幂的运算 知识点总结及考点强化练习

幂的运算 知识点总结及考点强化练习

第一部分 知识梳理 一、 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式表示为：+m

n

m n

a a a

⋅=()m n 、都是正整数

2. 同底数幂的乘法可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即

m n p m n p a a a a ++⋅⋅=()m n p 、、都是正整数。

注意点：

（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.

（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.

二、 幂的乘方和积的乘方 1. 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式表示为：()()m n

mn

a a m n =，都是正整数.

幂的乘方推广：[()]()m n p

mnp a a m n p =，，都是正整数

2．积的乘方

积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式表示为：()()n n n ab a b n =是正整数 积的乘方推广：()()n n n n abc a b c n =是正整数 注意点：

（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.

（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”

区分开.

（3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果. （4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 三、 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法 ： 同底数幂相除，底数不变，指数相减.

公式表示为：(0)m n m n

a a a a m n m n -÷=≠>，、是正整数，且

同底数幂的除法推广：

(0)m n p m n p a a a a a m n p m n p --÷÷=≠>+，，、、是正整数 2．零指数幂的意义:

任何不等于0的数的0次幂都等于1： 用公式表示为：01(0)a a =≠ 3．负整数指数幂的意义:

任何不等于0的数的()n n -是正整数次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.(先进行幂的运算然后直接倒数)： 用公式表示为：1

(0)n n a a n a

-=≠，是正整数 4．绝对值小于1的数的科学记数法

对于绝对值大于0小于1的数，可以用科学记数法表示的形式为10

n

a -⨯，其中110a ≤<，n

由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（含整数位上的零）所决定. 注意点：

（1） 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了. （2） (0)a m n m n ≠>，、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉. （3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.

第二部分 例题精讲

考点1．幂的运算法则 例1． 计算

（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；

（4）2

232⎪⎭

⎫

⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+

变式 计算

（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；

总结: 考点2．幂的法则的逆运算

例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，

的大小

（3）计算：2013201253

()(2)135

⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值

变式

1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；

2．已知4432=--c b a ，求4)16

1

(84-⨯÷c b n 的值。

考点3．零指数幂与负整式指数幂

例3．把下列各数化为分数或小数的形式

（1）23-； （2）3(3)--； （3）25

()3

--； （4）34.810--⨯

变式

1.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，则0.0000065用科学记数法表示为 。

2.计算：450)2

3

()32()971(-÷--+

3.已知1)5(0=-y 无意义，且1023=+y x ，求x ，y 的值

考点4．幂的运算探究题

例4．观察下列算式： 221=，422=，823=，1624=，3225=，6426=，12827=，

25628=，……根据上述算式中的规律，你认为1032的末位数字应是

变式 运用所学的“幂的运算性质”：+m

n m n a

a a ⋅=，()m n mn a a =， ()n n n

ab a b =，

m n m n a a a -÷=。

（1）已知334455543===c b a ，，，比较a ，b ，c 的大小；

（2）已知32=a ，62=b ，122=c ，找出a ，b ，c 之间的等量关系； （3）试比较1417与1131的大小。

第三部分 强化训练

1. 下列运算中，正确的是（ ）

A ．2232a a -=

B ．235()a a =

C ．369a a a ⋅=

D ．224(2)2a a = 2.下列运算正确的有（ ）

①241111

()()(2)(4)1222222

•=⨯⨯⨯=⨯=；②33a a a •=；③339x x x •=；