求曲线在点某处或过某点的切线方程教学提纲
曲线上一点处的切线-苏教版选修1-1教案
曲线上一点处的切线-苏教版选修1-1教案一、教学目标1.学生能够定义曲线上一点处的切线；2.学生能够利用导数求曲线上一点处的切线；3.学生能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1.曲线上一点处的切线的定义；2.利用导数求曲线上一点处的切线。
三、教学步骤1. 引入教师向学生简单介绍曲线上一点处的切线，强调其重要性和实际应用。
2. 概念解释教师引导学生按照教材内容，讲解曲线上一点处的切线的概念和定义，强调概念的理解和记忆。
3. 实例演示教师通过实例演示，引导学生如何求曲线上一点处的切线，包括以下步骤：1.求导数：根据函数的公式求导，得到曲线在该点的导数；2.填入坐标和导数：将该点的坐标代入导数公式，求得该点处的导数；3.写出切线方程式：根据导数和该点的坐标，写出切线方程式。
4. 练习与检验教师布置练习题，让学生自行求解曲线上一点处的切线，并检验其答案的正确性。
5. 实际应用根据学生的实际情况和兴趣，选择一个实际问题，例如，计算物体的速度或加速度等，让学生应用所学知识解决实际问题。
四、教学方法1.讲解法：教师通过简单的讲解，向学生介绍曲线上一点处的切线的概念和定义，强调其应用和重要性；2.操作演示法：教师通过实例演示，指导学生如何求曲线上一点处的切线，并解释每个步骤和思路；3.讨论法：教师设置实际问题，引导学生在小组内讨论并解决问题，促进学生的思考和交流；4.练习和检验：教师布置练习题，并对学生的答案进行检验，加深学生对知识的理解和记忆。
五、教学评价1.学生能够准确地定义曲线上一点处的切线；2.学生能够熟练地利用导数求曲线上一点处的切线；3.学生能够应用所学知识解决实际问题。
六、教学建议1.理论学习与实践演练相结合，注重理论与实际应用的联系；2.选择具有实际应用价值的例题，促进学生思考和交流；3.鼓励学生与教师互动，提出问题和建议，促进学生的参与和学习兴趣。
七、教学效果评估方法1.学生的课堂表现；2.作业的完成情况和正确率；3.考试的成绩和复习情况。
求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程
题目：求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程【内容】1. 求曲线在指定点处的切线方程是解析几何中常见的问题，它涉及到对曲线的切线的性质和方程的推导。
2. 具体而言，当我们要求曲线在某一点处的切线方程时，首先需要求出该点的切线斜率，然后根据切线的一般方程或者斜截式方程来构建切线方程。
3. 不仅如此，对于曲面而言，我们也可以求出曲面在指定点处的法平面方程。
法平面是与曲面在某一点的法向量垂直，并通过该点的平面，求解法平面方程同样需要根据指定点的法向量和点法式方程来进行推导。
4. 将求切线方程和法平面方程的具体数学步骤和公式应用到解析几何的实际问题中，可以帮助我们更深入地理解曲线和曲面的性质，同时也为求解相关问题提供了可靠的数学工具。
5. 在解析几何学习中，我们经常会遇到各种曲线和曲面在指定点处的切线方程和法平面方程的求解问题，下面我们将结合具体的示例来演示求解的过程和技巧。
【结构】1. 概述：讨论求曲线在指定点处的切线方程和曲面法平面方程的重要性和意义。
2. 切线方程的推导：介绍求解曲线在指定点处的切线方程的一般步骤和方法。
3. 切线方程的应用实例：通过具体的例子演示求解切线方程的过程和技巧。
4. 法平面方程的推导：介绍求解曲面在指定点处的法平面方程的一般步骤和方法。
5. 法平面方程的应用实例：通过具体的例子演示求解法平面方程的过程和技巧。
6. 结论：总结本文涉及的内容，强调求解曲线和曲面方程的重要性和应用价值。
7. 参考文献：列出本文涉及的参考文献和相关资料来源。
【概述】求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要问题。
切线方程和法平面方程的求解不仅涉及基本的数学原理和公式，同时也需要灵活运用数学推理和几何思维。
下面将介绍切线方程和法平面方程的求解方法，并结合具体例子加以说明。
【切线方程的推导】1. 切线方程的一般形式：y = kx + b2. 求曲线在指定点处的切线斜率：k = f'(x0)3. 利用切线的一般方程或斜截式方程构建切线方程：y - y0 = k(x - x0) 或 y = k(x - x0) + y0【切线方程的应用实例】示例1：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
