实验 模拟法测绘静电场

实验三 模拟法测绘静电场

随着静电应用、静电防护和静电现象研究的日益深入，常需要确定带电体周围的电场分布情况.用计算方法求解静电场的分布一般比较复杂和困难，而且，直接测量静电场需要复杂的设备，对测量技术的要求也高，所以常常采用模拟法来研究和测量静电场.

【实验目的】

1. 学习用模拟法描述和测绘静电场分布的概念和方法.

2. 测量等位线、描绘电力线.

3. 加深对静电场强度、电位和电位差概念的理解.

【实验仪器】

静电场测绘仪一套，静电场描绘仪专用电源（10 V ，1 A ）一台，导线等.

【实验原理】

1. 用电流场模拟静电场带电体在其周围空间所产生的电场，可用电场强度E 和电位U 的空间分布来描述.为了形象地表示电场的分布情况，常采用等位面和电力线来描述电场.电力线是按空间各点电场强度的方向顺次连成的曲线，等位面是电场中电位相等的各点所构成的曲面.电力线与等位面是相互正交的，有了等位面的图形就可以画出电力线.反之亦然.我们所说的静电场测量就是指测绘出静电场中等位面和电力线的分布图形.它是了解电场中的一些物理现象或控制带电粒子在电磁场中的运动所必须解决的问题，它对科研和生产都是十分有用的，例如用测量电子管、示波管、显像管和电子显微镜等多种电子束管内部电场的分布来研究其电极的形状等.

用电流场来模拟静电场是研究静电场的一种方法.由电磁学理论可知电解质中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性.在电流场的无源区域中，电流密度矢量j 满足

0s

j ds ⋅=⎰⎰

0l

j dl ⋅=⎰

(8-1)

在静电场的无源区域中，电场强度矢量E 满足 0s

E ds ⋅=⎰⎰

0l

E dl ⋅=⎰ (8-2)

由式（8-1）（8-2）可看出电流场中的电流密度矢量j 和静电场中的电场强度矢量E 所

遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性.在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们解的表达式具有相同的数学形式.如果把连接电源的两个电极放在不良导体的溶液（水液或导电纸）中，在溶液中将产生电流场.电流场中有许多电位相同的点，测出这些电位相同的点，描绘成面就是等位面.这些面也是静电场中的等位面.通常电场的分布是在三维空间中，但在水液（或导电纸）中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布.这样，等位面就成了等位线，根据等位线与电力线正交的关系，即可画出电力线.这些电力线上每一点的切线方向就是该点电场强度E 的方向.这样可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了（如图8-1）.

图8-1用等位线和电力线表示的静电场的分布

为了检测电流场中各等电位点时，不影响电流线的分布，测量支路不能从电流场中取出电流，因此，必须使用高内阻电压表或电位差计进行测绘.

2. 同轴圆柱形导体间的电场分布

现用同轴圆柱形电极具体说明电流场与静电场的相似性.如图8-1（a ）所示，将其置于电解质导电纸或水液中，在电极之间加电压0U （A 为正，B 为负）.由于电极形状是轴对称的，电流自A 向B 在水液（导电纸）中形成一个径向均匀的稳恒电流场.静电场中带电导体的表面是等位面，模拟场中的电极的良导体的电导率要远远大于水液（导电纸）的电导率，才能认为电极也是等位面.有了“模拟场”，可以分析它与静电场的相似性. （1）静电场.

根据高斯定理，同轴圆柱面间的电场强度E 为

02E r

τ

πε=

(8-3)

式中，τ为柱面上电荷密度，r 为两柱面间任意一点距轴心的距离，如图8-2所示.设1r 为内圆柱面半径，2r 为外圆柱面半径，则两柱面间的电位差0U 为

221

1

200

1

ln

22r r r r r dr U Edr r

r τ

τ

πεπε=

=

=

⎰

⎰

(8-4)

半径为r 的任意点与外柱面间的电位差为

2220

ln

22r r r r

r

r U Edr r

τ

τ

πεπε=

=

⎰

⎰

(8-5)

由式（8-4）和（8-5）得

2

21ln

ln r r r U U r r =或2

2

01

ln ln r r U r r U r =

(8-6)

图8-2同轴圆柱面两柱面间任意一点轴心的距离

(2)电流场.

为了计算电流场的电位分布，先计算两柱面间的电阻，后计算电流，最后计算任意两点间的电位差.设不良导电介质薄层（水液或导电纸的石墨）厚度为l ，电阻率为ρ,则任意半径r 到r+dr 的圆周之间的电阻是

d 22dr dr dr R s rl

l

r

ρ

ρ

ρ

ππ===

⋅

(8-7)

将式（8-7）积分得到半径r 到半径2r 之间总电阻

222ln

22r rr r

r dr R l

r

l

r

ρ

ρ

ππ=

=

⎰ (8-8)

同理可得半径r 到半径2r 之间的总电阻

2121

21

ln

22r r r r r dr R l

r

l

r ρ

ρ

ππ=

=

⎰

(8-9)

因此，从内柱面到外柱面的电流为

12

012021

2ln

r r U l

I U r R r πρ=

=

(8-10)

则外柱面2U =0至半径r 处的电位

2212

120rr r rr r r R U I R U R ==

(8-11)