一次函数的性质
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
一次函数图像的性质
一次函数图像的性质
一次函数图像的性质是什么？
答：一次函数图像性质总结如下：
1、y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线）：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大。
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2、y=kx+b（k，b为常数，k≠0）时：
当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一、二、三象限。
当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一、三、四象限。
当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一、二、四象限。
当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限。
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、直线y=kx+b中k、b的关系：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限。
k>0，b<0：经过第一、三、四象限。
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）。
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限。
k<0，b<0：经过第二、三、四象限。
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）。
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
一次函数图象与性质
一次函数可以用于找到最佳拟 合线，以更好地描述数据的趋 势。
线性回归
一次函数可以用于进行线性回 归分析，以预测未来的数据趋 势。
结论和要点
• 一次函数是数学中最基本的函数之一，具有稳定的线性关系。 • 斜率和截距是一次函数图象的重要特征。 • 平移和缩放操作可以改变一次函数图象的位置和形状。 • 一次函数在实际问题中有广泛的应用，可以帮助解决各种实际情况。
一次函数图象的平移和缩放
通过平移和缩放操作，可以改变一次函数的图象及其性质。
1
平移
平移操作可以改变一次函数图象的位置，例如向左或向右平移。
2
缩放
缩放操作可以改变一Байду номын сангаас函数图象的形状和大小，例如拉伸或收缩。
3
组合操作
平移和缩放操作可以组合使用，以实现更灵活的一次函数图象变换。
一次函数图象的应用
一次函数的图象和性质在实际问题中有许多应用，例如经济学、物理学和工程学等领域。
一次函数图象与性质
一次函数是数学中最基本的函数之一，它具有许多重要的性质和应用。本次 演示将介绍一次函数的定义、图象特点以及与实际问题的关系。
一次函数的定义和表达式
一次函数是指一个自变量的整数次数都是1的函数。通常以y = ax + b的形式表示，其中a和b是常 数。
1 自变量
一次函数的自变量通常表示为x，它可以是任意实数。
经济学
一次函数可以描述供需关 系、市场价格等经济现象。
物理学
一次函数可以描述速度、 位移等物理量与时间的关 系。
工程学
一次函数可以描述电路、 力学系统等工程问题。
一次函数与实际问题的关系
一次函数是解决实际问题的重要工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际情况。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,则图象过1,2,3象限k>0,b<0,则图象过1,3,4象限k<0,b>0,则图象过1,2,4象限k<0,b<0,则图象过2,3,4象限当k>0时，y随x的增大而增大；图像经过一、三象限当k<0时，y随x的增大而减小；图像经过二、四象限二次函数y=ax^2+bx+ca>0开口向上a<0开口向下a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|与y轴交点为(0,c)b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根对称轴x=-b/2a顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减正比例函数与反比例函数形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数.图象做法:1.带定系数2.描点3.连线图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小形如y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴,但永不相交.性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.一次函数是有规律的：一、定义：如果y=kx+b(k、b是常数且k不等于0），那么y叫做x 的一次函数。
一次函数揭秘一次函数的定义和性质