曲线上一点处的切线-苏教版选修2-2教案
曲线上一点处的切线-苏教版选修2-2教案一、教学目标1.掌握曲线上一点处的切线的定义和概念；2.了解曲线的切线方程的求法，能够具体求出某个曲线在给定点处的切线方程；3.熟练应用切线的相关概念和方法解决实际问题。
二、教学内容和方法教学内容1.切线的定义和概念；2.曲线在某一点处的切线的求法；3.切线方程的推导和求解；4.利用切线解决实际问题。
教学方法1.讲解法：通过课件和板书讲解切线的定义和概念，以及切线方程的推导和求解方法；2.案例分析法：通过具体的案例分析，让学生深入理解切线的相关概念和方法；3.互动问答法：引导学生通过互动问答的形式积极参与课堂讨论，加深对切线的理解。
三、教学步骤和流程教学步骤1.切线的定义和概念；1.引入：引导学生通过实际例子认识切线的概念；2.讲解：通过课件和板书对切线的定义和相关概念进行详细讲解；3.练习：请学生自行练习，理解切线的基本概念。
2.曲线在某一点处的切线的求法；1.引入：引导学生观察一些函数图像，了解切线的概念和性质；2.讲解：通过板书和课件讲解曲线在某一点处的切线的求法；3.练习：请学生在教师指导下，自行练习求解某一点处的切线。
3.切线方程的推导和求解；1.引入：通过板书和课件引导学生理解切线方程的概念和求解方法；2.讲解：通过具体的例子，讲解切线方程的求解方法；3.练习：请学生在教师指导下，自行求解一些切线方程。
4.利用切线解决实际问题；1.引入：通过具体的实例引导学生将切线的概念和方法应用于实际问题的解决；2.讲解：通过案例讲解，带领学生了解切线在实际问题中的应用；3.练习：请学生在教师指导下，自行解决一些实际问题。
教学流程1.引入：通过实际例子引导学生认识切线的概念；2.讲解：通过课件和板书讲解切线的定义和相关概念；3.练习：请学生在教师指导下自行练习，理解切线的基本概念；4.引入：通过板书和课件引导学生观察一些函数图像，了解切线的概念和性质；5.讲解：通过板书和课件讲解曲线在某一点处的切线的求法；6.练习：请学生在教师指导下，自行练习求解某一点处的切线；7.引入：通过板书和课件引导学生理解切线方程的概念和求解方法；8.讲解：通过具体的例子，讲解切线方程的求解方法；9.练习：请学生在教师指导下，自行求解一些切线方程；10.引入：通过具体的实例引导学生将切线的概念和方法应用于实际问题的解决；11.讲解：通过案例讲解，带领学生了解切线在实际问题中的应用；12.练习：请学生在教师指导下，自行解决一些实际问题。
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案编写一份教案，教导导数求切线方程的方法。
教案：用导数求切线方程目标：学生将学会使用导数的概念和公式，以确定曲线上其中一点的切线方程。
先决知识：基本的导数概念和表达式，曲线上特定点的坐标。
教学资源：白板，标记笔或粉笔。
教学步骤：步骤1：引入课题（10分钟）-在黑板上绘制一个简单的曲线，并给出一个特定的点，如(1,2)。
-提问学生是否知道如何在指定点上画出切线。
-引出使用导数来确定切线的概念。
步骤2：回顾导数的定义和公式（15分钟）-回顾导数的定义：斜率的极限，即函数在其中一点的切线的斜率。
-强调导数是函数的斜率。
-回顾导数的公式，如常见函数的导数规则。
步骤3：确定曲线上特定点的斜率（20分钟）-提示学生使用导数来计算曲线上其中一点的斜率。
-给出一个实例，如y=x^2-3x，要求计算曲线在x=2处的斜率。
-引导学生求出函数的导函数，并将x=2代入导函数求得斜率。
-提示学生结果为4步骤4：用斜率和曲线上的点确定切线方程（20分钟）- 介绍切线方程 y = mx + b，其中 m 为斜率，b 为 y 轴截距。
-鼓励学生将切线方程符号化，即用y，x表示。
-引导学生使用已知的点和导数中求得的斜率，确定切线方程的值。
-给出一个示例，如通过前面的例子y=x^2-3x，在曲线上x=2处的点(2,2)。
-学生可以使用点斜式或y-y1=m(x-x1)的形式来确定切线方程。
-提示学生将斜率的值和点的坐标代入方程来求解y轴截距b。
-最后得到切线方程为y=4x-6-强调切线作为曲线上其中一点的局部近似。
步骤5：练习（20分钟）-提供几个练习题给学生，要求他们使用导数求出切线方程。
-鼓励学生注意斜率的正负和切线与曲线的位置关系，以及如何将所有计算步骤整合在一起。
-检查学生的答案，并提供任何额外的指导。
步骤6：总结（15分钟）-回顾课程的重点内容，强调使用导数来确定曲线上其中一点的切线方程。
-将这些概念和技巧与实际问题相关联，如物理和经济学中涉及曲线和切线的应用。
〖2021年整理〗《曲线上一点处的切线》教学优秀教案
