数据的离散程度
数据离散程度
数据离散程度离散程度指标的种类很多，下面介绍的是常用的几种。
全距(Range)又称极差，是指数据中最大值和最小值的差值。
如果用R表示全距，用Xmax，Xmin，分别表示数据的最大值、最小值，则全距公式为：R = Xmax- Xmin。
例如，前面提到的两组数据中，第一组数据的全距R = 21 – 19 = 2，第二组数据的全距R = 25 – 15 = 10。
通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。
由此，我们可以记住一个一般性结论：离散指标的数据越小，说明数据的变异程度就越小;数值越大，则说明数据的变异程度越大。
当然，这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。
全距指标的应用问题全距指标的含义容易理解，计算也很简便。
因此，在某些场合具有特殊的用途。
例如，要说明一个地区的温度情况，没有比用温差说明更好的指标了。
在描述一种股票的波动情况时，最高价和最低价的差是常使用的特征值。
另外，在成品质量控制方法中，R控制图也是全距的一种应用。
但是，全距在计算上只与两个极端值有关，因此它不能反应其他数据的分散情况，就这一点来说，全距只是一个比较粗糙的测度指标。
如果需要全面、精确地说明数据离散程度时，就不宜使用全距。
平均差(Mean Absolute Deviation)就是各项数值与其均值之差绝对值之和的平均数。
用MAD表示平均差，其公式为：所谓离散，是个相对概念，需要用一个标准来衡量。
因为均值是最重要也是最常用的指标，所以就成为衡量离散程度的一个常用标准。
方法就是用各项数据与与均值相减，通常将这个差值称为离差(Deviation)。
离差数值的大小就可以说明数据的偏离程度。
但是，可以证明。
因为相对于均值的正、负偏差之和是相等的。
为了解决离差正、负值抵消的问题，统计学家使用了绝对值的方法，如平均差，更多使用的是平方的方法，如方差，然后再用平均的方法，消除掉由于数据项数多少给离差值带来的`影响，即从指标的含义来看，平均差的数值代表了所有数据离均值的平均距离，使用该数据说明数据的离散程度，比较容易理解。
数据的离散程度
观察与思考
成绩/秒 13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 3 4 5 6 7 8 序数 成绩/秒
13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0
一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差即 极差＝最大数据一最小数据．
甲运动员百米跑的成绩的极差为:13.1－12.0 = 1.l （秒）； 乙运动员百米跑的成绩的极差为:12.9－12.2 = 0.7 （秒）， 因此，乙运动员的成绩比较稳定．
1.对于一组数据，仅仅了解数据的集中趋势是不够的，还 需要了解这些数据的波动范围和偏离平均数的差异程度， 即这组数据的离散程度 数据的离散程度越大，表示数据分布的范围越广，越不 稳定，平均数的代表性也就越小； 2.一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即
成绩/秒
13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 3 4 5 6 7 8 序数
成绩 /秒
1
2
甲的成绩统计图
1
2
Hale Waihona Puke 乙的成绩统计图34
5
6
7
8 序数
（1）在这8次训练中，甲、乙两名运动员的百米跑成绩的平均 甲、乙两名运动员百米跑的平均成绩都是 数、众数、中位数分别是多少？
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20 只鸡腿，数据如下：
丙厂
80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 0 5 10 15 20 25 丙厂
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的 差距？分别求出甲、乙两厂的20只鸡腿质量与其相应的 平均数的差距？ （3）在甲、丙两厂中，你认为那个厂的鸡腿质量更符合 要求？为什么？
如何衡量数据的离散程度
如何衡量数据的离散程度 Revised by Jack on December 14,2020如何衡量数据的离散程度我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。
常用的可以反映数据离散程度的统计量如下：极差（Range）极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差：极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。
四分位距（interquartile range，IQR）我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征：一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。
四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。
方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。
标准差（Standard Deviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。
平均差（Mean Deviation）方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。
数据的离散程度(课件)
