特征值与特征向量的概念(1).ppt
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方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
4.2 方阵的特征值与特征向量
特征向量的求法 齐次线性方程组(A i E)x0的非零解，
就是方阵A的对应于特征值i 的特征向量
单选题 10分
1 3 3
已知矩阵
A
3 6
a 6
3 b
有特征值为2 和 4，
3 3 3 3
3
3
则a=
,b=
A+2E 3 a 2 3 0 a 5 0
6 6 b 2 0 0 b 4
3 3 3
所以A的特征值为1－2 21, 34
2 2
例2.3
求矩阵
A
2
1
0 2
解 A的特征多项式为
0
2
的特征值和特征向量
0
2 2 0
E A 2 1 2 3 3 2 6 8
0 2
所以A的特征值为1－2 21, 34
对于12 解方程组(A2E)x0 得基础解系p1(1 2 2)T
所以对应于12的全部特征向量为k1 p1(k10)
自然有相同的特征值. 证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.
性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|
单选题 10分
(数学2，2008 )
设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =___.
2
4
的特征值和特征向量
2 4 2
特征值为17 232
2 2 0
例2.3
求矩阵 A 02
1 2
02 的特征值和特征向量
特征值为1－2 21, 34
2 0 0
例2.4
求矩阵
A
0
就是方阵A的对应于特征值i 的特征向量
单选题 10分
1 3 3
已知矩阵
A
3 6
a 6
3 b
有特征值为2 和 4，
3 3 3 3
3
3
则a=
,b=
A+2E 3 a 2 3 0 a 5 0
6 6 b 2 0 0 b 4
3 3 3
所以A的特征值为1－2 21, 34
2 2
例2.3
求矩阵
A
2
1
0 2
解 A的特征多项式为
0
2
的特征值和特征向量
0
2 2 0
E A 2 1 2 3 3 2 6 8
0 2
所以A的特征值为1－2 21, 34
对于12 解方程组(A2E)x0 得基础解系p1(1 2 2)T
所以对应于12的全部特征向量为k1 p1(k10)
自然有相同的特征值. 证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.
性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|
单选题 10分
(数学2，2008 )
设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =___.
2
4
的特征值和特征向量
2 4 2
特征值为17 232
2 2 0
例2.3
求矩阵 A 02
1 2
02 的特征值和特征向量
特征值为1－2 21, 34
2 0 0
例2.4
求矩阵
A
0
特征值与特征向量的概念
k1 p1 k 2 p2 kr pr ,
其中
k1, k 2 , , kr
为不全为零的任意常数.
1 例1 求矩阵 A 0 向量. 0
4 3 0
2 4 的全部特征值与特征 3
注：三角矩阵、对角阵的特征值均为主对角线上的 n个元素. 3 2 2 4 2 的全部特征值与特征 例2 求矩阵 A 1 向量. 1 3 1
第5章 方阵的特征值与特征向量
5.1 特征值与特征向量的概念
定义5.1 设A为复数域C上的n阶方阵，如果存在数 和n 维非零列向量x，使 Ax x (5.1) 则称 为矩阵A的特征值，非零列向量x为矩阵A的属于 (或对应于)特征值 的特征向量. 注：特征向量 x 0; 特征值问题是对方阵而言的.本章
0 1 1 1 0 1 A 例3 求矩阵 的全部特征值与特征 向量. 1 1 0 5.1.2 特征值与特征向量的性质 1 , 2 为对 性质5.1 设 1 , 2 是矩阵A的两个不同特征值， 应的特征向量，则 1 , 2 线性无关.(即不同的特征值所 对应的特征向量线性无关).
1 矩阵矩阵方阵. 2 A 例如 对角矩阵 1
有三个特征值1,2，-1，其相应的特征向量分别为
1 0 0 0,1, 0 0 0 1
(5.1)式可改写成 ( A E) x 0
次线性方程组 ( A E ) x 0 的非零解，而此方程 的非零解有无穷多个，因此一个特征值有无穷多个特 征向量与之对应，那么这无穷多个特征向量如何表示？ 设方程组 ( A E ) x 0 的基础解系为 p1 , p2 , , pr ,
4-1 特征值与特征向量
kI A k A
k k -
A ③ 若Ａ可逆，则 是 A*的一个特征值； l
A A A A
A A A I
A I＝ A
A A A
A
Ａ可逆 0. 假设 ＝0， I - A =0 - A =0， 与Ａ可逆矛盾. 0 A \ 是 A* 的一个特征值； l
一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定义定义11a为n阶方阵如果存在数和n维非零向量使得则称为a的特征值称为a的对应于特征值的特征向量
一、特征值与特征向量的概念 定义1 Ａ为ｎ阶方阵，如果存在数λ和ｎ维非零 向量α，使得 A
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的对应于特征值 λ的特征向量． Ax y 线性变换 A
0， 是方程的非零解, I A 0.