1.1.2瞬时变化率-导数（一）曲线上一点处的切线一、学习目标1理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念; 2掌握用割线逼近切线的方法;3会求曲线在一点处的切线的斜率与切线方程 二、问题情景导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题导数的思想最初是法国数学家费马Fermat 为解决极大、极小问题而引入的但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿Newton 和德国数学家莱布尼兹Leibni 分别在研究力学与几何学过程中建立的微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流 三、学习过程（一）点P 附近的曲线1．平均变化率：函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为 ． 即曲线上两点的连线（割线）的斜率。
显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。
2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．）（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？ （2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了这种思维方式就叫做“逼近思想”。
求曲线在点某处或过某点的切线方程
1 /2 2求曲线在点某处或过某点的切线方程1.求曲线在某点处的切线例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。
由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=，所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。
可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121f x x x x ''=⨯⨯+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为14(0)y x -=-，即410x y -+=2.求曲线经过点P 处的切线方程例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。
比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。
正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，有在点00(,)x y 处的切线的方程为2000(31)()y y x x x -=--。
求切线的方程(教师版)
求切线的方程
上课教师
上课班级
主备人
丰文伟
审核人
上课时间
教学目标
进一步理解导数的几何意义，并会应用求曲线的切线方程．
教学重点与强化方法
会利用导数的几何意义求曲线的切线的方程．
教学难点与突破方法
会区分在曲线上一点和过曲线上一点的切线．
前置学案
1．导数的几何意义： 在 处的导数________就是 在 处的___________．
（二）分析诱导
（三）解题步骤
（四）变式训练
变式1.在曲线 上求一点P，使过点P点的切线与直线 平行．
变式2.已知函数 ，过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
变式3.求曲线 过点(0,－1)的切线方程.
（五）小结提炼
四、当堂检测
1．曲线 在 处的切线方程为____________．
2．如图，函数 的图象在点P处的切线方程是 ，则 =.
二、基础训练
曲线 在点 处的切线方程为__________．
二、例题选讲
类型一：已知斜率，求ຫໍສະໝຸດ 线的切线方程例1．求与直线 平行的抛物线 的切线方程．
类型二：已知过曲线上一点，求切线方程
例2．求过曲线 上的点 的切线方程．
类型三：已知过曲线外一点，求切线方程
例3．求过点 且与曲线 相切的直线方程．
（一）选题目的
3．曲线 在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程．
4．过原点作曲线 的切线，求切点的坐标．
五、课堂总结
六、课后作业
1．已知曲线
（1）求曲线在点 处的切线方程；
（2）求曲线过点 的切线方程.
