幂的运算 知识点总结及考点强化练习
七年级下册幂的知识点总结
七年级下册幂的知识点总结幂是初中数学中的重要知识点之一，它在解决各类问题时都有极高的实用价值。
本文将详细总结七年级下册幂的知识点，同时附带一些解题技巧和练习题，希望对于初学幂的同学有所帮助。
一、幂的概念及表示方法幂是由底数和指数两个数字组成的一个数学表达式，它表示了底数连乘若干次的结果。
例如，2³表示2连乘3次的结果，即2×2×2，结果为8。
在数学中，我们用“aⁿ”来表示幂，其中a表示底数，n表示指数。
如果指数n为正整数，我们称aⁿ为“a的n次幂”，如果n为零，a⁰ =1，若a不为零，零的幂未定义。
如果n为负整数，则aⁿ还可以表示为“1/a的n次幂”。
二、幂的基本运算1. 幂的乘法：幂的乘法规则是：aⁿ×aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。
即，将底数相同的幂相乘时，底数不变，指数相加。
2. 幂的除法：幂的除法规则是：当同底数的幂相除时，保留底数，将指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ。
3. 幂的乘方：幂的乘方规则是：(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ。
即，先将幂底数a 转化为一次幂，再将指数进行运算。
三、幂的运算技巧1. 化幂为指数：如果一个幂的底数和指数都可以 factor，可以尝试将其化为指数形式进行运算。
例如：4⁶×2⁴×4² = (2²)¹²×2⁴×2⁴ = 2²⁴×2⁴ = 2³²2. 化指数为幂：如果运算式中的指数较大，可以尝试将其化为幂的形式进行计算。
例如：27²×81² = (3³)²×(3⁴)² = 3²¹×3²⁸ = 3⁴⁹四、练习题1. 计算：3³×9⁴÷27³2. 计算：8⁵÷4⁵×(2⁴)³3. 若a⁷×a⁶=a¹³，那么a=?5. 计算：(5²)³×(5³)²÷5⁴答案：1. 1解答：3³×9⁴÷27³ = 3³×(3²)⁴÷(3³)³ = 12. 64解答：8⁵÷4⁵×(2⁴)³ = 2³×2¹² = 643. a=1解答：a⁷×a⁶=a¹³，等价于a⁷⁺⁶=a¹³，即a^13=a^13，则a=1。
苏科版数学七年级下册期末复习第8章《幂的运算》知识点总结与巩固训练
第八章《幂的运算》知识点总结与巩固训练 知识点一：同底数幂相乘：1、法则： ；即=⋅nm a a ；（ ） 2、逆运算： ；3、正数的任何次幂都是 ，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，知识点二：幂的乘方与积的乘方：1、幂的乘方：（1）、法则： ；即()=n ma ；（ ） （2）、逆运算： ；2、积的乘方：（1）、法则： ；即()=n ab ；（ ） （2）、逆运算： ；知识点三：同底数幂的除法：1、法则： ；即=÷nm a a ；（ ） 2、逆运算： ；3、零指数幂的意义： ；4、负整数指数幂的意义： ；5、科学计数法：（1）314000=51014.3⨯（10的几次方=原数的 ） （2）0.00000314=6-1014.3⨯（10的负几次方=原数的 ） （3）1纳米=9-10米 巩固训练一、选择题1. 2019年安徽省第一季度GDP 超过7000亿元.其中7000亿用科学记数法表示为( )A. 7×1011B. 70×1010C. 0.7×1012D. 7×10122. 下列式子正确的是…………………………………………………………………( )A.B. C.D. 3. 计算：(45)2÷(−54)−2+(3−π)0−(−12)0÷(−2)−3得到的结果是…（ ）A. 8B. 9C. 10D. 114. 已知x a =2，x b =−3，则b a x 2……………………………………（ ）A. 12B. 2C. −12D. −35. 已知x a =3，x b =5，则x 3a−2b 等于…………………………………( )A. 2725B. 910C. 35D. 526. 若a x =3，b 2x =2，则(a 2)x −(b 3x )2的值为………………………( )A. 0B. 1C. 3D. 57. 计算0.22017×[(−5)1009]2的结果是………………………………( )A. 1B. 0.04C. −5D. 58. 若m =2125，n =375，则m 、n 的大小关系正确的是…………( )A. m >nB. m <nC. m =nD. 大小关系无法确定二、填空题 9. 一些水的质量为0.00204 kg ，用科学记数法表示为____．10. 计算：(1)(−2x 2y )3= ；(2)(−a )4÷(−a )= .11. 计算 (−0.125)2017×82016= ______ ．12. 若3m =21，3n =727，则代数式2m ÷2n = ______ ．13. 若a 2n =2，则2a 6n −20=_____．14. 已知(ka m−n b m+n )4=16a 8b 16，则k +2m +n =____________15. 计算(x −y)2(y −x)3(x −y)=_______(写成幂的形式)．16. 已知x 3=m ，x 5=n ，则x 14用m 、n 表示为____．三、解答题17. (1)已知2×8x ×16x =222，求x 的值；(2)已知2m =3，2n =4，求22m+n 的值．(3)a 3⋅a ⋅a 4+(−2a 4)2+(a 2)4.(4)已知n 为正整数，且x 2n =4，求(x 3n )2−2(x 2)2n 的值．18. 已知2a =4，2b =6，2c =12．(1)求22a+b−c 的值．(2)说明：a +b −c =1；19. 规定两数a 、b 之间的一种运算，记作<a ，b >.定义：如果ac =b ，那么<a ，b >=c ． 例如：因为23=8，所以<2，8>=3．(1)根据上述规定填空：<−5，25>=____________，<13，127>=_____________；(2)已知<2，a >=m ，<4，b >=n ，求<2，ab >(用含m 、n 的代数式表示)；(3)若<3，a >=444，<4，b >=333，则a 、b 的大小关系是：a _______b(填“>”、“<”或“=”)．20.你能比较两个数20122013和20132012的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n +1和(n+1) n的大小(n≥1且n为整数)，然后从分析n=1，n=2，n=3，……这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，最后猜想出结论．(1)通过计算，比较下列各组数的大小(在横线处填上“>”、“=”或“<”)：①12________21；②23________32；③34________43；④45________54；⑤56________65；⑥67________76；……(2)由第(1)小题的结果归纳、猜想n n +1与(n+1) n的大小关系；(3)根据第(2)小题得到的一般结论，可以得到20122013________20132012(填“>”、“=”或“<”)．