秩和线性相关,无关的关系
第三章 向量 线性关系 秩
第三章 向量 线性关系 秩基本要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 一、向量及其运算 1. 向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量. n 维向量有两种表示形式：12n a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,na a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量常记作a 、或a、或α等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律 零向量、负向量(1)运算①相等 ②加法 ③数乘 ④转置若12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,,,T n a a a a = .⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量. (2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n 维列(行)向量的全体构成一个所谓的n 维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n 维向量空间中进行. 3. 应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1) 设12(1,2,,)i i i in a a a i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组(1)可表示为 1122n n x a x a x a b +++=. (2)作业：P63 1. 2. 二、向量组的线性关系 1. 基本概念定义1 若存在一组数s k k k ,,,21 使1122s s k k k βααα=+++ ， (3)则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示，也称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示. 例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合. 其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k 2121),,,(αααβ. (当12,,,s ααα 为列向量时)或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k αααβ 2121),,,(. (当12,,,s ααα 为行向量时)定义2 若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21使1122s s k k k αααο+++= . (4)则向量组12,,,s ααα 称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s ααα 线性相关仅当齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解s k k k ,,,21.定义2表明，向量组12,,,s ααα 不线性相关，若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21总有οβββ≠+++s s k k k 2211.换句话说，1122s s k k k αααο+++= 成立仅当021====s k k k .例如：3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即齐次线性方程组0723032001321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k 当且仅当1230k k k ===，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.2. 基本结论(1)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55 证向量组12,,,s ααα 线性无关⇔12,,,s ααα 中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54 证推论 n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式不为0. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54 证一个向量α线性无关αο⇔≠. 例如，(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上，即,αβ共线或平行). 证两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上，即,αβ不共线或不平行). 例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组. P54 证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) P55 证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55 (7)设向量组12,,,s ααα 线性无关，向量组12,,,,s αααβ 线性相关，则β可由向量组12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数称为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 证 设1122s s k k k αααο+++= ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111s ms m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 不妨去掉最后一个方程，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---,0,0,0121211122221211212111s s m m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 即12,,,s ααα 的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. P56(9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59 推论 任意()m m n >个n 维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲). 作业：P64 6. 7. 8. 9. 10.-11. 三、秩1. 向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s ααα ；(Ⅱ)12,,,t βββ .定义3 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出. P57线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性.定义4 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价. P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5 若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组. P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.定理1(P57 命题3.5) 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论1(P57 推论) 向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57 引理3.6) 若列向量组12,,,r ααα 线性无关，且()12,,,r A O ααα= ，则A O =. 定理3(P58 定理3.7) 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证 设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .从而(12,,,s ααα )=(12,,,s ααα )BA .于是由定理2有O BA E s =-，即BA E s =.同理有AB E t =.根据第38页上的例2.11知，必有t s =.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等. 推论2(P58 推论) 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作)(⋅r 或)(⋅rank . P58 规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s ααα ，总有{}12,,,s r s ααα≤ .(2)若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(3)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(P58 定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示，则 s t ≤.(P58 推论2) (5)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，且s t >，则12,,,s ααα 线性相关.(P58 推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58 推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ ， 总有{}{}{}{}{}{}121212121212max ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题A P64 12. 2. 矩阵的秩一个m n ⨯矩阵可以写成如下两种分块形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T Tmn m m n n a a a a a a a a a A ααα 21212222111211()TnT Tβββ 21=， 其中T m T T ααα,,,21 叫作A 的行向量组，TnT T βββ,,,21 叫作A 的列向量组. 