“根的判别式”的种种应用
根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩， 此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大 题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =， 则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； 当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积 （1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−， 令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值． （1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−； （2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
一元一次方程根的判别式的应用
一元一次方程根的判别式的应用绥阳县郑场中学 刘汝超一元二次方程的判别式的应用非常广泛,为了使同学能熟练地运用判别式解题,列举几种典型的题目的解法,供学生参考:例1 m 为何值时,二次三项式x 2+2x +m (x 2-2x +1)-2是完全平方式。
解:原式可变为:(1+m )x 2+2(1-m )x +(m -2),其判别式为:△=4(1-m )2-4(1+m )(m -2)=4(3-m )要使原式为完全平方式,必须△=0即4(3-m )=0 故:m =3例2 若m 是有理数,k 为何值时,方程:x 2-4mx +4x +3m 2-2m +4k =0的根是有理根。
解:原方程可变形为x 2+4(1-m )x +(3m 2-2m +4k )=0△=16(1-m )2-4(3m 2-2m +4k )要使原方程为有理根,△应是完全平方式,而这时△是关于m 的二次三项式,要使△是完全平方式,又必须使它的判别式△’=0由△‘=36-4(4-4k )=20+16k =0解为k =-54例3 求方程组x +y =2 ①xy -z 2=1 ②的实数解。
解:由①得y =2-x 代入②得x 2-2x +z 2=0.③△=4-4(z 2+1)=-4z 2要使方程③有实数的解必须-4z 2≥0∴z 2≤0 即z =0代入③式得x =1代入①得y =1.・92・■数学∴方程组的解x =1y =1z =0也可以利用根与系数之间的关系构造新的一元二次方程去解。
例4 若a ,b ,c 是实数,求证方程:(x -a )(x -b )+(x -b )(x -c )+(x -c )(x -a )=0,解有实数根,并求出有等根的条件:证明:原方程可化为:3x 2-2(a -b +c )s +ab +bc +ca =0△=4(a +b +c )2-12(ab +bc +ca )=4(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca )=2[(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2〗≥0二方程根有实数根。
专题二：根的判别式的应用类型(一)-----根的情况(有答案)
专题二：根的判别式的应用类型（一）-----根的情况（有答案） ➢ 知识指引一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a ，b ，c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用.➢ 典型例题类型一：不解方程，用判别式判断根的情况【例1】一元二次方程x 2－5x ＋6=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】∵a=1，b=－5，c=6，∴∆=（－5）2－4×6=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【变式】关于x 的方程x 2－kx －2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【解答】由∆=（－k）2－4×1×（－2）=k2＋8．∵k2≥0，∴k2＋8＞0，即∆＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C．【例2】已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋2m2=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x=1是该方程的根，求代数式2（m－1）2＋3的值．【解答】（1）由题意，得∆=（4m）2－4•2m2=8m2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）把x=1代入方程得1－4m＋2m2=0，则2m2－4m=－1．∴2（m－1）2－3=2m2－4m＋2＋3=－1＋2＋3．【变式】关于x的一元二次方程x2+mx+m-3=0．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）∵方程的一个根为1，∴1+m+m-3=0，∴m=1；（2）依题意，得∆=m2-4（m-3）=m2-4m+12=（m-2）2+8＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．类型二：用判别式求字母系数的值或范围【例3】关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【解答】∵关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，∴∆=42－4×1×（－k）＞0，解得k＞－4，故答案为k＞－4．【变式】亮亮在解一元二次方程x2-6x+□=0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．1 B．0 C．7 D．9【解答】设常数项为c，根据题意，得△=（-6）2-4c≥0，解得c≤9，∴c的最大值为9．故选：D．【例4】已知关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0．（1）若a=0，不解方程，试判断这个方程根的情况；（2）若这个方程有两个实数根，求实数a的取值范围．【解答】（1）∵a=0，∴方程为－x2＋2x＋3=0．