj i j i ij y x c y x f 0,),(，若矩阵mm CA ⨯∈，nn C B ⨯∈，则mn 阶矩阵∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，其中m E A =0，n E B =0.定理1.2 设∑==l j i jiij y x c y x f 0,),(，∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则),(B A f 的全体特征值为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．证明 由Schur 定理知存在酉矩阵Q P ,使得121*A AP P m H =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ，121*B AQ Q n H=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μμμ， 其中1A ，1B 为上三角矩阵，由定理1.1知，Q P ⊗ 为酉矩阵，j i B A 11⊗为上三角矩阵，则))(,()(1Q P B A f Q P ⊗⊗-)())((0,Q P B A Q Pc lj i j i H Hij ⊗⊗⊗=∑=),()()(110,11,B A f BA c QB Q P A Pc lj i j iij lj i jHiHij=⊗=⊗=∑∑==也是上三角矩阵. 且),(B A f 与)(11，B A f 有相同的特征值. 则)(11，B A f 的对角元即为),(B A f 的全部特征值. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗j i m ji j i j i B B B B A 1121111*λλλ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j n i k ji k j i k ji k B μλμλμλλ 211*． 因此，),(11B A f 的对角元为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．推论1.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则（1）B A ⊗的特征值为j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==； （2）B E E A m n ⊗+⊗的mn 个特征值为j i μλ+，m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =；（3）m n B A B A ))(det())(det )det(⋅=⊗； （4）))(()(trB trA B A tr =⊗.定理1.3 设q p n m C B C A ⨯⨯∈∈,，则)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗． 证明 记A r A rank =)(，B r B rank =)(，有相应阶数的可逆矩阵T S Q P ,,,使得11000,000B E SBT A E PAQ BA r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， 则 )()(111111----⊗=⊗T B S Q A P B A ))()((111111----⊗⊗⊗=T Q B A S P ，由11--⊗S P ，11--⊗T Q 可逆，则)()()()(11B rank A rank r r B A rank B A rank B A ⋅==⊗=⊗．§2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 2.1 矩阵的拉直定义2.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，T ni i i i a a a ),,,(21 =α，),,2,1(n i =， 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A ααα 21)(vec ，称)(vec A 为矩阵A 的列拉直．矩阵A 也可以按行拉直为行向量，记作)(rvec A ，有T T A A ))(vec ()(rvec =, T T A r A ))(vec ()(vec =．定理2.1 设q p p n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则)(vec )()(vec B A C ABC T ⊗=．证明 记),,,(),,,,(2121q p c c c C b b b B ==，则),,,()(vec 21q ABc ABc ABc ABC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q ABc ABc ABc 21，而 p pi i i i Ab c Ab c Ab c ABc ++=2211)(vec ),,,(21B A c A c A c pi i i =故 )(vec )()(vec )(vec 212221212111B A C B A c A c A c A c A c A c A c A c A c ABC Tpq q qp p ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ．推论2.1 设n m n n m m C X C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则 （1）)(vec )()(vec X A E AX n ⊗=； （2）)(vec )()(vec X E B XB m T ⊗=； （3）).