离散程度反映的是数据值的分散 程度，如果数据值比较集中，则 离散程度较小；如果数据值比较 分散，则离散程度较大。
离散程度的度量方法
方差
方差是离散程度最常用的度量方法，它计算的是数据值与 平均值的差的平方的平均值。方差越大，说明数据值的离 散程度越大。
极差
极差是指数据中的最大值与最小值之差，它表示数据值的 最大离散程度。极差越大，说明数据值的离散程度越大。
优化数据收 集
算法改进
将多个来源的数据进行融合，综合利用不同数据源的 优势，提高数据的可靠性和一致性，降低数据的离散
程度。
数据融合
通过改进算法，提高数据处理的准确性和稳定性，从 而降低数据的离散程度。例如，采用更先进的统计分 析方法、优化决策树算法等。
未来发展前景
人工智能和机器学习在离散程度分析中的应用： 随着人工智能和机器学习技术的发展，未来可以 将这些技术应用于离散程度分析中，提高数据处 理的自动化和智能化水平。
详细描述
消费者行为数据分析是另一个应用数据离散程度的领域。通过对消费者的购买行为、偏 好、满意度等数据进行离散程度分析，企业可以更好地理解客户需求和市场趋势，从而
制定更有效的营销策略。
案例三：人口普查数据离散程度分析
总结词
人口普查数据离散程度分析
VS
详细描述
人口普查数据离散程度分析是评估国家或 地区人口统计数据可靠性和一致性的重要 手段。通过对人口普查数据的离散程度进 行测量，可以发现数据中的异常值和误差 ，提高数据质量。这对于政策制定、资源 分配和规划具有重要意义。
影响因素
影响数据离散程度的因素有很多，如测量误差、样本大小、数据来源等。在分 析数据的离散程度时，需要综合考虑这些因素，以确保结果的准确性和可靠性。
第6章《数据的离散程度》
A. 甲
B．乙
C．丙
D．丁
D
）
练一练
4．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩
进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因
此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41.后来
小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测
试成绩，下列说法正确的是（
A.平均分不变，方差变大
613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能
打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这
项比赛？
答：在10次比赛中，甲运动员最高成绩是
613
__次_____cm，
1
4
而乙有___次成绩达到或
超过613cm, 故如为了打破记录，一般应
（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能
夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
9
答：在10次比赛中，甲运动员有___次成绩
可见甲整
超过596cm，而乙仅有___次，
5
体发挥稳定，因此为了夺冠一般应选择
甲
___运动员参加这项比赛；
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
598
612 597 604 600 613 601
选手乙的成绩(cm） 613 618 580
574
618 593 585 590 598 624
1
2
3
4
5
6
7
《数据的离散程度》数据的分析
《数据的离散程度》数据的分析数据的离散程度是指数据变量之间的差异程度。
离散程度越大，数据之间的差异越大，反之亦然。
在数据分析中，了解和评估数据的离散程度对于了解和解释数据的分布特点和趋势非常重要。
数据的离散程度可以通过多种统计指标和图表来描述和分析。
下面将介绍几种常用的方法。
1. 平均差距（Mean deviation）平均差距是数据离散程度的简单度量方法之一、它计算每个数据点与均值之间的差距，并求取这些差距的平均值。
平均差距越大，数据离散程度越大。
2. 方差（Variance）方差是数据离散程度的常用度量方法之一、它计算每个数据点与均值之间的差距的平方，并求取这些差距平方的平均值。
方差越大，数据离散程度越大。
3. 标准差（Standard deviation）标准差是方差的平方根。
它可以快速度量数据的离散程度，并且易于解释。
标准差越大，数据离散程度越大。
4. 四分位间距（Interquartile range）四分位间距是数据的分布特征的度量方法之一、它测量了数据中25%和75%之间数据点的差距。
四分位间距越大，数据离散程度越大。
5. 离群值检测（Outlier detection）离群值是与其他数据点显著不同的异常值。
通过检测和处理离群值，可以更准确地评估数据的离散程度。
6.统计图表直方图和箱线图是用于可视化数据离散程度的常用图表。
直方图将数据分布在一系列柱状图中，可以清晰地显示数据的离散性。
箱线图显示了数据的分布范围、中位数和四分位间距，可以直观地了解数据的离散程度。
了解数据的离散程度可以帮助我们更好地分析和解释数据，从而做出有意义的决策。
不同的离散程度描述方法可以结合使用，以便全面地评估数据的离散程度。
在实际应用中，我们需要根据具体问题和数据类型选择合适的离散程度度量方法，并结合其他统计分析方法进行综合分析。
《数据的离散程度》
数据的离散程度在统计学中，我们经常会关注数据的分布情况和离散程度。
数据的离散程度是指数据值在分布中的散布程度，也就是数据点相对于平均值的偏离程度。
偏离程度的度量方法常见的度量偏离程度的方法有四个：方差、标准差、极差和平均绝对偏差。
方差方差是偏离程度的最常用指标之一。
它计算对于均值的平均偏离的平方。
我们可以用以下公式来计算方差：$$ s^2 = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\bar{X})^2 $$其中，n是样本大小，X i是第i个数据点，$\\bar{X}$是样本的平均值。
