高中数学 正难则反,巧用反证法证明不等式解题思路大全
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。
不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。
本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。
一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。
在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。
例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。
解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。
接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。
因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。
二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。
这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。
可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。
例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。
解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。
具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第19讲 正难则反与反证法-解析版
第19讲正难则反与反证法正与逆通常指事物矛盾的双方，反映在数学解题中，主要体现于解题的思维进程中，一般的解决问题的过程，总是先从正面入手进行思考，即从条件出发顺向的思考，这是解题的一种基本的思想方法.大量的习题都是循着正向思维来解决的，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，但有时会遇到从正面入手不易解决，即正向思维受阻的情况.根据事物往往互为因果，具有双向性和可逆性的特征，此时应从问题的反面去思考，“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难就逆向推导，直接证明有困难就间接证明，正向求解有困难就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左，即从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，从而使问题获得解决“正难则反”的解题方法常能收到意料不到的功效，这种“逆”恰好弥补了“正”的不足。
正难则反的解题方法的运用主要包括两个方面：一是使用定义、定理、公式、法则时的逆向思维；二是运用思想方法时的逆向思维，它包括举反例、反证法、分析法、同一法、主客元的互换、分子有理化、补集思想等方法策略，因为运用逆向思维解题能打破常规，所以解法往往不落俗套.中国历史上流传至今的“草船借箭”与“司马光砸缸”的故事，其魅力概源于逆向思维.三国时代周瑜妒忌诸葛亮的才能，委托诸葛亮10日之内督造出10万支箭，这根本是办不到的，诸葛亮明知周瑜要害他但还是痛快地答应只需3天便可造出10万支箭，但诸葛亮压根就没有去造，而是“借”，并且不是从朋友，而是从敌人曹操那里去借，并且获得成功，这是诸葛亮处处留心观察天时、地利，精心筹划，随着实际情况而灵活运用的成果，这种开放性思考是周瑜辈所“望尘莫及”的.同样，司马光砸缸救人的故事也体现了逆向思维的功效.因为在一般人的思维中，有人落水，要救人必须让“人离开水”，而仅靠一起玩要的小伙伴，要做到把人营救出水缸是不可能的，司马光的机智在于面对紧急险情，果断地用石头把缸砸破，让“水离开人”，巧妙地运用“正难则反”的策略解决问题，在数学学习中应加强逆向思维的训练，注意以下几点：(1)数学命题中，定理不一定可逆，但定义总是可逆的，应当学会从正反两个方面运用定义，提升数学思维的灵活性的水平.(2)注意公式的逆用.逆用公式与顺用公式同等重要，有时将公式反用或适当改变公式形式再用，往往能收到化繁为简的效果.(3)对数学常规问题提法与推断进行逆向思考.(4)注意解题中的可逆性原则.正难则反分析体现得最完美的是反证法，证明一个数学命题，当直接证法难以实施时，则可考虑用反证法这一间接证法.但话说回来，何谓反证法?一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面人手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法.反证法是一种最常见的证明方法，成语“自相矛盾”中“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法。
高中数学：不等式题目的七种证明方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。
同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
高中数学基本不等式解题技巧
作者：李浩
来源：《家长·中》2019年第04期
众所周知，数学具有较强的复杂性、逻辑性，导致部分学生会产生畏难心理，难以感受到数学的趣味。在学习不等式的过程中，需要不断积累经验，并提高理论知识运用的能力，从而可以逐渐形成解题技巧，避免出现解题失误或者效率低等问题。
一、高中数学中不等式的反证解题技巧
例2：已知有n个圆，每两个圆会在两点相交，每3个圆不会在同一点相交。请证明：这n个圆将平面分成的部分为f（n）=n²-n+2。
解析：在证明f（n）=n²-n+2公式成立的过程中，可以采用归纳法的方式。等n等于1时，f（1）等于2。因此，当n等于1时，存在公式n²+n+2等于2成立，因此命题是成立的。另外，也可以假设n等于k，同时第k+1个圆的圆心用O表示，并结合题目的条件进行后续的证明。通过以上两种不同的方式，均可以证明f（n）=n²-n+2成立，其中实现了对不等式性质的合理运用，从而有效降低题目的难度，对于获取正确的证明结果具有重要意义。
二、高中数学中不等式的性质解题技巧