答案和解析1.A解：7000亿=700000000000=7×1011．2.C解：A.a6÷a2=a4，故错误；B.(a2)3=a6，故错误；C.(a2b)3=a6b3，故正确；D.a2·a3=a5，故错误．3.C解：原式=1625÷1625+1−1÷(−18)，=1+1+8，=10，4.C解：∵x a=2, x b=−3，∴x2a+b=(x a)2x b=(2)2×(−3)=−12．5.A解：∵x a=3，x b=5，∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2，=27÷25，=2725．6.B解：原式=(a x)2−(b2x)3=9−8=1．7.D解：原式=0.22017×(−5)2018=0.22017×(−5)2017×(−5)=(−0.2×5)2017×(−5)=(−1)×(−5)=58.A解：∵m=2125=(25)25=3225，n=375=(33)25=2725，∴m>n，9.2.04×10−3 kg解：0.00204=2.04×10−3，10.(1)−8x6y3;(2)−a3(1)(−2x2y)3=−23x2×3y3=−8x6y3；(2)(−a)4÷(−a)=(−a)4−1=−a3．11.−0.125解：(−0.125)2017×82016=(−0.125)×[(−0.125)×(8)]2016=(−0.125)×(−1)2016=−0.125．12.16解：由3m=21，3n=7得27=81=34，3m−n=3m÷3n=21÷727m−n=4．2m÷2n=2m−n=16．13.−4解：2a6n−20=2(a2n)3−20=2×23−20=−4．14.9或5解：k4a4(m−n)b4(m+n)=16a8b16∴k4=16，4(m−n)=8，4(m+n)=16∴k=±2，m=3，n=1∴k+2m+n=9或5．15.−(x−y)6解：(x−y)2(y−x)3(x−y)=−(x−y)2(x−y)3(x−y)=−(x−y)6．16.m3n解：根据题意可把14次方分为9次方加5次方，∵x3=m，x5=n，∴x14=x9⋅x5=(x3)3⋅x5=m3n.17.解：(1)∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22．解得x=3．(2)∵2m=3，2n=4，∴ 22m+n =(2m )2×2n =32×4=36．(3)原式=a 3+1+4+4a 4×2+a 2×4=a 8+4a 8+a 8=6a 8．(4)(x 3n )2−2(x 2)2n=(x 2n )3−2(x 2n )2=43−2×42=64−32=32．18. (1)解：∵2a =4，2b =6，2c =12，∴22a+b−c =(2a )2×2b ÷2c=16×6÷12=8．(2)证明：∵2a =4，2b =6，2c =12，∴2a ×2b ÷2=4×6÷2=12=2c ，∴a +b −1=c ，即a +b −c =1；19. 解：(1)2；3；(2)∵<2，a >=m ，<4，b >=n ，∴2m =a ，4n =b∴ab =2m ×4n =2m ×22n =2m+2n ，∴<2，ab >=m +2n ．(3)>．解：(1)∵(−5)2=25，(13)3=127，∴<−5，25>=2，<13，127>=3．故答案为2；3．(3)根据题意得：a =3444，b =4333．∴a =34×111=(34)111=81111，b =43×111=(43)111=64111，∵81>64，∴a >b ．20.(1)<，<，>，>，>，>；(2)解：由(1)可知，当n=1、2时，n n+1<(n+1)n；当n≥3时，n n+1>(n+1)n；(3)>．解：(1)①12<21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；......故答案为：<，<，>，>，>，>；(3)∵2012>3，2013>3，∴20122013>20132012，。
幂的运算习题精选及复习资料要点
《幂的运算》提高练习题一、选择题1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（）A、﹣299B、﹣2C、299D、22、当m是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a2（）2；（2）a2（a2）m；（3）a2（﹣）2；（4）a2（﹣a2）m．A、4个B、3个C、2个D、1个3、下列运算正确的是（）A、235B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3C 、D、（x﹣y）33﹣y34、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（）A、与B、a2n与b2nC、a21与b21D、a2n﹣1与﹣b2n﹣15、下列等式中正确的个数是（）①a5510；②（﹣a）6•（﹣a）3•10；③﹣a4•（﹣a）520；④25+25=26．A、0个B、1个C、2个D、3个二、填空题6、计算：x2•x3=；（﹣a2）3+（﹣a3）2= ．7、若25，26，则22 ．三、解答题8、已知3x（5）=31+45，求x的值。
9、若1+2+3+…，求代数式（）（﹣1y2）（﹣2y3）…（x2﹣1）（）的值．10、已知253，求4x•32y的值．11、已知25m•2•1057•24，求m、n．12、已知5，25，求的值．13、若216，2，求的值．14、比较下列一组数的大小．8131，2741，96115、如果a20（a≠0），求a20052004+12的值．16、已知91﹣3272，求n的值．18、若（）39b15，求2的值．19、计算：﹣5（1b3m﹣2）2+（﹣1﹣2）3（﹣b32）20、若3，﹣，当2，3时，求﹣的值．21、已知：241，273x﹣1，求x﹣y的值．22、计算：（a﹣b）3•（b﹣a）2•（a﹣b）m•（b﹣a）523、若（12）（a2n﹣1b2n）5b3，则求的值．24、用简便方法计算：（1）（2）2×42 （2）（﹣0.25）12×412（3）0.52×25×0.125 （4）[（）2]3×（23）3答案与评分标准一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（）A、﹣299B、﹣2C、299D、2考点：有理数的乘方。
七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义
第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。
幂的乘除法运算(知识解读+真题演练+课后巩固)(解析版)
第01讲幂的乘除法运算1.掌握正整数幂的乘除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；2.运用同底数幂的乘法和除法法则解决一下实际问题；3.会进行幂的乘方的计算；4.理解零次幂的性质及有关综合运算。
