2020-2021学年山西省长治市第二中学校高二第一学期第一次月考数学(文)
1.4分子动能和分子势能(原卷版+解析)
1.4分子动能和分子势能同步练习一、单选题1．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）把一个物体竖直下抛，下列哪种情况是在下落的过程中发生的（不考虑空气阻力）（）A．物体的动能增加，分子的平均动能也增加B．物体的重力势能减少，分子势能却增加C．物体的机械能保持不变D．物体的内能增加2．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）下列说法中不正确的是（）A．显微镜下观察到墨水中的小碳粒在不停的做无规则运动，这反映了液体分子运动的无规则性B．分子间的相互作用力随着分子间距离的增大而减小C．分子势能随着分子间距离的增大，可能先减小后增大D．在真空、高温条件下，可以利用分子扩散向半导体材料掺入其它元素3．（2022·黑龙江·兰西县榆林镇高级中学高二阶段练习）下列说法正确的是（）A．一定质量的100 ℃的水变成100 ℃的水蒸气，其分子势能不变B．分子平均速率大的物体的温度比分子平均速率小的物体的温度高C．温度相同的氧气和氢气，氢气的内能一定大D．一定质量气体的内能等于其所有分子热运动动能和分子势能的总和4．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习）关于物体的内能，下列说法正确的是（）A．温度高的物体内能大B．物体的内能不可能为0C．物体运动得越快，内能越大D．温度相同的氢气和氧气，分子平均动能相等，内能也相等5．（2022·湖北湖北·高二阶段练习）关于分子动理论，下列说法中正确的是（）A．两个分子间的距离小于0r（0为平衡位置）时，它们之间只有引力作用r rB．分子距离越大，分子势能越大，分子距离越小，分子势能越小C．布朗运动是液体分子的无规则运动D．A、B两物体的温度相同时, A、B两物体的内能可能不同，分子热运动的平均速率也可能不同6．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）一个铁球和一个冰球的温度相同，且其质量相等，则（）A．它们的分子平均动能一定相等B．它们的分子运动的平均速率一定相等C．冰球的体积大，水的分子势能大D．它们的内能一定相等7．（2022·江苏·金陵中学高二阶段练习）关于分子动理论，下列说法中正确的是（）A．图甲“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中，应先滴油酸酒精溶液，再撒痱子粉B．图乙为水中某花粉颗粒每隔一定时间位置的折线图，表明该花粉颗粒在每段时间内做直线运动C．图丙为分子力F与其间距r的图像，分子间距从r0开始增大时，分子力先变小后变大D．图丁为大量气体分子热运动的速率分布图，曲线℃对应的温度较高8．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）严冬时节，梅花凌寒盛开，淡淡的花香沁人心脾。
小练习-pH相关计算(练习题有答案)
pH相关计算1．（上海市浦东新区2019年高中学业水平合格考）常温下，pH＝3的盐酸与pH＝5的盐酸中，H＋的物质的量浓度之比为A．3∶5B．1∶100C．100∶1D．5∶32．（海南省海南枫叶国际学校2018-2019学年高二下学期期中考试）将pH＝2和pH＝5的稀盐酸等体积混合，混合后溶液的pH约为A．7B．4.7C．3.5D．2.33．（杨镇一中2018-2019高二6月月考）常温下，将0.1mol/L的盐酸和0.06mol/LBa(OH)2溶液等体积混合，所得混合液的pH为A．1.7B．12C．12.3D．134．（吉林省白城市第一中学2018-2019学年高一6月月考）常温时，将pH为5的HCl溶液与pH为2的H2SO4溶液等体积混合后，溶液的氢氧根离子浓度最接近于A．2×10-12mol/L B．1/2(10-9+10-12)mol/LC．(10-9+10-12)mol/L D．1/2(10-5+10-2)5．（浙江省诸暨市牌头中学2018-2019学年高一下学期期中考试）将pH=1的盐酸与pH=11的NaOH溶液按体积比为1：9混合，混合后溶液的pH约为A．2B．6C．7D．106．（河南省林州市第一中学2019-2020学年高二9月月考）1体积pH＝2.5的盐酸与10体积某一元强碱溶液恰好完全反应，则该碱溶液的pH等于（）A．9.0B．9.5C．10.5D．11.57．（河北省大名县第一中学2019-2020学年高二10月月考）某温度下，溶液中由水电离出氢离子的浓度为1×10－12mol·L－1，下列说法正确的是（）A．该溶液pH＝12B．该溶液pH＝2C．该溶液pH＝12或2D．不能确定溶液pH8．（四川省遂宁市2018-2019学年高二下学期期末考试）现有pH=a和pH=b的两种强碱溶液，已知b=a+2，将两种溶液等体积混合后，所得溶液的pH接近于A．a－1g2B．b－1g2C．a+1g2D．b+1g29．（山西省长治市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考）常温下，向一定体积0.01mol/L的Ba(OH)2溶液中逐滴加入一定物质的量浓度的NaHSO4溶液，当溶液中的Ba2+恰好完全沉淀时，溶液pH=11。
山西省长治市第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(解析版)
【解析】
【分析】作出直观图的平面图形，判断直观图与平面图形的形状和数据之间的关系，求出平面图形的面积即可.
【详解】在 中， ，
直观图恢复原图如下：
则 ， ，
，
故答案为：
15.若圆锥底面半径为1，高为 ，其中有一个内接正方体 ，其中 、 、 、 四点在圆锥底面上， 、 、 、 在圆锥侧面上，则这个正方体的棱长为______．
2.已知 ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出 ，再根据平面向量平行的坐标运算即可求得.
【详解】 ，因为 ，所以 .
故选：C.
3.已知直线 和平面 ，下列说法正确的是（）
A.如果 ，那么 平行于经过 的任意一个平面．
B.如果 ，那么 平行于平面 内的任意一条直线．
C.若 ，则 ．
D.若 且 ，则 ．
【答案】D
【解析】
【分析】A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定的位置关系
【详解】选项A中，由 推出 平行于经过 的任意一个平面，需要增加一个条件，即 不在 所在的面内，A选项没有这一限制条件，所以A错误
A. B.
C. 的最大值为1D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A.由 ，可得 可判断；选项B.过 作 交 于点 ，所以 ,结合条件可判断；选项C.由B结合均值不等式可判断；选项D.由 结合均值不等式可判断.
【详解】选项A.由 ，可得
所以 ，故A正确.
选项B.过 作 交 于点
所以 ,由这两式可得
由 ，则 ， ，
山西省长治市第二中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考语文试卷
2022—2023学年第一学期高二第一次月考语文试题【本试题分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅰ卷（表达题）两部分。
满分150分，考试时间150分钟。
】第I卷（阅读题共72分）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
儒学作为一种社会意识或学术形态，是不断演变和发展的。
先秦时期的儒学，只是诸子百家中的一家。
到了汉代，儒学成了经学的支柱。
魏晋时期的儒学则受了玄学的影响。
宋明时期的儒学，主因经以识义理，被称为宋学。
清代儒学在发展过程中，又演变为汉学，但又不同于汉代的经学。
近代的儒学，因受西学的影响，又有自己的特点。
纵观两千多年的学术史，从来就没有一成不变的儒学。
每一时期的儒学，又分化为许多流派，相互争论。
我们不能依儒学中的某一流派的思想谈儒学的特点，也不能脱离与其对立的学派谈儒学的特质。
儒学特质的具体表现为：第一，厚人生，黜彼岸。
儒学总是关心或重视人间即生人的生活，而不追求或向往死后或来世的幸福。
此种现实主义人生观始于孔子。
如关于鬼神，孔子说：“未能事人，焉能事鬼？”“未知生，焉知死。
”（《论语•先进》）他认为应致力于生人之事，不必追问死后之事。
第二，明伦理，主自律。
无论哪一派儒学都提倡伦理教化和道德修养，以此来调整人际关系，并以圣人为人格的最高标准。
儒家所推崇的圣人，是指道德境界最高尚的人。
孔子、孟子、荀子都以此自勉，并教育其学生。
儒家学者，都是伦理学家，其著述皆谈道德问题。
在儒家看来，道德是人与动物的根本区别，“饱食暖衣，逸居而无教则近于禽兽”（《孟子•滕文公上》）。
就维持生产和生活来说，道德贵于刑罚或法律的制裁，“德教行而民康乐”，“法令极而民哀戚”（《大戴礼记•礼察》）。
这两条为后来儒家学者所发扬。
第三，合人群，辨等差。
儒学各派都将社会看成是集合体，认为个人总是生活在群体之中，或为家族或为国家或为天下中之一员，群体受到损坏，个人的生活也就失去了保障。
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题文(含解析)
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题文（含解析）时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（请将该卷答案写在答题纸上）一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）1. 集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，分别求得集合，再结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，，，根据集合的交集的概念及运算，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域与值域求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由指数函数的单调性可知，但由于的符号不能确定是否一致，所以不能推出，同理也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.考点：充分条件与必要条件．3. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】奇函数的B、C、D，在区间内单调递减的函数是B4. 已知，则的单调增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在满足的条件下，函数的减区间即为所求，利用二次函数的性质，得出结论．【详解】因为在递减，所以的单调增区间，即为函数在满足的条件下，函数的减区间．由可得或，所以函数在满足的条件下，的减区间为，所以的单调增区间是，故选：B．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．5. 函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点，（1）处的切线的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【详解】，设，则，．．得，在，（1）处的切线斜率为．函数在，（1）处的切线方程为，即．故选：．【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点处的切线的斜率．6. 函数，的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可．【详解】函数，令，由可得，，由二次函数可知当时，单调递增，当时，函数取最小值，故选：．【点睛】本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题．7. 函数在定义域R内可导，若且，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.【详解】，即，函数关于对称，当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增.，，，故.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.8. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，即可求出结果．【详解】由，可得．则．故选：C．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．属于基础题.9. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程一个近似根（精确到0.1）为（）A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.5【答案】A【解析】【分析】由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．【详解】由表格中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选：A．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．10. 若定义在R的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用求出函数的周期，然后由周期性求解函数值即可．【详解】定义在上的奇函数满足，可得，所以函数的周期是4，当时，，则（1）．故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．11. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.【详解】根据可得，可转化为，又，所以，即，因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.12. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围.【详解】由，得，所以函数的定义域为，再由，得：，要使函数在内是单调减函数，则在上恒小于等于0，因为，令，则在上恒大于等于0，函数开口向上，且对称轴为，所以只有当，即时，恒成立，所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题.第Ⅱ卷非选择题（请将该卷答案写在答题纸上）二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）13. 命题“对任意，都有”的否定为__________．【答案】存在，使得【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：命题“对任意，都有”的否定为存在，使得. 14. 函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】求导得到，得到函数的单调区间，再计算极值的正负判断得到答案.【详解】，故，故函数在和上单调递增，在上单调递减，函数的极大值，函数的极小值，当时，，故函数共有1个零点故答案为：1.【点睛】本题考查了利用导数计算函数零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.15. 条件，条件，则p是q的__________条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式解法，分别求得对应的集合，结合集合间的包含关系，即可求解.【详解】由不等式可化为，解得，即不等式的解集为，又由，解得，即不等式的解集为，可得是的真子集，所以p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，以及一元二次不等式和分式不等式的求解，其中解答中结合不等式的解法，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 已知，若，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.三、解答题（简答题）（共6题，总分70分）17. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角就是将角的终边顺时针旋转得到，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数定义结合诱导公式计算得到答案.（2），带入式子利用诱导公式化简，带入数据得到答案.【详解】（1）根据题意：，，，.（2）根据题意：，故.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.18. 已知函数，.（1）若函数是单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数的最大值是2，求实数的值.【答案】(1)；(2)3或.【解析】试题分析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，据此可得实数的取值范围是；(2)分类讨论，，三种情况可得实数的值3或.试题解析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，结合题意可得或，即实数的取值范围是；（2）分类讨论：当时，函数在区间上单调递减，函数的最大值：；当时，函数在区间上单调递增，函数的最大值：；当时，函数在对称轴处取得最大值，即：，解得：或，不合题意，舍去；综上可得实数的值3或.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．19. 已知函数，其中.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）时，减区间是，时，减区间是，增区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）这是一个利用导数研究函数的单调区间的问题，应先确定函数的定义域，然后再对函数求导，并分别针对的不同取值进行讨论，就可得到的单调区间；（2）首先根据关系式把从中分离出来，再通过构造函数并求出其最值，即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）因为若则对恒成立，所以，此时的单调递减区间为；若，则时，所以，单调递减区间为，单调递增区间为；（2）因为，所以，，即若存在，使得成立，只需的最小值设，则时，所以在上减，在上增，所以时，取最小值所以.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间；3、最值.【思路点晴】本题是一个利用导数研究函数的单调区间、求极值等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先应根据函数关系式求出函数的定义域，再对函数进行求导，并针对实数的不同取值加以讨论，就可以得到函数的单调区间；至于第二问求的取值范围，解决问题的切入点是不等在上有解，然后再结合构造函数并求其最值即可得到的范围.20. 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和，试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）的最大值．【答案】当产量为时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元．【解析】【分析】生产利润，列出关于的表达式，然后利用导数分析的最大值.【详解】解：，即，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：1极小值↗极大值由上表可知：是函数w的唯一极大值点，也是最大值点．所以，当时，w取得取最大值．【点睛】本题考查利润最值问题，考查利用导数分析求解函数的最值问题,难度一般.21. 已知函数．（1）设是的极值点．求a的值，并讨论的零点个数；（2）证明：当时，．【答案】（1），有两个零点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导得到，根据得到，再计算函数单调区间，计算极值得到函数零点个数.（2）设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【详解】（1）的定义域为，．由题设知，，所以．从而，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．，∵，，所以有两个零点．（2）当时，，设，则．当时，；当时，．所以是的最小值点，故当时，．因此当时，．【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，函数的零点问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.选做题（本小题满分12分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．）22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若曲线C上到直线的距离为1的点有3个，求m的值．【答案】（1）直线的直角坐标方程为，圆C的普通方程为；（2）或．【解析】【分析】（1）将直线的极坐标方程利用余弦的两角差的公式展开，再将代入便可得到的直角坐标方程；将曲线的参数方程消去便可得到普通方程.（2）若曲线上到直线距离为的点有个，则圆心到直线的距离为，然后利用点到线距离公式求解.【详解】解：（1）由（为参数）得:，而，即．所以直线的直角坐标方程为，圆C的普通方程为．（2）由于圆C的半径为3，根据题意，若圆C上到直线的距离为的点有个，则圆心到直线的距离为，可得，解得或．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化，考查圆上的点到直线的距离问题，考查点到线距离公式的运用，难度一般.23. 选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，利用零点分段法，分三段去绝对值解不等式；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式，令最小值求的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）当时，.由得.当时，不等式可化为，即，其解集为；当时，不等式可化为，不可能成立，其解集为；当时，不等式可化为，即，其解集为.综上所述，的解集为.（Ⅱ）∵，∴要，成立.则，∴或.即的取值范围是.2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题文（含解析）时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（请将该卷答案写在答题纸上）一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）1. 集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，分别求得集合，再结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，，，根据集合的交集的概念及运算，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域与值域求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由指数函数的单调性可知，但由于的符号不能确定是否一致，所以不能推出，同理也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.考点：充分条件与必要条件．3. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】奇函数的B、C、D，在区间内单调递减的函数是B4. 已知，则的单调增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在满足的条件下，函数的减区间即为所求，利用二次函数的性质，得出结论．【详解】因为在递减，所以的单调增区间，即为函数在满足的条件下，函数的减区间．由可得或，所以函数在满足的条件下，的减区间为，所以的单调增区间是，故选：B．