离散数学图的连通性
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
离散数学中的图的连通度与割点
在离散数学中，图是一种重要的数据结构，它能够描述事物之间的关系和连接性。
图由顶点和边组成，顶点表示事物，而边表示两个事物之间的连接。
图的相关概念包括连通度和割点，它们在图的理论中起着重要的作用。
连通度是指图中任意两个顶点之间，存在一条路径相连。
如果一个图的连通度为1，那么这个图是连通的；如果连通度大于1，就代表这个图是非连通的。
连通度可以用来衡量图的强度和与外部环境的联系程度。
例如，在社交网络中，某个用户是否能够和其他用户通过共同的朋友连接在一起，就与图的连通度相关。
割点是指删除一个顶点及其相连的边后，图变为非连通的点。
换句话说，如果一个顶点是一个图中唯一的桥，那么这个顶点就是一个割点。
割点的存在会影响图的连通性和强度。
当我们删除一个割点时，原本连通的图会变得不连通。
因此，割点常常用来识别图中的脆弱点和瓶颈。
考虑一个简单的例子：一个城市的地图可以用图来表示，每个交叉路口是一个顶点，而街道则是相连的边。
在这个图中，连通度可以描述这个城市的整体交通情况。
如果城市的连通度较高，那么无论从哪个交叉路口出发，都能方便地到达其他任意交叉路口；而如果城市的连通度较低，那么有些交叉路口可能只有一条街道与之相连，这样就会导致交通流量堵塞和不便利。
割点则可以识别出城市中的环形路口或者重要的交通枢纽，当这些关键节点被破坏或者发生故障时，城市的交通系统可能会受到严重影响。
除了城市地图以外，连通度和割点还可以应用于其他领域。
例如，在计算机网络中，一台计算机与其他计算机之间的连通度可以用来评估网络的稳定性和传输速度。
在电力网络中，连通度可以用来研究电力供应的鲁棒性和可靠性。
在社会网络中，连通度和割点的概念可以揭示人际关系的紧密程度和信息传递的效率。
总结来说，离散数学中的图的连通度和割点是图的关键概念。
连通度可以衡量图的强度和连接程度，割点可以识别图中的脆弱点和瓶颈。
在不同领域中，这些概念都有着重要的应用。
通过研究和理解连通度和割点，我们能够更好地分析和优化图及相关问题。
离散数学图的连通性判定算法
离散数学图的连通性判定算法离散数学中，图是研究事物之间关系的一种可视化表示方式。
而图的连通性判定算法是判断图中各个节点之间是否存在连通路径的一种方法。
本文将介绍常用的离散数学图的连通性判定算法，并对其进行详细说明。
一、深度优先搜索算法深度优先搜索算法（Depth First Search，简称DFS）是一种用于遍历图或树的搜索算法。
在图的连通性判定中，DFS算法可以用于检测一个图是否是连通图。
算法步骤如下：1. 选择一个起始节点作为当前节点，并将其标记为已访问；2. 从当前节点出发，沿着一条未访问的边到达相邻节点；3. 若相邻节点未被访问，则将其标记为已访问，并将其设为当前节点，重复步骤2；4. 若当前节点的所有相邻节点都已被访问，则回溯到上一个节点，重复步骤3，直到回溯到起始节点。
通过DFS算法，我们可以遍历图中的所有节点，并判断图的连通性。
若在遍历过程中，所有节点都被访问到，则图是连通的；否则，图是非连通的。
二、广度优先搜索算法广度优先搜索算法（Breadth First Search，简称BFS）也是一种用于遍历图或树的搜索算法。
在图的连通性判定中，BFS算法同样可以用于判断图是否为连通图。
算法步骤如下：1. 选择一个起始节点作为当前节点，并将其标记为已访问；2. 将当前节点的所有相邻节点加入一个队列；3. 从队列中取出一个节点作为当前节点，并将其标记为已访问；4. 将当前节点的所有未访问的相邻节点加入队列；5. 重复步骤3和步骤4，直到队列为空。
通过BFS算法，我们可以逐层遍历图中的节点，并判断图的连通性。
若在遍历过程中，所有节点都被访问到，则图是连通的；否则，图是非连通的。
三、并查集算法并查集算法（Disjoint Set Union，简称DSU）是一种用于处理一些不相交集合的数据结构。
在图的连通性判定中，并查集算法可以用于判断图的连通性。
算法步骤如下：1. 初始化并查集，将每个节点设为一个单独的集合；2. 对于图中的每一条边(u, v)，判断节点u和节点v是否属于同一个集合；3. 若节点u和节点v属于不同的集合，则将它们合并为一个集合；4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有边。
离散数学图的连通性
d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w> 注意: 没有对称性
15
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6.3 图的矩阵表示
• 6.3.1 无向图的关联矩阵 • 6.3.2 有向无环图的关联矩阵 • 6.3.3 有向图的邻接矩阵
– 有向图中的通路数与回路数
• 6.3.4 有向图的可达矩阵
(4) 长度小于等于4的回路共有多少条?