标准差标准差是方差的平方根。
它测量了数据点对于均值的平均偏离，并提供了一种标准化的度量。
我们可以用以下公式来计算标准差：$$ s = \\sqrt{\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\bar{X})^2} $$极差极差是样本数据中最大值与最小值的差。
它提供了数据集中数据较为分散的程度。
我们可以用以下公式来计算极差：r=X max−X min其中，X max是最大值，X min是最小值。
平均绝对偏差平均绝对偏差是测量样本与均值之间平均差异的度量方法，计算了数据点与平均值的绝对偏差的平均值。
我们可以用以下公式来计算平均绝对偏差：$$ MAD = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} |X_i - \\bar{X}| $$应用离散程度是数据分析和数据处理中非常重要的概念。
例如，在金融领域中，我们可以使用离散程度来衡量投资组合的风险，进而作出更好的投资决策。
在生物医学研究中，研究者们可以使用离散程度来分析药物试验数据及对疾病的影响。
在市场营销中，离散程度可以用来研究客户对于一款产品的反馈，进而制定更有针对性的市场营销策略。
总结数据的离散程度是衡量数据分布状态的重要指标。
使用方差、标准差、极差以及平均绝对偏差这些量化离散程度的方法，可以帮助我们分析数据分布的特征，做出更加准确的结论。
数据的离散程度
【本讲教育信息】一、教学内容：数据的离散程度1. 理解方差、标准差和极差的概念以及它们表示的意义.2. 会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度.二、知识要点：1. 方差的定义和计算（1）设是n个数据x1、x2、…、x n的平均数，各个数据与平均数之差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差. 通常用“s2”表示，从上面的计算方差的式子可以看出：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小. 因此，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.2. 极差的计算和应用一组数据的最大值与最小值的差叫做这组数据的极差.极差是刻画数据离散程度的一个统计量. 生活中，我们经常用到极差，例如用温差来描述气温的变化情况；用公司员工的最高薪水与最低收入的差反映员工待遇的差别；用一个班学生身高的最大值与最小值的差看学生的发育情况；用一个机床生产的零件的尺寸差别看机床的好坏；用射击的最好环数与最差环数的差看运动员成绩的稳定性等.3. 极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息，因此在数学上常用方差刻画数据的离散程度.三、重点难点：本讲重点是理解极差与方差的概念和它们表示的意义. 难点是会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度.【典型例题】例1.计算数据3、4、5、6、7的极差、方差和标准差（精确到0.01）.分析：本题考查极差、方差和标准差的定义和计算方法.解：7－3＝4，这组数据的极差为4.这组数据的标准差是1.41.例2.八年级下学期期末统一考试后，甲乙两班的数学成绩（单位：分）的统计情况如下表所示：从成绩的波动情况看__________学生的成绩波动更大.分析：乙班的方差大于甲班的方差. 所以乙班的学生成绩波动更大.解：乙班评析：方差是反映数据离散程度的统计量. 方差越大，波动越大.例3. 今年5月16日我市普降大雨，基本解除了农田旱情. 以下是各县（市、区）的降水A. 29.4，29.4，2.5B. 29.4，29.4，7.1C. 27，29.4，7D. 28.8，28，2.5分析：把表格中的7个数据按由小到大的顺序排列：27，28，28.8，29.4，29.4，31.9，34.1. 中位数是29.4，众数是29.4，极差是34.1－27＝7.1.解：B例4.对10盆同一品种的花施用甲、乙两种保花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，其（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用哪种保花肥，使得花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果比较可靠？分析：10盆花的花期的极差就是花期最多与最少相差的天数；花的平均花期就是分别求出甲、乙两组数据的平均数；而看哪种保花肥效果可靠，就是比较它们的方差.解：（1）28－22＝6（天）.（2）由平均数计算公式可得：（3）由方差计算公式可得：s2甲＝5.2，s2乙＝2.8.因为乙的方差小于甲的方差，所以施用乙种保花肥效果比较可靠.评析：波动越小，效果越可靠.例 5. 在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶. 如图所示是甲、乙两段台阶路的示意图（长度单位：厘米）.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： （1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路. 对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.151414161615151910171811甲路段乙路段分析：本题主要考查运用所学的统计知识分析问题和解决实际问题的能力.∴相同点是：两段台阶路台阶高度的平均数相同.不同点是：两段台阶路台阶高度的中位数、方差和极差均不相同. （2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小. （3）每个台阶高度均为15cm （原平均数），使得方差为0.