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．5. 函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点，（1）处的切线的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【详解】，设，则，．．得，在，（1）处的切线斜率为．函数在，（1）处的切线方程为，即．故选：．【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点处的切线的斜率．6. 函数，的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可．【详解】函数，令，由可得，，由二次函数可知当时，单调递增，当时，函数取最小值，故选：．【点睛】本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题．7. 函数在定义域R内可导，若且，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.【详解】，即，函数关于对称，当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增.，，，故.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.8. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，即可求出结果．【详解】由，可得．则．故选：C．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．属于基础题.9. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程一个近似根（精确到0.1）为（）A. 1.4B. 1.3C. 1.2D. 1.5【答案】A【解析】【分析】由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．【详解】由表格中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选：A．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．10. 若定义在R的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用求出函数的周期，然后由周期性求解函数值即可．【详解】定义在上的奇函数满足，可得，所以函数的周期是4，当时，，则（1）．故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．11. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.【详解】根据可得，可转化为，又，所以，即，因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.12. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围.【详解】由，得，所以函数的定义域为，再由，得：，要使函数在内是单调减函数，则在上恒小于等于0，因为，令，则在上恒大于等于0，函数开口向上，且对称轴为，所以只有当，即时，恒成立，所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题.第Ⅱ卷非选择题（请将该卷答案写在答题纸上）二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）13. 命题“对任意，都有”的否定为__________．【答案】存在，使得【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：命题“对任意，都有”的否定为存在，使得.14. 函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】求导得到，得到函数的单调区间，再计算极值的正负判断得到答案.【详解】，故，故函数在和上单调递增，在上单调递减，函数的极大值，函数的极小值，当时，，故函数共有1个零点故答案为：1.【点睛】本题考查了利用导数计算函数零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.15. 条件，条件，则p是q的__________条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式解法，分别求得对应的集合，结合集合间的包含关系，即可求解.【详解】由不等式可化为，解得，即不等式的解集为，又由，解得，即不等式的解集为，可得是的真子集，所以p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，以及一元二次不等式和分式不等式的求解，其中解答中结合不等式的解法，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 已知，若，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.三、解答题（简答题）（共6题，总分70分）17. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角就是将角的终边顺时针旋转得到，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数定义结合诱导公式计算得到答案.（2），带入式子利用诱导公式化简，带入数据得到答案.【详解】（1）根据题意：，，，.（2）根据题意：，故.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.18. 已知函数，.（1）若函数是单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数的最大值是2，求实数的值.【答案】(1)；(2)3或.【解析】试题分析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，据此可得实数的取值范围是；(2)分类讨论，，三种情况可得实数的值3或.试题解析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，结合题意可得或，即实数的取值范围是；（2）分类讨论：当时，函数在区间上单调递减，函数的最大值：；当时，函数在区间上单调递增，函数的最大值：；当时，函数在对称轴处取得最大值，即：，解得：或，不合题意，舍去；综上可得实数的值3或.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．19. 已知函数，其中.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）时，减区间是，时，减区间是，增区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）这是一个利用导数研究函数的单调区间的问题，应先确定函数的定义域，然后再对函数求导，并分别针对的不同取值进行讨论，就可得到的单调区间；（2）首先根据关系式把从中分离出来，再通过构造函数并求出其最值，即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）因为若则对恒成立，所以，此时的单调递减区间为；若，则时，所以，单调递减区间为，单调递增区间为；（2）因为，所以，，即若存在，使得成立，只需的最小值设，则时，所以在上减，在上增，所以时，取最小值所以.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间；3、最值.【思路点晴】本题是一个利用导数研究函数的单调区间、求极值等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先应根据函数关系式求出函数的定义域，再对函数进行求导，并针对实数的不同取值加以讨论，就可以得到函数的单调区间；至于第二问求的取值范围，解决问题的切入点是不等在上有解，然后再结合构造函数并求其最值即可得到的范围.20. 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和，试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）的最大值．【答案】当产量为时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元．【解析】【分析】生产利润，列出关于的表达式，然后利用导数分析的最大值.【详解】解：，即，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：1。
第06讲 利用导数研究函数的零点(方程的根) (精讲+精练)(学生版)
第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。
高二 山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二上学期期末考试语文试卷
2020—2021学年第一学期高二期末考试语文试题【本试题满分150分，考试时间150分钟。
】一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）咏史诗是融文学与史学特质于一体的重要诗歌体类，其创作的素材乃立足于史事。
《史记》作为历史上第一部纪传体通史，又是史学与文学完美结合的经典之作，自然成为咏史创作取材的渊薮之一。
咏史诗人的创作结合时代特征和审美趋向，选取《史记》中的人和事，通过批判或褒扬，以寄寓抱负或针砭时弊。
在现存的文学史料中，最早的咏史诗的素材出自《史记·扁鹊仓公列传》，该诗在咏史创作史乃至文学史上都有着极其重要的影响。
班固依据此传叙写的“缇萦救父”史实，创作传体《咏史》诗，将二百字的故事，缩写为八十字的五言诗，传承了《史记》“寓论断于序事”的叙事方式和“实录”的著史精神。
魏晋南北朝时期，《史记》的传播形式和流传途径更为广泛，更便于咏史诗人从《史记》中选取适合个人创作的题材。
左思《咏史》八首开创了“名为咏史，实为咏怀”的咏史变体即论体咏史，通过吟咏冯唐、主父偃、司马相如等人，将叙事、议论和抒情有机结合起来，抒发个人处于门阀森严时代而才华不能得到施展的痛苦和愤懑。
唐代诗人对《史记》的接受为咏史诗增加了新的审美情趣，唐初咏史创作仍沿袭班固的《咏史》体式，叙多于咏，事大于赞。
当盛世不再，咏史诗人试图在历史往事中寻找社会成败治乱的根由，其创作有着深刻的历史反思性和强烈的现实指向性。
因此，诗人多借对《史记》中人、事的评价，来表达其与前人不同的史识和史观，一时翻案成风。
唐代晚期，还出现了以七绝为主要创作形式的咏史诗人,他们一写就是百十首，如汪遵、罗隐等。
他们创作了许多短短的四句二十八字史论，并借此再现了一幅幅生动的《史记》画面，其论史的角度、观点都有新意。
宋代诗歌好议论说理，贯彻到以《史记》人物为原型的咏史诗创作中，就是翻案之风更甚于唐，且比唐人翻得更有深度。
王安石的《商鞅》《贾生》等诗，就以古鉴今，用古喻今，巧妙而有针对性地创作咏史诗为当时政治服务。
第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)
第8讲 抽象函数7种导函数构造【知识点梳理】类型一 导数和差，构造和差型函数：()[()]f x c f x cx ''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''-=-；和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数： ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=；2()()()()()[]()()f xg x f x g x f x g x g x ''-'=．类型二 幂函数及其抽象构造定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>；()()()0[]0f x xf x f x x''->⇔> 证明：因为()()[()]xf x f x xf x ''+=；2()()()[]xf x f x f x x x'-'=，所以()()0xf x f x '+>，则函数()y xf x =单调递增；()()0xf x f x '->，则()f x y x=单调递增． 定理2 当0x >时，()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>；()()()0[]0n f x xf x nf x x''->⇔> 证明 因为1()()[()]nn nx f x nxf x x f x -''+=；12()()()[]n n n nx f x nx f x f x x x -'-'=，所以()()0xf x nf x '+>，则函数()n y x f x =单调递增；()()0xf x nf x '->，则()nf x y x =单调递减． 类型三 指数函数与抽象构造定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>；()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔<()()()0[]0x f x f x f x e ''->⇔>；()()()0[]0xf x f x f x e''-<⇔< 证明： 因为[]()()+()x xf x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦，()()()[]xx f x f x ef x e '-'=，所以()()0f x f x '+>，则()x y f x e =单调递增；反之()x y f x e =单调递减；()()0f x f x '->，则()xf x y e =单调递增；反之()x f x y e=单调递减． 定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->；(())()()[]0xf x a f x f x a e+''->⇔>． 证明： 因为[(())]()()x xe f x a f x f x a e '-'+-=；2(())()()[]x xf x a f x f x a e e +''--=，所以()()f x f x a '+>，则(())x y e f x a =-单调递增；()()f x f x a '+<，(())x y e f x a =-单调递减；若()()f x f x a '->，则()xf x a y e +=单调递增，若()()f x f x a '-<，则()xf x a y e +=单调递减．定理5 正弦同号，余弦反号定理()sin ()cos 0[()sin ]0f x x f x x f x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()tan ()0[()sin ]0f x x f x f x x ''+>⇔>； ()()sin ()cos 0[]0sin f x f x x f x x x ''->⇔>， 当()22x ππ∈-，，()()tan ()0[]0sin f x f x x f x x''->⇔>；cos ()()sin 0[()cos ]0xf x f x x f x x ''->⇔>，当(,)22x ππ∈-，()()tan 0[()cos ]0f x f x x f x x ''->⇔>；()()cos ()sin 0[]0cos f x f x x f x x x ''+>⇔>， 当()22x ππ∈-，，()()()tan 0[]0cos f x f x f x x x''+>⇔>．遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->， 则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数， 由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c a b >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可. 【详解】解：因为()ln ex x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e ()4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=- 又,()0x ∈+∞时，21111,()24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增； 又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41> 所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>. 故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥- 【解析】 【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围. 【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增， 所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（0，2022） B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可. 【详解】 由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x '-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】 设()()2f xg x x =，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解. 【详解】 设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =， 则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数， 所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >； 当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<； 所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞.故答案为：()()2,02,-+∞.【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-， 即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-， 即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----， 构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->， 所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----， 由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足； （3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>. 综上，,()0x ∈+∞. 故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解. 【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>， 所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数， 又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-， 即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（ ） A ．()()2e 24ef f > B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】 【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∴()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==， 即g (x )为偶函数， 所以()()e 2g g <，即()()2e 24e f f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=， 所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______． 【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+ 因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==， 所以()g x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=， 所以()()221g g -==． 对于不等式()1f x x>， 当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >； 当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<， 所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞．故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（ ）A ．()20192017--，B ．20211()209--， C ．()20192018--， D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】 【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案. 【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()232'xf x x f x x +<， 即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =， 则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()()242F f -=-， 即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-. 故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集. 【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+， 由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<， ∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数， ∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ， ∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞-. 故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,1-∞-⋃ B ．()()1,01,-⋃+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞【答案】B 【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵ 当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减. 由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x； 当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>. 