求曲线在点某处或过某点的切线方程教学提纲

仅供学习与参考

2求曲线在点某处或过某点的切线方程

1.求曲线在某点处的切线

例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程

分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程

解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=，

所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+

归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程

练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121

f x x x x ''=⨯⨯+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为

14(0)y x -=-，即410x y -+=

2.求曲线经过点P 处的切线方程

例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程

错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，

所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。

错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。

正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相

切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，

得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，

仅供学习与参考 有在点00(,)x y 处的切线的方程为

2000(31)()y y x x x -=--。

又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，

有3000200022(31)(1)y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩

，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =-

，于是2k =或14

-， 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。 归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法

（1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。

（2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率