知识点1：幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m ×a n =a （m+n）(a≠0,m,n 均为正整数，并且m>n)知识点2：幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
amnnm=)(a (m,n 都为正整数)知识点3：积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
ba ab mnnnm=)(（m,n 为正整数）知识点4：幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m ÷a n =a （m-n）(a≠0,m,n 均为正整数，并且m>n)知识点5：零指数a 0=1(a≠0)【题型1幂的乘法运算】【典例1】（2023春•市南区校级期中）计算x3•x3的结果是（）A．2x3B．x6C．2x6D．x9【答案】B【解答】解：x3•x3＝x6，故选：B．【变式1-1】（2022秋•惠阳区校级月考）计算（﹣a）4•a的结果是（）A．﹣a5B．a5C．﹣a4D．a4【答案】B【解答】解：原式＝a4•a＝a5，故选：B．【变式1-2】（2023•萧县三模）计算：﹣x4•（﹣x5）的结果是（）A．x9B．﹣x9C．x20D．﹣x20【答案】A【解答】解：﹣x4•（﹣x5）＝x4+5＝x9．故选：A．【变式1-3】（2023春•大埔县校级期末）32×37的值是（）A．39B．314C．35D．311【答案】A【解答】解：32×37＝39．故选：A．【典例2】（2023春•陈仓区期中）计算：﹣（x2）•（﹣x）3•（﹣x）4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣x2•（﹣x3）•x4＝x9．【变式2-1】（2023春•和平区校级月考）（﹣x2）•（﹣x）2•（﹣x）3＝x7．【答案】x7．【解答】解：原式＝（﹣x2）•x2•（﹣x3）＝x2•x2•x3＝x7．故答案为：x7．【变式2-2】化简：（1）（﹣2）8•（﹣2）5；（2）（a﹣b）2•（a﹣b）•（a﹣b）3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（﹣2）8•（﹣2）5＝（﹣2）8+5＝（﹣2）13（2）（a﹣b）2•（a﹣b）•（a﹣b）3．＝（a﹣b）2+1+3＝（a﹣b）6【变式2-3】（m﹣n）2•（n﹣m）2•（n﹣m）4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（n﹣m）2•（n﹣m）2•（n﹣m）4＝（n﹣m）8．【典例3】（2023•大冶市一模）若a x＝3，a y＝2，则a2x+y等于（）A．6B．7C．8D．18【答案】D【解答】解：∵a x＝3，a y＝2，∴a2x+y＝（a x）2×a y＝32×2＝18．故选：D．【变式3-1】（2022秋•开福区校级期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（）A．6B．﹣6C．D．8【答案】D【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y•2x＝2x+y＝23＝8，故选：D．【变式3-2】（2023春•高青县期末）若a×a m×a3m+1＝a10，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵a×a m×a3m+1＝a1+m+3m+1＝a4m+2＝a10，∴4m+2＝10．∴m＝2．故选：B．【题型2幂的乘方运算】【典例4】（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣a2）3•a3结果为（）A．﹣a9B．a9C．﹣a8D．a8【答案】A【解答】解：（﹣a2）3•a3＝﹣a6•a3＝﹣a9．故选：A．【变式4-1】（2023•静安区二模）化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【答案】C【解答】解：原式＝x6，故选：C．【变式4-2】（2023•鹿城区校级二模）化简p•（﹣p2）3的结果是（）A．﹣p7B．p7C．p6D．﹣p6【答案】A【解答】解：原式＝P•（﹣P6）＝﹣P7【典例5】（2023春•江都区期中）（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n+1的值；（2）已知3m+2n﹣5＝0，求8m×4n的值．【答案】（1）720；（2）32．【解答】解：（1）∵10m＝2，10n＝3，∴103m+2n+1＝103m×102n×10＝（10m）3×（10n）2×10＝23×32×10＝8×9×10＝720；（2）∵3m+2n﹣5＝0，∴3m+2n＝5，∴8m×4n＝（23）m×（22）n＝23m×22n＝23m+2n＝25＝32．【变式5-1】（2023春•常德期中）已知：a m＝3，a n＝5，求：（1）a m+n的值．（2）a3m+2n的值．【答案】（1）15；（2）675．【解答】解：（1）原式＝a m•a n＝3×5＝15．（2）原式＝a3m•a2n＝（a m）3•（a n）2＝33×52＝675．【变式5-2】（2022秋•金乡县月考）已知a m＝3，a n＝2，求下列各式的值．（2）a3m+a2n；（3）a2m+3n．【答案】（1）6；（2）31；（3）72．【解答】解：当a m＝3，a n＝2时，（1）a m+n＝a m⋅a n＝3×2＝6；（2）a3m+a2n＝（a m）3+（a n）2＝33+22＝31；（3）a2m+3n＝a2m⋅a3n＝（a m）2⋅（a n）3＝32×23＝72．【变式5-3】（2023春•双牌县期末）已知2x+3y﹣3＝0，则9x•27y＝27．【答案】见试题解答内容【解答】解：由2x+3y﹣3＝0，得2x+3y＝3．9x•27y＝32x•33y＝32x+3y＝33＝27，故答案为：27．【题型3积的乘方运算】【典例6】（2022秋•沙坪坝区校级期末）计算（2ab）2的正确结果为（）A．2a2b2B．4ab C．4a2b2D．2ab2【答案】C【解答】解：（2ab）2＝22a2b2＝4a2b2．故选：C．【变式6-1】（2023•临渭区一模）计算（﹣2a3b）3的结果为（）A．﹣8a9b3B．8a9b3C．﹣2a9b3D．2a9b3【答案】A【解答】解：（﹣2a3b）3＝（﹣2）3•（a3）3•b3＝﹣8a9b3，故选：A．【变式6-2】（2022秋•临县校级期末）计算（﹣3a4）2的结果为（）A．﹣9a8B．9a6C．3a8D．9a8【答案】D【解答】解：（﹣3a4）2＝9a8．故选：D．【变式6-3】（2023•雁塔区校级模拟）计算：（﹣2m2n3）2＝（）A．4m4n5B．﹣4m4n6C．4m4n6D．﹣4m4n5【答案】C【解答】解：（﹣2m2n3）2＝4m4n6，故选：C．【典例7】（2023春•碑林区校级月考）计算：（﹣0.25）2022×42023的结果是（）A．