所以当10x -<<或1x >时，()0f x <. 故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2- 【解析】 【分析】 令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g x g >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】 解：令()()x f x g x =e ，R x ∈，则()()()exf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e ef g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eex f x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-. 故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】 设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R 上单调递减，再求出()01202eg =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020eexf x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可. 【详解】 设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2eex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =， 所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<， 所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >. 故选：C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()exf x <的解集为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C 【解析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解. 【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数， 所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=. 令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-. 令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+. 所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()x f x g x =e ，所以()()()e xf x f xg x '-'=. 因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e 在R 上单调递减. 不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <. 所以0x >. 故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式； (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】 令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞ 【解析】 【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（ ）A ．12(2)f +<eeB ．1(2)f +<eeC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>ee【答案】D 【解析】 【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x xg x f x =-，则()()()e 10x g x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>. 故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决. 【详解】 设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=， 由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->> 则()()()10exf x f xg x '-'=->， 所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >． 故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（ ） A ．(),0∞- B ．()0,∞+ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】 【分析】 构造函数()()1exf x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=，则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e xf x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>，又()02021f =，所以()()00102022e f F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-. 故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________ 【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减， 又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <， 所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x x F x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+， 令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（ ）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式. 【详解】设()()ln F x f x x =-，0x > 则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'， 所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减， 因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=， 且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0xf x -<得：()()e 1x F F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >， 故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】 【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦， 故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =， 故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <， 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦， 而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<， 故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0x f x +>的解集为___________. 【答案】(ln2,)+∞ 【解析】 【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=， 令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+> 所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln2,)+∞.故答案为：(ln2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案. 【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称． 令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增 由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x ' ，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（ ）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111()()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且1e 1e>>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1()0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，设()()cos f x g x x =，利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()()4g x g π<，结合单调性，即可求解.【详解】 由题意，设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=， 当02x π<<时，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-， 所以()g x 是偶函数，由()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos 4f x x π<，即()()4cos cos 4ππ<f f x x ，即()()4g x g π< 又由()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<， 令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解 【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅， 当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数． 不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式 3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有。
高中数学专题《三角恒等变换》真题练习
5.5三角恒等变换（基础+提升+拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））若角π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos θθ的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[1,2]-D ．[1,2]2．（2021·全国·高一课时练习）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3sin 5αβ+=-，5cos 13β=-，则sin α的值为（ ）A ．1665B ．3365C ．5665D ．63653．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π4．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C． D6．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24257．（2021·新疆喀什·模拟预测）已知角θ满足()sin cos sin cos θθθθ+=3tan 28θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12BC．D ．1-8．（2021·福建·福清西山学校高三期中）若tan 2x =，则2sin 2sin cos 2sin sin2x x x xx --=（ ）A ．45B ．45-C ．85D ．85-9．（2021·广东顺德·一模）cos1875︒=（ ）A B C D 10．（2021·天津二十中高三月考）已知函数()sin2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）个①()()33ππ+=-f x f x ；①,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ①任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍； ①对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +恒成立.A ．1B ．2C ．3D ．411．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，若π4cos()65α+=，则 0x =（ ）A B C D 12．（2019·西藏·拉萨中学高二月考（文））在ABC 中，已知cos cos b A a B =，判断ABC 的形状（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）当0x x =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则0tan x =（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-14．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，下列四个结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到D ．若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为15．（2021·广西桂林·模拟预测（理））在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos 2f x x x =+，5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．a 为()f x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()h x 的图象B ．a 为()h x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()g x 的图象C ．a 为()g x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()h x 的图象D ．a 为()h x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()f x 的图象16．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．1cos()3βα-=-B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=17．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称18．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 19．（2021·陕西·西安中学高三期中（理））已知31sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A ．79-B ．79C ．13-D ．1320．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2-C ．D ．32-21．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数3cos 4sin y x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-22．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,323．（2021·全国·高一单元测试）已知ABC ，则“sin cos A B >”是“tan tan 1A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24．（2021·安徽淮南·一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（ ）A B C D 25．（2021·全国·高一单元测试）在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）A B C D26．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]27．（2021·江西·浮梁县第一中学高一期中）已知把函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若1x ，[]2π,πx ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．πB ．3π4C ．3π2D ．2π28．（2021·上海·高一课时练习）若24sin 3k x x k -=+，则k 的取值范围是（ ） A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()3,-+∞D ．()1,33,2⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦29．（2020·浙江·台州市新桥中学高三月考）已知,x y R +∈，满足21x y +=，则x 的最小值为（ ）A ．45B ．25C ．1 D30．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，若sin A =cos B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对二、多选题31．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是（ ）A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=32．（2021·湖北·高三期中）已知函数()22sin f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 是奇函数C ．()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称33．（2021·山东省实验中学高三月考）下列式子正确的是（ ）A ．sin15cos15+︒︒=B ．cos 75︒=C ．2tan 151︒+︒=D ．tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=34．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）在①ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小不可能为（ ） A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π35．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()2sin 2x x f x =+ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称36．（2021·湖南· ）A B ．22cos sin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒37．（2021·江苏扬州·高三月考）已知函数()|||cos |f x x x =+，下列说法正确的有（ ）A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点38．（2021·浙江·高二开学考试）设ABC 中角A ，B ，C 所对应的边长度分别为a ，b ，c ，满足sin 2:sin 2:sin 24:5:6A B C =，则以下说法中正确的有（ ）A ．ABC 为钝角三角形B ．若a 确定，则ABC 的面积确定 C ．3cos 24A =-D ．sin :sin :sin 5:A B C =39．（2021·江苏南京·三模）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+，()()|()|g x f x f x =+.若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，则（ ）A ．任意()()00,x R f x x f x x ∈+=-B ．任意0,()2x R f x f x π⎛⎫∈≤+ ⎪⎝⎭C ．存在0θ>，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有2个零点D ．存在512πθ>-，使得()g x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减 40．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ） A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数三、填空题41．（2021·全国·高一课时练习）若sin 2θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ=________．42．（2021·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________．43．（2021·全国·高一课时练习）sin 21cos39cos21sin39︒︒+︒︒=________． 44．（2020·北京八中高三期中）若角α的终边过点()2,1，则cos2α的值为______．45．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（理））若1tan 2θ=，则2cos sin 2θθ+=___________.46．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））2()2sin cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->有五条顺次相邻的对称轴，首尾两条对称之间的距离是π，则()f x 的最小正周期是_______．47．（2021·河南·高二月考（文））已知函数()sin 2cos f x x x =+在x θ=时取得最大值，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.48．