在对不等式进行解析的过程中，可以实现对不等式性质的合理运用。实际上，这一解题方式是最为基础的，能够在很多类型的题目中得到应用。例如：不等式具有传递性，如果a大于b，b大于c，則意味着a大于c。另外，不等式还具备可加性的特点，加深a大于b，那么a+c必然大于b+c，同时ac也同样大于bc。结合如下例题，实现对不等式性质应用方式的分析。
三、高中数学中不等式的换元解题技巧
在分析不等式的过程中，可以将其式子看作整体，然后使变量对其进行替换，从而让问题的解题更加简便。此种解题方式，便可以称之为换元法，实现对不等式的转化。在这一过程中，需要重视置换元、构建元两个要素。具体而言，换元法是以等量代换为基础的进一步延伸，可以实现对研究对象的变换，实现对问题的转移。另外，换元法还可以叫做辅助元素法，即在不等式中引入全新的变量，实现对分散条件的综合处理，并使其中的隐藏条件凸显出来。或者解题期间将结论、条件结合起来，使其成为最为熟悉的结构，为解题提供便利。
高中数学不等式解题技巧
不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a,1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
高考数学复习点拨 反证法要点解密
反证法——要点解密反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。
一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。
1． 反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、公理矛盾；自相矛盾。
2． 反证法解决的常见题型： （1）否定性问题： （2）存在性问题； （3）唯一性问题： （4）分类性问题。
例1 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。
求证：12xy+<或12y x +<中至少有一个成立。
分析：注意到“至少”字样，可考虑用反证法证明。
证明：假设12xy+≥与12y x +≥同时成立， 又0,0x y >>，∴12,12.x y y x +≥⎧⎨+≥⎩将以上两式相加得2x y +≤，这与已知条件2x y +>矛盾，因此假设不成立。
故12xy+<或12y x +<中至少有一个成立。
导评：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p 则q 为真”，该证“若p 则q ⌝为假”，因此，反证法的核心是从q ⌝出发导出矛盾。
例2 设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为整数，且()0f 、()1f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根。
分析：若直接证明否定性命题比较困难，故运用反证法处理。
证明：假设方程()0f x =有一个整数根k ，则20ak bk c ++=。
① ∵()0f c =，()1f a b c =++均为奇数，∴ a b +必为偶数，当k 为偶数时，令()2k n n Z =∈，则()224222ak bk n a nb n na b +=+=+必为偶数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令()21k n n Z =+∈，则()()2212a k b k n n a a b +=+++为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾。
【技巧题型】不等式题目的七种证明方法
【技巧题型】不等式题目的七种证明方法高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
今天，我就来总结一下不等式的证明方法。
1比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
2分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
3反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; 4）肯定原来命题的结论是正确的。
4放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
高中不等式题的几个解题技巧分析
高中不等式题的几个解题技巧分析摘要：关于不等式，一直是学生学习的难点，也是高考考试的重点，学生在日常学习中应掌握学习技巧与思路，以便不等式知识的了解与掌握。
笔者结合实际情况，就高中学习中常见的几类不等式进行了说明，并对不等式解题所常用的方式及方法进行了说明与分享，以便后期学生参考并提高不等式学习效率。
关键字：高中不等式；解题技巧；数形结合不等式是高中数学学习的重要部分，属于难点,也是重点。
基于实际情况，大多学生在不等式学习中存在较多困惑，对不等式的求解不知从何下手及采取何种方式应对，其结果必然导致解题失误或浪费时间，不利于学生学习，且可能在高考考试中浪费时间过长而造成时间不足。
因此，学生学会不等式解题技巧尤为关键，也是学好不等式的主要方法。
1高中不等式分类及说明在数学学习中存在等量关系与非等量关系，不等式则属于非等量关系的一种，学好不等式对解决数学及实际生活中所存的一系列问题具有极其重要的价值。
就高中不等式类型，主要包括以下几种：其一，一元二次不等式，该类不等式与一元二次函数具有极大关联性；对于该类不等式解题，其最直接的思路在于将不等式转化为一元二次函数，并利用函数图线找到不等式所对应的节点，以实现求解的目的。
但对于该类不等式，大多学生在求解中主要会由于学生分解因式能力不足及不能合理利用一元二次方程进行求解，导致解题错误及效率低下。
其二，参数不等式是近些年高中数学学习的重点，也是高考常见题型。
对于该类不等式的求解，学生应具备较好分析问题与解决问题的能力，以便学生能够正确应对不等式知识及求解[1]。
其三，绝对值不等式也是一种常见的不等式，其主要解题方式是通过分类及分项的方式去除绝对值符号，之后转化为常规不等式求解；即将不等式定义域进行划分，转化为多阶函数，达到求解的目的。
其四，其他类型的不等式，其求解应采取适当的转化思想，即转化为熟悉的不等式进行求解，以起到加深理解及简化步骤的目的。
2常见不等式求解思路及技巧说明综合来讲，不等式属于函数的一种，即任何一个函数均可以转变为一个或多个不等式进行命题与考察。
选修4-5 证明不等式的基本方法-反证法与放缩法
例8.已知m,n,p,q R,且m + n = 1,p + q = 1,
2 2 2 2
求证: mp + nq 1.