定义7 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59 引理3.9) 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理2(P60 定理3.10) 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(A r A r T =.推论(P61 定理3.11) 初等变换不改变矩阵的秩.定义8 矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(⋅r 或)(⋅rank .定义9 在m n ⨯矩阵A 中任选k 行与k 列(},min{1n m k ≤≤)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.定理3(P61 定理3.12) r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则所有r 阶以上的子式皆为零.定理4 r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法. 例(P63 例3.9) 解 分析： 形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521. 的矩阵称为行阶梯形矩阵. P62形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021. 的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)； (2)； (3)； (4).定理5(P63 命题3.13) 行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63 命题3.14) 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例(P63 例3.9)定理7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)关于矩阵还有以下常识结论：(1)()()(),r AB r A r B ≤简证：()()()12 c c B AB AB A AB A O A -⎧⊂⎪⇒⎨→⎪⎩ ()()() r AB r AB A r A ≤=. (2)()()()r AB r A r B A ≥+-的列数(3)()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)()()()r A B r A r B ±≤+简证：()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法. 作业：习题A P64 13. 15. 16.习题B P65 5*.。
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。
在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。
但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。
例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。
更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。
这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。
§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。
数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。
向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。
行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。
下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。
线性相关和秩的关系
线性相关和秩的关系
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。
类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的`，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。
通常表示为
rk(A) 或 rank A。
线性无关和线性相关的性质：
1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关;若
a≠0,则说A线性无关。
3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4、含有相同向量的向量组必线性相关。
5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。
(注意，原本的向量组是线性相关的)
6、减少向量的个数，不改变向量的无关性。
(注意，原本的向量组是线性无关的）
7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
8、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
线性相关与线性无关
线性相关与线性无关线性相关和线性无关是线性代数中重要的概念，它们描述了向量之间的关系以及它们在空间中的位置和方向。
在本文中，我们将探讨线性相关和线性无关的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 定义线性相关是指存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。
换句话说，如果存在不全为零的常数c1、c2、…、cn，使得c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的。
而线性无关则是指不存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。
简而言之，如果c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0只有当c1= c2 = … = cn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性无关的。
2. 性质线性相关和线性无关有一些重要的性质。
2.1 线性相关性的传递性如果向量组{v1, v2, …, vn}中的某个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。
具体而言，如果存在c1、c2、…、cn-1，使得vn = c1v1 + c2v2 + … + cn-1vn-1，则这个向量组是线性相关的。
2.2 仅有一个向量的向量组是线性无关的只含一个向量的向量组肯定是线性无关的。
因为要使c1v1 = 0成立，必须令c1 = 0。
2.3 子集的线性相关性如果向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的，那么它的任意子集也是线性相关的。
这是因为如果向量组中的向量可以线性表示成零向量，那么删除其中的向量后，仍然可以通过相同的系数得到零向量。
3. 应用线性相关和线性无关在实际问题中具有广泛的应用。
3.1 线性方程组的解的个数对于一个包含n个未知数和m个线性方程的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于扩展矩阵的秩，那么方程组的解存在且唯一。
换句话说，如果方程组的系数向量是线性无关的，那么方程组有唯一解。
3.2 判断向量空间的维数对于一个向量空间，其中向量组的线性无关的最大个数称为该向量空间的维数。
线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
向量组线性相关性
向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。
当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。
在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。
定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。
判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。
方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。
线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。
线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。
在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。
向量组的极大无关组与秩的定义
复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
3-3向量组的秩
例如： 为所有n维向量构成的向量组 维向量构成的向量组， 例如：Rn为所有 维向量构成的向量组，则
1 0 0 1 L, 标准单位向量组ε1 = , ε 2 = , M M 0 0 0 0 εn = ; M 1
与向量组
1 1 1 0 1 L, 1 α1 = , α2 = , αn = , M M M 0 0 1
由定理3.11 定理 的证明可知
… 设 A 行（列） B,则A、B的列(行)向量组 则 、 的 行 向量组 同时相关同时无关) 有相同的线性关系 (同时相关同时无关 . 同时相关同时无关
此性质包含下列含义:(对 的列向量而言) 此性质包含下列含义 对A, B的列向量而言 的列向量而言 (1)向量组α1，α 2， ，α n中任意r个向量α i 1 ,α i 2 ,Lα ir L
第三章
向量组的线性相关性
中南财经政法大学信息系
找出向量组中包含向量最多的线性无关的部分组 找出向量组中包含向量最多的线性无关的部分组： 包含向量最多的线性无关的部分组
线性代数向量组的极大线性无关组和秩
即 i ki11 ki22 kit t , i 1, 2, , p 1 i li11 li22 lip p , i 1, 2, , t 2
若向量组 1,2, , p 可由 1, 2, , t 线性表出;
则称（II）是（I）旳一种极大线性无关组.