∵∆=22－4×（－1）×3=16＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0有两个实数根，∴∆=22－4×（a－1）×3≥0且a－1≠0，且a≠1．解得：a≤43【变式】关于x的一元二次方程x2－4x＋2n=0无实数根，则一次函数y=（2－n）x＋n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】由已知，得：∆=b2－4ac=（－4）2－4×1×（2n）=16－8n＜0，解得n＞2，∵一次函数y=（2－n）x＋n中，k=2－n＜0，b=n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．➢跟踪训练1.关于x的一元二次方程x2+（-k+2）x-4+k=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】∵△=（-k+2）2-4×1×（-4+k）=k2-4k+4+16-4k=k2-8k+20=k2-8k+16+4=（k-4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】根据题意，得∆=42－4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．3.当b－c=3时，关于x的一元二次方程2x2－bx＋c=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】∵b－c=3，∴c=b－3，∵2x2－bx＋c=0，∴∆=（－b）2－4×2×c=b2－8c=b2－8（b－3）=b2－8b＋24=（b－4）2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4.关于x的方程（a－3）x2－4x－1=0有两个不相等的实数根，则a的值范围是（）A．a≥－1且a≠3 B．a＞－1且a≠3 C．a≥－1 D．a＞－1【解答】根据题意得a－3≠0且∆=（－4）2－4（a－3）×（－1）＞0，解得a＞－1且a≠3．故选：B．5．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为．【解答】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，∴∆=b2－4ac=4＋4k=0，解得k=－1，故答案为－1．6.若关于x的一元二次方程（k－1）x2－x－1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．【解答】根据题意得：∆=b2－4ac=1＋4（k－1）=4k－3＞0，且k－1≠0，且k≠1．解得k＞34且k≠1．故答案为：k＞347.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4=0有两个相等实数根，则以k为边长的正方形的面积为．【解答】由题意得：∆=k2－4×4=0，解得：k2=16．则以k为边长的正方形的面积为16．故填：16．8.关于x的方程（a－5）x2－4x－1=0没有实数根，则a满足的条件是．【解答】由题意知，∆=（－4）2－4×（a－5）×（－1）＜0，且a－5≠0，解得：a＜1，故答案为a＜1．9.已知关于x的一元二次方程x2－mx－2m2=0．（1）若方程的一个根是1，求m的值；（2）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根．【解答】（1）将x=1代入x2－mx－2m2=0，得1－m－2m2=0．，m2=－1；解得m1=12（2）证明：∵a=1，b=－m，c=－2m2，∴∆=b2－4ac=（－m）2－4×1×（－2m2）=9m2．∵m2≥0，∴9m2≥0，∴不论m取何值，方程总有两个实数根．10.已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根，∴∆=（-3）2-4（a-1）=-4a+13≥0，解得a≤13，4；即a的取值范围是a≤134，∴整数a的最大值是3，（2）∵a的取值范围是a≤134把a=3代入方程x2-3x+a-1=0得：x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2．11.已知关于x的方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．【解答】（1）①当m=0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．∵∆=（5m-1）2-8m（3m-1）=（m-1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意，得∆=（m-1）2=1，解得m1=0，m2=2，∵m≠0，∴m=2．。
根的判别式的六种常见应用 (共15张PPT)
1. 已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 有无实数根． ∵x2－2x－m＝0没有实数根， 解： ∴Δ1＝(－2)2－4· (－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4· m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的
故当m为1时，▱ABCD是菱形． 1 2 此时原方程为x －x＋ ＝0， 4 1 解得x1＝x2＝ . 2 1 即菱形ABCD的边长为 . 2
(2)由题意知2是关于x的方程x2－mx＋
的一个根，
1 m － ＝0 4 2
1 m ∴将x＝2代入原方程得4－2m＋ － ＝0， 4 2 5 5 2 解得m＝ ，故原方程为x － x＋1＝0， 2 2 1 1 解得x1＝2，x2＝ . ∴AD＝ . 2 2 骣 1÷ 2+ ÷ 故▱ABCD的周长为2× ç ＝5. ç ÷ ç 桫 2
应用
6
利用根的判别式探求菱形条件
7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 1 m 2 x －mx＋ － ＝0的两个根． 4 2 (1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的
边长． (2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？
(1)由题意，得Δ＝0， 解： 骣 m 1÷ 2 2－2m＋1＝0. ç - ÷ 即m －4 ç ＝ m ç 桫 2 4÷ ∴m＝1.