(5) 写出D的可达矩阵, 并问D是强连通的吗?
解
1210 0010 A= 0 0 0 1
v1
v4
0010
v2
v3
27
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实例(续)
1231 0001 A2= 0010 0001
1243 0010 A3= 0001 0010
v1到v4长为3的通路有 条3,
若有相同的顶点, 删去这两个顶点之间的这一段, 仍是u到 v的通路. 重复进行, 直到没有相同的顶点为止.
定理6.4 在n阶图中, 若存在v到自身的简单回路, 则一定存 在v到自身长度小于等于n的初级回路.
6
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无向图的连通性与连通分支
设无向图G=<V,E>, u,vV u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总是连通的. 连通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图 连通关系 R={<u,v>| u,v V且u与v连通}. R是等价关系
离散数学图的连通性
1
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6.2 图的连通性(续)
• 6.2.3 有向图的连通性及其分类
图的代数连通度
图的代数连通度图代数，又称为离散数学（discrete mathematics），是数学的一个分支，主要研究由一组节点和联系这些节点的边组成的网络，也称为图。
其中图的一种重要性质是连通性，它表明图中节点之间是否都可以相互访问。
因此，如何检测图中节点之间的联系，以及如何衡量图中节点之间的联系强度，成为离散数学研究的重要内容。
在此背景下，图的代数连通度受到了广泛关注。
图的代数连通度是指图中节点之间的联系强度，它可以通过图的邻接矩阵（adjacency matrix）来衡量。
例如，当图中有 n 个节点时，可以建立一个 nxn的二元矩阵，它的每一个元素 aij示节点 i 节点 j 之间的边的权重，如果这条边存在，则 aij 为 1，反之为 0。
图的代数连通度是一种度量图节点间联系强度的量化指标。
有一种常用的方法，称为^1度量，它表示图中任何两个节点之间的联系强度。
在具体的计算中，它可以使用图的邻接矩阵来求解，其计算公式为：A1(i,j)=aij其中，aij为节点i到节点j之间的边的权重，如果节点i与节点j存在边，则aij的值为1，反之aij的值为0。
这一度量的计算，可以直接表示节点之间的联系强度，这样就可以度量图中任意两个节点之间的联系强度。
除此之外，还有其他度量方法，包括特征值度量、最大边度量等。
特征值度量是利用图的邻接矩阵，求解图的连通特征值而得到的。
而最大边度量则是利用最大边权重来衡量图的连通性。
这些度量方法都可以有效地量化图的连通性，但也存在一定的局限性。
特征值度量只能度量图中任意两个节点之间的联系强度，而无法衡量图中不同节点组合的联系强度；而最大边度量又因为不能有效的衡量图的连通性，因此，可以说这些度量方法都有其局限性。
另一方面，图的代数连通度可以有效地提供图中节点间联系强度的量化指标。
它可以通过一组不同的系数和一系列矩阵运算来实现，并且可以有效地衡量图中任意几个节点之间的联系强度，而不受两个节点之间的边的数量的限制。
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题图论是离散数学中的一个重要分支，研究对象是图。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
在图论中，连通性和欧拉路径问题是两个基本概念，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
一、连通性在图论中，连通性是指图中任意两个顶点之间存在一条路径。
如果一个图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图；如果一个图不是连通图，那么它可以被分解为多个连通的子图，这些子图称为连通分量。
连通性在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在社交网络中，连通性可以用来判断两个人之间是否存在关系链；在计算机网络中，连通性可以用来判断网络中的主机之间是否可以进行通信。
二、欧拉路径问题欧拉路径问题是图论中的一个经典问题，它要求找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
如果存在这样的路径，则称图具有欧拉路径。
欧拉路径问题有两种情况：1. 欧拉回路：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后回到起点，则称该图具有欧拉回路。
2. 半欧拉路径：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后到达终点，但不回到起点，则称该图具有半欧拉路径。
欧拉路径问题的解决方法有欧拉定理和深度优先搜索算法。
欧拉定理指出，一个连通图具有欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数；一个连通图具有半欧拉路径的充分必要条件是除了起点和终点外，其它顶点的度数都是偶数。
深度优先搜索算法（DFS）是一种用来遍历图或树的算法，它可以用来解决欧拉路径问题。
DFS从起点开始遍历图，当遍历到某个顶点时，选择一个未访问过的邻接顶点进行继续遍历，直到无法继续遍历为止。
通过DFS算法，可以找到图中的欧拉路径。
三、总结离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题是图论中的两个基本概念。
连通性用来描述图中顶点之间的连接情况，欧拉路径问题则是要找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
这两个概念在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
离散数学课件14.2-3通路与回路-连通性
connected graph
边割集
若存在边集子集E' E, 使G删除E'(将E'中的边从G中全删除)后, 所得子图的连通分支数与G的连通分支数 满足p(G-E')＞p(G), 而删除E'的任何真子集E''后,p(G-E'')＝p(G), 则称E'是G的一个边割集. 若边割集中只有一条边e,则称e为割边或桥. 注：完全图没有割边和割点.