在条件（1）下，（2）等价于 （2’）任意r＋1个向量（假如有）都线性有关.
注：（1）只含零向量旳向量组没有极大无关组. （2）一种线性无关向量组旳极大无关组为其本身.
2 4 2
例：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1 4
中，
1
4
,
2
2
1
,
3
1 1
,
4
3 2
,56来自401
1
3
1
求向量组旳秩和一种极大无关组. 并用该极大 无关组线性表出向量组中旳其他向量.
解： 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2
A
1
2
1
3
6
0
1 1 2 4
0 1 1 2 4 0 1 1 2 4
（逆否命题）
定理4.3.2 若线性无关向量组 1,2, , p可由向量组
1, 2, , t 线性表出，则 p t.
定理4.3.3 两个等价旳线性无关向量组，必包括相同 个数旳向量.
2.极大线性无关组
定义4.3.2 设 i1 ,i2 , ,ir (II ) 是 1,2, , p (I )
旳一种部分组. 假如 （1）（II）线性无关， （2）（I）中旳任意向量可由（II）线性表出，
向量线性相关性与秩
例3
已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
证 设有x1 , x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个同维的向量所组成的向量组 可以构成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, m , 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
方程组 结论 向量组A线性相关就是齐次线性 x1 1 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
向量组1 , 2 ,, m线性相关
存在不全为0的x1 , x2 , xm , 使得
a11 x1 a12 x 2 a1m x m 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 m x m 0 齐次线性方程组 a n1 x1 a n 2 x 2 a nm x m 0 有非零解 a11 a12 a1n
则存在一组数k1 ,ki 1 , ki 1 ,km , 满足
i k11 ki 1i 1 ki 1i 1 kmm
即存在不全为0的数k1 ,ki 1 , 1 ki 1,km , ，
使得k11 ki 1i 1 (1)i ki 1i 1 kmm 0
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中重要的概念，用于描述向量之间的关系。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的定义、性质以及它们在矩阵和向量运算中的应用。
一、线性相关性的定义在向量空间中，如果存在一组非零向量，其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性相关的。
换言之，如果存在实数$c_1, c_2, ..., c_n$，使得$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，且至少存在一个$c_i$不为零，则这组向量是线性相关的。
二、线性无关性的定义与线性相关性相反，如果一组向量中的任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性无关的。
换言之，如果仅当$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$时，$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，则这组向量是线性无关的。
三、线性相关性与线性无关性的性质1. 若向量组中有一个零向量，则向量组线性相关。
2. 若向量组中的向量个数少于向量的维数，则向量组线性相关。
3. 若向量组中的向量个数多于向量的维数，则向量组线性无关。
4. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数大于列数，则向量组线性相关。
5. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数小于列数，则向量组线性无关。
四、线性相关性与线性无关性的应用线性相关性和线性无关性在矩阵和向量运算中有广泛的应用。
1. 判断向量组的线性相关性与线性无关性可以通过求解线性方程组$c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，判断一组向量的线性相关性或线性无关性。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合;备注1按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;这样的表示是有好处的; 2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅; 3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的;向量组等价的性质：1 自反性 任何一个向量组都与自身等价;2 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价;3 传递性 若向量组I 与II 等价,向量组II 与III 等价,则向量组I 与III 等价; 证明：自反性与对称性直接从定义得出;至于传递性,简单计算即可得到; 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅,向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅;向量组II 可由III 线性表示,假设1tj kj k k b y c ==∑,1,2,,j s =⋅⋅⋅;向量组I 可由向量组II 线性表示,假设1si ji j j a x b ==∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅;因此,11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅因此,向量组I 可由向量组III 线性表示;向量组II 可由I 线性表示,III 可由II 线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III 可由I 线性表示;因此,向量组I 与III 等价;结论成立 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,否则,称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;按照线性表示的矩阵记法,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组 有非零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<;12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,即 只有零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=;特别的,若t n =,则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=,当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆,当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠;例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =,线性无关即0a ≠;因为,若a 线性相关,则存在数0k ≠,使得0ka =,于是0a =;而若0a =,由于10a a ⋅==,10≠因此,a 线性相关;例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行,即其对应分量成比例;因为,若,a b 线性相关,则存在不全为零的数12,k k ,使得120k a k b +=;12,k k 不全为零,不妨假设10k ≠,则21k a b k =-,故,a b 平行,即对应分量成比例;如果,a b 平行,不妨假设存在λ,使得a b λ=,则0a b λ-=,于是,a b 线性相关;例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示,且表示方法唯一;事实上,5.