应用
4 利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝ k－1 x＋1是关于x的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 ( A )
A．没有实数根
B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
培优专题03根的判别式的五种常见应用-原卷版
）．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx+a c 0 ，其中 a、b、c 分别为
A ABC 三边的下列关于这个方程的解和 A ABC 形状判断的结论错误的是（
）．
A．如果 x 1 是方程的根，则 A ABC 是等腰三角形 B．如果方程有两个相等的实数根，则 A ABC 是直角三角形 C．如果 A ABC 是等边三角形，方程的解是 x 0 或 x 1 D．如果方程无实数解，则 A ABC 是锐角三角形
15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于 x 的方程 x2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论 k 取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰 A ABC 的一边长 a 1，另两边 b 、 c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
◎应用四 与不等式结合
2a 1 1
16．（2022·云南昆明·二模）若
13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于 x 的一元二次方程
x2﹣kx+4=0 的两根，则 k=__．
14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于 x 的方程 x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角 形△ABC 一边长为 a＝6，另两边长 b，c 为方程两个根，则△ABC 的周长为_____．
◎应用二 求字母的值或取值范围
根据判别式，确定与 0 的关系，直接代入解不等式即可
6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于 x 的一元二次方程 k 2x2 2kx k 5 有实数根，则 k 的取值范
运用根的判别式解题
运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。
根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。
实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。
然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。
带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。
利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
典中点一元二次方程专训3 根的判别式的的六种常见应用
典中点一元二次方程专训3 根的判别式的的六种常见应用◐名师点金◑对于一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0),式子ac b 42-的值决定了一元二次方程的根的情况,利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况。
反过来,利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知方程022=--m x x 没有实数根,其中m 是实数,试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有无实 数根。
2.已知关于x 的方程01222=-+-m mx x 。
(1)不解方程,判断方程根的情况。
(2)若方程有一个根为3,求m 的值。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3.已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-x m mx .(1)证明:不论m 为何值,方程总有实数根;(2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?应用3：利用根的判别式求代数式的值4. 已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根,求m m m 2)12(12+--的值。
应用4：利用根的判别式解与函数综合问题 5.11+-=x k y 是关于x 的一次函数,则关于x 的一元二次方程0122=++x kx 的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有一个实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6.已知a,b,c 是三角形的三边长,且关于x 的一元二次方程04)(2=-+++c a bx x c a 有两个相等的实数根， 试判断此三角形的形状。
应用6：利用根的判别式探求菱形条件7.已知□ABCD 的两边AB,AD 的长是关于x 的方程04122=-+-m mx x 的两个根。
(1)m 为何值时,□ABCD 是菱形?并求出菱形的边长。
(2)若AB 的长为2,求口ABCD 的周长是多少?。
根的判别式的十种常见应用(专题)
根的判别式的十种常见应用(专题)本文存在格式错误，如“2x2”应为“2x^2”，“”应为“-”，“x2m”应为“x+2m”等。
同时，第一段话中的“练1”、“（1）”、“（2）”等应该是列表或者编号，需要进行排版。
删除明显有问题的段落后，改写每段话如下：类型一：不解一元二次方程，判别根的情况。
考虑以下两个方程：2x^2-3x+4和ax^2-bx（a≠0）。
练1为判断以下一元二次方程的根的情况：x^2-2kx+4(k-1)、ax^2+bx（a≠0）和ax^2+c（a≠0）。
类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围。
考虑关于x的方程x^2-4x+k-5，根据方程的根的情况，可以确定k的值或取值范围。
练2需要证明，不论m取何值，关于x 的方程(x-1)(x-2)=m^2总有两个不相等的实数根。
类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根。
考虑关于x的方程(m^2+1)x^2-2mx+(m^2+4)，需要证明该方程没有实数根。
类型四：应用根的判别式判断三角形的形状。