﹣1B．1C．4D．﹣4【答案】C【解答】解：（﹣0.25）2022×42023＝（﹣0.25）2022×42022×4＝[（﹣0.25）×4]2022×4＝1×4＝4，故选：C．【变式7-1】（2022秋•晋安区期末）计算的值是（）A．3B．C．D．﹣3【答案】D【解答】解：＝＝＝﹣3．故选：D．【变式7-2】（2023春•广饶县期中）计算的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：＝（﹣）×（﹣）2021×（）2021＝（﹣）×（﹣×）2021＝（﹣）×（﹣1）2021＝（﹣）×（﹣1）＝．故选：A．【典例8】（2023春•子洲县校级期末）已知a＝314，b＝96，c＝275，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【答案】A【解答】解：∵a＝314，b＝96＝（32）6＝312，c＝275＝（33）5＝315，且15＞14＞12，∴c＞a＞b．故选：A．【变式8-1】（2022秋•辉县市校级期末）已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝433＝（43）11＝6411，则8111＞6411＞3211，∴b＞c＞a．故选：A．【变式8-2】（2023春•电白区期中）已知a＝1631，b＝841，c＝461，则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a【答案】A【解答】解：a＝1631＝（24）31＝2124；b＝841＝（23）41＝2123；c＝461＝（22）61＝2122；∵124＞123＞122，∴2124＞2123＞2122，即a＞b＞c．故选：A．【变式8-3】（2023春•诸城市期中）已知a＝3444，b＝4333，c＝5222，比较大小正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】D【解答】解：∵a＝3444＝（34）111＝81111，b＝4333＝（43）111＝64111，c＝5222＝（52）111＝25111，∴25111＜64111＜81111，即c＜b＜a．故选：D．【题型4幂的除法运算】【典例9】（2023•天津一模）计算a5÷a的结果等于a4．【答案】a4．【解答】解：a5÷a＝a5﹣1＝a4，故答案为：a4．【变式9-1】（2021•福建模拟）计算：a3÷a3＝1．【答案】1【解答】解：原式＝a3﹣3＝a0＝1．故答案为：1．【变式9-2】（2022•碑林区校级开学）若m＝n+3，则2m÷2n＝8．【答案】8．【解答】解：∵m＝n+3，∴m﹣n＝3，∴2m÷2n＝2m﹣n＝23＝8．【变式9-3】计算：（﹣a）6÷（﹣a）3＝﹣a3，（a+b）6÷（a+b）2＝（a+b）4．【答案】﹣a3，（a+b）4．【解答】解：（﹣a）6÷（﹣a）3＝（﹣a）6﹣3＝（﹣a）3＝﹣a3，（a+b）6÷（a+b）2＝（a+b）6﹣2＝（a+b）4．故答案为：﹣a3，（a+b）4．【典例10】（2023春•酒泉期末）若2m＝3，2n＝2，则23m﹣2n的值为．【答案】．【解答】解：∵2m＝3，2n＝2，∴23m﹣2n＝23m÷22n＝（2m）3÷（2n）2＝33÷22＝27÷4＝．故答案为：．【变式10-1】（2023春•灌南县期末）若a x＝3，a y＝5，则代数式a2x﹣y的值为．【答案】．【解答】解：∵a x＝3，a y＝5，∴a2x﹣y＝a2x÷a y＝（a x）2÷a y＝32÷5＝，故答案为：．【变式10-2】（2023春•广平县期末）已知10m＝2，10n＝3，则10m﹣n＝，103m+3n＝216．【答案】，216．【解答】解：∵10m＝2，10n＝3，∴10m﹣n＝10m÷10n＝2÷3＝；103m+3n＝103m•103n＝（10m）3•（10n）3＝23×33＝8×27＝216．故答案为：，216．【变式10-3】（2023春•宁国市期中）若3x＝4，9y＝7，则32x﹣4y的值为．【答案】．【解答】解：∵9y＝（32）y＝32y＝7，∴32x﹣4y＝32x÷34y＝（3x）2÷（32y）2＝42÷72＝，故答案为：．【题型5幂的综合运算】【典例11】（2023春•都昌县期中）计算：（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）．【答案】（1）﹣a4；（2）﹣（s﹣t）2m+n+1．【解答】解：（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5＝a6•a8÷（﹣a10）＝﹣a14÷a10＝﹣a4；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）＝（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•[﹣（s﹣t）]＝﹣（s﹣t）2m+n+1．【变式11-1】（2023春•盐都区期中）计算：（1）a6÷a2；（2）m2•m4﹣（2m3）2．【答案】（1）a4；（2）﹣3m6．【解答】解：（1）a6÷a2＝a6﹣2＝a4；（2）m2•m4﹣（2m3）2＝m6﹣4m6＝﹣3m6．【变式11-2】（2023春•铁岭月考）计算（1）a2•（﹣a）3•（﹣a4）；（2）（x2）3÷x6．【答案】（1）a9；（2）1．【解答】解：（1）原式＝a2•a3•a4＝a9；（2）原式＝x6÷x6＝1．【变式11-3】（2023春•宿城区校级月考）计算：（1）（﹣a3）2•（﹣a2）3÷a；（2）（m﹣n）3•（n﹣m）4•（n﹣m）5．【答案】（1）﹣a11；（2）﹣（n﹣m）12．【解答】解：（1）（﹣a3）2•（﹣a2）3÷a＝（﹣1）2•（a3）2•（﹣1）3•（a2）3÷a＝﹣a6•a6÷a＝﹣a6+6﹣1＝﹣a11；（2）（m﹣n）3•（n﹣m）4•（n﹣m）5＝﹣（n﹣m）3•（n﹣m）4•（n﹣m）5＝﹣（n﹣m）3+4+5＝﹣（n﹣m）12．【典例12】（2022秋•秦都区校级期末）已知，3m＝2，3n＝5，求（1）33m+2n；（2）34m﹣3n．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200；（2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125＝．【变式12-1】（2023春•广陵区期中）已知：2m＝3，2n＝5．求：（1）23m的值；（2）23m﹣2n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵2m＝3，∴原式＝（2m）3＝27；（2）∵2m＝3，2n＝5，∴原式＝（2m）3÷（2n）2＝27÷25＝．【变式12-2】（2023秋•朝阳区校级月考）已知10a＝5，10b＝6，求下列各式的值：（1）10a+b；（2）102﹣2a+b．【答案】（1）30；（2）24．【解答】解：（1）10a+b＝10a•10b＝5×6＝30；（2）102﹣2a+b＝102÷（10a）2•10b＝100÷52×6＝24．