评析：用平均数、中位数、方差和极差的知识分析、比较，并作出合理的判断和决策.例6. 张明、王成两位同学上学年10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）. 如图所示.102030405060708090012345678910102030405060708090012345678910张明同学自测序号自测成绩（分）自测成绩（分）自测序号王成同学利用图中提供的信息，解答下列问题. （1（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是__________； （3）根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议.分析：这是一道统计计算题，从图中获取有关信息，计算表中所需补充的统计量，同时会从图中把握识别优生的标准，并对两同学提出合理化建议.解：（1）根据样本平均数、方差公式、中位数、众数的定义，不难从图中提供的各次测试成绩求出张明同学的平均成绩为80分，方差为60，王成同学的平均成绩也为80分，中位数为85，众数为90.（2）若将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则10次单元自我检测成绩中，张明同学仅有3次成绩达到优秀，而王成同学有5次成绩达到优秀，因此，优秀率高的同学应是王成.（3）尽管王成同学的优秀率高，但他的成绩不稳定（方差大），而张明同学虽然优秀率比不上王成同学，但他的考试成绩相对稳定. 根据两位同学10次检测的成绩看，发现他们各有所长，也各有所短. 因此，如何切合实际、准确地为他们今后的学习提出合理化的学习建议显得尤为重要，下面给出一条仅供参考：王成同学的学习要持之以恒，保持稳定；张明同学的学习还需加一把劲，提高优秀率.评析：本题综合了平均数、方差、中位数、众数的知识，能够结合统计结果对问题作出判断.【方法总结】1. 用方差、标准差和极差来描述数据的离散程度时，极差计算方便，但只与数据的最大值和最小值有关，而方差可以较全面地反映数据的离散程度. 方差和标准差多用于描述某项技术的稳定性、重复测量的精确程度、特殊人群身高的整齐程度等.2. 在全面描述数据的特征时，要综合考虑数据的平均数和方差. 当两组数据的平均数相等或接近时，可用方差比较它们的稳定性.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 体育课上，八年级（1）班两个组各10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组立定跳远成绩的（）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差*2. 一组数据－1，0，3，5，x的极差是7，那么x的值可能有（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 6个3. 一台机床在十天内生产的产品中，每天出现的次品个数依次为（单位：个）0，2，0，2，3，0，2，3，1，2. 那么，这十天中次品个数的（）A. 平均数是2B. 众数是3C. 中位数是1.5D. 方差是1.254. 下列各组数据中，标准差是的是（）A. 101、98、102、100、99B. 101、101、102、102、100C. 100、100、100、98、98D. 103、101、99、97、955. 两个同学参加一次考试，两人各科的平均分数相同，但标准差不同，下列说法正确的是（）A. 平均分数相同说明两个同学各科成绩一样B. 标准差较大的同学各科成绩比较稳定C. 标准差较大的同学成绩好D. 标准差较小的同学成绩之间差异较小6. 国家统计局发布的统计公报显示：2001年到2005年，我国GDP增长率分别为8.3%，9.1%，10.0%，10.1%，9.9%. 经济学家评论说：这五年的年度GDP增长率之间相当平稳. 从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的_______比较小. （）A. 中位数B. 方差C. 平均数D. 众数*7. 样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是（）**8. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大. 上述结论正确的是（ ）A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③二. 填空题1. 一组数据2，6，x ，10，8的平均数是6，则这组数据的方差是__________.2. 小明和小红练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，一般新手的成绩不太稳定，小明和小红二人有一人是新手，估计小明和小红两人中新手是__________.2468103. 现有甲、乙两支球队，每支球队队员身高数据的平均数均为1.70米，方差分别为2s 甲＝0.28、2s 乙＝0.36，则身高较整齐的球队是__________队（填“甲”或“乙”）.4. 2007年1月，在吉林省举行了第六届亚洲冬季运动会. 我国在各届亚冬会上获得金牌数如图所示，那么这六届获得金牌数的极差是__________枚.2468101214161820第一届第二届第三届第四届第五届第六届**5. 若8个数据的平方和是20，方差是2，则平均数是__________.三. 解答题1. 有甲、乙两个新品种的水稻，在进行杂交配系时要比较出产量较高、稳定性较好的一种，种植后各抽取5kg ）（1）哪一种品种平均单产较高？（2）哪一种品种稳定性较好？（3）据统计，应选哪一种品种做杂交配系？**2. 