已知三角形的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2的两个实数根，第三边长为5.练4需要判断，已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c-b)x^2+2(b-a)x+(a-b)有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式。
考虑以下两个二次三项式：16a^2+ka+25和ka^2+4a+1.练5需要求解，若关于x的二次三项式x^2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a的值为多少。
类型六：判断抛物线与直线的交点情况。
考虑以下两个方程：y=x^2+2x+m-1和y=x+2m。
练6需要求解，已知抛物线y=2x^2，直线y=kx+b经过点(2,6)。
若直线和抛物线只有一个交点，则求直线的解析式。
同时需要判断，当k取何值时，直线和抛物线没有交点。
类型七：判断抛物线与x轴的交点情况。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式是一个重要的知识点，有极为广泛的应用．下面举例说明判别式的几种常见应用．一、判断方程根的情况例1 方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个根为零分析：由041329)4(243422>=+=-⨯⨯-=-ac b 知方程有两个不相等的实数根．二、证明方程根的情况例2 已知关于x 的方程0)12()2(2=+--+m x m x ，求证：无论m 取什么数，这个方程总有两个不相等的实数根．分析：由++=+++-=+-⋅--=-m m m m m m m ac b 44844)]12([4)2(42222 04)2(82>++=m ，所以不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．三、判断方程中未知系数的取值范围例 3 已知关于x 的一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．分析：由题意得⎩⎨⎧>-⋅---≠-.0)1()1(4)2(,012k k 解得2<k 且1≠k ． 所以k 的取值范围是2<k 且1≠k ．四、确定二次三项式是完全平方式的条件例4 已知关于x 的二次三项式1)1(2+++mx x m 是一个完全平方式，求m 的值．分析：因关于x 的二次三项式1)1(2-++mx x m 是一个完全平方式，故关于x 的方程01)1(2=-++mx x m 有两个相等的实数根，所以0)1(4422=++=-m m ac b ，解得2-=m ．五、讨论两函数图象的交点情况例5 直线2-=x y 与双曲线xy 6=有没有交点？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．分析：要判断直线与双曲线有没有交点，只要看它们的解析式组成的方程组有没有实数根，即看消去y 的方程0622=--x x 有无实数解，易知=-⨯--=-)6(4)2(422ac b 28>0,故直线与双曲线有交点.一元二次方程根的判别式还有其它方面的应用,这里不在一一举例,但同学们学习时要注意根的判别式与其它知识之间的联系和区别,掌握将所研究的问题转化为一元二次方程问题的方法，通过对知识的归纳、整理进一步提高分析问题解决问题的能力．巧变一元二次方程妙求值一些条件中含有（或可转化为）一元二次方程的题目，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．现举例说明如下．1． 把方程)0(02≠=++a c bx ax 变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体的消去x例1 已知a 是方程012=-+x x 的根，则1332-+x x 的值为__________.解:由题设知12=+x x ，原式=2131)(32=-=-+x x ．2. 把方程)0(02≠=++a c bx ax 变形为c bx ax --=2，代换后使降幂或升幂. 例2设215+=x ，则431xx x ++=__________. 解: 由题设得5)12(2=-x ，整理得21x x =+.所以，原式=11222423==+=+xx x x x x x . 3. 把方程)0(02≠=++a c bx ax 直接作零值代换，使问题化繁为简.例3 若n m 、是方程0720062=++x x 的两个根，那么(+++22)(62005n m m )82007+n 的值等于____________.解:由题设知0720062=++m m ，0720062=++n n 及.7,2006=-=+mn n m所以，原式=)(172006(2--++m m m )1720062++++n n n=)(1(--m )1+n=)1(+++-n mn=1998)120067(=+--。
专练3+根的判别式的八种常见应用课件+2023-2024学年人教版九年级数学(下)提分专练
3.已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是 整数)．
(1)求证：方程有两个不等的实数根．
【点拨】 根据所给方程求出判别式Δ，再证明判别式Δ>0；
【证明】∵a＝k≠0，b＝－(4k＋1)，c＝3k＋3， ∴Δ＝[－(4k＋1)]2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2. ∵k是整数，∴2k－1≠0.∴Δ＝(2k－1)2>0. ∴方程有两个不等的实数根．
【解】∵x2－2x－m＝0没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1. ∴对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
【点方法】
由x2－2x－m＝0无实数根得出m＜－1，从而得 到方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的判别式的值－ 4m＞4，故该方程有两个不相等的实数根．
【解】△ABC是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0， ∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形．
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程 的根． 【解】如果△ABC是等边三角形，那么a＝b＝c． 当a＝b＝c时，原方程可整理为2ax2＋2ax＝0. ∴x2＋x＝0.解得x1＝0，x2＝－1.
(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 ＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5， 把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5； 把m＝－1代入3m2＋3m＋5得 3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5. 综上，原代数式的值为5.