2．已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ，求函数的解析式．
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案一、教学目标1. 理解导数的几何意义，掌握导数表示曲线在某一点的切线斜率的方法。
2. 学会利用导数求出曲线在某一点的切线方程。
3. 能够运用切线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法。
2. 教学难点：（1）导数表示曲线在某一点的切线斜率；（2）求解切线方程过程中的计算问题。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用讲练结合的方法，让学生在实践中掌握导数与切线方程的关系；（2）通过例题分析，引导学生运用切线方程解决实际问题。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示曲线的图形，增强学生直观感受；（2）借助数学软件，进行实时演示，提高教学效果。
四、教学内容与课时安排1. 教学内容：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法；（3）运用切线方程解决实际问题。
2. 课时安排：（1）第一课时：导数的几何意义，切线斜率的求法；（2）第二课时：利用导数求切线方程的方法；（3）第三课时：运用切线方程解决实际问题。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习导数的定义，引导学生回忆导数的意义；（2）提问：曲线在某一点的切线斜率如何表示？2. 知识讲解：（1）讲解导数的几何意义，引导学生理解导数与切线斜率的关系；（2）介绍利用导数求切线方程的方法。
3. 例题讲解：（1）展示例题，引导学生分析问题，明确解题思路；（2）讲解解题过程，强调关键步骤；（3）总结解题方法，提醒注意事项。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结切线方程的求法；（2）强调导数在实际问题中的应用价值。
6. 课后作业：（1）巩固所学知识，提高解题能力；（2）培养学生的实际应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生对导数几何意义和切线方程求法的理解程度，以及他们在例题讲解和课堂练习中的表现。
《导数的应用——切线问题》教教学设计
《导数的应用——切线问题》教案【教学目标】：1、知识与技能 :理解导数的几何意义；会用导数解决与切线相关的问题。
2、过程与方法：经历用导数几何意义求切线学习过程，体会导数的几何意义在求曲线切线问题方面的应用。
3、情感态度与价值观： 体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。
【教学重点】：利用导数的几何意义解决切线问题； 【教学难点】：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率及曲线的切线。
【教学过程】 知识回顾：一、求切线1、求过曲线上某个定点处的切线例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程。
（学生自己完成）解 点（1，1）在曲线上．因为y ′＝－1(2x －1)2，在点（1，1）处的切线斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －2＝0总结：求过曲线上某个定点处的切线的步骤： i ）求导函数)('x f ii ）算斜率)(0'x f k ='00()()f x x x f x =函数在处的导数就是:00'0(),())(),y f x P x f x k f x P ==曲线在点（处的切线PT 的斜率。
即在点处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-iii ）由点斜式写出直线方程 2、曲线的切线经过某个定点例2 已知函数f (x )＝x 3－3x (x ∈R ）的图像为曲线C ，曲线C 的切线l 经过点A (2，2)，求切线l 的方程．解 设切点为(t ，t 3－3t )，切线l 的斜率为k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )． 因为l 过点A (2， 2)，所以2－(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )， 即t 3－3t 2＋4＝0，解得t ＝2或t ＝－1． ①当t ＝2时，l ：9x －y －16＝0； ②当t ＝－1时，l ：y ＝2．综上，切线l 的方程为y ＝2或9x －y －16＝0 总结：求过某个定点的切线的步骤： i ）设切点))(,(00x f xii ）求导函数)('x f ，写出直线方程 iii ）把已知点带入切线方程，解出切点坐标。
求函数在某一点的切线方程
求函数在某一点的切线方程在高中数学中，求函数在某一点的切线方程是一个重要的问题。
这个问题需要我们掌握一定的数学概念和运算技巧，以及能够熟练地应用它们去解决实际问题。
本文将从以下几个方面进行讲解：1. 切线的定义和性质2. 求解切线的方法和步骤3. 实例分析和应用一、切线的定义和性质在解决具体问题之前，先了解一下切线的基本概念。
切线是指在平面直角坐标系中，曲线上某一点上的一条直线。
它与曲线在该点处相切，并且与曲线在该点处的切点重合。
对于一条曲线来说，它在某一点的切线有以下几个基本性质：1. 切线与曲线在该点处相切，即切线的方向与曲线的切向量在该点处重合。
2. 切线在该点处与曲线的函数值相等，即切线与曲线在该点处有相同的纵坐标。
3. 切线的斜率等于曲线在该点处的导数，即切线的斜率可以用曲线的导数去求解。
二、求解切线的方法和步骤了解了切线的概念和性质之后，接下来我们将介绍如何求解一个函数在某一点的切线方程。
假设我们要求解函数y=f(x)在点P(x0 , y0)处的切线方程，具体步骤如下：1. 求解函数在点P处的导数f’(x0)，即曲线在该点处的切线斜率。