（2021·广西·罗城仫佬族自治县高级中学高二开学考试）若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______． 49．（2021·北京·东直门中学高三期中）若sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭35=，则sin 2α = _____________．50．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos2x x x xx ++=__________． 51．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知1sin 3α=，1cos()65πβ+=，5,(0,)4παβ∈，则cos()3παβ-+=________. 52．（2021·全国·高一课时练习）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．53．（2021·宁夏·吴忠中学高三月考（理））当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )2m x x x m <+恒成立，则实数m 的取值范围为____．54．（2021·北京市第十三中学高三期中）若点(cos ,sin )A θθ关于x 轴对称点为(cos(),sin())33B ππθθ++，则θ的一个取值为_____.55．（2021·河南·高二期中（理））已知函数()sin 2cos f x x x =-在x θ=时取得最大值，则tan 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.56．（2021·天津二中高三期中）已知()()()sin 2πωx φωx φf x φ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=_______．57．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知函数2()2sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是________． 58．（2021·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且tan 0θ>，则3cos tan 1sin θθθ-的值为______．59．（2021·广东顺德·高三月考）在①ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C 12+c ，则角A 为_____．60．（2021·四川绵阳·高三月考（文））已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．61．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知函数()sin ||cos |f x x x =-，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上） ①π是函数()f x 的一个周期；①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；①()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减①()f x 的值域为[1,2]-．62．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）()f x =________．63．（2020·上海市奉贤中学高三月考）在①ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 022πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ=_________. 64．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数()sin 2sin 3f x a x x b πωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈恒有()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b 的取值范围为________．65．（2021·福建·高三月考）已知()f x 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数()f x ：___________.①定义域为R ；①()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；①()21(2)2f x x f +=；①14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭. 66．（2021·全国·高二单元测试）一直线过点()2,3A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点．则OB OC BC +-的最大值为__．67．（2021·上海市延安中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-=_________68．（2021·江苏铜山·高一期中）已知函数22()2cos cos 2sin f x x x x x =+-，则函数()f x 的一条对称轴的方程为______.69．（2021·全国·高一单元测试）111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+=︒︒︒︒︒︒___________.70．（2021·上海市实验学校高一期中）若[],x ππ∈-，则函数()f x =的值域为__________.四、解答题71．（2021·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值；（2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值．72．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知sin 1m αα=-，求m 的取值范围． 73．（2021·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值．74．（2021·全国·高一课时练习）求函数cos 22cos 1y x x =-+的值域． 75．（2021·全国·高一课时练习）求下列各函数的周期和值域： （1）sin cos y x x =； （2）sin y x x +．76．（2021·全国·高一课时练习）求值：sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒．77．（2021·全国·高一课时练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，点E ，F 将BC 三等分，求EAF ∠，FAC ∠的正切值．78．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值． 79．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()22sin sin sin sin αβαβαβ+-=-；（2）2222π4π3cos cos cos 332x x x ⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 80．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos 5θ=-，且180270θ︒<<︒，求sin 2θ，cos 2θ的值．81．（2021·全国·高一课时练习）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22cos 1cos 2sin cos sin x x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-．可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()4P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．请尝试求出()n P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ．利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．（提示：31890218⨯=︒-⨯︒︒）82．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，已知tan tan tan tan 1A B A B ++=，求角C 的大小． 83．（2021·全国·高一课时练习）已知()2cos 23cos 0αββ++=，求()tan tan αβα+的值． 84．（2021·全国·高一课时练习）化简： （1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒； （3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．85．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α=α是第二象限角，且()tan 1αβ+=，求tan β的值． 86．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()()()cos cos cos cos sin sin sin sin αβγαβγαβγαβγ+-+=+-+； （2）1sin 21tan 1cos 2sin 22θθθθ++=++．87．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x ωπωω=++->，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向右平移(0)m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点5(,0)24π，求当m 取得最小值时，()g x 的单调区间和对称轴方程.88．（2021·全国·高一课时练习）证明：()()()()()()sin sin sin sin sin sin 0αβαββγβγγαγα+-++-++-=． 89．（2021·全国·高一课时练习）把1sin cos θθ++化成积的形式． 90．（2021·全国·高一课时练习）试用不同的方法求tan15的值．91．（2021·河南·高三月考（文））如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==点E 为AB 的中点，,F G 分别为线段,AD BC 上的点，且,EF EG AEF θ⊥∠=．（1）若EFG 的周长为f，求f 的解析式及θ的取值范围；（2）求f 的最值． 92．（2021·湖北·高二月考）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)解不等式()12f x ≥-； (2)若,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值.93．（2021·云南·高二月考）已知函数()23sin cos 2f x x x x =+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos 03a x f x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求a 的取值范围. 94．（2021·上海·高一专题练习）对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”． （1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值； （3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．95．（2021·江西·九江一中高一月考）已知函数()2sin cos f x x x x = （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()()()212h x f x g x =+在7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 96．（2021·全国·高三专题练习）设πA B C ++=，求证：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．97．（2021·全国·高三专题练习）已知0απ<<，0βπ<<，且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=，求α、β的值.98．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））定义在(1,1)-上的函数)()22()log log 1aa f x a x =+--，若方程()0f x =恰有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，设2122()2g a x x x =--. （1）求函数()g a 的定义域；（2）证明：函数()g a 在定义域内为增函数.99．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF 建成生态园林城，CD ，DE ，EF ，FC 为主要道路（不考虑宽度）．已知90FCD ∠=︒，120CDE ∠=︒，333FE ED CD ===km ．（1）求道路CF 的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A ，并使得60FAC ∠=︒，AB DC ⊥，求AB 两地的最大距离．100．（2021·全国·高一课时练习）如图，某人身高1.73m ，他站的地点A 和云南大理文笔塔塔底O 在同水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角22.8MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100m 到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48.3MDE ∠=︒：塔尖MN 的视角 3.3MDN ∠=︒（N 是塔尖底，在线段MO 上）.（1）求塔高MO ；（2）此人在线段AO 上离点O 多远时，他直立看塔尖MN 的视角最大？说明理由.参考数据：sin 22.8sin 48.30.674sin 25.5︒︒=︒，tan 22.80.42125︒=，263.5967.460=⨯.。
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。
考点17 分组求和法(1月)(期末复习热点题型)(人教A版2019)(解析版)
考点17 分组求和法一、单选题1．若数列{}n a 的通项公式是()()131nn a n =--，则1210···+a a a ++= A ．15 B ．12 C ．12-D ．15-【试题来源】吉林省蛟河市第一中学校2020-2021学年第一学期11月阶段性检测高二（理） 【答案】A【解析】因为()()131nn a n =--，所以12253a a +=-+=，348113a a +=-+=，5614173a a +=-+=，7820233a a +=-+=，91026293a a +=-+=， 因此1210···+3515a a a ++=⨯=．故选A ． 2．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为 A ．115 B ．118 C ．120D ．128【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文） 【答案】C【分析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和． 【解析】21113a a λλ=+=+=，则2λ=，可得121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，有12nn a +=，得21n n a =-，则数列{}n a 前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-．故选C ．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【试题来源】河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）（文） 【答案】C【分析】根据递推公式a n +a n +1 ＝2n （n ∈N *）的特点在求S 2020时可采用分组求和法，然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项． 【解析】由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=．故选C ． 4．定义：在数列{}n a 中，0n a >，且1n a ≠，若1n an a +为定值，则称数列{}n a 为“等幂数列”．已知数列{}n a 为“等幂数列”，且122,4,n a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则2009S 为 A ．6026 B ．6024 C ．2D ．4【试题来源】山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末（文） 【答案】A【分析】根据数列新定义求出数列的前几项，得出规律，然后求和．【解析】因为122,4a a ==，所以334242a a a ==，32a =，4216a =，44a =，所以212n a -=，24n a =，*n N ∈，2009(24)100426026S =+⨯+=．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是根据新定义计算出数列的项，然后寻找出规律，解决问题． 5．数列111111,2,3,4,,248162n n +++++的前n 项和等于 A ．21122n n n +-++B ．2122n n n++C ．2122n n n +-+D ．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一6月月考（期末适应性） 【答案】A 【解析】因，故，故选A ．6．已知一组整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足130m m a a +++=，其中m 为正整数，若12a =，则这组数前50项的和为 A ．-50 B ．-73 C ．-75D ．-77【试题来源】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试 【答案】C【分析】先利用已知条件写出整数列的前五项，得到其周期性，再计算这组数前50项的和即可．【解析】因为130m m a a +++=，12a =，所以2130a a ++=，得25a =-；3230a a ++=，得32a =-；4330a a ++=，得41a =-；5430a a ++=，得52a =-，由此可知，该组整数从第3项开始，以-2，-1，-2，-1，…的规律循环， 故这组数的前50项和为()()25212475+-+--⨯=-．故选C ．7．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，23a =，23n n a a +=，则2020S = A ．1010232⨯-B ．101023⨯C ．2020312-D ．1010312+【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末 【答案】A【分析】利用递推关系得出数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，对2020S 进行分组求和． 【解析】因为11a =，23a =，23n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，且仅比均为3，所以101010102020132019242020133(13)()()1313S a a a a a a --=+++++++=+--1010232=⨯-．故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，考查分组求和法，解题时注意对递推式23n n a a +=的认识，它确定数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，而不是数列{}n a 成等比数列．8．已知数列{(1)(21)}n n -+的前n 项和为n S ，*N n ∈，则11S = A ．13- B ．12- C ．11-D ．10-【试题来源】山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】A【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出相邻奇偶项的和，然后运用分组求和法可计算出11S 的值，得到正确选项．【解析】由题意，令(1)(21)nn a n =-+，则当n 为奇数时，1n +为偶数， 1(21)[2(1)1]2n n a a n n ++=-++++=，111211S a a a ∴=++⋯+ 123491011()()()a a a a a a a =++++⋯+++222(2111)=++⋯+-⨯+2523=⨯-13=-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查正负交错数列的求和问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，13nn n a a +=，那么100S 的值为A ．()50231-B ．5031-C ．5032-D ．50342-【试题来源】吉林省四平市公主岭范家屯镇第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试 【答案】A【分析】根据题中条件，得到23n na a +=，推出数列{}n a 的奇数项和偶数项都是成等比数列，由等比数列的求和公式，分别计算奇数项与偶数项的和，即可得出结果．【解析】因为11a =，13nn n a a +=，所以23a =，1123n n n a a +++=，所以1213n n n n a a a a +++=，即23n na a +=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅成以1为首项、3为公比的等比数列，246,,,a a a ⋅⋅⋅也成以3为首项、3为公比的等比数列，所以()()()5050100139924100313131313Sa a a a a a --=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--505050313532322-+⋅-==⋅-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查等比数列求和公式的基本量运算，考查分组求和，熟记公式即可，属于常考题型．10．已知数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -++++=，记数列{2}n a n -的前n 项和为n S ，则n S =A ．2222nn n--B ．22122nn n---C ．212222n n n +--- D ．2222nn n--【试题来源】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】C【分析】利用递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后利用等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可．