特征值与特征向量的概念(1).ppt

1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有
1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 (1) Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0, 由Ax x可得
x A1Ax A1x A1x A1x 1x
,n ,就是A的全部特征值; 3. 对于特征值i ,求齐次方程组
A i Ex 0
的非零解,就是对应于i的特征向量.
例5 求A 3 1 的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
所以A的特征值为1 2, 2 4.
解得x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
1 . 1
例6
求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1. 当1 2时,解方程( A 2E )x 0.由
三、特征值和特征向量的性质
定理2 设1, 2 ,, m是 方阵A的 特征 值, p1, p2 ,, pm 依次是与之对应的特征向量.如果1, 2 ,, m各不相
等,则p1, p2 ,, pm线 性无 关.
证明 设有常数 x1, x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A (aij ) 的特征值为1,2 ,, n ,则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
二、特征值与特征向量的求法
求矩阵特征值与特征向tA E ;
2. 求特征方程 detA E 0的全部根1,2,
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
即
x1 x1
x2 x2
0, 0.
解得
x1
x2,
所以对应的特征向量可取为
p1
1 . 1
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A E
0的都是矩阵A的特征值.
3. A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0
为A的特征方程 .
记 f A E ,它是的n次多项式, 称其
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
kp1 (k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2(k 0)是对应于2 3 1的全部
特征向量.
例7
设
2 A 0
1 2
01,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
2 1
1
解
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
故1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于1
的特征向量.
按此类推, 不难证明: 若是A的特征值, 则k是Ak的特征值;( )是( A)的特征值 (其中( ) a0 a1 amm是的多 项式, ( A) a0 a1 A am Am是矩 阵A的多 项式).
例9 设3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，求