证:∵ m + n = 1,p + q = 1 ，
b2c a 2b c 2a ① + ② + ③得 3 , 即 3 3, 2 2 2 上式显然矛盾，所以假设不成立, 原不等式得证．
课堂练习 2 4.已知 f ( x) x px q, 求证:
|f (1) |,|f (2)|,|f (3)|中至少有一个不小于1/2．
a b a b 右边. 1 a b 1 a b 1 a 1 b
ab
1 a b 1
原不等式成立．
例4. 已知a , b R , 求证
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
.
x 证2:作函数f ( x) , x [0, ), 1 x
证:∵x,y,a R, 且x + y = 1,
2 2
∴设x = cosα,y = sinα,
y - ax = sinα- acosα= 1+ a sin(α+ ),
2
∴- 1+ a2 y - ax 1+ a2 .
再由a＋b＋c>0得： b＋c>－a>0 于是 ab+bc+ca＝a(b+c)+bc <0
不等式证明之反证法
有3种，只有D项符合.
5.设a,b是两个实数，给出下列条件：
(1)a+b＞1;(2)a+b=2；(3)a+b＞2；(4)a2+b2＞2;(5)ab＞1，
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(
(A)(2)(3) (C)(3) (B)(1)(2) (D)(4)(5)
)
【解析】选C.(1)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;(2)若a+b=2， 则可取a=1,b=1;(3)若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1，正
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a, 不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,
(1 c)a>1/4,
1 则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 64
又∵0 < a, b, c < 1
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
作业
P29 习题2.3 4
1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 2 2 证明：略. 说明： “至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一 种可能，所以属于归谬反证法.
证明不等式的常用技巧
证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。
综合法由因导果。
证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法执果索因。
证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
人教版高中数学选修4-5《证明不等式的基本方法：反证法》
①
f (1) 1 p q,
f (2) 4 2 p q,
f (3) 9 3 p q,
f (1) 2 f (2) f (3) 2
|f (1) |+2|f (2) |+|f (3) | | f (1) 2 f (2) f (3) | 2 ②
法求证a 0, b 0, c 0时的假设为（ C ） 全（都是）→不全（不都是） A.a 0, b 0, c 0 B.a 0, b 0, c 0 C.a, b, c不全为正数 D.abc 0
等于→不等于，大于→不大于（小于或等于）
04
利用反证法证明不等式 反设→归谬→存真
04
利用反证法证明不等式 反设→归谬→存真
例2.已知a,b,c为实数，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 求证：a>0,b>0,c>0.
证明: 假设a,b,c 不全是正数, 即其中至少有一不是正 数, 不妨先设a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨论.
(1)如果a 0, 则abc 0, 与abc 0矛盾, a 0不可能 . (2)如果a 0, 那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0, 于是ab bc ca a(b c) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾 . a 0也不可能 . 综上所述a 0,同理可证b 0, c 0, 所以原命题成立 .
利用反证法 (1) |, | f (2) |, | f (3) | 中至少有一个不小于 . 2
变式训练 1：已知f ( x) x 2 px q, 求证：
09反证法与正难则反的思想方法
高中数学思想方法专题（九）——反证法与正难则反的思想方法一、知识要点概述对一些数学命题的证明，如果从正面入手进行解答比较困难或较为繁杂时，可从反而或侧面进行考虑，通过先解决其反面问题，再利用补集思想使问题得到解决，这种解决问题的方法，就是正难则反的思想方法，反证法就是正难则反的思想方法的重要体现。
从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了原命题的结论，从而使命题获得了证明，这种证题方法叫做反证法。
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反而的角度思考问题的证明方法，是“正难则反”的思想方法中的一种。
反证法的证题模式可以简单的概括为“否定 推理 否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
实施反证法证题的具体步骤是：第一步，反设：作出与需证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
二、解题方法指导正难则反的思想方法是一种间接解决数学问题的基本方法，在解决一个数学问题时，如果运用直接从正面入手比较困难或者过程繁杂时，可采用从反而考虑采用正难则反的思想方法解决数学问题时，一般来讲，常见题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“惟一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接从正面难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要这种情况反驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论部分的情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
高中数学不等式问题的思路、方法、技巧
证明：由变形公式③， a2 b 2+b 2 c2+c2 a 2≥ ab·bc+bc · ca+ca· ab=abc（b+c+a），当且仅
当 a=b=c 时等号成立。
3. 分析法
2
分 析 法 也 是 证 明 不 等 式 的 一 种 基 本 方 法 ， 模 式 为 ： 欲 证 A B， 若 已 知
B C1 C2 …… I ，（ I 为一个真命题，可以是 A，也可以是另一已知成立的真命题） ， 则命题得证。 分析法的证题思路和综合法正好相反， 是一步步寻找结论成立的条件。 它的优
证明：∵（ 2x 4+1）- x 2（ 2x+1 ） =2x4+1-2x 3-x 2=2x 3 （x-1 ）- （ x2 –1）=（ x-1） [2x 3 –x-1]
=（ x-1 ）[2x 3 –2x+x-1]=
（
x-1
）
[2x
（
2
x
–1）
+
（
x-1
）
]
=
（
x-1
） 2（ 2x
2
+2x+1
）
=（ x-1 ） 2[x 2 +（ x+1 ）2 ] ≥ 0.
