2020-2021学年山西省长治市第二中学校高二第一学期第一次月考数学(文)
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三、解答题：本大题共70分
17．(本题满分10分)
某几何体的三视图如图所示：
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
18．(本题满分12分)
如图，在直棱柱 中， ， ， ， 分别是棱 ， 上的点，且 平面 .
（1）证明： // ；
（2）求证： .
19．(本题满分12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 为 的中点， 为 的中点，底面 是菱形，对角线 交于点 ．求证：
20.解：（1）证明：取 中点 ，连 ，
∵ 为对角线 的中点， 且
又 且 ， 且
∴四边形 为平行四边形，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．............................................................................6分
（2）作 垂足为 ，由平面 ⊥平面 ，
一、选择题：
1-5：DCDAC6-10:DACCB11-12:AC
二、填空题：
13． 14. 15. 16.
三、解答题：
17.（1）S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝ ×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π............5分
（2）V＝V半球＋V正方体＝ × π×13＋23＝8＋ π..................................10分
A． B． C． D．
12．如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 ．若 为线段 的中点，则在 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
A． 是定值
B．点 在某个球面上运动
C．存在某个位置，使
D．存在某个位置，使 平面
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是________.
山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二第一学期第一次月考数学试题（文科）
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示的组合体，其结构特征是
A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知圆锥的顶点为 ，母线长为2，底面半径为 ， ， 为底面圆周上两个动点，则下列说法不一定正确的是
A．圆锥的高为1B．三角形 为等边三角形
C．三角形 面积的最大值为2D．直线 与圆锥底面所成角的大小为
11．棱长为2的正方体 中，M是 的中点，N是 的中点，则 到平面MNB的距离为
C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体
2．给出下列四个说法，其中正确的是
A．线段 在平面 内，则直线 不在平面 内；B．三条平行直线共面；
C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；D．空间三点确定一个平面.
3．用符号表示“点 在直线 上， 在平面 内”，正确的是
A． B． C． D．
（2）因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且点 是 的中点，
所以 ；
又 ， ， ，
所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
由 可得 平面 ；
又 平面 ，
所以无论点 在边 的何处,都有 .................................12分
22..解：（1）补形：延长 相交于 点，延长 相交于 点，连接
由正六边形性质知 是平行四边形，从而得 是直四棱柱，则 且 所以四边形 是平行四边形，所以 ,
所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.
在三角形 中，由平面几何知识和余弦定理得： ， ， ,
...................................6分
（2）由题知，正六棱柱的表面积
（2）证明：无论点 在边 的何处,都有 .
22．(本题满分12分)
如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 .
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
（2）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长 和高 满足： （ 为定值），则当底面边长 和高 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
文科数学试题答案
4．设 、 、 是三个不同平面， 是一条直线，下列各组条件中可以推出 的有
① ， ② ， ③ ， ④
A．①③B．①④C．②③D．②④
5．平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为
A． B． C． D．
6．直线 与平面 内的两条直线都垂直，则直线 与平面 的位置关系是
A．平行B．垂直C．在平面 内D．无法确定
所以，平面EFO∥平面PCD．...............................................6分
（2）因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC＝A
所以BD⊥平面PAC
又BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．................................................12分
7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
A． B． C． D．
8．在正方体 中， 分别是 的中点， 为正方形 的中心，则
A．直线 是异面直线，且 B．直线 是异面直线且
C．直线 是相交直线，且 D．直线 是相交直线且
9．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三角形③正方形④梯形，其中正确的个数有
面 ∩面 ， 平面 ，
平面 ，即 为三棱锥 的高．
∵在 中， ， 是正三角形， ，
由 知百度文库， ，
∴三棱锥 的体积
.................................12分
21.解：（1）因为 平面 ，四边形 为矩形， ， ，
所以 ，
所以 ；.............................................6分
又因为 ，所以四边形 为菱形，所以 .
又 , 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .............................12分
19.解：（1）因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC
又EO 平面PCD，PC 平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO＝O
18．解：（1）因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 .
又在直棱柱 中，有 ，所以 ..................................6分
（2）连接 ，因为棱柱 为直棱柱，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .又 平面 ，所以 .
在直棱柱 中，有四边形 为平行四边形.
（1）平面 ∥平面 ；
（2）平面 ⊥平面 ．
20．(本题满分12分)
如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形， ， ，且平面 平面 ， ，点 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
21．(本题满分12分)
如图， 平面 ，四边形 为矩形， ， ，点 是 的中点，点 在边 上移动.
（1）求三棱锥 的体积；
正六棱柱的体积
又
所以当 时， 有最大值，也即 取得最小值，
此时 ， .................................................12分
14．已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为_________.
15．如图所示，在圆锥 中， 为底面圆的两条直径 ，且 , ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为__________.
