算术平方根

6.1 平方根（1）

教学内容和内容分析

1.教学内容

人民教育出版社《义务教育课教科书·数学》（七年级下册）第六章“实数”“6.1 平方根（1）”。

2.内容分析

平方根是初中数学中的重要概念，与之对应的开平方运算是学生在学习了加、减、乘、除、乘方等五种运算的基础上引入的一种新的运算。它们为引入无理数作铺垫，是学习实数的准备知识，同时也是今后学习二次根式、一元二次方程等知识的基础。通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感。

教学目标和目标解析

1.教学目标

（一）教学知识点

（1）了解算术平方根的概念。

（2）会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示。

（二）能力训练要求

（1）通过解决生活中的实际问题，让学生体验数学与生活实际是紧密联系的。

（2）通过自主探究活动培养学生自学能力，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

2.目标解析

由于实际问题中所求的答案往往是正数的情况，所以本节主要介绍算术平方根的概念和求法，让学生看到算术平方根与实际的联系，在学习算术平方根的基础上再学习平方根。

教学问题诊断分析

算术平方根的概念，这是本节课的重点，根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根是本节课的难点。本节的开始设置了一个问题情境，把这个问题情境抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方形的边长，这是典型的求算术平方根的问题。由于学生熟悉平方运算，再结合正方形的面积和边长的关系，学生很容易解决这个问题，它们都是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，进而从具体到抽象的给出算术平方根的概念，使学生理解算术平方根的意义。给

学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根的概念，通过独立思考和小组间的讨论、交流，释疑解难，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展，教学目标得到很好的落实。

教学支持条件分析

借助中国象棋中马走日，象飞田吸引学生注意力，激发学生的学习兴趣。每名学生备有一份讲义，一共五问，以便通过动手操作进行算术平方根概念的理解和求出非负数的算术平方根。课后讲义收回，以便深入了解学生本节课学习后对算术平方根的掌握情况。

教学过程设计

1.创设情境，导入新课

师：中国象棋是在中国有着悠久的历史的棋类运动。它不仅能丰富文化生活，陶冶情操，更有助于开发智力，启迪思维，锻炼辨证分析能力和培养顽强意志，深受广大群众喜爱。相信我班个别同学的抽屉里曾经有这样一副中国象棋。

那怎样下象棋呢？有这样四句口诀：

马走日字象飞田；车走直路炮翻山；

士走斜路护将边；小卒一去不回还。

如图所示，若棋盘中每个小正方形的边长为1，那么卒走一步、士走一步、马走一步、象走一步，它们走过的距离各是多少？它们走过的距离是整数吗？是分数吗？是有理数吗？

生：卒走一步的距离是1，是整数也是有理数。马、象走一步的距离是多少就不太清楚了。

师：不知道没关系，相信通过第六章的学习，一定能解决这个问题！这节课我们先来学习算术平方根。

（教师板书：6.1.1 算术平方根）

幻灯片展示教材第40页的问题。

学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块

面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之

作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

师：这块正方形画布的边长应取多少？

生：5dm

师：你能说一说解决这个问题的思路吗？

生：由于正方形的面积为边长的平方，52=25，边长不可能为负数，故此画布的边长应为5dm 。

师：如果这块正方形画布的面积为1dm 2,那么它的边长是多少？如果面积分别为9dm 2、16dm 2、36dm 2、 dm 2、呢？（边问边展示幻灯片）

生：填空：1、3、4、6、 .

师：很好！这里是告知了正方形的面积，求正方形的边长。你能指出这些问题的共同特点吗？ 生：上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题。 师：说得非常好！如果这块正方形画布的面积为2 dm 2呢？它的边长又是多少？该如何表示？由此，我们引入了算术平方根。下面我们就一起来学习算术平方根的相关概念？

【评析】用中国象棋激发起学生的好奇心和学习兴趣，感受到学习算术平方根的必要性。通过幻灯片的演示，直观的把实际问题抽象为数学问题，为学习算术平方根提供背景和素材，进而引入算术平方根的概念。

2.自主探究，合作交流

请大家打开课本，阅读教材40页内容，利用4分钟时间，思考并完成下发讲义中的5个问题， 计时开始：

1、算术平方根以及有关概念。

2、为什么规定：0的算术平方根是0？

3、自学例1，先试做后对照。

4、 表示的意义是什么？它的值是多少？用等式怎样表示？

5、100的算术平方根是多少？怎样用符号表示？ 时间到！下面请前后桌3-4人为一小组，交流一下1、2答案，提出心中感到疑惑的问题，互相解答，用时仍为4分钟，计时开始。

【评析】给学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根的概念，通过小组间的交流与讨论，释疑解难，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展，教学目标得到很好的落实。

3.师生互动，归纳新知

师：好，时间到！通过刚才思考与交流，相信你们对算术平方根有所了解。那么你能叙述算术平方根的概念吗？

4252

5

16

生：一般地，如果一个正数的平方等于a ，

a 2

，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。 a ，读作“根号 a ”, a 叫做被开方数。

师：非常好！你们能举几个例子说明一下吗？

生：例如：,255

2=那么5叫做25的算术平方根。25的算术平方根可以记为25，即25=5.

师：回答得非常好！还有谁发言？ 生：,112

=那么1是1的算术平方根。即.11= 师：很好！还有吗？除了整数外，想想。

师：哦，对，非常好！100

9 那么，对于0，为什么要规定0的算术平方根是0呢?

生：因为,002=所以0的算术平方根是0。记作.00=

师：回答得很好！其实，由于算术平方根的概念中是定义了正数x ，而0不在定义的范围之内，故我们另外规定了0的算术平方根是0。下面我们一起来回顾一下算术平方根的相关概念，在这里我们可以用式子表示： 若.则),0（2a x x a x =≥=

师： 根据概念，我们知道

a 表示a 的算术平方根。那它的值是一个什么样的数？这里的被开方数

a 应该是一个什么样的数呢? 生：

a 表示a 的算术平方根。算术平方根为非负数，即.0≥a 被开方数a 为非负数，即.0≥a

【评析】问题的设置加深了对算术平方根的非负性的理解，提高语言表达的准确性和书写的规范性。

4.例题解析，加深理解 例1.求下列各数的算术平方根：

（1）100；（2）1；（3） ；（4）23；（5）5-

模仿教材例1的模式，注意语言的准确性和书写的规范性。我们在书写根号时要注意一定要把被开方数盖住。

请四名同学板演，全班同学共同批阅板演同学的书写。再次强调算术平方根的非负性，加深理解。

例2. 下列各式是否有意义，为什么？

（1）;4-（2）;4-（3）;)3(2

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