(vec )()(vec X E B A E XB AX m T n ⊗+⊗=+ 2.2 线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov 型方程）F XB AX=+的求解问题，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为C XB A XB A XB A p p =+++ 2211， 其中n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程C XB A XB A XB A p p =+++ 2211有解的充分必要条件是)()(b A rank A rank =，其中∑=⊗=pi i T i A B A 1，)(vec C b =，n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.证明 ∑==pi i i C XB A 1有解，)()(1∑==⇔pi i i C vec XB A vec 有解)()(1∑==⇔p i i i C vec XB A vec 有解，)()()(1∑==⊗⇔pi i T i C vec X vec A B 有解)()(b A rank A rank =⇔定理 2.3 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程FXB AX =+有唯一解的充要条件是0≠+j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，nm C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未矩阵．证明 F XB AX=+有唯一解，)(vec )(vec F XB AX =+⇔有唯一解)()()(F vec X vec E B A E m T n =⊗+⊗⇔有唯一解 m T n E B A E ⊗+⊗⇔的特征值不为零),,2,1,,,2,1(0n j m i u j i ==≠+⇔λ推论2.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的充分必要条件是存在i 与j ，使0=+j i u λ，)1,1(n j m i ≤≤≤≤．推论 2.2 设n n C A ⨯∈，则矩阵方程F XA AX H =+有唯一解的充分必要条件是)(A λλ∈时必有)(A λλ∉-，其中)(A λ为A 的谱，λ为λ的共轭复数.定理2.4 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程∑==li i i F XB A 1有唯一解的充分必要条件是 0)(1≠+++l j i j i μλμλ ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．其中F为已知常数矩阵，X 为未知矩阵．定理2.5 若矩阵方程F XB AX=+中矩阵B A ,的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ⎰+∞-=0dt Fe e X Bt At ，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵．证明 设A 的特征值为m λλλ,,,21 ，存在可逆矩阵m m C P ⨯∈，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---m m m AP P λδλδλ11111 ，其中，i δ取0或1． 则11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P T e e P e A t t At m λλ ，这里，A T 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R a m k at k ∈≤≤.设B 的特征值为n μμμ,,,21 ，类似可得出，存在可逆矩阵Q ，11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e Q e B t t Bt n μμ ，其中，BT 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R b n k bt k ∈≤≤．因1111--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e FQ P T e e P Fe e Bt t A t t Bt At n m μμλλ 的右端乘积矩阵的元素都是因子t jie )(μλ+的关于t 的多项式倍数的组合，且积分⎰+∞dt Fe e Bt At 存在．令Bt At Fe e t Y =)(，则B t Y t AY dtt dY )()()(+= ，F t Y t ==0|)(．两边求积分，可得 0()|()(())Y t A Y t dt Y t dt B ∞+∞+∞=+⎰⎰，即 FB dt t Y dt t Y A =-+-⎰⎰+∞+∞))(())((0．也就是FXB AX=+的解，因积分⎰+∞)(dt t Y 存在，且B A ,的所有特征值实部为负，则0lim =+∞→At t e ，0lim =+∞→Bt t e ．唯一性可由定理2.3得出.推论 2.3 设m m C A ⨯∈的特征值满足),,2,1(,0)Re(m i i =<λ，则方程FXA X A H-=+的唯一解为⎰+∞=0dtFe eX At tA H ．如果F 为Hermite 正定矩阵，则解矩阵X 也是Hermite 正定矩阵． 证明 只需证明后一结论即可. 当F F H=时，有XX H =．且对m C x ∈≠0，由于At e 可逆，则0≠x e At ，于是当F 正定时，有0)()(>x e F x e AtHAt，从而有0)()(0>=⎰+∞dt x e F x e Xx x At H At H，故X为正定矩阵．。
矩阵及其运算PPT课件
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
第2章 矩阵运算基础PPT课件
23
2.2.5 数组的除法：