16．四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， ⊥平面 ，则球 的表面积为_______．
17．(本题满分10分)
某几何体的三视图如图所示：
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
18．(本题满分12分)
如图，在直棱柱 中， ， ， ， 分别是棱 ， 上的点，且 平面 .
（1）证明： // ；
（2）求证： .
19．(本题满分12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 为 的中点， 为 的中点，底面 是菱形，对角线 交于点 ．求证：
20.解：（1）证明：取 中点 ，连 ，
∵ 为对角线 的中点， 且
又 且 ， 且
∴四边形 为平行四边形，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．............................................................................6分
（2）作 垂足为 ，由平面 ⊥平面 ，
一、选择题：
1-5：DCDAC6-10:DACCB11-12:AC
二、填空题：
13． 14. 15. 16.
三、解答题：
17.（1）S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝ ×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π............5分
（2）V＝V半球＋V正方体＝ × π×13＋23＝8＋ π..................................10分
A． B． C． D．
12．如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 ．若 为线段 的中点，则在 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
A． 是定值
B．点 在某个球面上运动
C．存在某个位置，使
D．存在某个位置，使 平面
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是________.
山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二第一学期第一次月考数学试题（文科）
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示的组合体，其结构特征是
A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知圆锥的顶点为 ，母线长为2，底面半径为 ， ， 为底面圆周上两个动点，则下列说法不一定正确的是
A．圆锥的高为1B．三角形 为等边三角形
C．三角形 面积的最大值为2D．直线 与圆锥底面所成角的大小为
11．棱长为2的正方体 中，M是 的中点，N是 的中点，则 到平面MNB的距离为
C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体
2．给出下列四个说法，其中正确的是
A．线段 在平面 内，则直线 不在平面 内；B．三条平行直线共面；
C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；D．空间三点确定一个平面.
3．用符号表示“点 在直线 上， 在平面 内”，正确的是
A． B． C． D．
（2）因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且点 是 的中点，
所以 ；
又 ， ， ，
所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
由 可得 平面 ；
又 平面 ，
所以无论点 在边 的何处,都有 .................................12分
22..解：（1）补形：延长 相交于 点，延长 相交于 点，连接
由正六边形性质知 是平行四边形，从而得 是直四棱柱，则 且 所以四边形 是平行四边形，所以 ,
所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.
在三角形 中，由平面几何知识和余弦定理得： ， ， ,
...................................6分
（2）由题知，正六棱柱的表面积
（2）证明：无论点 在边 的何处,都有 .
22．(本题满分12分)
如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 .
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
（2）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长 和高 满足： （ 为定值），则当底面边长 和高 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
文科数学试题答案
4．设 、 、 是三个不同平面， 是一条直线，下列各组条件中可以推出 的有
① ， ② ， ③ ， ④
A．①③B．①④C．②③D．②④
5．平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为
A． B． C． D．
6．直线 与平面 内的两条直线都垂直，则直线 与平面 的位置关系是
A．平行B．垂直C．在平面 内D．无法确定
所以，平面EFO∥平面PCD．...............................................6分
（2）因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC＝A
所以BD⊥平面PAC
又BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．................................................12分
7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
A． B． C． D．
8．在正方体 中， 分别是 的中点， 为正方形 的中心，则
A．直线 是异面直线，且 B．直线 是异面直线且
C．直线 是相交直线，且 D．直线 是相交直线且
9．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三角形③正方形④梯形，其中正确的个数有
面 ∩面 ， 平面 ，
平面 ，即 为三棱锥 的高．
∵在 中， ， 是正三角形， ，
由 知百度文库， ，
∴三棱锥 的体积
.................................12分
21.解：（1）因为 平面 ，四边形 为矩形， ， ，
所以 ，
所以 ；.............................................6分
又因为 ，所以四边形 为菱形，所以 .
又 , 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .............................12分
19.解：（1）因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC
又EO 平面PCD，PC 平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO＝O
18．解：（1）因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 .
又在直棱柱 中，有 ，所以 ..................................6分
（2）连接 ，因为棱柱 为直棱柱，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .又 平面 ，所以 .
在直棱柱 中，有四边形 为平行四边形.
（1）平面 ∥平面 ；
（2）平面 ⊥平面 ．
20．(本题满分12分)
如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形， ， ，且平面 平面 ， ，点 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
21．(本题满分12分)
如图， 平面 ，四边形 为矩形， ， ，点 是 的中点，点 在边 上移动.
（1）求三棱锥 的体积；
正六棱柱的体积
又
所以当 时， 有最大值，也即 取得最小值，
此时 ， .................................................12分
14．已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为_________.
15．如图所示，在圆锥 中， 为底面圆的两条直径 ，且 , ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为__________.
16．四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， ⊥平面 ，则球 的表面积为_______．