2. 根据点斜式，可得切线方程y-y0=f’(x0)(x-x0)。
3. 化简切线方程，将其转化为一般式Ax+By+C=0的形式。
这里需要特别注意的是，如果函数在某一点处的导数不存在，那么该点是函数的“转折点”或“拐点”，此时切线的存在性和斜率的求解都需要特殊处理。
三、实例分析和应用下面通过一些具体的案例来进一步加深对切线的理解和应用。
这些案例中，我们将以二次函数和三角函数为例，分别讲解如何求解其在某一点的切线方程。
1. 求解二次函数y=x^2-2x+1在点(2，1)处的切线方程。
首先求解导数f’(x)=2x-2，在点(2，1)处的导数值为2。
再利用点斜式，得到切线方程y-1=2(x-2)。
最后将其化简为一般式y=2x-3。
2. 求解三角函数y=sin(x)在点(π/6，1/2)处的切线方程。
《曲线的切线》教案及说明
①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线.
②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.
3．转换角度，分析问题
①引入增量的概念，在曲线C上取P（x0、y0）及邻近的一点Q（x0+△x，y0+△y），过P、Q两点作割线，分别过P、Q作y轴，x轴的垂线相交于点M，设割线PQ的倾斜角β， .
从教材的编排上讲，有关“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个小节的介绍，是为了引出导数的概念。以“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个背景作为新知识的生长点，不仅使新知识的引入变得自然，而且为新知识的构建提供了有效的类比方法。高中微积分的主要内容是上一节的“极限”与本章的“导数”。在知识结构上，通过“极限”一节的学习，学生已经理解了函数极限的概念，掌握了函数极限的运算法则，了解了函数连续性的意义，这就为学习导数进行了辅垫。
导数是近代数学中微积分的重要部分，“导数的概念”是导数部分的核心。导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算处理函数的性质更具一般性。用导数的方法解决数学问题，可使我们扩展知识面，感悟增量、极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题，它还是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具。从现实意义上看，导数的概念是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术和自然科学的发展，它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活以及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
二、教学重点
曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用.
三、教学难点在平均变化率的基础上探求瞬时变化率.
四、教学过程
1．新课引入，创设情景
①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.
高数 求隐函数确定的曲线的某点切线方程
求隐函数确定的曲线的某点切线方程1. 介绍高等数学中，求隐函数确定的曲线的某点切线方程是一个重要的概念和技巧。
隐函数是指方程中含有不只是独立变量的函数，通常用来描述曲线或曲面。
求曲线的切线方程是求解曲线在某一点的切线方程，是微分学的基础内容之一。
2. 隐函数与求导在求解曲线的切线方程之前，首先需要求出隐函数对应的导数。
对于含有一个自变量和一个或多个因变量的隐函数关系式，我们需要通过求导的方法来求出函数的导数。
3. 求切线方程的基本步骤(1) 首先求出隐函数对应的导数；(2) 然后确定曲线上某点的坐标；(3) 利用求导求出的导数和给定点的坐标，利用切线方程的通用形式来求解切线方程。
4. 求切线方程的具体示例假设有隐函数关系式为\[ x^2 + y^2 = 25 \]求曲线在点（3, 4）处的切线方程。
我们对方程两边关于$x$求导，得到\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]进一步化简得到\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]接下来确定点（3, 4）处的切线方程。
根据一般的切线方程形式 $y - y_0 = k(x - x_0)$，其中$(x_0, y_0)$是曲线上的点，$k$是切线的斜率，我们可以求出切线的具体方程。
代入已知点（3, 4）和导数 $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$，得到切线方程为\[ y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \]经过上述步骤，我们成功求出了曲线在点（3, 4）处的切线方程。
5. 结论通过分析以上过程，我们可以得出求隐函数确定的曲线在某点的切线方程的一般步骤。
首先需要求出隐函数对应的导数，然后确定曲线上某点的坐标，最后利用切线方程的一般形式求出具体的切线方程。
这一过程是微分学中的基础内容，对理解曲线的局部特性和微分的应用具有重要意义。
对于上述提到的求隐函数确定的曲线在某点的切线方程的基本步骤，我们可以进一步扩展讨论，探讨一些更复杂的情况和应用。
过某点处的切线方程和在某点处的切线方程
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曲线在某点处的切线与过某点的切线方程 专题课件-2023届高三数学一轮复习
二、曲线过某点的切线
2、【2005高考北京理第12题】过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标
e 为 (1，e) ，切线的斜率为
.