线性相关与无关的性质1 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,其中有一个为零,不妨假设0t a =,则 因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;2 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关; 证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得这样,12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,因此,1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关;后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确;3 若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量;不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后,成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量;令则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==;结论得证4 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量;必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,设0j k ≠,则充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设ja 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合,则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅,使得 也就是但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零,因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;备注2请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以;5 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关,n b R ∈,使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,则b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,且表示方法唯一;证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,因此,存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅,使得 10t k +≠,否则10t k +=,则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==,这样,121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零,与其不全为零矛盾这样, 因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,则 由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=,即 因此,表示法唯一;备注3 刚才的证明过程告诉我们,如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,则表示法唯一;事实上,向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解;而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关,即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=;因此,若有解,当然解唯一,即表示法唯一;6 若线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则t s ≤; 证明：假设结论不成立,于是t s >;12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;假设112111112121121(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 122221212222122(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, ……………………………………………………….12112212(,,,)t t t t t st s s st x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 任取12,,,t k k k ⋅⋅⋅,则由于111212122212t t s s st x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为一个s t ⨯阶矩阵,而t s >,因此,方程组必有非零解,设为12t k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,于是11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,这与向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关矛盾因此,t s ≤;7 若两线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则t s =; 证明：由性质6,t s ≤,s t ≤,因此,s t =;备注4等价的线性无关向量组所含向量个数一样;8 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,P 为n 阶可逆矩阵,则12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关当且仅当12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性无关;b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,当且仅当Pb 可由 12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性表示;若可以线性表示,表示的系数不变;证明：由于P 可逆,因此 如此,结论得证 6.极大线性无关组定义1 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,使得 1 12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关；2 12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;备注5 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为其极大线性无关组;按照定义,12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示;但另一方面,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅也显然可以由 12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅与12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅等价;也就是说,任何一个向量组都与其极大线性无关组等价;向量组的极大线性无关组可能不止一个,但都与原向量组等价,按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的,即可以相互线性表示;它们又都是线性无关的,因此,由之前的性质7,向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数; 这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数;备注6按照定义,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,充分必要条件即其秩为t ; 定义2设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,但没有更多的线性无关向量,则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组,而r 为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩;备注7 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义;一方面,有r 个线性无关的向量,体现了“无关性”,另一方面,没有更多的线性无关向量,又体现了“极大性”;备注8两个定义之间是等价的;一方面,如果12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关,且12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,那么,12,,,t a a a ⋅⋅⋅就没有更多的线性无关向量,否则,假设有,设为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,s r >;12,,,s b b b ⋅⋅⋅当然可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,且还线性无关,按照性质6,s