内积空间和希尔伯特空间

x, y x(t ) y(t )dt.
a
b
(6)
易知L [a, b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数 1
x ( x(t ) dt ) 2 ,
2 a b
2
即为第七章第８节例４中当p 2时所定义的范数,因此由第七章 2 第８节定理２知,L [a, b]成为Hilbert空间. 2 ) 例２ l .设 x (1, 2 , 3, ), y (1,2 ,3 ,． 定义 x, y ii (7) 则 l 按(7)中内积也成为Hilbert空间. 例３当p 2时, l p不成为内积空间． x (1,1,0, ), y (1,1,0, ), 则x l p , y l p ,且 事实上,令
第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
9.1内积空间的基本概念
教学目标: 1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明; 2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用; 3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;
教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义. 教学难点:证明过程及运用.
x x, y y , x y
2 2 2
2
x 2 x y y ( x y )2 ,
所以 x y x y .称由(3)式定义的范数 x 为由内积导出的范 数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若 X 按(3)式中范数完 备,则称为Hilbert空间. 设 x 是由内积导出的范数,通过计算,不难证明对 X 中任何 两个向量 x, y X ,成立平行四边形公式 2 2 2 2 x y x y 2( x y ). (5) 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.反之可以证明, 若 X 是赋范线性空间,其中范数 x 对 X 中任何向量 x, y X ,满足平 行四边形公式(5),那么一定可在 X 中定义内积 x, y ,使 x 就是由 内积 x, y 导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质. 下面举一些内积空间的例子 例１L2 [a, b].对 L2[a, b]中任意向量 x, y ,定义
2
i 1
x y 2 , 但 x y x y 2 ,所以不满足平行四边形公式 (5),这说明 l p ( p 2) 中范数不能由内积导出,因而不是内积空间. 例４ C[a, b] 按 x max x(t ) 不成为内积空间.
a t b
1 p
t a 事实上,令 x(t ) 1, y (t ) ba
1 2 2 2 2 x, y ( x y x y i x iy i x iy ). (8) 4 (8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所导出的范数来表 示.当 X 为实内积空间时,极化恒等式变为 1 2 2 x, y ( x y x y ). (9) 4 由Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数,即当 xn x, yn y 时,有 xn , yn x, y (n ) .事实上,因为 x , y x n , y n x , y y n x xn , y n
x, y y,x , x, y X .
则称 x, y x y 的内积,称 X 为内积空间. 为与 如果X 是实的线性空间,则条件3就改为
x, y y, x .
从内积的定义,立即可以得到下面的等式
x, y z x, y x, z . (2)
x x, x , (3) 那么 x 是 X 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明 (a) x 0, 且 x 0等价于x 0;
(b) x x .
为了证明范数不等式 x y x y ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz) 不等式: 引理1(Schwarz不等式) 设X 按内积 x, y 成为内积空间,则对 于X 中任意向量 x, y成立不等式 x, y x y . (4) 当且仅当 x 与y 线性相关时,不等式(4)中等号才成立. 证明: 如果y 0,易知对一切x X , x,0 0, 因而(4)式成立.若 y 0,则对每个复数 ,由内积条件1,有 0 x y, x y x, x x, y [ y, x y, y ] 令 y, x / y, y , 那么上式方括号中式子为0,所以
设 X是内积空间,令
x, y y, x 2 0 x, x x, y x 2 y, y y
2
源自文库
2
两边乘以 y ,并且开方,即可得到要证的Schwarz不等式 x, y x y . 若 x 与 y 线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立, 反之,若(4)式中等号成立,假定 y 0 ,则 x 与 y 自然线性相关, 若 y 0,令 x, y / y, y , 2 由Schwarz不等式推导过程,易知 x y 0,即 x y.所以 x 与 y 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 x 满足范数不等式.事实上 2 x y x y, x y x, x y, x x, y y, y
x y y n x xn y n
因 yn 收敛,故 yn 有界,所以当n 时,上面不等式右端趋于０,因 而 xn , yn x, y (n ).
本节小结
理解内积空间和希尔伯特空间的概念,掌握施瓦茨不 等式与极化恒等式,并能熟练运用.
作业
教材P264习题1、２．
a (1 , 2 , n ),b (1 ,2 ,． n)
定义1设 X 是复线性空间,如果对X 中任何在两个向量x, y有 一复数 x, y 与之对应,并且满足下列条件: 1. x, x 0, 且 x, x 0等价于x 0, x X ; 2. x y, z x, z y, z , 其中x, y, z X , , 为复数; 3.
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个 向量的内积的运算,即若 则a与b的内积定义为: a, b 11 22 nn , ． (1) 其中 i 表示 i 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 a a, a 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于 a, b 0.显然,在 有限维复欧氏空间E n 中,由(1)定义的内积具有下述性质: 1. a, a 0, 且 a, a 0等价于a 0; a b, c a, c a, c , 其中a, b, c E n , 2. , 为复数; 3. a, b b,a , a, b E n . E n的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是 在复欧氏空间 上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引 入内积的的概念.
则 x, y C[a, b],且 x y 1 ,但因为
t a , ba t a x (t ) y (t ) 1 , ba x (t ) y (t ) 1
所以 x y 2, x y 1, 因此不满足平行四边形公式,这就证明了 C[a, b] 不是内积空间. 设 X 为内积空间,由(3)给出了 X 上的范数,反之,通过直接计 算可以证明,内积与范数之间成立如下不等式