计量经济学及其应用：第13章

• 误差修正模型的估计 步骤： 1. 用OLS估计方程
Yt = β 0 + β1 X t + µt
（13-20）
称协整回归，检验变量间的协整关系，估计 长期均衡关系参数，得到残差序列。 如果存在协整关系，则进行第2步； 2. 将第1步得的残差加入到误差修正模型中中， 用OLS直接估计响应的参数。
13.3向量误差修正（VECM）模型
第13章
协整与误差修正模型
通过本章我们要知道
13.1 协整理论 13.2 误差修正模型 13.3 向量误差修正（VECM）模型 13.4 案例分析
13.1 协整理论
1、单整变量线性组合 假定有 n个单整的经济变量 X 1 , X 2 ,L , X n ，线性 组合具有长期均衡关系
β1 X 1t + β 2 X 2t + L + β n X nt = 0
∆Fra Baidu bibliotek t = δ 2 + α z (Yt −1 − β 0 − β1Z t −1 ) + e2t
（13-32） （13-33）
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2 3
变换得
∆Yt = β1∆X t − λ (Yt −1 − α 0 − α1 X t −1 ) + µt
0 0 3
1 1
α α 其中 λ = (1 − β3 ) ， = β (1 − β ) ， = ( β + β ) (1 − β ) 模型（13-15）被称为误差修正模型（Error 误差修正模型（ 误差修正模型 Correction Model，简记为 ，简记为ECM） ）
用 e t 表示长期均衡的离差，有
（13-3）
et = β1 X 1t + β 2 X 2t + L + β n X nt
（13-4）
均衡有意义，则均衡误差过程一定是平稳的
2、 协整定义 （1）向量 X t = ( X 1t , X 2t ,..., X nt )′ 的所有序列都是 d 阶单 整； （2）存在一个向量 β = ( β1 , β 2 ,..., β n )，使得线性组 合
β X t = β1 X 1t + β 2 X 2t + ... + β n X nt
（13-5）
b 是 ( d − b ) 阶单整，其中， > 0 ，则称向量 ′ X t = ( X 1t , X 2t ,..., X nt ) 是 d、b 阶协整，记为 X ~ CI (d , b) 。 t 向量 β 称为协整向量。
•
（1）序列 X t 没有确定性趋势，协整方程不含截 距项； （2）序列 X t 没有确定性趋势，协整方程包含截 距项； （3）序列 X t 有确定性线性趋势，协整方程只包 含截距项； （4）序列 X t 和协整方程都具有线性趋势； 4 （5）序列 X t 有二次趋势，协整方程只有线性趋 势。
13.2误差修正模型
• 双变量的标准型VAR模型
Yt = a10 + a11Yt −1 + a12 Z t −1 + e1t
（13-21） （13-22） （13-23） （13-24）
改为
Z t = a20 + a21Yt −1 + a22 Z t −1 + e2t
∆Yt = ( a11 − 1) Yt −1 + a12 Z t −1 + e1t
• 注意： ①协整只涉及非平稳的变量； ②如果有 n 个非平稳的变量，则有 n − 1 个线性独 立的协整向量； ③如果 ( β1 , β 2 ,..., β n )是协整向量，则相对于 X 1t 的标 β1 (1, β 2 β1 ,..., β n ；) 准化协整向量为 ④如果线性组合中只有两个变量，则要求单整的 阶数相同，而对于线性组合中超过两个变量时， 尽管单整阶数不同，但还是有可能存在协整关 系。
∆Z t = a21Yt −1 + ( a22 − 1) Z t −1 + e2t
为了保证变量 Y 和 Z 是 CI (1,1) ， 系数必须满足：
a11 − 1 = −a12 a21 (1 − a11 )
方程（13-25）和方程（13-26）就可以写为
∆Yt = ( −a12 a21 (1 − a11 ) ) Yt −1 + a12 Z t −1 + e1t
• 模型的导出 假设两个变量的长期均衡关系表现为
Yt = β 0 + β1 X t + µt
（13-12）
变量 X 和 Y 都是1阶单整的，则其动态特征的 (1,1 ) 阶分布滞后模型
Yt = β 0 + β1 X t + β 2 X t −1 + β 3Yt −1 + µt
（13-13） （13-15）
∆X t = π 0 + π X t −1 + π 1∆X t −1 + π 2 ∆X t − 2 + L + π p ∆X t − p + et
（13-9）
②假定系数矩阵 π 的特征根为 λˆ1 > λˆ2 > L > λˆn ③进行特征根迹检验（trace检验）和最大特征值 检验 ˆ （13-10） λ ( r ) = −T ∑ ln (1 − λ )
• 一般地，误差修正模型写成
∆Yt = β1∆X t − λ ecmt −1 + µt
多变量的误差修正模型
（13-16） （13-17） （13-18）
Yt = β 0 + β1 X t + β 2 Z t + µt 其误差修正模型可写为
∆Yt = β1∆X t + β 2 ∆Z t − λ ecmt −1 + µt
3、协整检验方法：E-G两步法 • 检验对象： ①基于回归方程的残差的检验，可用ADF检验、 E-G两步法； ②基于回归参数的协整检验， Johansen协整检 验。 • 检验步骤： ①用普通最小二乘法（OLS）估计长期均衡关系； ②用ADF检验估计残差序列的平稳性；
4、 Johansen协整检验（JJ检验） • 检验思路 ①建立一个VAR（P）的差分向量自回归模型
n trace i = r +1 i
ˆ λmax ( r , r + 1) = −T ln 1 − λi +1
(
)
（13-11）
效的样本观测数
ˆ T λ i 是从估计矩阵 π 得到的特征根的值； 是有
•
公式（13-10）用于检验零假设：不同协整向 r 量的个数小于等于 r 。公式（13-11）给出的 统计量用于检验零假设：协整向量个数等于 。 其备择假设是协整向量的个数等于 r + 1 。 ⑤ 从 r = 0 开始检验，若r = 0 被拒绝，则检验 * r ≤ 1 …直至 r ≤ r 不能被拒绝，即可得出 X t 中存在 r * 个协整向量。 协整方程的形式:
其中 ecmt −1 = Yt −1 − β 0 − β1 X t −1 − β 2 Zt −1 • Granger表述定理 表述定理
即如果变量X和Y是协整的，则它们间的短期非均衡 关系总能由一个误差修正项来表述 ∆Yt = ∑ α p ∆Yt − p + ∑ β p ∆ X t − p − λ ecmt −1 + µt （13-19）
∆Z t = a21Yt −1 + ( a22 − 1) Z t −1 + e2t
（13-27） （13-28）
上两式就构成了向量误差修正模型 向量误差修正模型。 向量误差修正模型 • 一般地，向量自回归模型（VECM）可表述为
∆Yt = δ1 + α y (Yt −1 − β 0 − β1Z t −1 ) + e1t