一次函数揭秘一次函数的定义和性质一次函数揭秘：一次函数的定义和性质一次函数，也称为线性函数，是数学中最简单、最重要的函数之一。
它的函数表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是实数，并且a ≠ 0。
本文将深入探讨一次函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用一次函数。
一、一次函数的定义一次函数是指其函数图像为一条直线的函数。
在一次函数的函数表达式中，x 是自变量，y 是因变量。
其中，a 代表斜率，决定了函数图像的斜率和方向；b 代表截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当a > 0 时，函数图像呈现正斜率，向上倾斜；当 a < 0 时，函数图像呈现负斜率，向下倾斜。
二、一次函数的性质1. 变化率恒定：一次函数的斜率 a 表示了函数图像的变化率。
具体来说，a 的绝对值越大，函数图像变化的速率就越快；a 的绝对值越小，函数图像变化的速率就越慢。
当 a = 0 时，函数图像为一条水平直线，不变化。
2. 函数图像经过定点：一次函数的截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b = 0 时，函数图像经过原点；当b ≠ 0 时，函数图像与y 轴有一个截距点。
这个截距点的纵坐标为 b，横坐标为 0。
3. 一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，具有直线的一些特点。
例如，两点确定一条直线，可以利用函数图像上的两个点得到函数的具体表达式；一次函数的图像关于 y 轴对称，可以通过将 x 取负得到关于 y 轴对称的点，并连接这两个点得到函数图像。
三、一次函数的应用1. 行程与距离关系：一次函数可以应用于行程与距离之间的关系。
例如，当一个物体以一定速度匀速运动时，其行进的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
2. 成本与产量关系：一次函数也可以应用于企业的成本与产量之间的关系。
例如，当产量固定的情况下，成本可以通过一次函数来表示，这样就可以帮助企业进行成本控制和预测。
3. 温度变化关系：一次函数还可以应用于温度变化之间的关系。
一次函数图像性质总结
一次函数图像性质总结
一次函数是数学中常见的函数之一，它是一类函数的集合，表示把一个实数x映射到另一个实数y上。
一次函数可以形象地用一个图像表示出来，而这些图像有其独特的特性。
本文将着重总结一次函数图像的性质。
首先，一次函数的图像具有单调性，从正负无穷连续变化，从图像来看，即x增加，y也增加，或者x减少，y也减少，而不存在拐点，其性质取决于与x的关系，如一次函数 y= ax+b (a 0)，当a> 0，则y随着x的单调递增，而当a< 0，则y随着x的单调递减。
其次，一次函数的图像具有翻转对称性，以一次函数 y= ax+b 为例，令b=0，即y= ax，将它和y轴做对称变换，即当x增加，y减少，或者x减少，y增加，则函数图像会翻转180度，即变成一次函数 y=-ax (a 0)，而与y轴做对称变换时，它也会将原来的函数图像翻转180度，即变成一次函数 y= ax+b 。
此外，一次函数的图像具有错切性，以一次函数 y= ax+b 为例，当a> 0，则函数图像是以x轴正方向为逆时针错切，而当a< 0，则函数图像是以x轴正方向为顺时针错切，即当x增加，y不变时，x 轴正方向顺时针方向会发生旋转；当x减少，y不变时，x轴正方向顺时针方向会发生旋转。
最后，一次函数的图像还有斜率性，以一次函数 y= ax+b 为例，函数的斜率可由它的导数表示，即函数图像在原点的斜率可表示为a，也就是说斜率a就是函数图像的斜率，而斜率越大，函数图像越陡，
而斜率越小，则函数图像越平缓。
综上所述，一次函数图像具有单调性、翻转对称性、错切性和斜率性这四种基本性质，理解这四种性质有助于更好地理解一次函数图像的特征以及函数的变化特点。
一次函数的性质
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
今天的努力是为了明天的幸福一次函数的性质
【编者按】快乐学习尽在初中频道（点点试试）函数性质：
1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k.K 为常数.
即：y=kx+b(k，b 为常数，k≠0)，
∵当x 增加m，k(x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0 时，b 为函数在y 轴上的点,坐标为(0，b)。
3 当b=0 时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k 相同，b 也相同时，两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k 相同，b 不相同时，两一次函数图像平行;
当两一次函数表达式中的k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交;
当两一次函数表达式中的k 不相同，b 相同时，两一次函数图像交于y 轴上的同一点(0，b)。
若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数，k 不等于0)则称y 是x 的一次函数
图像性质
1.作法与图形：通过如下3 个步骤：
(1)列表.