特征值：方程 I A 0 的根. 特征向量： 齐次线性方程组 I A x 0 非零解向量.
定义2 称 I A 为Ａ的特征矩阵． a11 a12 a1n a21 a22 a2 n I A
1 例3 设矩阵 轾 - 1 0 犏 已知矩阵A有特征值1 1, 2 2, A= 犏 x 0 2 犏 犏 2 1 求x，及A的另一个特征值. 4 臌 3 3 x 2 解：1 2 3 1 x 1 1 - 1 0 123 A 2 x 0 = x + 2 23 x 2 4
1 2 n
n
I A 1 2 n
n 1
1 12 n
n
令 0, 0I A = A (-1)n A 1 12 n
第二节方阵的特征值和特征向量
3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.
一、特征值与特征向量的概念
判断一个方阵A是否可对角化?
1. 求出A的所有特征值:1, ,s.
2. 对于i 1, s,求齐次线性方程组
(iE A)X =0
的基础解系的向量个数n1, ,ns.
s
若 ni =n, 则A可对角化; 否则不可对角化. i 1
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det(B); ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; (3)A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
二、相似变换的性质
1. 相似变换是等价关系 (1)自 反 性 A与A本身相似. (2)对 称 性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传 递 性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
三、利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A相似于某对角矩阵,则存在可逆矩阵P使得P1AP .
则 Ak Pk P1,
(2) 设1, ,s为不同的特征值. 对于i 1, s, 求
齐次线性方程组将(i E A) X 0的基础解系
{i1, , iri },
ri
ri
则 kijij ,其中ki1, ,kiri不全为零（足以保证 kijij 0）,
i=1
i=1
即为矩阵A对应i的全部特征向量.
四、特征值和特征向量的性质
性质（总结）：
A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量；
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
二、实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
一特征值与特征向量概念
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
特征值与特征向量
特征值与特征向量1.特征值与特征向量的数学定义在矩阵论中，一个n阶方阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，使得存在一个非零n维向量x，满足以下关系式：Ax=λx其中x称为该特征值对应的特征向量（eigenvector）。
特征向量x是与特征值λ对应的“向量空间”中的非零向量，它描述了特征值所对应的变换方向或拉伸比例。
2.特征值与特征向量的性质（1）特征值与特征向量的关系：对于方阵A和其特征值λ，Ax=λx。
这意味着矩阵A将特征向量x拉伸（或压缩）了λ倍。
（2）特征值的重要性质：矩阵A的特征值λ满足特征多项式的方程式p(λ) = det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。
这个方程式的根就是矩阵A的特征值。
（3）特征向量的线性组合：如果x1、x2、..、xk是矩阵A的特征向量，对应的特征值分别是λ1、λ2、..、λk，那么对于任意常数a1、a2、..、ak，它们的线性组合a1x1+a2x2+...+akxk也是矩阵A的特征向量。
（4）特征值的数量：对于一个n阶方阵A，一般有n个不同的特征值。
3.特征值与特征向量的应用（1）矩阵对角化：通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以将一个方阵对角化。
对角化后的矩阵能更方便地进行计算和理解，例如求解高阶矩阵的幂、指数函数等。
（2）主成分分析（PCA）：PCA是一种经典的降维方法，它通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，将高维特征转换为低维特征，从而实现数据的降维和可视化。
（3）图像处理：特征值和特征向量在图像压缩、图像增强和图像分析等领域中有广泛应用。
例如，可以利用图像的特征值和特征向量进行边缘检测、纹理提取和目标识别。
（4）量子力学中的态矢量：在量子力学中，态矢量可以看成是一个特殊的向量，它对应于系统的一个可观测性质。
量子态的演化过程可以用特征向量和特征值来描述。
总结：特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，它们可以描述线性变换的特性，并且在多个学科领域中有广泛的应用。
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
线性代数矩阵特征值与特征向量
将{|l1| , |l1| ,… , |ln|}的最大值称为A的谱半径,记作ρ(A),
即
( A)
max{|
1i n
li
|}
第5页/共16页
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
3l
1
1 (3 l)2 1
3l
8 6l l 2 (4 l)(2 l)
所以A的特征值为l1 2, l2 4. 当l1 =2时,对应的特征向量应满足
AlI 0
特 征 方 程
特
a11 l a12
征 多
| A l I |
a21
a22 l
项
式
an1
an2
a1n a2n 0
ann l
特征方程 | A−lI | = 0
特征多项式 f(l)=| A−lI | ( l 为未知数的一元 n 次多项式)
第4页/共16页
求特征值、特征向量的方法:
0 0
2
解得 x1
x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p
1
1 1
.