一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：分数50 60 70 80 90 100人数甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12已经算得两个组的人均分数是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由.**3.3月4月5月6月7月8月吐鲁番葡萄（吨） 4 8 5 8 10 13哈密大枣（吨）8 7 9 7 10 7 （1平均数方差吐鲁番葡萄8 9哈密大枣（2）补全折线统计图.（3）请你从以下两个不同的方面对这两种水果在去年3月份至8月份的销售情况进行分析：①根据平均数和方差分析；②根据折线图上两种水果销售量的趋势分析.【试题答案】一. 选择题1. D2. B3. D4. A5. D6. B7. A8. A二. 填空题三. 解答题1. （1）甲的平均单产是51kg，乙的平均单产是51kg，两品种平均单产一样高（2）甲的方差是2，乙的方差是3.6，所以甲品种稳定性好（3）选甲品种.2. （1）由于甲组、乙组学生的成绩平均分相同，从这个角度看，分不出谁优谁次.（2）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较，甲组的成绩好些.（3）计算得甲组方差是172，乙组方差是256，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定.（4）甲组、乙组学生的成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度上讲，甲组的成绩总体较好.（5）从成绩统计表看，甲组成绩不低于90分的有20人，乙组成绩不低于90分的有24人，且得满分的人数为甲组6人，乙组12人，从高分段的人数看，乙组的成绩较好.（2）如图所示：（3）①由于平均数相同，s大枣2＜s葡萄2，所以大枣的销售情况相对比较稳定. ②从图上看，葡萄的月销售量呈上升趋势. （答案不惟一，合理均可得分）。
数据的离散程度
数据的离散程度数据的离散程度是指数据值之间的分散程度，也可以理解为数据的波动程度。
在统计学中，离散程度是衡量数据变异性的重要指标之一，常用的度量指标包括极差、方差、标准差等。
本文将探讨数据的离散程度及其在数据分析中的应用。
一、极差极差是最简单直观的离散程度度量指标。
它表示的是一组数据的最大值与最小值之间的差值。
计算极差只需要将最大值与最小值相减即可。
然而，极差并不能完全反映数据的整体分布情况，它只关注极端值，容易受到异常值的影响。
二、方差方差是最常用的衡量数据离散程度的统计量之一。
它以数据与其均值之间的差距为基础。
计算方差的步骤如下：1. 计算每个数据与均值的差值。
2. 对差值进行平方运算。
3. 对平方后的差值求和。
4. 将求和结果除以数据个数得到方差。
方差的计算过程可以理解为将离均差平方化后进行累加，以此来度量数据的离散程度。
方差越大，数据的离散程度越大。
然而，方差的计算结果是平方的，与原始数据具有不同的量纲，不易直观理解。
三、标准差为了便于对离散程度的理解和比较，常将方差开根号得到标准差。
标准差与原始数据具有相同的量纲，更易于理解和比较。
标准差的计算公式为：标准差 = 方差的平方根标准差的计算过程相对方差而言更为复杂，但它是数据离散程度的重要度量指标。
标准差越大，数据的离散程度越大。
四、应用案例在实际应用中，数据的离散程度对于数据分析和决策具有重要意义。
下面通过一个实例来说明数据离散程度的应用。
假设一家零售商希望了解其销售额的离散程度，以便更好地了解市场的波动情况。
该零售商在过去一年中每个月的销售额数据如下：月份销售额(万元)1月 502月 603月 554月 655月 706月 557月 808月 759月 6010月 5011月 7012月 85首先，计算这些数据的平均值为63.33万元。
然后，计算每个月销售额与均值的差值，并求差值的平方，得到如下结果：月份差值平方1月 -13.33 177.772月 -3.33 11.113月 -8.33 69.444月 1.67 2.785月 6.67 44.446月 -8.33 69.447月 16.67 277.788月 11.67 136.119月 -3.33 11.1110月 -13.33 177.7711月 6.67 44.4412月 21.67 471.11将平方后的差值求和，得到结果为1463.89。
离散程度的计算
可比较性
离散程度计算结果在不同数据集 之间具有可比性，有助于比较不 同数据集的分布差异。
量化评估
离散程度提供了一种量化评估数 据分布稳定性的方法，有助于理 解数据的内在规律。
缺点
对异常值敏感
离散程度计算方法通常对异常值比较敏感，异常值可能会显著影响 离散程度的计算结果。
对数据分布假设的依赖
某些离散程度计算方法基于特定的数据分布假设，如正态分布，如 果数据分布不符合假设，计算结果可能不准确。
数据透视表
通过数据透视表可以快速查看数据的分布情况，并计 算数据的离散程度。
Python库
NumPy库
NumPy库提供了许多数学函数，包括计算标 准差的函数（np.std），可以直接用于计算离 散程度。
Pandas库
Pandas库提供了DataFramห้องสมุดไป่ตู้数据结构，可以方便 地处理和分析数据，并计算离散程度。
市场调研
在市场调研中，离散程度可用于分析 消费者对产品或服务的满意度。通过 计算不同受访者对同一问题的评分离 散程度，可以了解受访者对该产品或 服务的意见差异。
离散程度还可以用于分析品牌忠诚度。 例如，如果某一品牌的目标客户群体 对其评价较为一致，则该品牌的忠诚 度较高。
人口统计学研究
在人口统计学研究中，离散程度可用于分析人口特征的分布 情况。例如，通过计算不同年龄段人口的离散程度，可以了 解该年龄段人口的异质性。
方差主要用于比较两组数据的离散程度，如果两组数据的方差相等，则它们的离散程度相同。
标准差
01
标准差是方差的平方根，其计算公式为 $sigma =
