定积分的概念和性质公式
定积分运算法则
• 通过定积分求解经济学中的边际产量、边际消费等边际问题
求解经济学中的总量问题
• 通过定积分求解经济学中的总产量、总消费等总量问题
求解经济学中的平均问题
• 通过定积分求解经济学中的平均产量、平均消费等平均问题
谢谢观看.
Thank you for watching.
Docs
⌛️
06
定积分的数值计算方法
数值积分的基本原理与方法
数值积分的定义
数值积分的方法
• 通过数值方法近似求解定积分的值
• 辛普森法
• 龙贝格法
• 高斯积分法
数值积分的误差分析与控制
误差分析
误差控制
• 分析数值积分方法的误差来源
• 选择合适的数值积分方法
• 估计数值积分方法的误差范围
• 控制积分区间的长度
求解物体的速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的速度
求解物体的加速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的加速度
定积分在工程学中的应用
求解工程问题的面积
求解工程问题的体积
求解工程问题的质心位置
• 通过定积分求解曲线围成的面积
• 通过定积分求解曲面围成的体积
• 通过定积分求解物体的质心位置
定积分在经济学中的应用
积分问题
换元积分法的原理
• 利用换元公式将原积分变量变换为新变量，从而简化积分过程
换元积分法的常见类型与方法
01
幂函数换元法
• 将复杂的幂函数积分问题转化为简单的指数函数积分问
题
02
三角函数换元法
• 将复杂的三角函数积分问题转化为简单的指数函数积分
问题
03
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12…在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积求和取极限：则面积取极限J=1其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。
任取• _ _做求和取极限：则路程一取极限将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ，记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即定义设函数」•、在L•二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。
■叫积分和式。
说明：1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。
（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所3.在-上一，••——时，j ■表示曲线」、两条直线=<■ > - =■:与T轴所围成的曲边梯形的面积；在’1上「I时，V表示曲线，一―、两条直线、■-L ［与工'轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在k轴的下方）；例1利用定积分的几何意义写出下列积分值(1)12（三角形面积）（2妇評（半圆面积）S7-2yiy|设-■■■可积性质1 J[[/⑴土畧（胡必=[f如± [畑賈性质2 J[灯■（力缶=斤£/（对乂性质3（定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数,有性质5如果在区间上]…「，则J'"推论性质6 (定积分的估值) 设M及m分别是函数在区间一上的最大值及最小值，则~a) i［/(x)必~ a)性质7 (定积分中值定理)如果函数一、八在区间-上连续，则在"圖上至少有一点：，使「—■ C •.成立17-7例2比较下面两个积分的大小在(0, 1 )内，-'' '一"'-■单调增当兀［0」］时，有=6^ 2/(0) = 0，即尹m2-]的值&、令1 ,得‘‘由性质5,例3估计积分J 1解 只需求出’在区间-上的最大值、最小值即可。
第2节 定积分的概念及性质
其长度为 xi xi xi 1 , 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]上
任取一点 i ( xi 1 i xi ) , 则乘积
f ( i )xi ( i 1,2,, n)
称为积分元素
7/8/2013 1:12 PM
第6章
n
函数的积分
总和
S n f ( i )xi
0
x i
O
7/8/2013 1:12 PM
i 1 i n n
1
x
第6章
函数的积分
1p 2 p n p (2) lim n n p 1
lim
n i 1 n
i n
p
1 n
x i
x p dx
1 0
i
7/8/2013 1:12 PM
第6章
函数的积分
y
A1 a A3 A2 O A4 A5 b x
b a
f ( x )dx A1 A2的代数和
7/8/2013 1:12 PM
第6章
函数的积分
3. 定积分的性质 性质1 证明
b
kf ( x )dx k f ( x )dx （ k 为常数） a a
第6章
函数的积分
若函数 f ( x ) 在区间 性质7（积分中值定理） [a , b] 上连续， 则至少存在一点 [a , b] ， 使得
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
b
证明 由性质6 m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
1 b m a f ( x )dx M ba
定积分公式大全
定积分公式大全定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和常见的定积分公式，帮助读者更好地理解和运用定积分。
1. 定积分的基本概念。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下面的面积、求解曲线的弧长、计算物体的质量和质心等。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积；在物理学中，定积分可以用来描述物体的质量、质心和转动惯量等。
2. 定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，包括线性性、区间可加性和保号性等。
其中，线性性是指定积分对于常数的线性性质，即∫[a, b] (cf(x) + g(x))dx = c∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx；区间可加性是指定积分在区间上的可加性质，即∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx；保号性是指定积分的结果与被积函数的正负性有关，即若f(x)在[a, b]上非负，则∫[a, b] f(x)dx ≥ 0。
3. 定积分的常见公式。
在定积分的计算中，有一些常见的定积分公式可以帮助我们简化计算过程，如换元积分法、分部积分法、定积分的性质公式等。
（1）换元积分法。
换元积分法是定积分中常用的一种积分方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而使积分计算更加容易。
换元积分法的基本思想是利用复合函数的求导和积分的性质，通过代换变量来简化被积函数的形式，然后进行积分计算。
（2）分部积分法。
分部积分法是定积分中另一种常用的积分方法，它通过对被积函数进行分解，然后利用积分的性质进行计算。
分部积分法的基本思想是利用积分的乘积法则，将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分计算。
（3）定积分的性质公式。
定积分具有一些常见的性质公式，如定积分的线性性质、定积分的区间可加性和保号性等。
这些性质公式在定积分的计算中经常被使用，可以帮助我们简化积分的计算过程，提高计算的效率。
第1,2节定积分的概念与性质
3. 由定义:
1 a bf(x )d x b af(x )d x有 向 性
a a
f (x)dx 0
2a b1d xba(积 分 值 = 区 间 长 ） .