注意：因为原点不在曲线上，所以不可能是切点。故只有一种情况。 过某点的切线，如果该点不在曲线上，需要设切点的坐标，这种情况 也有可能有两个答案。
3、【2019年高考全国Ⅱ卷文数10】曲线 y 2sin x cos x 在点(，1)
C 处的切线方程为（ ）
A．x y 1 0
B．2x y 2 1 0
C．2x y 2 1 0
D．x y 1 0
【解析】
则在点 (,
y
1)
2cos x sin x,
处的切线方程为
y
y xπ
一、曲线在某点处的切线
1、(2017·全国I卷文科14)曲线
为 y x 。1
y x2在点1 x
处(的1，切2)线方程
一、曲线在某点处的切线
2、【2019年高考全国Ⅰ卷文数13】曲线 y 3( x2 x) ex 在点(0，0) 3x 处的切线方程为 y 0 ．
【解析】y 3(2x 1)ex 3(x2 x)ex 3(x2 3x 1)ex ,
∴切线的斜率 k y |x1 ae ，1 2
，a e1
将 (1,1)代入 y 2x，得b 2 b . 1,故b选D．1
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b的等式，从而求解，属于常考题型.
二、曲线过某点的切线
l 1、已知函数 f (x) x l，n x 若直线 过点 (0，1)， l 并且与曲线 y f (x点的切线
3、（04重）已知曲线
y
过点切线问题课程计划
过点切线问题课程计划
在数学学科中，过点切线问题是一个重要的课程内容，它涉及到微积分和几何学的知识。
通过学习过点切线问题，学生可以掌握如何求解曲线在特定点的切线方程，进而应用在实际问题中。
课程目标：
1. 理解曲线在特定点的切线的概念和性质。
2. 掌握求解曲线在特定点的切线方程的方法。
3. 学会应用切线问题解决实际生活中的相关问题。
课程大纲：
1. 引入过点切线问题的概念，解释切线的定义和性质。
2. 讲解曲线在特定点的切线方程的求解方法，包括使用导数和几何方法。
3. 演示如何应用切线问题解决实际问题，如最优化、最大化最
小化等相关问题。
4. 练习和作业，加强学生对过点切线问题的理解和应用能力。
教学方法：
1. 理论讲解结合实例分析，帮助学生理解过点切线问题的基本
概念和运用方法。
2. 组织小组讨论和互动，激发学生的学习兴趣和思维能力。
3. 布置实际问题的作业，鼓励学生运用切线问题解决实际问题，培养他们的应用能力。
通过过点切线问题的课程学习，学生将能够掌握切线的概念和
性质，掌握切线方程的求解方法，并能够将所学知识应用到实际问
题中。
这将为他们今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
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仅供学习与参考
2求曲线在点某处或过某点的切线方程
1.求曲线在某点处的切线
例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程
分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。
由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程
解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=，
所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+
归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。
可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程
练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121
f x x x x ''=⨯⨯+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为
14(0)y x -=-，即410x y -+=
2.求曲线经过点P 处的切线方程
例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程
错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，
所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。
比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。
正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相
切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，
得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，
仅供学习与参考 有在点00(,)x y 处的切线的方程为
2000(31)()y y x x x -=--。
又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，
有3000200022(31)(1)y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩
，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =-
，于是2k =或14
-， 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。
归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法
（1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。
（2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率。