(2)描点;[一般取两个点,根据两点确定一条直线”的道理，也可叫两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0,0)和。
一次函数的图象和性质知识讲解
一次函数的图象和性质知识讲解一次函数是数学中最简单的函数之一，通常表示为y = ax + b，其中a和b都是实数且a ≠ 0。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.找到x轴和y轴的交点，并标记为(x1,0)和(0,y1)。
2.连接两个点，得到直线。
如果x1等于0，则直线与y轴平行；如果y1等于0，则直线与x轴平行；如果两个轴的交点都不是原点，则直线会穿过原点。
1.斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜程度。
斜率可以通过直线上的两个点计算得出，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
在一次函数中，斜率等于a。
2.y轴截距：一次函数在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标。
在一次函数中，截距等于b。
3.x轴截距：一次函数在x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标。
在一次函数中，截距等于-x1/a（如果存在）。
4.定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，因为对于任何实数x，一次函数都有对应的y值。
一次函数的值域也是所有实数，因为直线可以无限延伸。
5.单调性：如果a大于0，则一次函数是增函数，意味着随着x的增加，y值也增加。
如果a小于0，则一次函数是减函数，意味着随着x的增加，y值减少。
6.对称性：一次函数的图像在直线y=x/2上对称，这意味着如果一个点(x,y)在一次函数的图像上，则另一个点(y,x)也在图像上。
7.平移：通过改变常数b的值，可以使一次函数的图像平移。
当b大于0时，图像向上平移；当b小于0时，图像向下平移。
8.相关性：一次函数的系数a和b的值决定了直线的斜率和截距。
更具体地说，a决定了直线的倾斜程度，而b决定了直线与y轴的交点的纵坐标。
总结：一次函数是数学中最简单的函数之一，其图像是一条直线，由斜率和截距决定。
一次函数具有很多重要的性质，如斜率、截距、定义域、值域、单调性、对称性、平移和相关性。
熟悉这些性质可以帮助我们更好地理解和分析一次函数的特征和行为。
一次函数的图像和性质教案
一次函数的图像和性质教案一次函数是一种形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数，a 称为斜率，b称为截距。
教案：一、概念：一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数，并且a≠0。
二、图像：1. 当a>0时，一次函数的图像是一条斜率为正的直线，向右上方倾斜。
2. 当a<0时，一次函数的图像是一条斜率为负的直线，向右下方倾斜。
3. 当a=0时，一次函数的图像是一条水平直线。
三、性质：1. 斜率：斜率a表示函数图像上每向右移动一个单位，y的变化量。
当a>0时，y随x的增加而增加，当a<0时，y随x的增加而减少。
2. 截距：截距b表示函数图像与y轴的交点，也就是当x=0时的函数值。
3. 变化率：一次函数的变化率恒定，即斜率a固定，表示函数图像上每向右移动一个单位，y的变化量始终相同。
4. 直线性：一次函数的图像是一条直线，没有曲线部分。
四、例题练习：1. 已知一次函数的斜率为2，截距为3，求该一次函数方程。
解：根据斜率-截距的形式，可得到方程为y=2x+3。
2. 已知一次函数的图像过点(3,5)，斜率为-1，求该一次函数方程。
解：由于斜率为-1，方程形式为y=-x+b。
将点(3,5)代入可得5=-3+b，解方程得b=8，所以方程为y=-x+8。
五、课堂练习：1. 根据一次函数图像判断斜率的正负。
给出以下函数图像的斜率的正负并说明理由：(a) (b) (c) (d)2. 根据一次函数的斜率和截距，求出函数的方程：(a) 斜率为3，截距为4的一次函数；(b) 斜率为-2，经过点(3,5)的一次函数。
六、拓展思考：一次函数的图像与其斜率和截距有哪些关系？如何根据一次函数的方程确定其图像的性质？。
一次函数的图象性质
一次函数的图象性质一次函数，又称为一次方程，是一个特殊的函数形式，由形如y =ax + b的方程所表示，其中a和b为常数，而x和y则为变量。
一次函数的图象性质在数学中具有重要的地位，对于理解线性关系、解决实际问题以及推导其他函数的性质都具有指导作用。
在本文中，将探讨一次函数的图象性质，并从图像的倾斜度、截距和交点着手进行分析。
一、图像的倾斜度一次函数的图象通常表现为一条直线，其倾斜度能够反映函数的性质。
对于y = ax + b这样的一次函数来说，a被称为斜率，用来描述图象的倾斜程度。