10
例1 利用定义计算定积分 1 x 2 dx . 0
解每 取 右 个 将 端 小 [ 点 区 0 ,1 间 ] in 的 等 n 长 i分 ， 度 ， (均 i分 为 点 1n 1 ,为 2,， x i, nn )i， 1(iy 1 ,y2 , x 2,n )
思路： 被积函数求最值.
证
设
f(x)
x， x2 1
则
f
(x)
1x2 (x2 1)2
0,
1x2
即 f (x) 单调下降，
所以
2
fmi
n
f(2) , 5
1 fmax f (1) 2 ,
即 2 f(x) 1 ,
5
2
于 是2 2 x dx1。 5 1x21 2
22
例3 估 计 积 分 4 2sxin xdx的 值 .
a
a
c
abc 由 定 义
c
b
c
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
a
a
b
b
c
c
af(x )d xaf(x )d x bf(x )d x
有 向 性 c
b
====a f(x)dxc f(x)dx.
c a b 时 同 理 可 证 . 证毕.
a
a
a
即 ： bf(x)dxM(ba)，同 理 可 证 ： m (ba)bf(x)dx.
a
a
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看，也很显然。
因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图 5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。
定积分的定义
0
1
0
1
2.已知
2
0 f
x dx
8,则 ［2 f 0
x －2x］dx
________ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
吗？
提示:能.推广公式为
b f（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
6.已知 1x3dx 1，2 x3dx 15，2 x2dx 7，4 x2dx 56 .
0
41
41
32
3
求：（1） 2 3x3dx. 0
2
0 f
x dx
2
2
0
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
定积分的概念及性质
两端分别相加, 得
(n 1)3 1 3(12 22 n2 ) 3(1 2 n) n
即
n3 3n2 3n 3
n
i2 3
n(n1) 2
n
n
i1
i 216 n(n 1)(2n 1)
i1
[a , b]
[a , b]
(a b) 证 由m f ( x) M , 得
b
b
b
m(b a) m d x f ( x)d x M d x M(b a)
a
a
a
例4
估计 I 2ex2 d x 的值.
1
解 由e1 ex2 e4,
得
1 e 2ex2 d x e4 1
定积分 与 积分区间 有关
与积分变量用什么字母表示无关：
b
b
f ( x)dx f (t)dt
a
a
y
y f (x)
y
y f (t)
Oa
bx O a
“面积相同”
bt
三、定积分的几何意义
（曲边梯形面积）
y
A1
a
A2
（曲边梯形面积的负值）
A3
A5
A4
bx
b a
f
(x)d
x
A1
A2
3
f ( )
611 6
定积分中值定理的几何意义： （f (ξ ) :平均高度）
曲边梯形面积 = 某矩形面积
y y f (x)
定积分中值定理的数学意义:
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
定积分的概念与性质
x x0
1 f ( x )dx f ( x0 )( ) 0 2 当 x0 a, 或b ,同理可证原不等式成立.
思考：P178 (B)部分第4题
注意：
f 1、 如果 f ( x)在[a, b] 上 连续，且 ( x) 0，
那么 f ( x)dx 0 f ( x) 0.
1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6
o
i n
1x
利用定义或几何意义计算定积分是非常有限的，
为了寻求定积分的有效算法，我们先介绍定积分的 性质，首先对定积分作以下两点补充规定
(1) ( 2)
a f ( x )dx 0． a f ( x )dx b
b a
a
f ( x )dx．
i
二、定积分定义 ( P171 定义1.1 )
任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
n i 1
任取
f ( i ) xi
在区间
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
即
a f ( x) d x lim0 i f ( i ) xi 1
a
（四个小矩形）
b
a
（九个小矩形）
b
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
sin x x [ , ]，当 x ( , ) 时， 解 令 f ( x) ， 4 2 4 2 x x cos x sin x cos x ( x tan x ) 则 f ( x ) 0， 2 2 x x
6.1 定积分的概念与性质
所以
0
b
x 2dx lim Sn
n
b n( n 1)( 2n 1) b lim . 3 n 6 3 n
3 3
四、定积分的基本性质
性质 6.1 设 f ( x )，g( x ) 在 [a , b] 上可积，， 是任
意常数，那么 f ( x ) g( x ) 在[a , b]上可积，并且
i 1
n
则称此极限值为函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上的定积分.
