秩和线性相关,无关的关系

老师能不能麻烦您写一下，秩和线性相关，无关的关系，还有方程个数（维数）未知数个数之间的关系与方程线性相关无关的关系。我这一点学的很乱，也找不到哪些参考书目有总结的，自己好多也不知道。最好能解释清楚一下。 标准全书，P302最上面6和7有什么区别吗？都是相乘一个等于N ，一个≤N 。还有就是当页的例题一，不能设PX=0解吧？否则就应该用上面的等式6了。我觉的只能用不等式7去解。

通过定义，即转化为齐次线性方程组是否有非零解，利用判断非零解的充要条件可以得到，自己要试着学会推导。

12,,,m ααα 是n 维列向量，12i i

i ni a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

12,,,m ααα 是线性相关的

⇔存在不全为0的数1,,m k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ⇔

齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++= 有非零解。

⇔11121121

22

221

2

0m m n n nm m a a a x a a a x

a a a x ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

即0n m A X ⨯=有非零解()12,,,m A ααα=

⇔()r A m

<（系数矩阵的秩小于未知数的个数，即向量的个数）

⇔()12,,,m r m

ααα<

同理自己可以推导线性无关的情况。

学习线性代数必须学会自己总结，将相关知识点进行联系 0AX = 标准全书

0m n A X ⨯=

6是根据齐次线性方程组的解来确定，系数矩阵的秩()r A ，则基础解系中有

()n r A -个向量，即齐次线性方程组有()n r A -个线性无关的解向量。

7 0AB =将其按列分块得到()12,,,s B βββ= ，则

()()()1212,,,,,,0,0,,0s s AB A A A A ββββββ=== 即0i A β=

B

的每个列向量是0m n A X ⨯=的解，但不一定是全部解，则()()r B n r A ≤-整理可

得结论。

对于这个结论要非常熟悉 例题1

因为0P Q =所以()()3r P r Q +≤ 当6t =时，()1r Q =，()2r P ≤ 当6t ≠时，()2r Q =，()1r P ≤

因为P 是非零三阶矩阵，则()1r P ≥所以()1r P =