【解析】因为12321111(1)222n n a a a a n -++++=，所以有11a =， 当2,n n N *≥∈时，有1231221111(2)222n n a a a a n --++++=-，(1)(2)-得，111122n n n n a a --=⇒=，显然当1n =时，也适合，所以12()n n a n N -*=∈，令 2n n a n b -=，所以2n n b n =-，因此有：2323(21)(22)(23)(2)(2222)(123)n n n n S n =-+-+-++-=++++-++++22112(12)(1)222 2.1222222n n n n n n n n n ++-+=-=---=----故选C.【名师点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，则n S =A ．2122n n ++-B ．212n n ++C ．22n -D ．22n n +【试题来源】四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考（理） 【答案】A【分析】根据已知条件求得n a ，利用分组求和法求得n S【解析】因为(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，所以()212nn a n =-+，则()()121212322121321222nnn S n n =++++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()212121212nn n -+-=+-1222n n +=+-．故选A ．12．数列112、134、158、1716、的前n 项和n S 为A ．21112n n -+-B ．2122n n +-C ．2112n n +-D ．21122n n -+-【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期线上学习质量检测 【答案】C【分析】归纳出数列的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用分组求和法可求得n S ． 【解析】数列112、134、158、1716、的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，2341111113572122222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()231111211111221352112222212n n n n n ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=++++-+++++=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-2112n n =+-．故选C ．13．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(32)n n a n +=-⋅-，则122020a a a ++⋯+=A ．-3027B ．3027C ．-3030D ．3030【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】C【分析】分组求和，结合等差数列求和公式即可求出122020a a a ++⋯+． 【解析】12202014710...60556058a a a ++⋯+=-+-++-()()101010091010100917...6055410...60551010610104622⨯⨯⎛⎫=+++-+++=+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3030=-．故选C ．14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=A ．10B ．145C ．300D ．320【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中 【答案】C【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解．【解析】因为129a =-，()*13n n a a n N +=+∈，所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，所以()11332n a a n d n =+-=-，所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >；所以()()12201210111220a a a a a a a a a +++=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1101120292128101010103002222a a a a ++--+=-⨯+⨯=-⨯+⨯=．故选C ． 15．数列{}n a 的通项公式为2π1sin 2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4， 所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】广东省广州市增城区增城中学2020-2021学年高二上学期第一次段考 【答案】C【分析】由2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，结合题设条件，推得11n n a a -+=，进而求得2019S 的值，得到答案．【解析】由题意，当2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，因为12n n a S n -+=，所以2()n n n S a a n +-=，即2n n S a n =+，当2n ≥时，1121n n S a n --=+-，两式相减，可得121n n n a a a -=-+，即11n n a a -+=， 所以2345671,1,1,a a a a a a +=+=+=，所以()()()12345201820120991201911110102a a a a a a a S -=+++++++=+⨯=．故选C ． 17．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365D ．465【试题来源】山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末月考 【答案】B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解析】当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==， 2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选B 18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为 A ．1348 B ．1358 C ．1347D ．1357【试题来源】江苏省镇江市八校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】C【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案.【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=，故选C. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，，则S 2019的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身 【答案】C【分析】由2n ≥时，12n n a S n -+=，得到121n n a S n ++=+，两式相减，整理得()112n n a a n ++=≥，结合并项求和，即可求解．【解析】当2n ≥时，12n n a S n -+=，①，可得121n n a S n ++=+，②， 由②－①得，112()1n n n n a a S S +--+-=，整理得()112n n a a n ++=≥， 又由11a =，所以20191234520182019()()()1010S a a a a a a a =+++++++=．故选C ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =． 则正确的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷 【答案】D【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断． 【解析】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确．故选D.21．已知正项数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且当*2,n n N ≥∈时，2n a =，数列()1cos 12n n n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前64项和为 A ．240 B ．256 C ．300D ．320【试题来源】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】由题意结合数列n a 与n S 2-=，由等差数列的性质即可得21n =-，进而可得当2n ≥时，88n a n =-，结合余弦函数的性质、分组求和法可得()()()642664648264T a a a a a a --=+++⋅⋅⋅+-，即可得解．【解析】由题意，当*2,n n N ≥∈时，12n n n S a S -==-，即2=，由0n S >2=，所以数列1=，公差为2的等差数列，()12121n n =+-=-，所以当2n ≥时，()222121188n a n n n ==-+--=-⎡⎤⎣⎦，设数列()1cos12nn n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为数列n T ，所以该数列前64项的和为 164234234cos 1cos 1cos 1cos 12222T a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++⋅++-⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6464cos 12a π⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅+ ⎪⎝⎭ ()()()262642664624486464a a a a a a a a a a =-+-⋅⋅⋅-+=+++⋅⋅⋅--+-641616320=+⨯=．故选D ．【名师点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系、等差数列的判断及性质的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题． 22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，项n a 由下列方式给出1121231234,,,,,,,,,,2334445555⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若100k S ≥，则k 的最小值为 A ．200 B ．202 C ．204D ．205【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测 【答案】C【分析】首先观察数列中项的特征，先分组求和，之后应用等差数列求和公式，结合题中所给的条件，建立不等关系式，之后再找其满足的条件即可求得结果． 【解析】11212312112312334442222n n S n nn --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)1004n n -=≥．所以(1)400n n -≥，21n ≥．而当20n =时，95S =，只需要125212121m++⋅⋅⋅+≥，解得14m ≥． 所以总需要的项数为1231914204+++⋅⋅⋅++=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列求和公式，分组求和法，属于中档题目．23．已知数列{} n a 中，10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和为A ．10311102-+B ．1131902-+C ．1031902-+D ．11311102-+【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测 【答案】C【分析】根据n 为奇数时，22n n a a +-=；n 为偶数时，23n n a a +=，得到数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；然后分别利用等差数列和等比数列前n 项和求解．【解析】因为10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和：数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列； 数列{}n a 中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列； 所有()()2013192420......S a a a a a a =+++++++()()10113101012100213⨯-+=⨯++-1031902-=+，故选C ． 24．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为 A ．200- B ．0 C ．200D ．10000【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中（理）【答案】A【分析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解． 【解析】记数列{}n c 的前200项和为n T ，122001223199200200201n T c c c a a a a a a a a =++=++++++++123419920012012[()()()]a a a a a a a a =++++++-+()()()2222[41169200199]1201=-+-++-+-22[3711399]1201=⨯+++++-()2100339921201402004040112002+=⨯+-=-+=-．故选A ．25．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，记n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，且存在*k N ∈，使得10k S +=成立，则 A ．10a d > B ．10a d < C ．1a d >D ．1a d <【试题来源】浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试 【答案】B【分析】由题意按照k 为奇数、k 为偶数讨论，利用并项求和法可得1k S +，转化条件得存在*k N ∈且k 为偶数时，102ka d --=，即可得解．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，所以当*k N ∈且k 为奇数时，112341k k k S a a a a a a ++=-+-++⋅⋅⋅-+()()()12341102k k k a a a a a a d ++=-++-++⋅⋅⋅+-+=≠； 当*k N ∈且k 为偶数时，1123411k k k k S a a a a a a a +-+=-+-++⋅⋅⋅-+-()()()()1234111122k k k k ka a a a a a a d a kd a d -+=-++-++⋅⋅⋅+-+-=-+=--； 所以存在*k N ∈且k 为偶数时，102k a d --=即102ka d =-≠，当2k =时，1a d =-，此时1a d =，故排除C 、D ；所以1a 与d 异号即10a d <，故A 错误，B 正确．故选B ． 26．已知函数()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++的值为A ．4040B ．4040-C ．2020D ．2020-【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文） 【答案】A【分析】由题意得2222(1)sin(1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，从而可求出11a =，222232018201920203,,2019,2021a a a a a ==-⋅⋅⋅==-=，然后通过分组求和可得答案．【解析】因为()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++， 所以2222(1)sin (1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++， 所以11a =，222223452018201920203,5,,2019,2021a a a a a a a ==-==⋅⋅⋅==-=，所以1232020a a a a ++++13520192462020()()a a a a a a a a =+++++++++22222222222[(13)(57)(20172019)][(35)(79)(20192021)]=-+-+⋅⋅⋅+-+-++-++⋅⋅⋅+-+2(135720172019)2(35720192021)=-++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++10102020101020242222⨯⨯=-⨯+⨯1010202010102024=-⨯+⨯4040=，故选A.27．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，设211(2)(2)n n n b a a n n --=-≥，则数列{}n b 的前40项的和为A ．860B ．820C ．820-D ．860-【试题来源】河南省开封市河南大学附属中学2020-2021学年高二9月质检 【答案】A【分析】本题先对数列{}n a 的递推公式进行转化可发现数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列，通过计算出数列{}12n n a a --的通项公式可得1n b -的表达式，进一步可得数列{}n b 的通项公式，最后在求和时进行转化并应用平方差公式和等差数列的求和公式即可得到前40项的和．【解析】由题意，可知当3n ≥时，122n n n a a a --=+，两边同时减去12n a -，可得112112222(2)n n n n n n n a a a a a a a -------=+-=--，2123211a a -=-⨯=，∴数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列， 11121(1)(1)n n n n a a ---∴-=⋅-=-，*(2,)n n ≥∈N ，21211(2)(1)n n n n b a a n n ---∴==-⋅-，故2(1)(1)n n b n ⋅=-+，令数列{}n b 的前n 项和为n T ，则4012343940T b b b b b b =++++⋯++22222223454041=-+-+-⋯-+222222[(23)(45)(4041)]=--+-+⋯+-[(23)(45)(4041)]=--+-+-⋯-+23454041=++++⋯++40(241)2⨯+=860=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，平方差公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．28．在数列{}n a 中，122,2a a ==，且11(1)(*),nn n a a n N +-=+-∈则100S =A ．5100B ．2600C ．2800D ．3100【试题来源】河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】A【分析】转化条件为22n n a a +-=，进而可得21k a -，2k a ，由分组求和法结合等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】因为11(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，所以1211(1)n n n a a +++-=+-，所以()()122121n n n n a a ++-=+--+=，因为122,2a a ==，所以()211212k a a k k -=+-=，()22212k k a k a =+-=，*k N ∈，所以()()100123499100139924100S a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2100241002410025051002+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=⨯⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题．29．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为A ．20192020-B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）（理） 【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果． 【解析】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=， 因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1， 所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()21111121n n n n na c s n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选C ． 30．若数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值是 A ．4B ．5C ．6D ．7【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理） 【答案】B【分析】求得1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，利用数列的单调性可求得满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值．【解析】数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 所以()()2121212121iji j i jij i j i j c a a a a +=⋅++=--+-+-=-．令1122n nn S c c c =+++，则()102,n n nn S S c n n N *--=>≥∈，所以，数列{}n S 为递增数列，当11222021nn c c c +++<时，所有的元素之和为246212121212021n n n S +=-+-+-++-<，当4n =时，24684222243362021S =+++-=<， 当5n =时，246810522222513592021S =++++-=<， 当6n =时，246810126222222654542021S =+++++-=>， 故n 的最大值为5，故选B ．【点评】关键点【名师点睛】本题考查数列不等式的求解，解题的关键在于求出1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，在求解数列不等式时，要充分结合数列的单调性求解．31．