记作 f ( x )dx ，即
a
b
a f ( x )dx
b
lim f ( i )xi
0
i 1
n
( 6 2)
这时称函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上可积.
a 和 b 分别称为积分下限和上限，a , b] 称为积分区间. [
a f ( x )dx
b
f (c )(b a )
Oa
例4
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
且存在 c (a , b)，使得
a f ( x )dx
证明
c
f (b)(c a )
证明在 (a , b) 内存在一点 ，使得 f ( ) 0 .
n n
( i 1, 2, , n )
(3) 求和
(4) 取极限
s si v (i )t i
i 1 i 1
记 max{ti }，令 0，则
1 i n
s lim v (i )t i
0
i 1
n
二、定积分的定义
定义 6.1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有定义 , 用 (a , b)
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，小区间的长度在每个小区间上任取一点作乘积，求和取极限：则面积取极限其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成n 个小区间，小区间长度，。
任取，做求和取极限：则路程取极限定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积，并求和，记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即，（*）其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。
叫积分和式。
说明：1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间可积，（1）在区间上连续，则在可积。
（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以3.规定时 ,在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）设可积性质1性质2性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有性质4性质5 如果在区间上，，则推论性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7 （定积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，使成立例2 比较下面两个积分的大小与解设，在（0，1）内，单调增当时，有，即由性质5，例3估计积分的值解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
定积分概念、性质
cos2 x 2 cos2 2x
d [ x cos2 tdt 2x cos2 tdt]
dx 0
0
(u 2x)
例3
x sin t3dt
求极限lim 0 x0
x4
解：此极限为0 型，由罗必达法则
0
原式
lim x0
sin x3 4x3
1 4
例4 求f (x) x t.et2 dt的极值。 0 解： f (x) x.ex2 ,
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m， 于是， 由性质5有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）：若函数f (x)在[a,b]上连续，
则至少存在一点 [a,b]使得
b
a f (x)dx f ( )(b a), (a b)
n
6n3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定： a f (x)dx 0,
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
三、定积分存在的充分条件
1. 若函数 f x在 a, b 上连续， 则 f x 在 a, b 上可积。
a
记作
F ( x)
b a
证明思路
F
x
x
a
f
x dx
C
F
b
b
a
f
x dx
C
F
a
a
a
f
x
dx
C
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
定积分的概念
b
特别地： 若f x 在[a , b]上连续, f x 0, 且f x 不恒为零， 则 f 0.
a
例 比较积分值 e dx和 e x dx的大小.
x 0 0
1
1
解 因为当x [0,1]时，x x , 所以e x e
x
,
1
0
e dx e x dx.
2
sinxd x0
(2)
2
1
1
x dx 2 x 2dx
2 0
a a
a
1
f ( x )在 a, a 上连续且为奇函数时， f ( x)dx 0.
f ( x )在 a , a 上连续且为偶函数时， f ( x )dx 2 f ( x )dx
0 a a
性质5 （保向性） 若f x , g x 在a , b上均可积, 且恒有 f x g x , x a , b , 则 f
b
a
f x轴上方图形总面积 x轴下方图形总面积
b 1 a 0
例1.由几何意义求 dx, 其中b a;
2 2
1 x 2 dx.
key 1 ） 矩形面积： b a； 2 ） 单位圆x y 1的1 / 4面积： 4
例2 根据定积分几何意义， 说明下列各式成立 .
(1)
b
(i ) f ( x ) g( x ) 在[a, b]上可积，并且
(i i ) f ( x ) g( x )在a, b上也可积，但一般地
[ f ( x) g( x)]dx
a
a
f ( x )dx g( x )dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 曲边梯形的面积
设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间
，小区间的长度
在每个小区间上任取一点作乘积，
求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成
n 个小区间，小区间长度，。
任取，
做
求和取极限：则路程取极限
定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间
上任取一点，作乘积，并求和，
记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限
为函数在区间上的定积分，记作，即
，（*）
其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。
叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间
可积，（1）在区间上连续，则在可积。
（2）在区间
上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以
3.规定
时,
在上时, 表示曲线、两条直线、
与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；
例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积
性质1
性质2
性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有
性质4
性质5 如果在区间上，，则
推论
性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则
性质7 （定积分中值定理）
如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，
使成立
例2 比较下面两个积分的大小
与
解设，
在（0，1）内，单调增
当时，有，即
由性质5，
例3估计积分的值
解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
设，
，令，得，
所以，在区间上
由性质6，
设在区间上连续，，则定积分一定存在，
当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数，
记作即
定理如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且导数是，即
说明：
1.由原函数的定义知, 是连续函数的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有
例1 （1），则：=
（2），则：
（4），则：
（5）设，求:
此题中为函数的自变量，为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式由求导法则
=
= +
（6）=0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）
（7）设是方程所确定的函数，求
解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
则=
例2 设，求。
例3 设为连续函数，（1）若，则______ , ___ 。
（2）
例4求
解这是型不定式，用罗必塔法则
定理（牛顿——莱公式）如果函数是连续函数在区间
上的一个原函数，则
此公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
例5
解原式
例6
解原式
例7求
解利用定积分的可加性分段积分，
= + =2
例8
解
被积函数是分段函数，分段点在积分区间内，
= + =1/4
例
9
解原式
注意：是分段函数
精品。