【变式12-3】（2023春•海城区校级期中）已知a m＝2，a n＝3，求：（1）求a m+n的值；（1）求a2m﹣n的值．【答案】（1）6；（2）．【解答】解：（1）a m+n＝a m•a n＝2×3＝6．（2）a2m﹣n＝a2m÷a n＝（a m）2÷a n＝22÷3＝4÷3＝．【题型6零指数】【典例13】（2023•攀枝花）计算﹣10，以下结果正确的是（）A．﹣10＝﹣1B．﹣10＝0C．﹣10＝1D．﹣10无意义【答案】A【解答】解：∵10＝1，∴﹣10＝﹣1．故选：A．【变式13-1】（2023春•迁安市期中）计算（﹣2）0的结果是（）A．﹣2B．1C．0D．2【答案】B【解答】解：（﹣2）0＝1．故选：B．【变式13-2】（2023春•萧县校级期中）若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x＝1D．x≠1【答案】D【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0，x≠1故选：D．【典例14】（2023•南浔区二模）计算：（﹣8）÷2+|﹣1|﹣20230．【答案】﹣4．【解答】解：原式＝﹣4+1﹣1＝﹣4．【变式14-1】（2023•喀什地区三模）计算：5×（﹣2）+π0+（﹣1）2023﹣23．【答案】﹣18．【解答】解：5×（﹣2）+π0+（﹣1）2023﹣23＝﹣10+1+（﹣1）﹣8＝﹣18．【变式14-2】（2023春•金寨县期末）计算：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2．【答案】．【解答】解：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2＝﹣1+×2﹣1+2．＝﹣1+1+2＝．【变式14-3】（2022秋•韩城市期末）计算：（﹣2）2﹣12022+（π﹣3.14）0．【答案】4【解答】解：（﹣2）2﹣12022+（π﹣3.14）0＝4﹣1+1＝4．1．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7【答案】D【解答】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．故选：D．2．（2023•淮安）下列计算正确的是（）A．2a﹣a＝2B．（a2）3＝a5C．a3÷a＝a3D．a2•a4＝a6【答案】D【解答】解：A、2a﹣a＝a，故A不符合题意；B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；C、a3÷a＝a2，故C不符合题意；D、a2•a4＝a6，故D符合题意；故选：D．3．（2023•德阳）已知3x＝y，则3x+1＝（）A．y B．1+y C．3+y D．3y【答案】D【解答】解：∵3x＝y，∴3x+1＝3x×3＝3y．故选：D．4．（2023•雅安）计算20﹣1的结果是（）A．﹣1B．1C．19D．0【答案】D【解答】解：20﹣1＝1﹣1＝0．故选：D．5．（2023•武汉）计算（2a2）3的结果是（）A．2a6B．6a5C．8a5D．8a6【答案】D【解答】解：（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6．故选：D．6．（2023•扬州）若（）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（）A．a B．2a C．ab D．2ab【答案】A【解答】解：2a3b÷2a2b＝a，即括号内应填的单项式是a，故选：A．7．（2023•陕西）计算：＝（）A．3x4y5B．﹣3x4y5C．3x3y6D．﹣3x3y6【答案】B【解答】解：＝6×（﹣）x1+3y2+3＝﹣3x4y5．故选：B．8．（2023•新疆）计算4a•3a2b÷2ab的结果是（）A．6a B．6ab C．6a2D．6a2b2【答案】C【解答】解：4a•3a2b÷2ab＝12a3b÷2ab＝6a2．故选：C．9．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（）A．8B．6C．5D．2【答案】B【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m，∴m＝6，故选：B．10．（2021•广东）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（）A．1B．6C．7D．12【答案】D【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．故选：D．11．（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝2xy．【答案】2xy．【解答】解：原式＝8x3y÷4x2＝2xy，故答案为：2xy．12．（2023•乐山）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝16．【答案】16．【解答】解：∵3m﹣n﹣4＝0，∴3m﹣n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m﹣n＝24＝16．故答案为：16．13．（2022•苏州）计算：|﹣3|+22﹣（﹣1）0．【解答】解：原式＝3+4﹣1＝61．（2023春•通川区校级期末）若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（）A．5B．3C．15D．10【答案】B【解答】解：3x﹣y＝3x÷3y＝15÷5＝3，故选：B．2．（2023•甘孜州）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．2x2﹣x2＝x2C．x2•x3＝x6D．（x2）3＝x5【答案】B【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、2x2﹣x2＝x2，故此选项符合题意；C、x2•x3＝x5，故此选项不符合题意；D、（x2）3＝x6，故此选项不符合题意；故选：B．3．（2022秋•开福区校级期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（）A．6B．﹣6C．D．8【答案】D【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y•2x＝2x+y＝23＝8，故选：D．4．（2023春•宝塔区期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（）A．3B．5C．4或5D．3或4或5【解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128，∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6∵x，y均为正整数，∴或∴x+y＝5或4，故选：C．