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列{}n a 的各项除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，设数列{}n b 的前n 项的和为n T ；若数列{}n a 满足：212n n n n c a a a ++=-，设数列{}n c 的前n 项的和为n S ，则20202020T S +=A ．1348B ．1347C ．674D ．673【试题来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】B【分析】根据题意写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得2020T ，再计算1n nc c +，结合等比数列的通项公式和求和公式，可得2020S ，进而得到所求和． 【解析】“兔子数列”的各项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，∴此数列被2除后的余数依次为1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯⋯，即11b =，21b =，30b =，41b =，51b =，60b =，⋯⋯， ∴数列{}n b 是以3为周期的周期数列，20201231673()673211347T b b b b ∴=+++=⨯+=，由题意知22212112221121222121212()()1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a a a a a a a a a a a c a a a a a a a a a +++++++++++++++++-+---====----， 由于212131c a a a =-=-，所以(1)n n c =-，所以2020(11)(11)(11)0S =-++-++⋯+-+=． 则202020201347T S +=．故选B.【名师点睛】确定数列数列{}n b 是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列(1)n n c =-可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题． 32．已知函数()()()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时且()(1)n a f n f n =++，则121100a a a a ++++等于A ．0B ．100C ．-100D ．10200【试题来源】广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试 【答案】B【分析】先求出通项公式n a ，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和【解析】()(1)n a f n f n =++，∴由已知条件知，2222(1),(1),n n n n a n n n ⎧-+=⎨-++⎩为奇数为偶数，即()21,21,n n n a n n ⎧-+=⎨+⎩为奇数为偶数，(1)(21)n n a n ∴=-+，12(n n a a n +∴+=是奇数），123100123499100()()()2222100a a a a a a a a a a ∴+++⋯+=++++⋯++=+++⋯+=故选B ．【名师点睛】解答本题的关键是求出数列{}n a 的通项(1)(21)n n a n =-+，即得到12(n n a a n ++=是奇数）．33．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A ） 【答案】A【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案．【解析】由题意得323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2nn +-()212312n n ⨯-=⨯-- 1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<；当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8．故选A ．【名师点睛】本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T ．34．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n b π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =A ．1B ．12C ．12-D ．-1【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末 【答案】C【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S ． 【解析】1(1)(1)n n na n a n n +=+++，111n na a n n+∴-=+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为1，21(1)n n a n a n n ∴=+-⇒=，2cos3n n b n π∴=，3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，33cos 23k b k k k π==， 3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-=， ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故选C ．35．设()f n ()*n ∈N 的整数， 如()()()()()11,21,324252f f f f f =====，，，若正整数m 满足()()()()11114034123f f f f m ++++=，则m = A ．20162017⨯ B ．20172018⨯ C ．20182019⨯D ．20192020⨯【试题来源】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二上学期期末（理） 【答案】B【解析】设()f x j =，,*x j N ∈，n 是整数，则221124n n n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是1()2n n Z +∈形式，所以1122j j -<<+，221144j j x j j -+<<++， 因为,*x j N ∈，所以221j j x j j -+≤≤+，故()f x j =时，2221,2,,x j j j j j j =-+-++共2j 个，设222111(1)(2)()p a f j j f j j f j j =+++-+-++，则22p ja j==，*p N ∈， 由题意()()()()11114034123f f f f m ++++=，403422017=⨯， 所以()()()()1111111111123(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f m f f f f f f ⎡⎤⎡⎤++++=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114034(220171)(220172)()f m f m f m ⎡⎤+++=⎢⎥-⨯+-⨯+⎣⎦， 故()2017f m =，m 为方程2017f =的最大整数解， 所以22017201720172018m =+=⨯．故选B ．【名师点睛】本题主要考查数列与函数的关系、数列的应用，解题关键是设()f x j =，,*x j N ∈，确定x 的范围，得出x 的个数，然后计算出满足()f x j =的所有1()f x 的和为2． 二、多选题1．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．下列结论正确的有A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（三） 【答案】ACD【解析】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）．已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S ．下列结论正确的有A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2） 【答案】ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【解析】因为a 11＝2，a 13＝a 61+1，所以2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， 所以a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，所以a 67＝17×36，所以S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（）12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1），故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题． 三、填空题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112a =-，且()1222n n a a n N n n *++=∈+，则10S =__________．【试题来源】广西桂林市第十八中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】1011【分析】根据题中条件，由裂项的方法得到1112n n a a n n ++=-+，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果． 【解析】因为()122211222n n a a n n n n n n ++===-+++，则()()()()()1012345678910S a a a a a a a a a a =+++++++++11111111113355779911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．2．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若11(1)(2)n n n na a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S =__________．【试题来源】江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研【答案】101223- 【分析】分n 为奇数、n 为偶数两种情况讨论，可得数列{}n a 的特点，然后可算出答案． 【解析】当n 为奇数时，()12nn a +=-，则()122a =-，()342a =-，，()991002a =-，当n 为偶数时，()12222nn n n n a a a +=+-=+，则232220a a =+=，454220a a =+=，，989998220a a =+=，又10a =，所以10110024100223S a a a -=+++=． 3．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________． 【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期第二次质量检测（理） 【答案】122n n +--【分析】根据题中条件，得到11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，判定数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，求出121n na =-，由分组求和的方法，即可求出结果． 【解析】由12n n n a a a +=+得12121n n n n a a a a ++==+，所以11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 因此数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，又11a =，所以1112a +=，因此111222n n n a -+=⨯=，所以121n n a =-，因此()()2121222 (22212)n nn n n n S n +-=+++-=-=---．故答案为122n n +--．【名师点睛】求解本题的关键在于，根据12n n n a a a +=+，由构造法，得到111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法求解即可． 4．数列{}n a 的通项公式22cos4n n a n n π=-，其前n 项和为n S ，则2021S =__________． 【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】1010．【分析】由于22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，可得数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，从而可求得其结果 【解析】因为22cos (1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，所以数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项， 所以2021246820182020S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++246820182020=-+-+-⋅⋅⋅-+(24)(68)(20182020)=-++-++⋅⋅⋅+-+1010210102=⨯=．故答案为1010 5．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足21(1)nn n a a +-=--，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有__________．【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】255【分析】根据题目所给递推关系式，求得数列{}n a 项的规律，由此进行分组求和，求得数列前30项的和．【解析】由于()211nn n a a +-=--，当n 为偶数时，20n na a +-=，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于22a =，共有15项，和为15230⨯=；当n 为奇数时，22n n a a +-=；又11a =，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为151415122252⨯⨯+⨯=． 故30天的总人数为30225255+=．故答案为255． 6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1cos2n n a n n N π=+⋅∈，则2020S =__________．【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中 【答案】3030【分析】根据题意，先确定cos2n π的周期，再求出一个周期的和，即可得出结果． 【解析】由()4coscos 2cos 222n n n ππππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，知cos 2n π的周期为4，又11cos12a π=+=，212cos 12a π=+=-， 3313cos12a π=+=， 414cos 214a π=+=+，则1234426a a a a +++=+=，所以20202020630304S =⨯=．故答案为3030．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．则数列{}n S 的前n 项和n T =__________． 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（四） 【答案】122n n +--【分析】通过前n 项和n S 与n a 的关系式以及等比数列的定义得出{}n a 及{}n S 的表达式，进而利用分组求和即可．【解析】由21n n S a =-，得111211a a a =-⇒=，由21n n S a =-，有1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，11222(2)n n n n n a a a a a n --=-⇒=， 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，122112nn n S -==--，()12122212n n n T n n +-∴=-=---．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为__________．【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】11032【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N *-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}n n a b +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和． 【解析】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，则当[)()1,x n n n N *∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-， 当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<． 所以，函数()y f x =在12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+，因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-． 【名师点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题．9．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可．【解析】因为121,(1)2nn n a a a +=+-=，所以当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，所以1002500502550S =+=，故答案为2550．【名师点睛】（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列； （2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n a a a =＋，=+，则5S 的值为__________． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】732【解析】122n n a a +=+，()1222n n a a +∴+=+，故数列{}2n a +是以2为公比，以223a +=为第二项的等比数列， 故2232n n a -+=⋅，故2322n n a -=⋅-，()5531273225122S -∴=-⨯=-，故答案为732. 【名师点睛】1n n a pa q +=+(1,0p q ≠≠的常数)递推关系求通项，构造等比数列是解题关键，属于基础题． 11．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为__________．【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试 【答案】3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案．【解析】由等比数列的前n 项和公式得()1314112821112n nn na q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===---， 由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，。
第07讲 立体几何-2022年新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)