sqrt{frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - mu)^2}$。
数据离散程度指标
数据离散程度指标数据在现代社会中扮演着至关重要的角色，其质量和准确性直接影响着各行各业的发展和决策。
在统计学中，离散程度是评估数据分散程度和波动性的重要指标之一。
本文将深入探讨数据离散程度指标的定义、计算方法和实际应用，帮助读者更好地理解数据分析中的关键概念。
一、数据离散程度指标的定义数据离散程度指标是衡量数据分布分散程度的量化指标，它反映了数据集中趋势和散布范围之间的关系。
通常情况下，数据的离散程度越高，数据分散的程度就越大，反之则越小。
数据离散程度指标的计算可以帮助我们更好地了解数据的分布情况，从而为数据分析和决策提供有力支持。
二、数据离散程度指标的计算方法常用的数据离散程度指标包括标准差、方差、离散系数等。
其中，标准差是衡量数据集中趋势和离散程度的重要指标之一。
标准差的计算方法是先计算每个数据点与均值的差值，然后将这些差值平方并求和，最后除以样本容量再开方得到标准差。
方差是标准差的平方，离散系数是标准差与均值之比。
除了标准差、方差和离散系数外，数据离散程度指标还包括四分位数间距、变异系数等。
四分位数间距是按照数据大小将数据分为四等分，计算上四分位数与下四分位数之差。
变异系数是标准差与均值之比，用于衡量数据的相对离散程度。
三、数据离散程度指标的实际应用数据离散程度指标在实际应用中具有广泛的用途，特别是在金融、医疗、教育和市场营销等领域。
在金融领域，标准差和方差常被用来评估投资组合的风险和收益率，帮助投资者制定有效的投资策略。
在医疗领域，离散系数和变异系数可以帮助医生评估不同病例的敏感性和治疗效果，指导临床诊断和治疗方案的制定。
在教育领域，四分位数间距常被用来评估学生的成绩差异和学习能力，帮助学校和教育机构优化教学计划和资源分配。
在市场营销领域，数据离散程度指标可以帮助企业分析消费者行为和市场需求，制定有针对性的营销策略和产品定位。
综上所述，数据离散程度指标是数据分析和决策中不可或缺的重要指标，它可以帮助我们更好地理解数据的特征和规律，指导我们做出准确的决策。
高中数学课件 数据的离散程度
1
每次测 试成绩 小明
2 14
3 13 0 16 3
4 12 -1 14 1
5 13 0 12 -1
求和 65 0 65 0
13 0 10 -3
每次成 绩－平 均成绩 每次测 试成绩
1
13 0
2 A
A的方差﹤B的方差
1.（绍兴·中考）甲、乙、丙、丁四位选手各10次
射击成绩的平均数和方差如下表：
则这四人中成绩发挥最稳定的是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
)
【解析】选B.在平均数相同的情况下，方差越小越
稳定.由题意可知乙的方差最小，所以这四人中成绩
发挥最稳定的是乙.
4.(南京· 中考)甲、乙两人5次射击命中的环数如下： 甲 7 9 8 6 10
1 x A (10 8 5) 5 10 __ 1 xB (4 6 3 7 2 8 1 9 5 5) 5 10
__
1 s [(0 5) 2 (10 5) 2 8 (5 5) 2 ] 5 10 1 2 sB [( 4 5) 2 (6 5) 2 (3 5) 2 (7 5) 2 10 (2 5) 2 (8 5) 2 (1 5) 2 (9 5) 2 2 (5 5) 2 ] 6
小兵
每次成 绩－平 均成绩
通过计算，依据最后求和的结果可以比较两组 数据围绕其平均值的波动情况吗? 不能 如果不能，请你提出一个可行的方案
1
小 明
每次测 试成绩 每次成 绩－平 均成绩 每次测 试成绩 每次成 绩－平 均成绩
初中数学 什么是数据的离散程度 如何计算数据的离散程度
初中数学什么是数据的离散程度如何计算数据的离散程度数据的离散程度是指数据在一组观测值中的分散程度或不均匀程度。
它反映了数据的集中程度和分布的广度。
数据的离散程度可以通过多种指标和方法进行计算和度量，包括极差、四分位数、方差和标准差等。
以下是关于数据的离散程度以及如何计算数据的离散程度的详细解释：1. 什么是数据的离散程度？数据的离散程度是指数据在一组观测值中的分散程度或不均匀程度。
在统计学中，我们常常关注数据的离散性，以便了解数据的集中程度和分布的广度。
数据的离散程度可以是高度集中的、均匀分布的或不均匀分布的，它反映了数据的分散程度和不均匀性。
2. 如何计算数据的离散程度？计算数据的离散程度可以使用以下几种常见的指标和方法：a. 极差：极差是指数据的最大值与最小值之间的差异。
极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小。
极差容易受到极端值的影响，因此在使用时需要注意。
b. 四分位数：四分位数是将数据分成四等分的数值，它可以帮助我们理解数据的分布情况和离散程度。
常用的四分位数包括第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2，即中位数）和第三四分位数（Q3）。
通过计算四分位数，我们可以了解数据在不同区间的分布情况和离散程度。
c. 方差：方差是衡量数据离散程度的常用指标，它反映了数据相对于其平均值的离散程度。
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
方差对异常值敏感，因此在存在异常值时需要谨慎使用。
d. 标准差：标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的常用指标。
标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
标准差对异常值敏感，因此在存在异常值时需要谨慎使用。
除了以上常用的指标和方法，还可以通过绘制数据的图表和图形进行直观描述和分析，如直方图、箱线图和散点图等。
这些图表和图形可以帮助我们更好地理解和展示数据的离散程度。