当v0＝vl时,此通路称为回路.
connected graph
简单通路或迹
若Γ中的所有边e1,e2,···,el互不相同, 则称Γ为简单通路或一条迹. 若回路中的所有边互不相同,称此回 路为简单回路或一条闭迹.
connected graph
初级通路
若通路的所有顶点v0,v1···,vl互不相 同(从而所有边互不相同),则称此通 路为初级通路或一条路径. 若回路中,除v0＝vl外,其余顶点各不 相同,所有边也各不相同,则称此回 路为初级回路或圈. 长度为奇(偶)数的圈称为奇(偶)圈
通路
connected graph
给定图G＝<V,E>.
设G中顶点和边的交替序列为
Γ＝v0e1v1e2…elvl,若Γ满足如下条件: vi-1和vi是ei的端点(在G是有向图时,要求vi-1是ei 的始点,vi是ei的终点),i＝1,2,…,l,则称Γ为顶点v0 到vl的通路. v0和vl分别称为此通路的起点和终点,Γ中边的数 目l称为Γ的长度.
connected graph
有向图的连通性
易见:强连通性 单向连通性 弱连通性; 但反之 不真.反例如下:
a
c
a
强连通
d
图的连通性_离散数学─图论初步
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
通路（举例）
a
b
c
d
e
f
• 简单通路：a, d, c, f, e。 长度为4。 • 通路：a, b, e, d, a, b。 长度为5。 • 回路：b, c, f, e, b。长度为4。 • 不是通路：d, e, c, b。
路)
• u,v VD,均存在 (u,v)-有向通路和(v,u)-有向通路，则D
称为强连通有u向图。 (见下左u 图)
u
v
v
v
强连通的充分必要条件
• 有向图D是强连通的当且仅当D中的所有顶点在同
一个有向回路上。
– 证明： 显然 设VD={v1,v2,…,vn}，令 i是vi到vi+1的有向通路 (i=1,…,n-1)，令 n是vn到v1的有向通路，则 1，
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交的路径所连接。
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。
离散数学图论路与连通PPT课件
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
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1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
离散数学点连通度
离散数学点连通度
离散数学是数学的一个分支，研究离散的数学结构和离散的数学对象之间的关系。
离
散数学中一个重要的概念是图，图是一种用来描述对象之间关系的数学结构。
在图中，点
代表对象，边代表对象之间的关系。
点连通度是图论中的一个重要概念，用于描述图中点和点之间的连接性。
具体而言，
点连通度是指一个图中任意两个不同点之间的存在一条路径的程度。
在离散数学中，点连
通度被广泛研究，因为它对很多实际问题具有重要意义。
计算图的点连通度有多种方法，其中一种常见的方法是使用最短路径算法。
最短路径
算法可以计算出给定两个点之间的最短路径长度，通过计算所有点对之间的最短路径长度，可以得到图的点连通度。
除了最短路径算法，还有其他方法可以计算图的点连通度，比如割点算法和连通子图
算法。
割点算法可以找到图中的关键点，这些关键点的去除会导致图的连通性变差。
而连
通子图算法可以找到图中的最大连通子图，从而计算出图的点连通度。
离散数学中点连通度的研究涉及到很多领域，比如计算机科学、网络分析和社交网络等。
在计算机科学中，点连通度被广泛应用于网络路由和可靠性分析等问题。
在网络分析中，点连通度可以帮助我们理解网络的稳定性和韧性。
在社交网络中，点连通度可以帮助
我们理解个体之间的联系和信息传播。
总结而言，离散数学中点连通度是一个重要的概念，用于描述图中点和点之间的连接性。
计算图的点连通度可以通过最短路径算法、割点算法和连通子图算法等方法实现。
点
连通度在计算机科学、网络分析和社交网络等领域具有广泛的应用。
离散数学14.2 通路、回路 + 14.3 图的连通性
定义14.15（短程线）设u，v为无向图G中任意两个 顶点，若uv，称u，v之间长度最短的通路为u，v之 间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记 作d(u,v)。当u，v不连通时，规定d(u,v)=∞。
例如：在完全图Kn（n2）中，任何两个顶点之间 的距离都是1；
而在零图Nn（n2）中，任何两个顶点之间的距离 都是∞。
5
例14.4 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解：
长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
6
例14.5无向完全图K3的顶点依次标定为a，b，c。在 同构意义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。
K3,3
22
例：
K3,3
K2,3
23
例：
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向图G是 二部图当且仅当G中无奇圈。
24
19
例：如下图
（1）Leabharlann （2）（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图。
（3）
20
强连通图和单向连通图的判别定理
定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的回路。
定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路。
（1）
（2）
图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
18
定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D=<V，E>中，如果D的基图是连通图，
则称D是弱连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u至少
离散数学及应用习题及答案5-2
§5.2 图的连通性习题5.21．证明或否定：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。
解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。
解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。
（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。
若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。
否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。
2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。
证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。
3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。
离散数学的连通性基础知识
离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。
而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。
本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。