r ≤,这与假设矛盾另一方面,假设12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅中r 个线性无关向量,但没有更多的线性无关向量,任取12,,,t a a a ⋅⋅⋅中一个向量,记为b ,则12,,,,r i i i a a a b ⋅⋅⋅线性相关;按照性质5,b 可有12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示且表示方法唯一;备注9设向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩为r ,则其极大线性无关向量组含有r 个向量;反过来,其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组;这从定义即可得到; 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩;定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩; 证明：设()m n ij A a R ⨯=∈,()r A r =;将其按列分块为12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅;存在m 阶可逆矩阵P ,使得PA 为行最简形,不妨设为100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且PA 中其余列向量都可以由其线性表示,因此, 100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为PA 的极大线性无关组,其个数为r ,因此,12,,,r a a a ⋅⋅⋅线性无关,且A 中其余列向量均可由其线性表示且表示的系数不变;因此,A 的列秩等于A 的秩;将A 按行分块,1T T m b A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则12(,,,)T m A b b b =⋅⋅⋅,因此,按照前面的结论,A 的行秩为T A 的秩,而T A 的秩等于A 的秩;至此,结论证明完毕 备注10证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法; 7.扩充定理定理2 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,秩为r ,12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅为其中的k 个线性无关的向量,k r ≤,则能在其中加入12,,,t a a a ⋅⋅⋅中的()r k -个向量,使新向量组为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;证明：如果k r =,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果k r <,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为1k i a +,由性质5,向量组 121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅线性无关;如果1k r +=,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果1k r +<,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为2k i a +,由性质5,向量组1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++⋅⋅⋅线性无关;同样的过程一直进行下去,直到得到r 个线性无关的向量为止;备注11证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;只是,这方法并不好实现;8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组12,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现; 1 将12,,t a a a ⋅⋅⋅合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =⋅⋅⋅；2 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为111211,11,2222,12,,1,000000000000r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,0,1,2,,ii b i r ≠=⋅⋅⋅,()r r A = 3 在上半部分找出r 个线性无关的列向量,设为12,,,r j j j ⋅⋅⋅列,则12,,,r j j j ⋅⋅⋅为B 列向量组的极大线性线性无关组,也是A 列向量组的极大线性线性无关组,也就是12,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;为了在上半部分寻找r 个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵;r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关;显而易见,上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组;其余情形同理;4 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合;这时候得解方程组;我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了;不妨设行最简形为 在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量;于是,在A 中,第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B 中的一致;我们的理论依据是性质8;例4.设矩阵21112112144622436979A --⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎪-⎝⎭,求A 的列向量组的一个极大线性无关组,并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示; 解答 记12345(,,,,)A a a a a a =,因此,A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ,312a a a =--,4123433a a a a =+-;。
线性相关与无关的判断方法
线性相关与无关的判断方法线性代数是数学的一个分支，它研究的是向量空间和线性映射。
在线性代数中，线性相关和线性无关是两个非常重要的概念。
本文将介绍线性相关与无关的判断方法，以帮助读者更好地理解这两个概念。
首先，让我们来了解一下什么是线性相关和线性无关。
在向量空间中，如果存在一组向量，其中的某一个向量可以表示成其他向量的线性组合，那么这组向量就是线性相关的。
换句话说，如果存在一组不全为零的系数，使得这组向量的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性相关的。
相反，如果不存在这样的系数，使得这组向量的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性无关的。
判断一组向量是否线性相关或线性无关，可以通过以下方法进行：1. 行列式法。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，那么矩阵A的列向量就是线性无关的；如果行列式等于0，那么矩阵A的列向量就是线性相关的。
2. 线性方程组法。
对于一个n个未知数的线性方程组，如果方程组的系数矩阵的秩等于系数矩阵与增广矩阵的秩，那么方程组的解集就是线性无关的；如果系数矩阵的秩小于系数矩阵与增广矩阵的秩，那么方程组的解集就是线性相关的。
3. 向量组法。
对于一个向量组，可以将其表示成矩阵的形式，然后对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵。
通过观察矩阵的形式，可以判断向量组的线性相关性或线性无关性。
4. 线性相关性的性质。
如果一个向量组中包含的向量个数大于向量的维数，那么这个向量组一定是线性相关的。
这是因为向量的个数大于维数，必然存在多余的向量，这些多余的向量可以表示成其他向量的线性组合，从而使得向量组线性相关。
5. 线性无关性的性质。
如果一个向量组中的向量个数小于向量的维数，那么这个向量组一定是线性无关的。
这是因为向量的个数小于维数，必然存在缺少的向量，这些缺少的向量无法表示成其他向量的线性组合，从而使得向量组线性无关。
通过以上方法，我们可以判断一组向量的线性相关性和线性无关性。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性代数第三章 向量 线性关系 秩
定义3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2 , …,ks, 使: k11+k22+ …+kss=0 则称向量组1, 2, …, s线性相关, 否则称线性无关.