1. 已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是 实数，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无 实数根．
根的判别式的十种常见应用(专题)
第3讲：根的判别式的十种常见应用--专题二 类型一：不解一元二次方程，判别根的情况（1）04322=+-x x （2）)0(02≠=-a bx ax练1. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．（1）0)1(422=-+-k kx x （2）)0(02≠=+a bx ax （3）)0(02≠=+a c ax类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围k 为何值时，关于x 的方程0542=-+-k x x（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）没有实数根练2. 证明：不论m 取何值时，关于x 的方程2)2)(1(m x x =--总有两个不相等的实数根类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根求证：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。
练3. 若关于x 的一元二次方程022=-+k x x 没有实数根，则k 的取值范围是？类型四：应用根的判别式判断三角形的形状已知三角形的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边长为5.（1）当k 为何值时，三角形ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）当k 为何值时，三角形ABC 是等腰三角形？并求三角形ABC 的周长。
练4. 已知c b a ,,，是三角形的三条边长,且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c ,有两个相等的实数根,试判断三角形的形状？类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式（1）若关于a 的二次三项式25162++ka a 是一个完全平方式，求k 的值；（2）若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式，求k 的值。
练5. 若关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值为多少？类型六：判断抛物线与直线的交点情况当m 取何值时，抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点？练6. 已知抛物线22x y =,直线b kx y +=经过点(2,6)。
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。
如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根判别式△＝b2－4ac在中学数学中有着广泛的应用。
一、在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。
但用判别式“△”来解就简单了。
比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。
解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-5y+6)=0把x看成未知数△=m2-4×1×[-(y2-5y+6)]=4ｙ2－２0y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积,△必须是一完全平方式即(-２0)2-4×4(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=±1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。
一个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。
就要看这个二次三项式对应的一元二次方程的根判别式△＝b2－4ac的情况,若△≥0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果△＜0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当△=0时,二次三项式是一个完全平方式。
如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。
解:令3x 2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, △=b 2-4ac=(-4)2-4×3×2k=16-24k(1) 当△≥0,即16-24k ≥0,得k ≤32时,二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0,即16-24k ＜0,k ＞32时二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内不能分解因式；(3)当△=0,即16－4k=0, k=32时二次三项式3x 2-4x+2k 是一个完全平方式。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
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“根的判别式”的种种应用
学习了一元二次方程的求根公式以后，为了研究问题的方便，我们把一元二
次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式x＝
a ac
b b
2
4 2-
±
-
中的b2－4ac称做为根的判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根的判别式来判别根的情况.而事实上，一元二次方程根的判别式还许多其它的应用，为方便同学们的学习，现举例说明.
一、不解方程，判断根的情况
例1已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.…①
（1）若x＝－1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由.
解（1）因为x＝－1是方程①的一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1.
所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程的另一根为x＝2.
（2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0，
所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根.
说明运用根的判别式时，必须注意化方程为一元二次方程的一般形式，明确a，b，c的值.
二、确定字母系数的范围
例2已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是＿＿＿.
解因为于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1.
说明利用根的判别式解题时，若原一元二次方程的二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件的限制.
三、字母系数的值
例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x+m－1
2
＝0有两个相等的
实数根？此时这两个实数根是多少？
解 因为关于x 的一元二次方程x 2－4x +m －
12
＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(－4)2－4(m －12)＝0，即16－4m +2＝0，解得m ＝92
. 当m ＝92时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝2. 说明 利用方程有等根来解决具体的问题是中考的一个热点，同学们一定要注意体会并熟练地运用.
四、判断三角形的形状
例4 已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2+bx +4
a c -＝0有两个相等的实数根，试判断以a ，
b ，
c 为三边长的三角形的形状，并说明理由.
解 因为关于x 的一元二次方程(a +c )x 2+bx +
4a c -＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝b 2－4×(a +c )×4
a c -＝
b 2－a 2+
c 2＝0，即b 2+c 2＝a 2， 所以以a ，b ，c 为三边长的三角形是直角三角形.
说明 这里运用根的判别式时，无需强调二次项系数问题，这是由于a ，b ，c 为某一三角形三边的长，另外，应注意勾股定理的逆定理的运用.
五、确定整数解
例5 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4＝0与x 2－4mx +4m 2－4m －5＝0的根都是整数.
解 因为给定的关于x 的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m ≠0.
又由于方程均有实数根，所以Δ1＝(－4)2－4m ×4≥0，解得m ≤1.
Δ2＝(－4m )2－4×1×(4m 2－4m －5)≥0，解得m ≥－
54， 所以－54
≤m ≤1，又m 是整数，且m ≠0，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，方程mx 2－4x +4＝0变形为x 2－4x +4＝0，
解得方程的根为x ＝－2±，它的根不是整数，故m ＝－1舍去.
当m ＝1时，方程mx 2－4x +4＝0的两个根为x 1＝x 2＝2；
方程x 2－4mx +4m 2－4m －5＝0根为x 1＝5，x 2＝－1，均为整数，所以m ＝1. 说明 本题设虽然比较简单，但求解起来还是比较麻烦，应根据方程整数系
数和整数根的特点，注意分类讨论.。