当a大于0时，图象向右上方倾斜；当a小于0时，图象向右下方倾斜；当a等于0时，图象为一条水平直线。
斜率的绝对值越大，图象的倾斜程度越大。
倾斜度的大小决定了一次函数在平面上的变化速度。
斜率的正负决定了函数是否单调增减，当斜率大于0时，函数单调增加；当斜率小于0时，函数单调减少；当斜率等于0时，函数保持水平。
当斜率为正或者负无穷大时，函数表现为垂直于x轴或y轴的直线。
二、截距一次函数的截距是指函数图象与坐标轴的交点位置。
根据函数的形式y = ax + b，我们可以得到两个重要的截距：x轴截距和y轴截距。
x轴截距，即函数与x轴的交点的横坐标，可以通过令y等于0解方程得到：0 = ax + b，解得x = -b/a。
同理，y轴截距可以通过令x等于0解方程得到：y = a*0 + b，解得y = b。
截距与函数在图像上的位置有密切的关系。
x轴截距决定了函数图像与x轴的交点位置，在平面上表现为函数图像与x轴的交点横坐标。
y轴截距则决定了函数图像与y轴的交点位置，在平面上表现为函数图像与y轴的交点纵坐标。
三、交点对于两条一次函数来说，它们可能有一个、两个或者不存在交点。
交点是两条函数图像相交处的坐标点，也是两个方程的解。
通过求解两个方程，我们可以确定交点的位置。
当两条函数图像有一个交点时，表示两个方程存在唯一解；当两条函数图像有两个交点时，表示两个方程存在两个解；当两条函数图像没有交点时，表示两个方程无解。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数是数学中一种基本的函数类型，也称为线性函数。
它的特点是函数图像为一条直线，表现出一种简单而直接的变化规律。
一次函数通常以 y = ax + b 的形式表示，其中 a 和 b 都是常数。
一次函数的性质有很多，接下来我们将逐一介绍。
1. 变化趋势：一次函数的图像为一条斜率恒定的直线，斜率的值决定了函数图像的变化趋势。
当斜率 a > 0 时，函数图像为上升的直线；当斜率 a < 0 时，函数图像为下降的直线；当斜率 a = 0 时，函数图像为水平直线。
2. 截距：一次函数的图像在 x 轴上与 y 轴相交的点分别称为 x 轴截距和 y 轴截距。
x 轴截距为负数的情况下，函数的图像位于 y 轴的左侧；x 轴截距为正数的情况下，函数的图像位于 y 轴的右侧。
3. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，即该函数对于任意实数值的 x 都有定义。
一次函数的值域是所有实数，即该函数可以取到任意实数值的 y。
4. 求解交点：一次函数与 x 轴的交点称为根，也就是函数图像与 x轴的交点；与 y 轴的交点称为解，也就是函数图像与 y 轴的交点。
求解根的方法是令 y = 0，并解出 x 的值；求解解的方法是令 x = 0，并解出 y 的值。
5. 判断与关系：对于两个不同的一次函数 f(x) = ax + b 和 g(x) = cx + d，若 a = c 且 b = d，则两个函数是相等的；若 a = c 且b ≠ d，则两个函数是平行的，它们的图像永远不会相交；若a ≠ c，则两个函数是相交的，它们会有一个交点。
6. 性质推广：一次函数的性质可以推广到更高维度的情况。
对于二维空间中的直线，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有两个变量。
对于三维空间中的平面，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有三个变量。
在实际应用中，一次函数常常被用于描述变化的趋势和规律。
一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。
例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。
一次函数的图象和性质
周期性和对称性的应用
周期性在物理学中的应用：描述振动、波动等现象 周期性在数学分析中的应用：研究函数的性质和图像 对称性在几何学中的应用：研究图形的形状和性质 对称性在物理学中的应用：描述晶体结构和光学现象
周期性和对称性的证明
周期性证明：通过函数表达式和图像的观察，证明一次函数的周期性。 对称性证明：通过函数表达式和图像的观察，证明一次函数的对称性。 周期性和对称性的关系：探讨一次函数的周期性和对称性之间的关系。 实际应用：介绍一次函数的周期性和对称性在实际问题中的应用。
周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取值时， f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的性质：周期函数的图像是具有规律性的重复图形，其性质与周期T 有关。例如，正弦函数和余弦函数是常见的周期函数，其周期分别为2π和π。
一次函数的周期性：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，不具备周期 性。
一次函数的图象和 性质