以上是常用的计算数据离散程度的指标和方法，它们可以帮助我们分析和度量数据的离散性。
数据的离散程度
第二章 数据的离散程度1.描述一组数据的离散程度（即波动大小）的量： 等。
2.极差：（1）极差计算公式： 。
注意：极差越小，这组数据的离散程度（即波动大小）就越 ，这组数据就越 。
（2）用极差来衡量一组数据的离散程度（即波动大小）的优缺点：（回忆） 3.方差（或标准差）：（1）方差计算公式： ； 标准差计算公式： 。
注意：①方差的单位是 ；而标准差的单位是 。
②方差（或标准差）越小，这组数据的离散程度（即波动大小）就越 ，这组数据就越 。
③两组数据比较时，一组数据的极差大，这组数据的方差（或标准差）不一定．．．就大！ （2）填表：样本平均数方差标准差1x , 2x ,3x ，4x ，5x ，… , n x x2SSa x +1, a x +2,… , a x n + 1kx , 2kx , 3kx ，4kx ，… , n kxa kx +1, a kx +2,… , a kx n +（3）区分“二选一”和“对二者做出评价”这两类题型的回答的不同：（回忆） 【基础训练】1．（08，大连）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13=甲x ，13=乙x ，6.3S 2=甲，8.15S 2=乙，则小麦长势比较整齐的试验田是 。
2.（07，晋江）一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是_______ _。
3.(08，永州) 已知一组数据1，2，0，－1，x ，1的平均数是1，则这组数据的极差为 ．4. 在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的A ．平均状态B ．分布规律C ．离散程度D ．数值大小 5．（08，台州）一组数据9.5，9，8.5，8，7.5的极差是 A ．0.5 B ．8.5 C ．2.5 D ．26.（08，义乌）近年来，义乌市对外贸易快速增长．右图是根据我市2004年至2007年出口总额绘制的条形统计图，观察统计图可得在这期间我市年出口总额的极差是 亿美元.7.（08，嘉兴）已知甲、乙两组数据的平均数分别是80x =甲，90x =乙，方差分别是210S =甲，25S =乙，比较这两组数据，下列说法正确的是A ．甲组数据较好B ．乙组数据较好C ．甲组数据的极差较大D ．乙组数据的波动较小 8.下列说法正确的是A ．两组数据的极差相等，则方差也相等B ．数据的方差越大，说明数据的波动越小C ．数据的标准差越小，说明数据越稳定D ．数据的平均数越大，则数据的方差越大 9.（08，河南）样本数据3，6，a , 4，2的平均数是5，则这个样本的方差是 。
如何衡量数据的离散程度
如何衡量数据的离散程度The manuscript was revised on the evening of 2021如何衡量数据的离散程度我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。
常用的可以反映数据离散程度的统计量如下：极差（Range）极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差：极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。
四分位距（interquartile range，IQR）我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征：一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。
四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。
方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。
标准差（Standard Deviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。
平均差（Mean Deviation）方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。
数据离散程度的指标
数据离散程度的指标一、引言数据分析是现代社会中不可或缺的工具之一，而数据离散程度的指标则是其中一个重要的方面。
离散程度指的是数据分布的集中程度，常用于描述数据的波动性和稳定性。
本文将介绍几种常见的离散程度指标及其应用场景。
二、极差极差是最简单也是最直接的离散程度指标。
它表示数据集中最大值与最小值之间的差异，并且仅考虑这两个极端值。
极差越大，说明数据点越分散。
三、方差方差是衡量样本离散程度的经典方法之一。
它计算每个数据点与平均值之间的距离平方和，并将其除以样本数量减1来得到样本方差。
方差越大，说明数据点越分散。
四、标准差标准差是方差开根号得到的结果，通常用于测量正态分布中数据点相对于平均值偏离多少。
标准差越大，说明数据点越分散。
五、变异系数变异系数是相对于平均值而言，样本标准偏差所占比例的一个指标。
它可以用于比较两个或多个数据集的离散程度，即使它们的单位不同。
变异系数越大，说明数据点越分散。
六、四分位距四分位距是将数据集划分为四个等份的一种方法。
它将数据集从最小值到最大值排序，并将其划分为四个相等大小的部分。
第一份包含最小值和25%的数据，第二份包含25%到50%的数据，第三份包含50%到75%的数据，最后一份包含75%到100%的数据。
四分位距是第三份与第一份之间的差异。
四分位距越大，说明数据点越分散。
七、离散系数离散系数是样本标准差除以平均值得到的结果，通常用于比较不同单位或量级下的样本离散程度。
离散系数越大，说明数据点越分散。
八、应用场景以上提到的指标都可以用于衡量数据集中变量之间的差异和波动性，并且可以帮助我们理解和解释观察结果。