用符号“./” 和“.\”表示。a、 b必须具有相同的阶数。a./b表 示a中元素分别除以b中的对应元 素。 a.\b表示b中元素分别除以a 中的对应元素。
24
>> a=[1 2 3]; >> b=[2 4 6]; >> c=a./b c=
2
40
3.求逆矩阵
>> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16];
>> Y=inv(X)
Y=
0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717
分类:
行向量 列向量
13
向量的构造
1．逐个输入
>>a=[1 3 9 10 15 16]
%采用空格和逗号分隔构成行向量
>>b=[1; 3; 9; 10; 15; 16] %采用分号隔开构成列向量
2．利用冒号表达式“:”生成向量
>>x=1:2:9
%初值=1，终值=9，步长=2
>>z=1:5
%初值=1，终值=5，默认步长=1
30 36 42 >> 1 2 3;-2 0 0; 1 0 1; -1 2 3];B=[-1 3; -2 2; 2 1],求C=A*6， >> A=[1 2 3;-2 0 0; 1 0 1; -1 2 3]
A=
123 -2 0 0 101 -1 2 3
2.2.3 数组的乘法 使用“ .* ”运算符，要求a、b两数组 必须具有相同的阶数，
a .* b表示a和b中对应元素之间相乘。
矩阵及其运算 ppt课件
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
矩阵运算法则PPT课件
是 A 的逆矩阵,
利用待定系数法
则
AB 2 1 a b 1 0
1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
第33页/共78页
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
内容提要
• 矩阵的下列运算的性质与应用 • 乘法 • 转置 • 初等变换 •逆
第1页/共78页
乘法
定义
设矩阵
A
aij
，B
mn
bij
，那么
sn
矩阵Ａ与矩阵B的乘积是一个m n矩阵 C ｓ
cij mn ，其中cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj＝ aikbkj ｋ1
1设
A=
aaa123,,,
1 1 1
a1, 2 a2, 2 a3, 2
a1, a2, a3,
333
计算并总结规律。
(１)
1 0 0
0 1 0
001 A
(２)
A
1 0 0
0 1 0
001
第13页/共78页
(3)
1 0 0
0 0 1
010
A
(4)
A
1 0 0
0 0 1
010
(5)
1 0 0
0 k 0
a1, a2, a3,
222
第18页/共78页
初等矩阵的概念
定义 由单位 E矩阵经过一次初等变换得到 的方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
22矩阵的运算.ppt
三、矩阵与矩阵相乘 1.引例：设甲乙两厂生产产品日产量如表一，这些 产品的单位价格和单位利润如表二，求甲乙两厂的 日总收入、总利润。 表二 单位:千元 表一 单位:台
产品 厂家
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
项目 产品
单位 价格
单位 利润
甲 乙
2 3
3 2
1 1
Ⅰ Ⅱ
2 5
1 3
Ⅲ
7
4
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2 3 1 甲 A 3 2 2 乙
注：1、只有两个是同型矩阵，才能相加； 2、只有对应位置元素才能相加。 2、定义2：设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称－A为矩阵 A的负矩阵。 A+(－A)=O 矩阵的减法：A－B=A+（－B）
2、运算律： n 设A、B、C都是 m 矩阵，则矩阵的加法满足以下的 运算律： (1)A+B=B+A (2)（A+B）+C=A+（B+C）
2.2矩阵的运算 一、矩阵的加法 1、定义1：设有两个 m 矩阵A=(aij)和B=(bij)，矩阵A n 与矩阵B的和记作A+B。规定为：
a b b b 11 11 a 12 12 a 1 n 1 n a b b b 21 21 a 22 2 2 a 2 n 2 n A B ( a b ) ij ij a b a b a b 1 m 1 m 2 m 2 m n m n m
1、判断AB与BA的行数和列数分别是多少。 2、计算。 注：两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵，故不能从AB=O必然 推出A=O或B=O
2、运算律： (1)矩阵乘法一般不满足交换律 (2)（AB）C =A（BC） (3)k（AB）=（kA）B =A（kB） 其中k为数 (4)（A+B）C =AC+BC ， C（A+B）=CA+CB
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推论：
1)(A B)k =Ak Bk,k=1,2,L ；
2)(A
I n
)(I m
B)
(Im
B)(A
I n
)
A
B.(乘法可交换)
性质4可推广到一般情形：
1)(A 1
B )(A
1
2
B 2
)L
(A k
B k
) (A1A 2
L
Ak )(B1B2 L
B ); k
2)(A 1
A 2
L
A
k
)(B1
B 2
L
B
当x 时, x
0，由于
x
和
x
都是1,L
,
的连续函数，
n
故
f(1,L
,n )=
x x
仍是1,L
,
的连续函数，考虑有界闭集
n
n
S={ =(1,L ,n )T| i 2 =1}, S为R n (或Cn )中的单位球面.因为 i 1
f(1,L
,n )=
x ，x ，所以f 在Ｓ上无零点．
1
,L
,
a1 M
s
an
an
a1 M
1
,L
an
,
a1 M
s
an
( 1,L
, s ).