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目录
一次函数的图象 一次函数的奇偶性 一次函数的零点
一次函数的单调性
一次函数的周期性和对称 性
01
一次函数的图象
函数表达式和图象
函数表达式：y=kx+b，其中 k≠0
截距：表示函数图像与y轴的交点， b>0时，交点在y轴正半轴；b<0 时，交点在y轴负半轴
确定函数表达式 确定自变量的取值范围 计算对应的函数值 绘制点，连接成线
函数图象的性质
斜率表示函数的增减性
一次函数图象是一条直线
y截距表示函数与y轴交点 的位置
函数的图象可以平移和翻转
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用
一次函数图像性质总结
一次函数图像性质总结一次函数图像性质总结3、一次函数的图象及性质（1）形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.（2）画法：由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）和b（－，0）的一条直线，当b=0时，即为正比例函数，其图象k是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.（3）性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：（增减性）一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。
①k ＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大。
②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。
性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置，反之亦然。
①b＞0直线与y的交点在x 轴的上方。
②b=0直线过原点。
③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。
性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；即两直线平行K的值相等。
当b确定k变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。
即当b 相等时两直线相交于Y轴一点。
性质四：一般的，一次函数的k、b都未确定，他的图像分为四种情况：注意：一般的画一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)图像时，选取（0，b）、（－，0）两点，即选取直线与两坐标轴的交点。
bk扩展阅读：一次函数图像性质小结与配套练习一次函数的图像性质总结（阅读+理解）一、一次函数的图像姓名1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（-直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k ＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18Db，0）两点的一条k3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A （0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（-4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）b，0）.k②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解;若l1与l2平行，则k1=k2.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y 随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数ykx(k0)一定经过点，经过(1一次函数ykxb(k0)经，)，过(0，)点，(，0)点．2.直线y2x6与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。
一次函数的图像及性质
一次函数是一种简单而重要的函数类型。了解一次函数的图像和性质对于理 解数学和实际应用都非常重要。
一次函数的定义
一次函数也被称为线性函数，具有形如y=ax+b的形式，其中a和b为常数。
一次函数的标准形式
一次函数的标准形式为y=ax+b，其中a表示斜率，b表示截距。
一次函数的图像
直线
一次函数的图像是一条直线， 可以通过两个点来确定。
正斜率
当斜率a大于0时，直线向上倾 斜。
负斜率
当斜率a小于0时，直线向下倾 斜。
一次函数的解析式分析
1 斜率
斜率a表示函数图像的倾斜程度。
2 截距