例如，在金融领域中，方差和标准差被广泛用于衡量股票价格和投资组合的风险。
在医学研究中，四分位距和变异系数可以用于比较不同治疗方法的效果和副作用。
在工程领域中，离散系数可以用于比较不同产品的质量和可靠性。
九、结论本文介绍了几种常见的离散程度指标及其应用场景。
这些指标可以帮助我们更好地理解数据集中变量之间的差异和波动性，并且可以为我们提供更深入的洞察力。
初中数学 什么是数据的离散程度 如何判断数据的离散程度
初中数学什么是数据的离散程度如何判断数据的离散程度数据的离散程度是指数据集中观测值的分散程度或变异程度。
它可以帮助我们了解数据的集中趋势以及观测值与集中趋势之间的差异程度。
以下是判断数据的离散程度的几种常用方法：1. 极差（Range）：极差是最简单的度量数据离散程度的方法。
它是将数据集中最大值与最小值之间的差异量化。
极差越大，数据的离散程度越高。
然而，极差只考虑了最大值和最小值，忽略了其他观测值的分布情况。
2. 方差（Variance）：方差是衡量数据离散程度的常用方法。
它计算了每个观测值与数据集均值之间的差异的平方，并求平均值。
方差越大，数据的离散程度越高。
方差能够考虑数据集中所有观测值的分布情况，但它的计算结果是以观测值的平方为单位，不易理解。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根。
它是衡量数据离散程度的常用方法，也是最常见的统计量之一。
标准差具有与原始观测值相同的单位，更易理解和解释。
标准差越大，数据的离散程度越高。
4. 变异系数（Coefficient of Variation）：变异系数是标准差与均值的比值，乘以100%。
它是衡量数据离散程度相对于均值的相对程度的方法。
变异系数越高，数据的离散程度相对于均值越高。
变异系数适用于比较不同数据集之间的离散程度，尤其是当数据集具有不同的均值时。
除了上述方法，还有其他一些统计量和图形可以用来判断数据的离散程度，如中位数绝对偏差、四分位极差和箱线图等。
总结起来，数据的离散程度是指数据集中观测值的分散程度或变异程度。
判断数据的离散程度的方法包括极差、方差、标准差和变异系数等。
这些方法能够帮助我们了解数据的集中趋势以及观测值与集中趋势之间的差异程度。
选择合适的方法要根据数据的性质和分布情况来决定。
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广才成学明志致远学案编号：2014080243编写：王效鼎审核：王效鼎班级：组别：姓名：一评：二评：
6.4数据的离散程度
【学习目标】
1、了解方差、标准差的概念.
2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度．
3、能用样本的方差来估计总体的方差．
4、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力．
【学习重难点】
教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。
.
教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点.
自主学习
第一次第二次第三次第四次第五次
甲命中环数7 8 8 8 9
乙命中环数10 6 10 6 8
①请分别算出甲、乙两名射击手的平均成绩；
②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图；
合作交流
请根据统计图，思考问题：
①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？
②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？
③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？
④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比较？
概括总结
根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。
1、方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念。
（注意：在比较两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器）
2、现要挑选一名射击手参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？
（这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论）
巩固新知
1、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是。
2、已知一个样本1，3，2，X，5，其平均数是3，则这个样本的标准差是。
3、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X甲=X乙，如果甲的射击
成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲S2乙
4、已知一个样本的方差是S=
5
1
[（X1—4）2+（X2—4）2+…+（X5—4）2]，则这个样本的平均数是，样本的容量是。
５、八年级（５）班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的５次测试中成绩如下（单位：分）
黎明：652 653 654 652 654
张军：667 662 653 640 643
如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？（解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论）。