三角形内切圆几个公式的应用

三角形内切圆几个公式的应用

公式1 .△ABC，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆半径为r，则r

＝1

2

(a+b-c)。

证明:如图1，⊙O内切于△ABC，D、E、F为切点，由切线长定理知：AF=AE，CE=CD，BF=BD。

∴a+b-c=（BD+DC）+（AE+EC）-（AF+BF）=2CE

=2r。∴r＝1

2

(a+b-c)。

点评：此公式只适用于直角三角形。

公式2 . 若O为△ABC的内心，则∠AOB=90°+ 1

2

∠ACB。

证明:如图2，∴⊙O为△ABC的内切圆，

∴∠1= 1

2

∠CAB，∠2=

1

2

∠ABC，

∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°

- 1

2

（∠CAB+∠ABC）=180°-

1

2

（180°-

∠ACB）=90°+ 1

2

∠ACB。

公式3 .如图3，在△ABC中，内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、

D，则∠FDE=90°-1

2

∠ACB。

证明:连结OE、OF，则OF⊥AC，OE⊥BC，四边形CFOE内角和为360°，∴∠FOE+∠C

=180°，又因为∠FDE= 1

2

∠FOE，

∴∠FDE=90°- 1

2

∠ACB。

点评：由在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可知，即使D点不为切点，

只要∠FDE所对的弧为EF，都有∠FDE=90°- 1

2

∠ACB

公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，

内切圆半径为r，则r =

2s

a b c

++

。

证明:如图4，⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC，

A C

B

D

E

图1

A

B

C

图2

A

B

C

D

图3

A

C

图4

S=S △AIB+S △AIC+S △BIC=1

2

AB·r+

1

2

AC·r+

1

2

CB·r

= 1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br=

1

2

（a+ b+c）r

∴r =

2s

a b c

++

。

点评：⑴. 三角形的面积等于周长与内切圆半径的乘积的一半，即S= 1 2

p·r（p表示周长，r表示内切圆半径），这是一个很有用的结论，在解题时可以直接引用。

⑵. 若∠C=90°，则有r =

ab

a b c

++

。

应用以上我们所总结的几个公式去解答某些有关三角形内切圆的问题时，能让我们快速的找到准确答案。

【练习：】⑴.在△ABC中，BC＝12，AC＝13，AB＝5，则此三角形的内切圆的半径r=______.

⑵.若O为△ABC的内心，∠ACB=80°,则∠AOB=_______.

⑶.在△ABC中，内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，若∠ACB=70°,则∠FDE=______.

⑷.△ABC中，AC=AB=5，BC=6，求△ABC的半径长。

⑸.已知△ABC为等腰直角三角形,其腰长为1,那么它的内切圆的半径r=______.

【附答案:】⑴. 2 ⑵. 130°⑶. 55°⑷. 3 2

⑸.