截距b表示函数图像与y轴的交点。
一次函数的图像特点
1 直线
一次函数的图像是一条 直线，没有曲线部分。
2 无转折点
3 无震荡
一次函数的图像没有转 折点，保持直线的趋势。
一次函数在定义域内没 有震荡现象，函数的图像就是一条直线，因此一次函数与直线是一一对应的。
一次函数的拟合
一次函数可以通过给定的点来拟合数据，以便进行预测和分析。
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华东师大版八年级（下）
17.3.3一次函数的性质
教学目标：
知识技能目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质。
过程性目标
1.经历探索一次函数图象的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响；
2.观察、分析图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合意识，培养数形结合能力。
教学重点：掌握一次函数图象的性质。
教学难点：掌握一次函数图象的特点。
教学过程：
一、温故知新
1、正比例函数的一般式是 y=kx（k≠0），它的图象是经过点（ 0，0 ），
（ 1，k ）的一条直线。
2、一次函数一般式是 y=kx+b（k≠0）它的图象是经过点（ 0 ， b ），
（ -b/k， 0 ）的一条直线。
图象与x轴的交点是（-b/k， 0），
与y轴的交点是（ 0 ， b ）。
3、画一次函数图象只需两点，一般取图象与 x轴、 y轴的交点。
二、新课讲授
1、在坐标系1中画一次函数y = x + 1的图象，并观察分析、讨论下
列问题。
坐标系1
（1）从函数解析式看，当自变量由小变大时，函数值如何变化？
（2）从图象上看，当一个点在直线上从左到右移动（自变量X从小变大）时，点的位置（函数Y的值）是上升还是下降？
（3）由此可得到，该函数中自变量与函数值变化有何规律？
（4）在同一直角坐标系中画函数y = 3x -2的图象，是否也具有这种现象？
2、在坐标系2中画函数y = - x + 1与y = - 3x - 2的图象并观察思考：
坐标系2
（1）研究它们是否也具有相应的性质，与前两个函数有什么不同？
（2）这四个函数图象分别经过哪几个象限？
（3）四个函数图象从左到右哪些是上升趋势？哪些是下降趋势
（4）上升趋势的直线的函数关系式中系数k有什么共同特点？下降趋势的直线的函数关系式中系数K有什么共同特点？
（学生分组讨论，发表意见，教师评析并归纳）
3、归纳概括
一次函数y=kx+b(k≠0)有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大,函数的图象从左到右是上升趋势。
（2）当k<0时，y随x的增大而减小,函数的图象从左到右是下降趋势.
三、拓展提升
根据表格中的一次函数图象的草图填空
表1
表2
由上述两表可得出：
（1）当k＞0时，一次函数的图象必经过第一、三象限；
当k＜0时，一次函数的图象必经过第二、四象限。
（2）当b＞0时，一次函数的图象必经过第一、二象限；
当b＜0时，一次函数的图象必经过第三、四象限。
四、课堂练习
1、一次函数y = - 3x - 4的图象经过第象限，y随x的增大而。
2、函数y = （m-3）x -1,当m时，图象从左到右上升，y随x的增大而；
当m时，图象从左到右，y随x的增大而减小。
3、已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在直线y = - 3x + 2上，若x1＜ x2 ，则
y1y2 。
4、画出函数y = - 2x + 2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＞0？
5、已知点（-1，a）和（1, b）都在直线y = 2/3x + 3上，试比较a和b的大小。
你能想出几种判断的方法？
五、课堂小结
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质
六、板书设计
17.3.3 一次函数的性质
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质例题
七、课后反思
对于一次函数性质的教学，着眼于一次项项数k的变化设计了四个一次函数，让学生先画出它们的图象，再观察相应图象的变化趋势，并类比正比例函数的性质，进而归纳出一次函数的性质。
通过这种注重过程和体验的再设计、凸显本节课的教学重点，最后在练习和作业中，设计了五个习题，加深学生对本节知识的理解和应用。
这节课立足于学生的已有知识，把教学重点分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中，经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，而老师只是学习的参与者、合作者、引导者，在教学活动中，老师重点是关注学生的实践能力，探究精神和交流合作意识，强调过程性评价。