一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。
具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。
连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。
强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。
无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。
一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。
二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。
给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。
连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。
对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。
这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。
三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。
如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。
路径的长度是指路径上所经过的边的数量。
最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。
图的连通性_离散数学─图论初步
通。)
图的边连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的连通图，删除足够数量的 边使得图变成不连通。)
• 类似地，使非平凡连通图G变成不连通 需要删除的最 少边数称为图G的边连通度。记为 (G)。
连通图“连接的牢固度”不一样
• 图G1中删除任意一条边都不连通了。 • 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 • 图G3删除任意一个点依然连通。 • 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
通路的定义（有向图）
• 定义：有向图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n
条边e1,…, en的序列，满足下列性质
– 存在vi V ，使得vi-1和vi分别是ei的起点和终点 (1 i n)。
• 相关点
– 长度为0的通路由单个顶点组成。 – 不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。 – 回路：起点与终点相同，长度大于0。 – 简单通路： 边不重复，即， i, j, i j ei ej
• 同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
– B=U A U-1 相等？）
Bk=U Ak U-1（对角线元素之和
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
u1 u5
u3 u4
v1 v5
v3 v4 v2
v3 v4
无向图的连通性
图的连通性判断算法
图的连通性判断算法图是离散数学中一个重要的概念，它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在图理论中，连通性是一个基本的性质，它描述了图中是否存在一条路径将所有的顶点连接起来。
本文将介绍一些常用的图的连通性判断算法。
1. 深度优先搜索算法（DFS）深度优先搜索算法是一种经典的图遍历算法，也可以用于判断图的连通性。
该算法从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地搜索图，直到无法再继续下去。
然后回溯到上一个未访问的顶点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问过。
如果在搜索过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法也是一种常用的图遍历算法，可以用于判断图的连通性。
该算法从一个起始顶点开始，按照广度优先的顺序逐层遍历与当前节点相邻的顶点。
如果在遍历过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。
3. 并查集算法并查集是一种用于解决"动态连通性"问题的数据结构，也可以用于判断图的连通性。
并查集通过维护一个森林（或称为集合）来表示各个顶点之间的关系，其中每个集合表示一个连通分量。
并查集提供了合并集合和查找集合的操作，通过这些操作可以判断图的连通性。
4. 可连通性矩阵可连通性矩阵是一种基于矩阵的图表示方法，用于判断图的连通性。
对于一个有n个顶点的图，可连通性矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j之间是否存在一条路径。
如果对于所有的顶点对(i,j)，可连通性矩阵中的元素都为1，则图是连通的；否则，图是不连通的。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是用于求解连通图的一种常用算法，它通过选取图中的一些边来构建一棵树，该树包含图中的所有顶点，并且总权值最小。
如果最小生成树的边数等于顶点数减1，则原图是连通的；否则，原图是不连通的。
总结：本文介绍了几种常用的图的连通性判断算法，包括深度优先搜索算法、广度优先搜索算法、并查集算法、可连通性矩阵和最小生成树算法。
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无向图的连通性与连通分支
设无向图G=<V,E>, u,vV u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总是连通的. 连通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图 连通关系 R={<u,v>| u,v V且u与v连通}. R是等价关系 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G的连通分支为G[V1],G[V2],…,G[Vk]
14
6.3 图的矩阵表示
• 6.3.1 无向图的关联矩阵 • 6.3.2 有向无环图的关联矩阵
• 6.3.3 有向图的邻接矩阵
– 有向图中的通路数与回路数
• 6.3.4 有向图的可达矩阵Biblioteka 15无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}. 令mij为vi与ej的关联次数, 称(mij)nm为G的关联矩阵, 记为 M(G). mij的可能取值为:0,1,2 例如 M(G)= 211000 010111 000011 000000 001100
f d
b
c
e h
i
例如 a与e之间的短程线:ace,afe. d(a,e)=2, d(a,h)=
7
点割集与边割集
设无向图G=<V,E>, vV, eE, VV, EE. 记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
2
说明
(1) 表示方法 ① 按定义用顶点和边的交替序列, =v0e1v1e2…elvl ② 用边序列, =e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点序列, =v0v1…vl (2) 在无向图中, 长度为1的圈由环构成.长度为2的圈由两
条平行边构成. 在无向简单图中, 所有圈的长度3.