第07讲立体几何一、单项选择题1．〔2021·全国高三专题练习〕我国古代数学名著?九章算术?中“开立圆术〞曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术〞相当于给出了球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式.根据 3.14159π=…判断，以下近似公式中最精确的一个是〔〕 A．d ≈B．d ≈C．d ≈D．d ≈【答案】D 【分析】根据球的体积公式可知332d Vπ=，将四个选项分别化简得到3d ，通过比拟近似值可得结果.【详解】球的体积3432d V π⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，3632d V V ππ∴==.3.14159π=⋅⋅⋅， 1.570792π∴=⋅⋅⋅.记1d =3116392716d V ∴==；2d =3232 1.5d V V ∴==；3d =3331.57d V ∴=；4d =343117d V ∴=. 27 1.8916≈，11 1.5717≈，2716∴，1.5，1.57，117中，117最接近2π.4d ∴更精确.应选：D.2．〔2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末〕中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒〔cuán 〕尖顶，表达天圆地方的理念，其屋顶局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥．此正四棱锥的侧棱长为侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，假设取30θ=︒，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．正四棱锥的底面边长为48m B ．正四棱锥的高为4m C．正四棱锥的体积为2D ．正四棱锥的侧面积为2 【答案】C 【分析】在如下图的正四棱锥中，设底面边长为2a ，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误. 【详解】如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，SH AB ⊥， 那么H 为AB 的中点，连接,,SO OH AO ，那么SO ⊥平面ABCD ，OH AB ⊥， 那么SHO ∠为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为2a ．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ， 这个角接近30°，取30θ=︒，∴30SHO ∠=︒，那么OH a =，OS =，SH =．在Rt SAH 中，(222a ⎫+=⎪⎪⎝⎭，解得12a =，故底面边长为()24m ，)12m =，侧面积为21424122S =⨯⨯=，体积3124243V =⨯⨯⨯=．应选：C ．3．〔2021·济宁市育才中学高二开学考试〕张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且2AB CD ==，1BC =，利用张衡的结论可得球O 的外表积为〔〕A ．30B ．2C ．D ．【答案】D 【分析】由BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，将三棱锥A BCD -放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的外表积公式即可求解. 【详解】 如下图：因为BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，1BC =，2AB CD ==， 所以将三棱锥A BCD -放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中， 三棱锥A BCD -的外接球即为该长方体的外接球，外接球的直径3AD ，利用张衡的结论可得2π5168=，那么π=所以球O的外表积为234π9π2⎛⎫== ⎪⎝⎭应选：D.4．〔2021·甘肃〔理〕〕“端午节〞为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为3cm 2，高为6cm 〔不含外壳〕的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，假设一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积，那么这两碗馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为〔参考数据：444≈．〕〔〕 A ．35，20 B ．36，20 C ．35，21 D ．36，21【答案】C 【分析】分别计算正四面体，圆柱和半球的体积，再根据题意将体积相除进行分析即可 【详解】棱长为6cm的正四面体的体积)23116cm 3V =， 底面半径为3cm 2，高为6cm 的圆柱的体积()2323276cm 22V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 半径为6cm 的半球的体积()333146144cm 23V ππ=⨯⨯=．235.5=≈，14464221.32732ππ⨯=≈， 所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，最多可包竹筒粽21个． 应选：C5．〔2021·山西高三月考〔文〕〕?九章算术?商功章记载：今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛，问周几何？即一圆柱形谷仓，高1丈3尺133寸，容纳米2000斛〔1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，3π≈〕，那么圆柱底面圆的周长约为多少？同时也有记载：“邪解立方得二堑堵“，即堑堵是两底面为直角三角形的三棱柱，如下图为一堑堵几何体，6AB =尺，10BC =尺，8BE =尺，2DCF π∠=.现提出一个问题：将圆柱形谷仓中的二千斛米用n 个堑堵分装，那么n 的最小值为〔〕 A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】D 【分析】根据题意算出圆柱的容积、堑堵的容积，再相除计算即可 【详解】由题知圆柱的体积2000 1.623240V =⨯=〔立方尺〕，堑堵的体积11681024022ABE DCF V AB BE BC -=⋅⋅=⨯⨯⨯=〔立方尺〕，而324013.5240=，所以n 的最小值为14. 应选：D6．〔2021·上海市西南位育中学高二期中〕祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，那么积不容异〞，“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，那么体积相等.由曲线224,4,4,4x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为1V ，满足()()22222216,24,24x y x y x y +≤+-≥++≥的点(),x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为2V ，那么12V V 、满足以下哪个关系式〔〕 A ．1212V V =B ．1223V V =C ．122V V =D ．12V V =【答案】D 【分析】由题意可得旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求得截面面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体的体积相等. 【详解】如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间， 用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即12V V =应选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查了祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，解题的关键祖暅原理，清楚旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间，考查学生的额转化思想，数形结合思想，属于较难题.7．〔2021·无锡市第一中学高一期中〕八角红楼是某校现址上最早的教学大楼，她是一座三层的教学楼，中间是四层的八角楼，也是该校最具历史意义的一幢建筑.“以八角红楼为标志，绿树红墙，借锡惠、运河之景，形成大气、优美之校园环境〞是该校校园的整体规划指导思想，因此在此后的综合教育楼等校园建筑的设计中，大多都以坡屋顶、八角顶和八角红楼相照应，形成了现在该校校园建筑的整体风格，给无数校友和国内外来宾留下了深刻的印象，为迎接建党100周年及110年校庆，学校考虑更换楼项红瓦，考虑到拼接重叠、各种可能的其他损耗及后期维护需要，准备按楼顶面积的1.5倍准备红瓦，八角红楼的楼顶可近似看成正八棱锥，正八棱锥的底面边长约为2m ，红瓦整箱出售，每箱50片，每片规格为20cm×30cm ，那么学校至少需要采购红瓦〔〕 A ．10箱 B ．11箱C ．12箱D ．13箱【答案】B 【分析】根据正八棱锥的底面为正八边形，侧面为8个全等的等腰三角形，等腰三角形的高即为侧面的侧高，求得其侧面积即可. 【详解】正八棱锥的底面为正八边形，侧面为8个全等的等腰三角形，等腰三角形的高即为侧面的侧高，如下图：∵22tan 8tan41tan 8πππ=-，令tan8t π=，那么221t t =-，即2210t t +-=，解得1t =-1t =-〔舍去〕∴1tan 18A H O H O H π'==='，，∴2OO OH '==121=842(2162S A A OH ⋅⋅=⋅⋅=+侧810.828=+所以学校至少需要采购红瓦11箱， 应选：B8．〔2022·全国〕我国古代数学名著?九章算术?中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?〞这里的“羡除〞，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除〞的体积为〔〕 A ．84 B ．66C ．126D ．105【答案】A 【分析】由图可知，中间局部为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式可求得结果. 【详解】按照图2中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形， 两条直角边长分别为7、3，直三棱柱的高为6，所以，直三棱柱的体积为11736632V =⨯⨯⨯=.两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形， 直角梯形的面积为()1272122S +⨯==，四棱锥的高为3h =，所以，两个四棱锥的体积之和为2121232132V =⨯⨯⨯=，因此，该“羡除〞的体积为1284V V V =+=. 应选：A. 二、多项选择题9．〔2021·山西省长治市第二中学校高一月考〕“阿基米德多面体〞也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它表达了数学的对称美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．AB = A ．该半正多面体的体积为203B ．该半正多面体过,,A B CC ．该半正多面体有外接球，且它的的外表积为8πD ．该半正多面体有内切球，且它的的外表积为4π 【答案】AC 【分析】根据几何体的体积公式判断A ，作出截面即可判断B ，根据外接球为正四棱柱可以判断C ，根据点到面的距离判断D ； 【详解】解：该半多面体，是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 对于A ：因为由正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥，所以该几何体的体积1120222811323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED，所以26S ==，故B 错误；，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，∴2222(2)2R =++，∴R∴该半正多面体的外接球的外表积22448S R πππ==⨯=，故C 正确．由根据该几何体的对称性可知，如果几何体存在内切球，那么球心一定是正方体的中心，又正方体的中心到半正多面体的四边形的面的距离为1，又顶点到三角形面的距离11111123d ⨯⨯⨯⨯==，所以正方体的中心，到三角形面的距离121233d ⎫==⎪⎭，故几何体不存在内切球，即D 错误；应选：AC10．〔2021·南京师范大学附属中学江宁分校高二开学考试〕大摆锤是一种大型游乐设备〔如图〕，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为平安束缚，配以平安带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A 处，“大摆锤〞启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈．设4OB AB =，在“大摆锤〞启动后，以下结论正确的选项是〔〕 A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，那么θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB//α；D ．直线OA 与平面α． 【答案】ABD 【分析】根据题意建立数学模型进而求解出答案. 【详解】解：因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所以OA 又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值， 所以点A 在某个定球面上运动，选项A 正确； 作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，选项B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB//α，选项C 错误；设AB a ，那么4OB a =，OA =， 当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大；此时直线OA 与平面αD 正确. 应选：ABD.11．〔2021·广东中山·〕蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928'︒，这样的设计含有深刻的数学原理．我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有?谈谈与蜂房结构有关的数学问题?，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ABCDEF A B C D E '''''-的三个顶点A ，C ，E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，那么以下结论正确的有〔〕 A ．异面直线DO 与FP 所成角的大小为10928'︒ B ．BF MN <C ．B ，M ，N ，D 四点共面 D ．cos 5444θ'=︒ 【答案】CD 【分析】对于A 选项，由异面直线DO 与FP 所成角范围即可判断；对于B 选项，不妨设正六边形的边长为2AB =，可判断BF MN =；对于C 选项，可以判断四边形BMND 是平行四边形，进而判断；对于D 选项，取BF 的中点G ，连接GA ，GM ，可得MGA θ∠=．在等腰三角形ABF 中，120BAF ∠=︒，可得GB ，GA ，在Rt GMB 中，tan 5444GBGM =︒'，进而解得二面角．【详解】解：对于A 选项，由于异面直线DO 与FP 所成角不可能为钝角10928︒'，故A 选项不正确；对于B 选项，如图1，不妨设正六边形的边长为2AB =，因为去掉的三个三棱锥全等，故,,M O N 共面，所以BDF 与MON △都是边长为BF MN =，故B 选项错误；对于C 选项，如图1，连接AE ，易知//,AE MN AE MN =，//,AE BD AE BD =，故//,BD MN BD MN =，所以四边形BMND 是平行四边形，因此B ，M ，N ，D 四点共面，故C 选项正确；对于D 选项，如图2，取BF 的中点G ，连接,GA GM ，MF MB =，MG BF ∴⊥，AF AB =AG BF ∴⊥，所以MOA ∠即为平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的平面角，即MGA θ∠=．在等腰三角形ABF 中，120BAF ∠=︒，那么3sin2332GB AB π===，1sin 2162GA AB π===．在Rt MGB △中，tan 5444GB GM '︒=，解得：tan 5444GB GM =='︒Rt G MA △中，cos 5444GA GM θ'∴==︒．故D 选项正确.应选：CD12．〔2021·河北衡水中学〕我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，那么积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，假设截得两个截面面积比为k ，那么两个几何体的体积比也为k .如以下图所示，线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，假设平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．圆柱体N 的体积为4πB ．212S S π=C ．环体M 的体积为8πD ．环体M 的体积为28π【答案】ABD 【分析】圆柱体N 的体积为4π，即可判断A ，14S ==222S r r ππ=-外内，即可判断B ，环体M 体积为2V π柱，可判断C 、D. 【详解】由圆柱体N 的体积为4π，应选项A 正确；由图可得14S ==222S r r ππ=-外内，其中(224r =外，(224r =内，故212S S ππ==，应选项B 正确； 环体M 体积为22248V ππππ=⋅=柱，应选项D 正确，选项C 错误应选：ABD 三、填空题13．〔2022·全国高三专题练习〕?九章算术?是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．在如下图的堑堵111ABC A B C -中，4AB BC ==，AC =假设阳马111C ABB A -的侧棱18C A =，那么鳖臑1C ABC -中，点C 到平面1C AB 的距离为________．【分析】由勾股定理得到ABC 是等腰直角三角形，利用线面垂直的性质可得1CC AC ⊥，分别求解1C BA △和ABC 的面积，然后由等体积法11C C AB C ABC V V --=，列式求解即可． 【详解】解：由4AB BC ==，AC =222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 故ABC 是等腰直角三角形，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，那么1CC AC ⊥，在1Rt C CA 中，AC =18C A =，所以1C C =故在1Rt C CB △中，1C B =那么1111422C BA S AB C B =⋅⋅=⨯⨯△1144822ABC S AB CB =⋅⋅=⨯⨯=△， 设点C 到平面1C AB 的距离为d ，由等体积法11C C AB C ABC V V --=，可得111133C BA ABC S d S CC ⋅⋅=⋅△△，解得d =C 到平面1C AB．． 14．〔2021·广东江门·〕古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如下图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和外表积分别为1V 、1S ，球的体积和外表积分别为2V 、2S ，那么1221V S V S ⨯=____. 【答案】1 【分析】设球的半径为R ，确定圆柱的底面半径以及高，利用圆柱和球的体积公式以及外表积公式，列式求解即可. 【详解】解：设球的半径为R ，那么圆柱的底面半径为R ，高为2R ， 所以23122V R R R ππ=⋅=，3243V R π=，2212226S R R R R πππ==+⋅=，224S R π=⋅，故32122321241463V S R R V S R R ππππ⨯=⨯=. 故答案为：1.15．〔2021·浙江杭州·高一期末〕半正多面体亦称为“阿基米德多面体〞，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如下图．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体〞花岗岩石凳，此石凳的棱长为，那么此石凳的体积是________3cm ． 【答案】1600003【分析】根据题意，该石凳是由棱长为40cm 的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，故由正方体的体积减去8个三棱锥的体积，即可求解.【详解】解：由图可知：该石凳是由棱长为40cm 的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该石凳的体积为：2111600004040408202020cm 323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：1600003. 16．〔2021·辽宁大连·〕甲烷是一种有机化合物，分子式是4CH ，它作为燃料广泛应用与民用和工业中，近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球外表温室效应不断增加，深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题，甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同，键角相等，请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间的夹角余弦值______.【答案】13-.【分析】先作出正四面体ABCD ，O 为该正四面体的中心，连接DO 交面ABC 于E ，那么E 为ABC 的中心，连接AE 交BC 于F ，那么F 为线段BC 的中点，设出该正四面体的棱长，根据E 为ABC 的中心求出AE ,进而求出DE ,设出AO 和DO 〔二者相等〕的长度并通过勾股定理解出，最后用余弦定理即可求得. 【详解】如图，正四面体ABCD ，O 为该正四面体的中心，连接DO 交面ABC 于E ，那么E 为ABC 的中心，连接AE 交BC 于F ，那么F 为线段BC 的中点，设正四面体ABCD 棱长为1，那么AF = 易知点E 是ABC的中心，∴23AE AF ==在Rt DEA中，由勾股定理：DE =AO DO x ==， 在Rt OEA中，由勾股定理：222x x x ⎫=+⇒⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴在AOD △中，由余弦定理：22211cos 3AOD +-∠==-.故答案为：13-.四、解答题17．〔2021·河北巨鹿中学高一月考〕正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体〔各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等〕.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a 〔如图〕，把它们拼接起来，使它们一个外表重合，得到一个新多面体. 〔1〕求新多面体的体积；〔2〕求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值； 〔3〕判断新多面体为几面体？〔只需给出答案，无需证明〕【答案】〔1〔2〕13-；〔3〕七面体.【分析】〔1〕分别取QR 、PT 的中点G 、N ，连接NQ 、NR 、NG ，证明出PT ⊥平面NQR ，计算出NQR △的面积，利用锥体的体积公式可求得正四面体的体积，利用锥体的体积公式可求得正八面体的体积，进而可得出新多面体的体积为正四面体和正八面体体积之积，即可得解；〔2〕在正八面体AC 中，取BF 的中点为M ，连接AM CM 、，分析出AMC ∠为二面角A BF C --的平面角，计算出ACM △三边边长，利用余弦定理可求得结果；〔3〕计算出正四面体相邻面所构成的二面角与正八面体相邻面所构成的二面角互补，由此可得出结论. 【详解】〔1〕分别取QR 、PT 的中点G 、N ，连接NQ 、NR 、NG ，如以下图所示：因为PQ QT =，N 为PT 的中点，那么QN PT ⊥且NQ =，同理可知NQ PT ⊥且NQ =， NQ NR N =，所以，PT ⊥平面NQR ，G 为QR 的中点，那么NG QR ⊥，且NG =，2112224NQR S QR NG a a =⋅=⨯=△，所以正四面体Q PRT -的体积为2311133QNRV SPT a =⋅=⨯=； 如以下图所示：在正八面体中，连接AC 交平面EFBH 于点O ，那么AO ⊥平面EFBH ，所以2EFBG S a =，AO =，所以正八面体的体积为23211223323EFBG V S AO a a =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，因为新多面体体积为原正四面体体积1V 与正八面体体积2V 之和，所以，新多面体的体积为12V V V =+=〔2〕如图，在正八面体AC 中，取BF 的中点为M ，连接AM CM 、，AB AF =，M 为BF 的中点，那么AM BF ⊥，且2AM =， 同理可知CM BF ⊥，且CM =， 所以，AMC ∠为二面角A BF C --的平面角．2AC AO ==，由余弦定理得2221cos 23MA MC AC ADC MA MC +-∠==-⋅，故二面角A BF C --的余弦值为13-；〔3〕新多面体是七面体.证明如下：由〔2〕可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为13-，设此角为α．在正四面体中，因为NQ PT ⊥，NR PT ⊥，故QNR ∠为二面角A BF C --的平面角．由余弦定理得2222221cos 23a NQ NR QR QNR NQ NR ∠⎫⎫+-⎪⎪+-===⋅，即正四面体相邻面所构成的二面角θ的余弦值为13，所以180θα+=，因此新多面体是七面体.)18．〔2021·沙坪坝·重庆八中〕?九章算术?中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为1AA 的中点，F 为1DD 的中点，13AN NB =．〔1〕求证：四棱锥11N EFC B -为阳马；〔2〕求平面NEF 与平面1NFC 所成二面角的大小． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2π.【分析】〔1〕根据题意，先证明四边形11EFC B 为矩形，再证明EN ⊥平面11EFC B 即可； 〔2〕建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可解得. 