等比数列前n项和性质

等比数列前n项和的性质一：
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数列{a n }是等比数列

S n Aq n - A( A 0)
相反 数
1、若等比数列{a n }的前n项和S n 4 n a，求a的值。
提示：
S n Aq n - A( A 0)
系数和常数互为相反数
a 1
1、若等比数列{a n }的前n项和S n 3 n 1 2a，求a的值。
S15 993 S10 992
(2)、等比数列 {an }的前n项和为S n，若S10 20， S 20 80，则S30
260
。
等比数列前n项和的性质三：
若等比数列a n 共有2n项，则：
S偶 S奇
自主 推导？
q
1 例3、若等比数列 {an }的公比为 ，且a1 a3 a99 60, 3 则{an }的前100项和为 80 。
1 1 1 n 化简到：S n 3 2a 2a 0 a 3 3 6
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果a n 为等差数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等差数列。
新的等差数列首项为S k，公差为k 2 d。
那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？
q
S偶 S奇
170 2 85
S n S 偶 S 奇 170 85 255
由等比数列前n项和公式得：
1 2 255 1-2
n
n8
等差数列前n项和的性质： ① 数列{ a n }是等比数列 S n Aq n - A( A 0)
② a n 为等比数列 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等比数列。
等比数列前n项和的性质二：
如果a n 为等比数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等比数列。
新等比数列首项为S k，公比为q k 。
2、等比数列{a n }的前n项和为S n，若S m 10，S 2 m 30， 求S 3m的值。
解： S m，S 2 m - S m，S 3m - S 2 m 成等比数列
解： 令X a1 a3 a99 60
Y a 2 a 4 a100
Y 1 由等比数列前n项和性质知： q X 3
则S100 X Y
Y 20
即：S100 X Y 80
3、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的公比和项数？ 提示：
( S 2 m - S m ) S m ( S 3m - S 2 m )
2
即： (30 - 10) 2 10 ( S 3m - 30)
解得：S 3m 70
S10 31 变式（ 21 ）、等比数列 {an }的前n项和为S n，a1 1, 若 ， S5 32 S15 求 的值。 S10
：1、在掌握等比数列前n项和公式的基
础上探索并发现等比数列前n项和的性质2、能用 等比数列前n项和的性质解决简单数列问题。 ：探索并发现等比数列前n项和的性质；
：能用等比数列前n项和的性质解决简单数
列问题。
复习等比数列的前n项和公式
na1 S n a1 a1 q n 1-q
S10 31 解： S 5 32
设S10 31k , S 5 32k (k 0)
S 5，S10 - S 5，S15 - S10 成等比数列
( S10 - S 5 ) 2 S 5 ( S15 - S10 ) 993 2 k 即： (31k - 32k ) 32k ( S15 - 31k ) 解得：S15 32
q 1 ， q 1。
或
na1 S n a1 a n q 1-q
q 1 ， q 1。
合作探究 形成规律
a1 a1 q n Sn 1-q
a1 n a1 Sn q 1-q 1-q
a1 令A 0 则：S n Aq n - A 1-q
且新等比数列首项为S k，公比为q k 。
③ 若等比数列a n 共有2n项，则：
S偶 S奇
q