可见向量组1, 2, …, s线性无关的充分必要条件是:
k11+k22+ …+kss=0
只有当k1,k2 , …,ks全为零时才成立.
一般地, 对列向量, =k11+k22+…+kss 可写成
k1 k2 (1， 2， , s ) k s
对行向量, =k11+k22+…+kss 可写成
1 2 (k1，k 2， , ks ) s
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km
使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得 ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m).
解 设k1e1+k2e2+ …+knen=0, 即
(k1, k2, …,kn)=0, 所以 k1=k2=…=kn=0 所以, 向量组 e1,e2, …,en线性无关. n 维标准单位向量组 e1,e2, …,en是线性无关的, 而且
对任意n维向量T=(a1,a2,…,an), 都有
=a1e1+a2e2+…+anen
相应运算, 于是列向量也可写成：=(a1, a2, …, an)T. 如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等. 分量都是零的向量称为零向量, 记为0. 将向量的分量都改变符号得到的向量, 称为向量的
第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)
1 0 0
2 0 0
5 2 0
103000
1 0 0
2 0 0
5 1 0
1 3 02
—
性 代 数 教 案 华 南 理
4
0
0
0
1 1
0 0
0 2
0 0
0 0
1 0
3
13
2
3
2 0
4 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
19 2
13
2
3
2
0
工 大 学 广 州
华 非零解(无非零解(只有零解)).
南
理 工 大
n个n维向量 1,2,L,n线性相关 1,2,L,n0
学
广 州
n个n维向量 1,2,L,n线性无关 1,2,L,n0
学
院
.
17
与线性相关性有关的性质：
—
联 合 班
① 1,2,L,s线性相关 至少有一个 i 可以用其
他向量线性表示。
线
性 代
②当向量的个数s大于维数n时，1,2,L,一s 定线
—
线 性
则说1,2,L,s线性相关,否则就说它们线性无关.
代
数 教
说明:① 意义和定义是一致的.比如设 c s 不为0,则
案 华 南
sc c1 s 1c c2 s 2Lccs s1 s1
理 ② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就
工 大
是它是(不是)零向量.
学
广
州
学
③
学
院
.
12
—
3．等价关系：如果 1,2,,s与 1,2,,t互相可
线性代数 3-5 第3章5讲-极大线性无关组和秩(1)
解
(1)
1，
2，
3
1，2，3
1
1
1
1
1
1 40
1 1 1 1 1 1 1
1 1 11
2
0
1，
2，3
1，
2，3
1
1
1
1，
2，
3
1 2
1 2
1 1 1
0
1
2
1
2
0
1
2 9
极大线性无关组和向量组的秩(1)
1 1 2 3 已知向量1，2，3分别可由1，2，3线性表示，即 2 1 2 3
由线性相关性的性质3.6推论得 r2 r；1
反过来，因为1,2 , ,m可由1, 2 , , s线性表示， 即1,2 , ,m的极大无关组可由1, 2 , , s的极大无关组线性表示，
由线性相关性的性质3.6推论得 r1 r2.
, s ) r2.