在有向图中, 长度为1的圈由环构成. 在有向简单图中, 所 有圈的长度2.
9
点连通度与边连通度
定义6.16 设无向连通图G=<V,E>, (G)=min{|V| | V是G的点割集或使G-V成为平凡图} 称为G的点连通度
(G)=min{|E| | E是G的边割集}
称为G的边连通度
例如
(G)= 3 (G)= 3
10
点连通度与边连通度(续)
说明: (1) 若G是平凡图, 则(G)=0, (G)=0. (2) 若G是完全图Kn, 则(G)=n-1, (G)= n-1 (3) 若G中存在割点, 则(G)=1;若G中存在割边, 则(G)= 1 (4) 规定非连通图的点连通度和边连通度均为0 定理6.5 对任何无向图G, 有 (G) (G) (G)
12
实例
强连通
单连通
弱连通
13
有向图中的短程线与距离
u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (设u可达v) 距离d<u,v>: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d<u,v>=∞. 性质： d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w> 注意: 没有对称性
6.2 图的连通性(续)
• 6.2.3 有向图的连通性及其分类
– 可达性 – 弱连通、单向连通、强连通 – 短程线与距离
1
通路与回路
定义6.13 给定图G=<V,E>(无向或有向的), G中顶点与边 的交替序列=v0e1v1e2…elvl. 若i(1il), ei=(vi1,vi)(对于有向图, ei=<vi1,vi>), 则称为 v0到vl的通路, v0和vl分别为通路的起点和终点, l为通路的 长度. 又若v0=vl, 则称为回路. 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异, 则称为 初级通路或路径(初级回路或圈). 长度为奇数的圈称作奇 圈,长度为偶数的圈称作偶圈 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路)
3
说明(续)
(3) 初级通路(回路)是简单通路(回路), 但反之不真
初级通路
非初级的简单通路
初级回路
非初级的 简单回路
4
通路与回路(续)
定理6.3 在n阶图中, 若从顶点u到v(uv)存在通路, 则从u 到v存在长度小于等于n1的初级通路. 证 若通路中没有相同的顶点(即初级通路), 长度必 n1. 若有相同的顶点, 删去这两个顶点之间的这一段, 仍是u到 v的通路. 重复进行, 直到没有相同的顶点为止. 定理6.4 在n阶图中, 若存在v到自身的简单回路, 则一定存 在v到自身长度小于等于n的初级回路.
定义6.15 设无向图G=<V,E>, VV, 若p(GV)>p(G)且 VV, p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若{v}为点割 集, 则称v为割点. 设EE, 若p(GE)>p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E 为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.
8
实例
e1 a b e2
d
f
e9 g
e3 e e 6 e8 4 e5 e e7 c
割点: e, f 点割集:{e},{f }, {c,d} 桥 : e8 e9 , 边割集:{e8},{e9}, {e1,e2},
{e1, e3, e6}, {e1, e3, e4, e7}
说明：Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
连通分支数p(G)=k G是连通图 p(G)=1
6
短程线与距离
u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通) u与v之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 性质： (1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v (2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)d(u,w) a g
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有向图的连通性及其分类
设有向图D=<V,E>, u,vV, u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. u与v相互可达: u可达v且v可达u
D弱连通(连通): 略去各边的方向所得无向图为连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达 D是强连通的当且仅当D中存在经过所有顶点的回路 D是单向连通的当且仅当D中存在经过所有顶点的通路