直积的基本性质： 1)k(A B)=(kA) B=A (kB),k为常数； 2)分配律(A+B) C A C B C,C (A+B) C A C B; 3)结合律(A B) C A (B C); 4)吸收律(A B)(C D) (AC)(BD),AC与BD有意义.
定理1：1)两个上三角矩阵的直积是上三角阵; 2)两个对角矩阵的直积是对角阵; 3)In Im Im In Imn.
直积具有以下运算规律：
命题1：1)
A C
B D
F=
A C
F F
B D
F F
;
2)设为列向量，且B=(1,L ,s ),则
B=( 1,L , s );
3)设A=(1,L
第五章 矩阵的直积
第一节 直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵
a11B
a
21B
a12B L a22B L
M M
am1B am2B L
a12B
a
2
nB
M
a mnB mpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(aijB)mpnq .
i 1
i 1
i 1
n
1
k( i i 2 )2 ,
i 1
n
1
其中 k ( ei 2 )2 为常数.所以(1,L ,n )= x 是1,L ,n的连续函数.
i 1
现在证明定理的结论，设 x , x 是V中任意两种范数，要
证明存在正数k1及k2，使得x V,都有：k1
x
x k2
x.
当x=时，显然成立.
可断言V中任一范数 x 都是关于1,L ,n的连续函数，令
n
(1,L ,n ) x ,则y iei V，则有 i 1
n
(1,L ,n )-(1,L ,n ) = x y x y (i i )ei i 1
n
n
1n
1
( i i ei ) ( ei 2 )2 ( i i 2 )2
k
)
(A1B1
)
(A
B
2
2
)
L
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
2
2
2
2
x 2 2 x y y 2 x y 2
2
22
2
2
2
所以 x+y x y .
2
2
2
n
1
例2：设1 p ,x=(1,2,L ,n )T Cn ,定义 x p ( i p ) p ,
i 1
则 x 是Cn中的范数.称为p-范数. p
p=1时，为1-范数；p=2时，为2-范数； 令p ,得-范数.这三种范数为常见范数.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1,L ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1,L ,s )
M
B
M
M
an
an B an (1,L ,s )
a1 1,a1 2 L ,a1 s
M
an 1,an 2,L ,an s
a1 M
,t )nt，B=(1,L
,
s
)则 ps
A B=(1 1,L
,1 s ,L
,t
1,L
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
n
1
x ( 2
i 2 )2 =
xH x
(x, x),即 x 是由酉空间C n 2
i 1
中内积诱导的范数,故由Cauchy不定式得
x+y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y) 2
x 2 2 Re(x, y) y 2 x 2 2 (x, y) y 2
例如：A=
a c
b d
,
B=
2 3
，则
A
B=
aB cB
2a
bB dB
=
3a 2c 3c
2b
2a
3b 2d 3d
,
B
A=
2A 3A
=
2c 3a 3c
2b
2d
.
3b
3d
A B, B A的阶数相同，但一般A B B A.直积不 满足交换律. 由直积的定义容易推出以下定理：
x y xy
n
例1：x=(1,2 ,L ,n )T Cn ,定义 x 1 i , x max i ,
i 1
1in
n
1
x ( 2
i
2 )2 ,则
x
，x
1
及
x
均是C n中的范数.
2
i 1
证明：不难验证 x ，x 均是范数，对于 x ，正定性和
1
2
齐次性显然满足.下证满足三角不定式：
设x=(1,2 ,L ,n )T , y=(1,2 ,L ,n )T C n.注意到
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1,L , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 L nen (e1,L , en ) , 其中 =(1,L ,n )T为x的坐标向量.