证明：∵（
a2+b2）
-[2
（
2a-b）-5]=
a
22
+b
-4a+2b+5
= a2-4a +4+b 2+2b+1= （ a-2）2 +（ b+1） 2≥ 0.
∴命题成立 .（当且仅当 a = 2， b= -1 时等号成立）
高中数学解题思路大全：正难则反,巧用反证法证明不等式
正难则反，巧用反证法证明不等式杨伟强反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。
反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。
用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。
要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。
例1. 设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a ＋b ＜c ＋d ，②()()a b c d ab cd ++<+，③()()a b cd ab c d +<+中至少有一个不正确。
证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以由不等式①、②得，()()()a b a b c d ab cd +<++<+2。
由不等式③得，()()()()a b cd ab c d a b c d +<+≤++22· 因为a b +>0，所以4cd a b c d <++()()综合不等式②，得43cd ab cd cd ab <+<，，即cd ab <13 由不等式④，得()a b ab cd ab +<+<243，即a b ab 2223+<-，显然矛盾。
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。
例2. 已知a b c ab bc ca abc ++>++>>000，，，求证：a b c >>>000，，。
证明：由abc >0知a ≠0，假设a <0，则bc <0又因为a b c ++>0，所以b c a +>->0，即a b c ()+<0从而ab bc ca a b c bc ++=++<()0，与已知矛盾。
重要不等式
五、反证法有些不等式的证明，如果从正面直接证比较困难，可以从正难则反的角度考虑，用反证法来证明。
即首先假设所要证明的不等式（结论）不成立，然后通过合理的逻辑推理而导出与已知条件或其它定理矛盾，从而说明假设不成立，因此肯定不等式成立。
如果需要证明不等式为否定命题，惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑使用反证法。
例1 设,,x y z R +∈，且222sin sin sin =1x y z ++，求证2x y z π++>。
证明 假设2x y z π++≤， （1） 则有022x y z ππ<+≤-< （2）因为正弦函数在区间（0，2π）上是増函数，所以 sin ()sin ()cos z 2x y z π+≤-= （3） （3）式两边（都是正数）平方，得2222sin cox y cox x sin 2sin x cos ycos xsin y x y ++2222cos z=1-sin z =sin x +sin y ≤整理，得sinxsinycos(x+y )0≤ (4)但是由（1）、（2）可知,,x+y x y ∈（0，2π），所以（4）式不可能成立。
因此2x y z π++>。
例2 设f (x )、g (x )是[0,1]上的实值函数，求证：存在x 0,y 0∈[0,1]，使得00001()()4x y f x g --≥y . (1) 证明 假设这样的x 0，y 0不存在，则对一切x ，y ∈[0,1]，都有1()()4xy f x g y --< (2) 特别地，取（0,0）、（0,1）、（1,0）、（1,1）代入（2），得1(0)(0)4f g --<，1(0)(1)4f g +<，1(1)(0)4f g +<，11(1)(1)4f g --< 1[(0)(0)][(0)(1)][(1)(0)][1(1)(1)]111114444 f g f g f g f g =--+++++--<+++=矛盾。
高一数学不等式证明知识点
高一数学不等式证明知识点高一时数学就涉及到很多重要的考点，这些知识点一定要掌握好，因为它们关系到下面的数学学习。
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高一数学不等式证明知识点不等式公式如果a,b是正数，那么(a+b)/2≥(根号下ab),当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式。
若a,b∈R，则a平方+b平方≥2ab或ab≤(a平方+b平方)/2.若a,b∈R，则(a平方+b平方)/2≥[(a+b)/2]的平方若a,b∈R※，则a+b>=2(根号ab) 或ab≤[(a+b)/2]的平方高一数学不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
高中数学的美学用不等式反证法证明易证不易反
高中数学的美学用不等式反证法证明易证不易反高中数学的美学：用不等式反证法证明易证不易反数学作为一门严谨的科学，在解决问题时常常运用到不等式和反证法。
其中，不等式反证法是一种常见的证明方法，它的逻辑严密性以及美学价值备受数学爱好者的青睐。