【详解】〔1〕∵E 为1AA 的中点，F 为1DD 的中点，∴11////EF AD B C ，11EF AD B C ==，EF ⊥平面11ABB A ，∴四边形11EFC B 为矩形， ∵111111111,,,22AE A B AN A E A B AA AA AB ==⊥⊥， ∴111ANE A EB NE B E ⊥∽，．又∵EF ⊥平面11ABB A ，∴EF EN ⊥，又1B E EF E ⋂=，∴EN ⊥平面11EFC B ， ∴四棱锥11N EFC B -为阳马.〔2〕以D 为坐标原点，DA →为x 轴正方向，DC →为y 轴正方向，1DD →为z 轴正方向， 如下图建立空间直角坐标系．那么()()()11112,,0,2,0,1,0,0,1,0,2,2,0,,1,2,,1222N E F C NE NF →→⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，132,,22NC →⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面NEF 的法向量为()1111,,n x y z →=，那么1111111100210202y z n NE n NF x y z ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩，令z =-1，那么()10,2,1n →=--.同理可得：平面NEF 的法向量25,2,42n →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.那么12cos ,0n n →→<>==，所以平面EFN 与平面1NFC 所成二面角为2π． 19．〔2021·江西高三开学考试〔理〕〕中国是风筝的故土，南方称“鹞〞，北方称“鸢〞，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ． 〔1〕求证：PD AC ⊥；〔2〕试验说明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2【分析】〔1〕利用PO ⊥平面ABCD 可得PO AC ⊥，再利用AC BD ⊥即可；〔2〕以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系即可求出；或利用等体积法--P BCD D PBC V V =三棱锥三棱锥也可. 【详解】〔1〕证明：∵PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PO AC ⊥，又AC BD ⊥，PO BD O =，PO ⊂平面POD ，BD ⊂平面POD ，∴AC ⊥平面POD ， 又PD ⊂平面POD ． ∴PD AC ⊥．〔2〕解：法一：如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，那么()4,0,0B ，()0,8,0C ，()4,0,0D -，()002P ,,，∴()4,0,2PB =-，()0,8,2PC =-，()4,0,2PD =--， 设(),,m a b c =为平面PBC 的法向量，那么00m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即420820a c b c -=⎧⎨-=⎩，令4c =，那么()2,1,4m =， 设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，那么4sin 16PD m PD mθ-⋅===法二：如图，在Rt POB中，由222PB PO OB =+得PB = 在Rt POC中，由222PC PO OC =+得PC = 在Rt POD中，由222PD PO OD =+得PD = 在Rt BOC 中，由222BC BO OC=+得BC =在PBC 中，由222cos 2PB BC PCPBC PB BC +-∠=⨯22225+-==，得sin PBC∠==11sin225PBCS PB BC PBC=⋅⋅⋅∠=⨯=△设点D到平面PBC的距离为h，由--P BCD D PBCV V=三棱锥三棱锥，得111323PBCBD OC OP S h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯△，即2PBCBD OC OPhS⨯⨯===△，设直线PD与平面PBC所成的角为θ，那么sinhPDθ===20．〔2021·全国高三专题练习〔理〕〕2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带〞，就像速度滑冰运发动高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带〞又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带〞呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，表达了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如?九章算术?中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在?缀术?提出祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体假设在所有等高处的水平截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等.〔Ⅰ〕利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；〔Ⅰ〕现将椭圆()222210x ya ba b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A，B〔如图〕，类比〔Ⅰ〕中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A，B的体积之比.【答案】〔Ⅰ〕答案见解析；〔Ⅰ〕243AV abπ=，体积之比为ba.【分析】〔Ⅰ〕由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明； 〔Ⅰ〕类比〔Ⅰ〕可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案. 【详解】〔Ⅰ〕由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环〔如阴影局部〕 证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22R d π-，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为()22R d π-，所以，截得的截面的面积相等〔Ⅰ〕类比〔Ⅰ〕可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上〔如图〕，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积()2222b a d aπ-，在圆柱内圆环的面积为()22222222b b b d a d a aπππ-=-∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等， 根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：()222142233A V V V b a b a ab πππ⎛⎫=-=⋅⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，同理：椭球B 的体积为243B V a b π=所以，两个椭球A ，B 的体积之比为ba.【点睛】关键点点睛：此题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.21．〔2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考〕在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉〔如题21图〔1〕〕是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所创造的一。
联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题
联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。
长治市第二中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考化学试题及答案
2022—2023学年第一学期高二第一次月考化学试题【本试卷分为选择题和非选择题两部分，共100分。
考试时间90分钟】可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（每小题3分，共48分。
每小题只有一个正确选项，将正确答案填涂在答题卡上）1．下列事实不能用勒夏特列原理解释的是A．压缩氢气与碘蒸气反应的平衡混合气体，颜色变深B．工业制取金属钾Na(l)+KCl(l)⇌NaCl(l)+K(g)选取适宜的温度，使K变成蒸气从反应混合物中分离出C．用排饱和食盐水法收集Cl2D．可用浓氨水和氢氧化钠固体快速制取氨气2．下列有关热化学方程式，说法正确的是A．甲烷的燃烧热为890.3 kJ·mol-1,则甲烷燃烧热的热化学方程式可表示为CH4(g)+2O2(g)=CO2(g)+2H2O(g) ΔH=－890.3 kJ·mol-1B．已知:S(s)+O2(g)=SO2(g) ΔH1，S(g)+O2(g)=SO2(g) ΔH2，则ΔH1>ΔH2C．已知热化学方程式：N2(g)＋3H2(g)⇌2NH3(g)ΔH＝－92.4 kJ·mol－1，则在此条件下向某容器充入0.5molN2和1.5molH2充分反应后，可放出46.2kJ的热量D．已知强酸和强碱稀溶液的中和热可表示为:H+(aq)+OH-(aq)=H2O(l)ΔH=-57.3 kJ·mol-1，则：H2SO4(aq)+Ba(OH)2(aq)=BaSO4(s)+2H2O(l)ΔH=－114.6 kJ·mol-13．下列说法正确的是A．非自发反应就是一定不能实现的反应B．因为焓变和熵变都与反应的自发性有关，因此焓变和熵变均可以单独作为反应自发性的判据C．反应2Mg(s)+CO2(g)=C(s)+2MgO(s) 能自发进行，则该反应的ΔH>0D．反应NH4HCO3(s)=NH3(g)+H2O(g)+CO2(g) ΔH=+185.57 kJ·mol-1能自发进行，原因是熵增效应大于焓增效应4．反应C(s)＋H2O(g)⇌CO(g)＋H2(g)在密闭容器中进行，下列关于该反应的说法正确的是A．若该反应ΔH>0，则升高温度，v正增大，v逆减小B．增加H2O(g)的浓度，增大了活化分子百分数，能使反应速率加快C．保持容积不变，充入Ar使体系压强增大，可以加快反应速率D．保持压强不变，充入Ar能使反应速率减小5．甲酸常被用于橡胶、医药等工业。
山西省长治市第二中学2020┄2021学年高二上学期第二次月考英语试卷+Word版含答案
【本试卷满分150分，考试时间120分钟】第Ⅰ卷（选择题共100分）第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题，每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the woman？A. A student.B. A secretary.C. A teacher.2. What does the woman say about Tom？A. He works hard.B. He is clever.C. He is popular.3. What are the speakers talking about？A. Where to meet Mr Jackson.B. Whether to call Mr Jackson.C. When to meet Mr Jackson.4. How will the man go to the airport tomorrow？A. By bus.B. By taxi.C. By car.5. Where will the woman go tonight？A. T o a party.B. To a theatre.C. T o the man’s home.第二节听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话读或独白两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. What is the boy’s favourite song？A. My Love.B. Yesterday Once More.C. My Heart Will Go on.7. What does the boy think of the song My Heart Will Go On？A. Noisy.B. Boring.C. Great.第7段材料，回答第8、9题。
2024年山西省长治市内第二中学高一数学文联考试题含解析
2024年山西省长治市内第二中学高一数学文联考试题含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.下列选项中，哪一个不是函数的基本性质？2.设函数f(x) = x²，下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=0处连续，但在x=0处不可导B. f(x)在x=0处连续且可导C. f(x)在x=0处不可连续，但在x=0处可导D. f(x)在x=0处既不可连续，也不可导3.下列哪个向量是单位向量？A. (1,0)B. (1,1)C. (0,1)D. (1,√2)4.设矩阵A =[[1,2],[3,4]],则A的行列式值为？5.已知函数f(x) = sin(x)，则f(x)的周期为？二、判断题（每题1分，共5分）1.任何一个连续函数必定是可导的。
2.若两个向量垂直，则它们的点积为0。
3.矩阵的行列式值等于矩阵的逆矩阵的行列式值。
4.若函数在某个区间内单调增加，则该函数在该区间内连续。
5.函数的极限值一定等于函数在该点的值。
三、填空题（每题1分，共5分）1.设向量a = (1,2)，则|a| = ______。
2.矩阵A =[[1,2],[3,4]]的逆矩阵为______。
3.函数f(x) = e^x在x=0处的导数为______。
4.设平面上的点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则向量AB与向量AC的夹角θ满足______。
5.若复数z = 3 + 4i，则z的模为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.描述一下向量空间的基本概念。
2.证明：任意一个n×n矩阵A都可以分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积。
3.解释一下“洛必达法则”的含义及应用。
4.简述“泰勒公式”的意义。
5.描述函数极限的概念。
五、计算题（每题2分，共10分）1.计算积分：∫(从0到π) sin(x) dx。
2.已知矩阵A =[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的行列式值。
3.求函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项。
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① ， ② ， ③ ， ④
A．①③B．①④C．②③D．②④
5．平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为
A． B． C． D．
6．直线 与平面 内的两条直线都垂直，则直线 与平面 的位置关系是
A．平行B．垂直C．在平面 内D．无法确定
所以，平面EFO∥平面PCD．...............................................6分
（2）因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC＝A
所以BD⊥平面PAC
又BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．................................................12分
18．解：（1）因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 .
又在直棱柱 中，有 ，所以 ..................................6分
（2）连接 ，因为棱柱 为直棱柱，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .又 平面 ，所以 .
在直棱柱 中，有四边形 为平行四边形.
又因为 ，所以四边形 为菱形，所以 .
又 , 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .............................12分
19.解：（1）因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC
又EO 平面PCD，PC 平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO＝O
一、选择题：
1-5：DCDAC6-10:DACCB11-12:AC
二、填空题：
13． 14. 15. 16.
三、解答题：
17.（1）S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝ ×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π............5分
（2）V＝V半球＋V正方体＝ × π×13＋23＝8＋ π..................................10分
（1）平面 ∥平面 ；
（2）平面 ⊥平面 ．
20．(本题满分12分)
如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形， ， ，且平面 平面 ， ，点 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
21．(本题满分12分)
如图， 平面 ，四边形 为矩形， ， ，点 是 的中点，点 在边 上移动.
（1）求三棱锥 的体积；
正六棱柱的体积
又
所以当 时， 有最大值，也即 取得最小值，
此时 ， .................................................12分
面 ∩面 ， 平面 ，
平面 ，即 为三棱锥 的高．
∵在 中， ， 是正三角形， ，
由 知 ， ，
∴三棱锥 的体积
.................................12分
21.解：（1）因为 平面 ，四边形 为矩形， ， ，
所以 ，
所以 ；.............................................6分
7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
A． B． C． D．
8．在正方体 中， 分别是 的中点， 为正方形 的中心，则
A．直线 是异面直线，且 B．直线 是异面直线且
C．直线 是相交直线，且 D．直线 是相交直线且
9．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三角形③正方形④梯形，其中正确的个数有
三、解答题：本大题共70分
17．(本题满分10分)
某几何体的三视图如图所示：
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
18．(本题满分12分)
如图，在直棱柱 中， ， ， ， 分别是棱 ， 上的点，且 平面 .
（1）证明： // ；
（2）求证： .
19．(本题满分12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 为 的中点， 为 的中点，底面 是菱形，对角线 交于点 ．求证：
（2）证明：无论点 在边 的何处,都有 .
22．(本题满分12分)
如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 .
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
（2）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长 和高 满足： （ 为定值），则当底面边长 和高 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
文科数学试题答案
14．已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为_________.
15．如图所示，在圆锥 中， 为底面圆的两条直径 ，且 , ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为__________.
16．四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， ⊥平面 ，则球 的表面积为_______．
20.解：（1）证明：取 中点 ，连 ，
∵ 为对角线 的中点， 且
又 且 ， 且
∴四边形 为平行四边形，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．............................................................................6分
（2）作 垂足为 ，由平面 ⊥平面 ，
由正六边形性质知 是平行四边形，从而得 是直四棱柱，则 且 所以四边形 是平行四边形，所以 ,
所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.
在三角形 中，由平面几何知识和余弦定理得： ， ， ,
...................................6分
（2）由题知，正六棱柱的表面积
山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二第一学期第一次月考数学试题（文科）
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示的组合体，其结构特征是
A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知圆锥的顶点为 ，母线长为2，底面半径为 ， ， 为底面圆周上两个动点，则下列说法不一定正确的是
A．圆锥的高为1B．三角形 为等边三角形
C．三角形 面积的最大值为2D．直线 与圆锥底面所成角的大小为
11．棱长为2的正方体 中，M是 的中点，N是 的中点，则 到平面MNB的距离为
（2）因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且点 是 的中点，
所以 ；
又 ， ， ，
所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
由 可得 平面 ；
又 平面 ，
所以无论点 在边 的何处,都有 .................................12分
22..解：（1）补形：延长 相交于 点，延长 相交于 点，连接
C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体
2．给出下列四个说法，行直线共面；
C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；D．空间三点确定一个平面.
3．用符号表示“点 在直线 上， 在平面 内”，正确的是
A． B． C． D．
A． B． C． D．
12．如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 ．若 为线段 的中点，则在 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
A． 是定值
B．点 在某个球面上运动
C．存在某个位置，使
D．存在某个位置，使 平面
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是________.