5．（2023春•溆浦县校级期中）若2x+4y﹣5＝0，则4x•16y的值是（）A．16B．32C．10D．64【答案】B【解答】解：∵2x+4y﹣5＝0，∴2x+4y＝5，∴4x•16y＝22x•24y＝22x+4y＝25＝32．故选：B．6．（2023•鄢陵县二模）下列各式运算结果为a5的是（）A．a2+a3B．（a2）3C．a2•a3D．a10÷a2【答案】C【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、a2•a3＝a5，故此选项符合题意；D、a10÷a2＝a8，故此选项不符合题意；故选：C．7．（2023•天河区校级三模）计算（﹣3a2b）4的结果正确的是（）A．﹣12a8b4B．12a8b4C．81a8b4D．81a6b8【答案】C【解答】解：（﹣3a2b）4＝（﹣3）4•（a2）4•b4＝81a8b4．故选：C．8．（2022秋•两江新区期末）计算（x3）2÷x2，正确的结果是（）A．x2B．x3C．x4D．x5【解答】解：（x3）2÷x2＝x6÷x2＝x4，故选：C．9．（2022秋•泉州期末）若x a＝2，x b＝3，则x3a﹣2b的值等于（）A．1B．﹣1C．D．6【答案】C【解答】解：∵x a＝2，x b＝3，∴x3a＝23＝8，x2b＝32＝9，∴x3a﹣2b＝x3a÷x2b＝．故选：C．10．（2022秋•乌鲁木齐期末）计算：（﹣0.25）12×413（）A．﹣1B．1C．4D．﹣4【答案】C【解答】解：（﹣0.25）12×413＝0.2512×412×4＝（0.25×4）12×4＝1×4＝4，故选：C．11．（2023•庐阳区校级三模）化简a2•（﹣a）4的结果是（）A．﹣a6B．a6C．a8D．﹣a8【答案】B【解答】解：a2•（﹣a）4＝a2•a4＝a2+4＝a6，故选：B．12．（2023•秦都区二模）计算：3xy•（﹣2xy2）3＝（）A．﹣24x4y6B．﹣18x4y7C．﹣24x4y7D．﹣18x4y6【答案】C【解答】解：3xy•（﹣2xy2）3＝3xy•（﹣8x3y6）故选：C．13．（2023春•海城区校级期中）已知a m＝2，a n＝3，求：（1）求a m+n的值；（1）求a2m﹣n的值．【答案】（1）6；（2）．【解答】解：（1）a m+n＝a m•a n＝2×3＝6．（2）a2m﹣n＝a2m÷a n＝（a m）2÷a n＝22÷3＝4÷3＝．14．（2023春•东台市期中）已知a x＝2，a y＝3．求：（1）a x+y的值；（2）a2y的值；（3）a2x﹣3y的值．【答案】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．【解答】解：（1）a x+y＝a x•b y＝2×3＝6；（2）a2y＝（a y）2＝32＝9；（3）a2x﹣3y＝（a2x）÷（a3y）＝（a x）2（a y）3＝（2）2÷33＝4÷27＝．15．（2022春•武陵区校级期中）计算（1）（﹣2a2b）2•（ab）3（2）已知a m＝2，a n＝3，求a2m+3n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝4a4b2•a3b3＝a7b5；（2）a2m+3n＝（a m）2•（a n）3＝4×27＝108．16．（2022•百色）计算：32+（﹣2）0﹣17．【答案】﹣7．【解答】解：32+（﹣2）0﹣17＝9+1﹣17＝﹣7．17．（2022春•江都区月考）（1）已知a+3b＝4，求3a×27b的值；（2）解关于x的方程：33x+1×53x+1＝152x+4．【答案】（1）81；（2）x＝3．【解答】解：（1）当a+3b＝4时，3a×27b＝3a×33b＝3a+3b＝34＝81；（2）∵33x+1×53x+1＝152x+4，∴（3×5）3x+1＝152x+4，即153x+1＝152x+4，∴3x+1＝2x+4，解得：x＝3．。
幂的运算—强化
幂的运算【知识方法归纳】注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂是指底数相同的幂。
如如32与52或32)(b a 与52)(b a等同底数幂的乘法法则：m n mn a a a ⋅=，即，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【典型例题】1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ）A ．22015B ．22007C ．－2D ．－22008 2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．知识点2 逆用同底数幂的法则 逆用法则为：n m nm a a a ∙=+（m 、n 都是正整数）【典型例题】1．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ． （2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；（3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n ． 知识点3 幂的乘方的意义及运算法则（重点） 幂的乘方指几个相同的幂相乘。
幂的乘方的法则：()m nmna a= (m 、n 是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘【典型例题】1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ）A ．0B ．2a 10C ．-2a 10D ．2a 7 2．下列各式成立的是（ ）A ．（a 3）x =（a x ）3B ．（a n ）3=a n+3C ．（a+b ）3=a 2+b 2D ．（-a ）m =-a m 3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．已知x2+3x+5的值为7，那么3x2+9x-2的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．66.计算：（1）233342)(a a a a a +⋅+⋅ （2）22442)()(2a a a ⋅+⋅ 知识点4 积的乘方意义及运算法则 积的乘方指底数是乘积的形式的乘方。
幂的运算知识点及考点复习总结
55
)．
、4
44
、5
33
的大小.
分析：这类问题通常都是将参加比较的两个数转化为底数相同的或指数相同的形式，根据 观察，本体用作商法比较大小。 例题 4： 3
2001
的个位是：
变式练习：求 7
2005
32007 的末位数字．
分析： 逆用同底数幂的乘法及积的乘方的法则解答此题
类型三
跟踪练习： 用简便方法计算： （1） (
5 1999 3 2000 ) .(2 ) ; 13 5
1 2 3 3 （2） ( ) ( 2 ) . 2
3
（3） 8 4
2
1997
(0.25) 2001.