当l1 =4时,
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p
2
1 1
.
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1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
(1) A l I 0 求出l即为特征值;
特征值就是特征方程的根．
(2) Ax l x A l I x O
把得到的特征值l代入上式, 求齐次线性方程组
线性代数课件特征值和特征向量
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
5.2方程的特征值与特征向量
总结：
1.特征方程 A E 0的根，称为的特征值.
2.将代入方程 A E x 0后，求得的全部的非零解， 即是相应于的特征向量.
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1 计算A的特征多项式 A E ;
2 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
a1n a2 n ann
a11 a12 a21 a22 a an 2 n1
a11
则
A E
a12 an 2
a1n a2 n
=0
a21 a n1
a22
〈特征值、特征向量〉 设 A 为 n 阶矩阵， 是一 个数，如果存在非零向量 x ，使方程 Ax x （1）
成立，则称 为A 的一个特征值，相应的非零向 量 x 称为与 对应的特征向量。
若 是A 的一个特征值， 则方程 Ax x 有非零解
Ax x o 有非零解 ( A E ) x o 有非零解
即 p1 +p2 =1 p1 +2 p2， -1 p1 + -2 p2 =0，
p1 ,p2是线性无关的，故由上式得 -1 = -2 =0，即1 =2，
这与1与2是.两个不同的特征值矛盾，因此p1 +p2不是A 的特征向量
三、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i E x 0
3_2特征向量
(x x ) x
1 2 2 1 2 2
2
曲线变形了
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一. 特征值与特征向量的概念
定义1. 给定n 阶方阵 A, 若存在数 和非零向量
使
则称 为 A 的特征值, 为A的对应于 的特征向量. 称为 A 的特征方程 ,
称为 A 的 特征多项式 有非零解
( )为 ( A) 的特征值, 对应特征向量仍为
若 A 可逆, 有类似结论, 即 ( ) a1 a0 a1 am
1 m
为 ( A) 的特征值, 对应特征向量仍为
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例4. 设3 阶矩阵A的特征值为 1, 1, 2, 求
解: 因A 的特征值全不为0, 故 A 可逆,
§3.2 方阵的特征值与
11.3 第十三讲
特征向量
一. 特征值与特征向量的概念
二. 特征值与特征向量的性质
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引例. 等轴双曲线 L:
1. 令 L 变为:
1 y2 2 1
2
经可逆线性变换后的变化.
x2 y 2
(旋转变换)
4 2
1 2
2 y2
2 1
1
2 2
2 1 2 2 2
-4 -2 o -2
提示:
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定理2.
设 为方阵 A的特征值, 则 (2) m 为Am 的特征值; (1) k为kA的特征值；
(3) A 可逆时,
证: 设 A 对应于 的特征向量为
即
A ( 0)
(1) 则 故 k 为kA 的特征值 , 特征向量仍为
特征值特征向量定义.ppt
例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
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1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有
1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 (1) Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0, 由Ax x可得
x A1Ax A1x A1x A1x 1x
,n ,就是A的全部特征值; 3. 对于特征值i ,求齐次方程组
A i Ex 0
的非零解,就是对应于i的特征向量.
例5 求A 3 1 的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
所以A的特征值为1 2, 2 4.
解得x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
1 . 1
例6
求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1. 当1 2时,解方程( A 2E )x 0.由
三、特征值和特征向量的性质
定理2 设1, 2 ,, m是 方阵A的 特征 值, p1, p2 ,, pm 依次是与之对应的特征向量.如果1, 2 ,, m各不相
等,则p1, p2 ,, pm线 性无 关.
证明 设有常数 x1, x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A (aij ) 的特征值为1,2 ,, n ,则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
二、特征值与特征向量的求法
求矩阵特征值与特征向tA E ;
2. 求特征方程 detA E 0的全部根1,2,
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
即
x1 x1
x2 x2
0, 0.
解得
x1
x2,
所以对应的特征向量可取为
p1
1 . 1
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A E
0的都是矩阵A的特征值.
3. A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0
为A的特征方程 .
记 f A E ,它是的n次多项式, 称其
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
kp1 (k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2(k 0)是对应于2 3 1的全部
特征向量.
例7
设
2 A 0
1 2
01,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
2 1
1
解
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
故1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于1
的特征向量.
按此类推, 不难证明: 若是A的特征值, 则k是Ak的特征值;( )是( A)的特征值 (其中( ) a0 a1 amm是的多 项式, ( A) a0 a1 A am Am是矩 阵A的多 项式).
例9 设3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，求