推论
设向量组1, 2 ,
,
s
线性无关，且可由向量组1，
6
极大线性无关组和向量组的秩(1)
定理3.6 等价的向量组有相同的秩.
证 设向量组1,2 , ,m与1, 2 , , s等价，记r(，1 ，2 ，m ) r，1 r(1, 2, 因为1, 2 , , s可由1,2 , ,m线性表示， 即1, 2 , , s的极大无关组可由1,2 , ,m的极大无关组线性表示，
线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第五讲 极大线性无关组和秩(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩(1)
极大线性无关组和向量组的秩(1)
向量组的极大无关组
定义3.6
线性无关与秩的关系
线性无关与秩的关系
线性无关与秩之间的关系是数学中一个重要的概念，它是线性代数中的基础概念。
线性无关是指一组向量之间的关系，它们之间不存在线性组合，也就是说，它们之间不存在线性
相关性。
秩是指一组向量的维数，它是一组向量的基数，也就是说，它是一组向量的最小维数。
线性无关与秩之间的关系是：如果一组向量之间是线性无关的，那么它们的秩就是它们的数量。
也就是说，如果一组向量之间是线性无关的，那么它们的秩就是它们的数量。
反之，如果一组向量之间存在线性相关性，那么它们的秩就小于它们的数量。
线性无关与秩之间的关系可以用来解决一些数学问题，比如求解线性方程组，求解矩阵的特征值等。
例如，如果一组向量之间是线性无关的，那么它们的秩就是它们的数量，这就
意味着这组向量可以用来求解线性方程组。
另外，如果一组向量之间存在线性相关性，那
么它们的秩就小于它们的数量，这就意味着这组向量可以用来求解矩阵的特征值。
总之，线性无关与秩之间的关系是一个重要的概念，它可以用来解决一些数学问题，比如求解线性方程组，求解矩阵的特征值等。
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老师能不能麻烦您写一下，秩和线性相关，无关的关系，还有方程个数（维数）未知数个数之间的关系与方程线性相关无关的关系。
我这一点学的很乱，也找不到哪些参考书目有总结的，自己好多也不知道。
最好能解释清楚一下。
标准全书，P302最上面6和7有什么区别吗？都是相乘一个等于N ，一个≤N 。
还有就是当页的例题一，不能设PX=0解吧？否则就应该用上面的等式6了。
我觉的只能用不等式7去解。
通过定义，即转化为齐次线性方程组是否有非零解，利用判断非零解的充要条件可以得到，自己要试着学会推导。
12,,,m ααα 是n 维列向量，12i i
i ni a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
12,,,m ααα 是线性相关的
⇔存在不全为0的数1,,m k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ⇔
齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++= 有非零解。
⇔11121121
22
221
2
0m m n n nm m a a a x a a a x
a a a x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
即0n m A X ⨯=有非零解()12,,,m A ααα=
⇔()r A m
<（系数矩阵的秩小于未知数的个数，即向量的个数）
⇔()12,,,m r m
ααα<
同理自己可以推导线性无关的情况。
学习线性代数必须学会自己总结，将相关知识点进行联系 0AX = 标准全书
0m n A X ⨯=
6是根据齐次线性方程组的解来确定，系数矩阵的秩()r A ，则基础解系中有
()n r A -个向量，即齐次线性方程组有()n r A -个线性无关的解向量。
7 0AB =将其按列分块得到()12,,,s B βββ= ，则
()()()1212,,,,,,0,0,,0s s AB A A A A ββββββ=== 即0i A β=
B
的每个列向量是0m n A X ⨯=的解，但不一定是全部解，则()()r B n r A ≤-整理可
得结论。
对于这个结论要非常熟悉 例题1
因为0P Q =所以()()3r P r Q +≤ 当6t =时，()1r Q =，()2r P ≤ 当6t ≠时，()2r Q =，()1r P ≤
因为P 是非零三阶矩阵，则()1r P ≥所以()1r P =。