例题 3：已知 M
999 119 , N , 那么 M、 N 的大小关系怎样? 999 990
2
变式练习： 生存的世界中处处有氢原子和氧原子，让 1 亿个氧原子排成一行，它们的总长度只有 lcm 多一点， 1 个氧原子的质量约为 2. 657×10
23
g； -个氢原子的直径大约为 0. 000 000 000
05m，它的质量约为 0. 000 000 000 000 000 000 000 000 001 673kg. (1)试比较氢原子和氧原子谁大谁小？谁重谁轻？ (2)利用计算器计算，大约把多少个氢原子紧排在一个平面上时，它们所占的面积相当于 1 枚一元硬币的面积(1 枚一元硬币的直径约为 2. 46cm)．
跟踪练习：
（2 x ) ( （1）
3n 2
1 2n 2 x ) （ x 2n ) 3 2
（2） （ 2 a ) (a ) (a ) (a )
5 2 2 2 2 4
幂的运算知识归纳总结,(知识点,关系,典型考题)A4思维导图
幂的运算知识归纳总结,(知识点,关系,典型考题)A4思维导图问题：幂的运算知识归纳总结，1、自然数幂的定义。
①从1开始到 n（不包括0）这个范围内都是有限个相同因子组成的自然数叫做自然数；②正整数和零既不能被看作是自然数也不能被看作非自然数.只有正数才可以称为自然数。
③在所有自然数中，正整数有无穷多个，负整数有无穷多个。
这些无穷多个正整数和无穷多个负整数统称为整数。
2、整数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们就说 a 是一个正整数的指数幂。
例如：2^3，2^2…2^ n，其中， a 是整数， n 是自然数或者正整数．3、有理数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们还可以把它写成小数形式，即 a= a×(n/ m)，其中 m 是整数， n 是大于等于1的正整数。
当 a 的指数是正整数时，我们通常用字母 x 表示，而且小数部分的数值保留到整数部分后面。
例如：2^ x，2^ x…2^(x-1)，其中， x 是整数， x-1是小数点。
3、有理数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们还可以把它写成小数形式，即 a= a×(n/ m)，其中 m 是整数， n 是大于等于1的正整数。
当 a 的指数是正整数时，我们通常用字母 x 表示，而且小数部分的数值保留到整数部分后面。
例如：2^ x，2^ x…2^(x-1)，其中， x 是整数， x-1是小数点。
4、对于实际问题，应该先计算出各种可能的结果，再利用公式进行推导。
5、要求，每条推论的前提必须是正确的，但在解决具体问题时，我们往往会忽略掉某些条件，使得最终的结果与预期的存在偏差。
因此，遇到需要运用公式进行推导的问题时，一定要先判断好已知条件的真假性，否则会影响到最终结果的准确性。
第八章-幂的运算知识点总结及习题
第八章 幂的运算8.1 同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 ()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数 注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1： 计算列下列各题（1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单：一选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ4 2. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5 ④p 2+p 2+p 2=3p 2 正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
2、 b 2·b ·b 7=________。
3、103·_______=10104、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。
5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。
幂的运算总复习
幂的运算第一部分 知识梳理一、 同底数幂的乘法1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
公式表示为：+m n m n a a a ⋅=()m n 、都是正整数2. 同底数幂的乘法可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=()m n p 、、都是正整数。
注意点：（1) 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数。
（2) 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.二、 幂的乘方和积的乘方1. 幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
公式表示为：()()m n mn a a m n =，都是正整数。
幂的乘方推广:[()]()m n p mnp a am n p =，，都是正整数2．积的乘方积的乘方，把积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
公式表示为：()()n n n ab a b n =是正整数积的乘方推广：()()n n n n abc a b c n =是正整数注意点:（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.（3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果。
（4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 三、 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法 : 同底数幂相除,底数不变，指数相减。
公式表示为：(0)m n m n a a a a m n m n -÷=≠>，、是正整数，且同底数幂的除法推广：(0)m n p m n p a a a a a m n p m n p --÷÷=≠>+，，、、是正整数 2．零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1： 用公式表示为：01(0)a a =≠3．负整数指数幂的意义:任何不等于0的数的()n n -是正整数次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.(先进行幂的运算然后直接倒数）： 用公式表示为:1(0)n na a n a -=≠，是正整数 4．绝对值小于1的数的科学记数法对于绝对值大于0小于1的数，可以用科学记数法表示的形式为10na -⨯，其中110a ≤<,n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（含整数位上的零）所决定。
幂的运算知识点练习
幂的运算（提高）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中m ，n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（m ，n ，p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n aa a +=⋅（m ，n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中m ，n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，m ，n ，p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到 底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、同底数幂的除法n m n m a a a -=÷n m a ，，0(≠为正整数正整数，并且)n m >.即同底数幂相除，底数不变，指数相减.要点五、零指数幂()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点六、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质例1 计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）23(2)(2)x y y x -⋅-类型二、幂的乘方法则例2 计算：（1）23[()]a b -- （2）32235()()2y y yy +-（3）22412()()m m xx -+⋅ （4）3234()()x x ⋅例3 已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．变式 已知322,3m m ab ==，则()()()36322m m m m a b a b b +-⋅= ．类型三、积的乘方法则 例4 计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-变式 下列等式正确的个数是（ ）．①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a = ④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个类型四、同底数幂的除法性质例5 计算：（1）a a a a ⨯÷⨯325 （2）3)()()(b a b a b a n +++÷+（n 为正整数）变式 2)()()(y x y x y x y x --÷+÷+（x ，y 均为正整数）。
《幂的计算》知识点及题型归纳
一、幂的计算1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-3、幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(==如：23326)4()4(4==4、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=（ ） 题型1 同底数幂的乘法 n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）例1 计算：（1）81010⨯ （2）()()33x x -∙- （3）a a a a n n n ∙∙∙++12(4) 化简（-a 2）3的结果是（ ） (5) 计算-（-3a ）2的结果是（ ）（6）已知x m ·x n ·x 3＝（x 2）7，则当n ＝6时m ＝_______．例2计算：（1）()()5322+∙+b b （2）()()3222x y y x -∙-例3已知m x =+22，用含m 的代数式表示x 2题型二 幂的乘方 mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）例4 （1）()2m a（2）()[]43m -题型三 积的乘方n n n b a ab =)(（n 是正整数）例5 计算：()()3223x x-∙- （2） (-xy 2)2＝ .例6 计算：（1）()4xy - （2）()3323b a -例7 已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。