本文将探讨不等式反证法的应用，并论证易证与不易反之间的美学互补性。
一、不等式反证法的基本原理不等式反证法是一种通过假设逆命题（即其他情况）来推导出矛盾的证明方法。
通常，我们需要证明一个不等式成立，而不能直接通过正面的途径来证明时，就可以运用不等式反证法。
以不等式$a>b$为例，我们想要证明$a>b$成立，但是却无法通过正面的推理得到结论。
根据不等式反证法的思想，我们假设$a\leq b$，并推导出矛盾的结果。
如果我们在推导的过程中，发现矛盾的结果是不可能的，那么我们可以得出结论$a>b$成立。
二、易证与不易反的定义及分类在数学解题中，有些不等式和命题很容易证明（易证），而另一些则很难通过反证法证明出来（不易反）。
这种易证与不易反的区别，体现了数学问题的难度和美学特点。
易证：指可以通过直接证明或其他简单的推理方法得到证明的不等式或命题。
这类问题通常具有简单的结构和规律，解决起来相对容易。
不易反：指使用不等式反证法证明起来较为困难的不等式或命题。
这类问题的证明过程通常需要通过合理假设、巧妙运用不等式性质以及反证法的完整逻辑推导来驳倒假设，较为复杂而繁琐。
三、易证与不易反的美学互补性易证与不易反作为两种证明方法，在高中数学中都起着重要的作用。
它们之间的美学互补性体现在如下几个方面：1. 推理逻辑上的完整性：易证与不易反的证明过程都要求逻辑的严密性和推理的完整性。
在易证中，通过简单直接的推理和证明，展示了问题的简单美和规律性；而在不易反中，通过反证法的运用，使得证明过程更加严谨复杂，展示了问题的深度和内涵。
2. 策略上的灵活性：易证和不易反在解题时都需要巧妙运用数学性质和技巧。
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正难则反，巧用反证法证明不等式
反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。
反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。
用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。
要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。
例 1. 设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a ＋b ＜c ＋d ，②()()a b c d ab cd ++<+，③()()a b cd ab c d +<+中至少有一个不正确。
证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以由不等式①、②得，()()()a b a b c d ab cd +<++<+2。
由不等式③得，()()()()a b cd ab c d a b c d +<+≤++2
2· 因为a b +>0，所以4cd a b c d <++()()
综合不等式②，得43cd ab cd cd ab <+<，，即cd ab <
13 由不等式④，得()a b ab cd ab +<+<243，即a b ab 2223
+<-，显然矛盾。
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。
例2. 已知a b c ab bc ca abc ++>++>>000，，，求证：a b c >>>000，，。
证明：由abc >0知a ≠0，假设a <0，则bc <0
又因为a b c ++>0，所以b c a +>->0，即a b c ()+<0
从而ab bc ca a b c bc ++=++<()0，与已知矛盾。
∴假设不成立，从而a >0
同理，可证b c >>00，。
例3. 若p q p q >>+=00233，，，求证：p q +≤2。
证明：假设p q +>2，则()p q +>38，即p q pq p q 3338+++>()。
因为p q 332+=所以pq p q ()+>2
故pq p q p q p q p pq q ()()()+>=+=+-+23322
又p >0，q >0，即p q +>0
∴pq p pq q >-+22，即()p q -<20，不成立。
故假设不成立，即p q +≤2。
例4. 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：()()11--a b b c ，，()1-c a 不能同时大于14。
证明：假设()()()111---a b b c c a ，，同时大于14，即()114->a b ，()114->b c ，()114->
c a 。
则由141122<-≤-+()()a b a b ，可得1212
-+>a b 同理，1212-+>b c ，1212
-+>c a 三个同向不等式两边分别相加，得
3232>，所以假设不成立。
∴原结论成立。
例5. 若02<<a ，02<<b ，02<<c ，求证：()()22--a b b c ，，()2-c a 不能同时大于1。
证明：由题意知202020->->->a b c ，，
假设有()()()212121->->->⎧⎨⎪⎩
⎪a b b c c a 那么()()22
21-+≥->a b a b 同理，()22
1-+>b c ()22
1-+>c a ①＋②＋③，得33>矛盾，假设不成立。
故()2-a b ，()2-b c ，()2-c a 不能同时大于1。