a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
3.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，
∴顶点是）
，（a
b a
c a b 4422
--，对称轴是直线a b x 2-=. （2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称
图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
例：若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称 轴方程可以表示为：12
2
x x x +=
4.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，与2ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.
由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线： 故：
①0=b 时，对称轴为y 轴；
②0000<<>>b a b a ，或者，（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；
③0000><<>b a b a ，或者，（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①0=c ，抛物线经过原点;
②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式(不要求掌握)：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.
6.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线的交点：当x=0时，代入c bx ax y ++=2得(0, c ). （2）x 轴与抛物线的交点：当y=0时，代入c bx ax y ++=2得二次函
数
c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，则交点坐标
a
b
x 2-
=
为(1x ，0),(2x ,0).
而抛物线与x 轴的交点个数情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔(042>-ac b )
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(042=-ac b ) ③没有交点⇔(042<-ac b )
（3）平行于x 轴的直线（如：y=2）与抛物线的交点。
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交 点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
（4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()
02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 ⎩
⎨⎧++=+=c bx ax y n
kx y 2
的解的个数来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x
轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a
c
x x a b x x =⋅-=+2121,
()
()
a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB 44422
212
212
2121-=
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=
-=
-=
7.求最值
二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式
a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=，
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a
b
x 2-
=，
a
b a
c y 442
-=
最小值
；当0b a
c y 442
-=
最大值
．
（2）如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，
①如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a
b
x 2-
=， a
b a
c y 442
-=
最值
， ②如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的 增减性；
1.如果在此范围内y 随x 的增大而增大，
则当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； 2.如果在此范围内y 随x 的增大而减小，
则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最小．
8.几个等价的命题：
（1）二次函数的值恒大于零⇔抛物线在x 轴上方⇔a>0,ac b 42-<0 （2）二次函数的值恒小于零⇔抛物线在x 轴下方⇔ a <0，
ac b 42-<0
9.二次函数的性质 课本第21页表1-4 10.
平移的规律：
1）一般地,抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与2ax y =的形状相同,位置不同. 平移法则：左加右减、上加下减。