例8 计算： （1）200820099910010099⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()315152125.0⨯例9 比较大小：（1）比较大小：3334445555,4,3（2）已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的大小关系是（）。
《幂的运算》知识点归纳及例题解析
幂的运算【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)342)2()2()2(b a b a b a -⋅-⋅-(2)45)3()3(y x x y -⋅-．【答案与解析】解：（1）11342342)2()2()2()2()2(b a b a b a b a b a -=-=-⋅-⋅-++． （2）94545)3()]3([)3()3()3(x y x y x y y x x y -=--⋅-=-⋅-【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y yy +-； （3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--． （2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．【答案与解析】 解：根据2x =23（y+2），32y =3x ﹣9， 列方程得：，解得：，则x+2y=11． 【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三：【变式】已知322,3m m ab ==，则()()()36322m m m m a b a b b +-⋅＝ ． 【答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5. 类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是（ ）①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a = ④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3618327a a =；()()5712135107103510 3.510⨯⨯⨯=⨯=⨯【变式2】计算：（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2（2）（2）20•（）21．【答案】（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2=a4•9a6＋16a10=9a10＋16a10=25a10；（2）（2）20•（）21．=（×）20•=1×=．5、已知x2m=2，求(2x3m)2﹣(3x m)2的值．【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14．【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．。
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幂的运算 知识点总结及考点强化练习
第一部分 知识梳理 一、 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式表示为：+m
n
m n
a a a
⋅=()m n 、都是正整数
2. 同底数幂的乘法可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即
m n p m n p a a a a ++⋅⋅=()m n p 、、都是正整数。
注意点：
（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.
（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.
二、 幂的乘方和积的乘方 1. 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式表示为：()()m n
mn
a a m n =，都是正整数.
幂的乘方推广：[()]()m n p
mnp a a m n p =，，都是正整数
2．积的乘方
积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式表示为：()()n n n ab a b n =是正整数 积的乘方推广：()()n n n n abc a b c n =是正整数 注意点：
（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.
（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”
区分开.
（3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果. （4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 三、 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法 ： 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
公式表示为：(0)m n m n
a a a a m n m n -÷=≠>，、是正整数，且
同底数幂的除法推广：
(0)m n p m n p a a a a a m n p m n p --÷÷=≠>+，，、、是正整数 2．零指数幂的意义:
任何不等于0的数的0次幂都等于1： 用公式表示为：01(0)a a =≠ 3．负整数指数幂的意义:
任何不等于0的数的()n n -是正整数次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.(先进行幂的运算然后直接倒数)： 用公式表示为：1
(0)n n a a n a
-=≠，是正整数 4．绝对值小于1的数的科学记数法
对于绝对值大于0小于1的数，可以用科学记数法表示的形式为10
n
a -⨯，其中110a ≤<，n
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（含整数位上的零）所决定. 注意点：
（1） 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了. （2） (0)a m n m n ≠>，、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉. （3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.
第二部分 例题精讲
考点1．幂的运算法则 例1． 计算
（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；
（4）2
232⎪⎭
⎫
⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+
变式 计算
（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；
总结: 考点2．幂的法则的逆运算
例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，
的大小
（3）计算：2013201253
()(2)135
⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值
变式
1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；
2．已知4432=--c b a ，求4)16
1
(84-⨯÷c b n 的值。
考点3．零指数幂与负整式指数幂
例3．把下列各数化为分数或小数的形式
（1）23-； （2）3(3)--； （3）25
()3
--； （4）34.810--⨯
变式
1.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，则0.0000065用科学记数法表示为 。
2.计算：450)2
3
()32()971(-÷--+
3.已知1)5(0=-y 无意义，且1023=+y x ，求x ，y 的值
考点4．幂的运算探究题
例4．观察下列算式： 221=，422=，823=，1624=，3225=，6426=，12827=，
25628=，……根据上述算式中的规律，你认为1032的末位数字应是
变式 运用所学的“幂的运算性质”：+m
n m n a
a a ⋅=，()m n mn a a =， ()n n n
ab a b =，
m n m n a a a -÷=。
（1）已知334455543===c b a ，，，比较a ，b ，c 的大小；
（2）已知32=a ，62=b ，122=c ，找出a ，b ，c 之间的等量关系； （3）试比较1417与1131的大小。
第三部分 强化训练
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A ．2232a a -=
B ．235()a a =
C ．369a a a ⋅=
D ．224(2)2a a = 2.下列运算正确的有（ ）
①241111
()()(2)(4)1222222
•=⨯⨯⨯=⨯=；②33a a a •=；③339x x x •=；
④4442y y y •=；⑤336b b b +=
A ．5个
B ．4个
C ．2个
D ．0个 3.下列计算中错误的有（ ）
5210)1(a a a =÷，55)2(a a a a =÷，33)3(0=，（4）236a a a ⋅=，235)())(5(a a a -=-÷-，
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 4.若1139273n n ⋅⋅=，则n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5.若37()()()()k m n m n m n m n -•-•-=-，则k 的值是
6.计算201320122
()(1.5)3
-⨯= .
7.计算()()2
23
2
a a -÷的结果是 。
8．要使(x －1)0－(x ＋1)-2有意义，x 的取值范围应满足 。
9. 最薄的金箔的厚度为0.000000091m ，用科学记数法表示为 m. 10.计算题
(1) ()()[]()()9
8
9
y x x y y x y x --÷-÷-+ (2)3232733(3)()(5)a a a a a -⋅+-⋅-
11.解答题
（1）6m n a +=，2n a =，求23m n a +的值．。