第七章 图习题解答(1)
电路与模拟电子技术(第二版)第7章习题解答
第七章 基本放大电路7.1 试判断题7.1图中各电路能不能放大交流信号，并说明原因。
解： a 、b 、c 三个电路中晶体管发射结正偏，集电结反偏，故均正常工作，但b 图中集电极交流接地，故无交流输出。
d 图中晶体管集电结正偏，故晶体管不能正常工作，另外，交流输入信号交流接地。
因此a 、c 两电路能放大交流信号，b 、d 两电路不能放大交流信号。
7.2 单管共射放大电路如题7.2图所示，已知三极管的电流放大倍数50=β。
（1）估算电路的静态工作点； （2）计算三极管的输入电阻be r ；（3）画出微变等效电路，计算电压放大倍数； （4）计算电路的输入电阻和输出电阻。
解：（1）A A R U U I B BE CC B μ40104103007.01253=⨯≈⨯-=-=-CC +o -题7.2图C CC (a)题7.1图mA A I I B C 210210405036=⨯=⨯⨯==--βV I R U U C C CC CE 61021031233=⨯⨯⨯-=-=-（2）Ω=+=+=9502265030026300C Cbe I r β （3）放大电路的微变等效电路如图所示 电压放大倍数7995.03||350||-=-=-=be L C u r R R A β（4）输入电阻：Ω≈⨯==950950||10300||3be B i r R r输出电阻 Ω==k R r C 307.3 单管共射放大电路如题7.3图所示。
已知100=β（1）估算电路的静态工作点；（2）计算电路的电压放大倍数、输入电阻和输出电阻 （3）估算最大不失真输出电压的幅值；（4）当i u 足够大时，输出电压首先出现何种失真，如何调节R B 消除失真？解：电路的直流通路如图所示，CC BQ E BEQ BQ B U I R U I R =+++)1(βAmA R R U U I EB BEQ CC BQ μβ435.010130015)1(=⨯+≈++-≈由此定出静态工作点Q 为 mA I I BQ CQ 3.4==β，V R R I U U E C C CC CEQ 3.4)5.02(3.415)(≈+⨯-=+-=（2）Ω=⨯+=9053.426100300be r 由于R E 被交流傍路，因此16690.05.1100||-=⨯-=-=be L C u r R R A β+u o -CC +u o -题7.3图CCRΩ≈==k r R r be B i 9.0905.0||300||Ω==k R R C O 2（3）由于U CEQ =4.3V ，故最大不饱和失真输出电压为 V U U CEQ 6.37.03.47.00=-=-=' 最大不截止失真输出电压近似为V R I U L CQ 4.65.13.40=⨯='⋅='' 因此，最大不失真输出电压的幅值为3.6V 。
新编基础物理学第二版第七章习题解答
习题七7-1 氧气瓶的容积为32L ，瓶内充满氧气时的压强为130atm 。
若每小时需用1atm 氧气体积为400L 。
设使用过程中保持温度不变，问当瓶内压强降到10atm 时，使用了几个小时?解 已知123130atm,10atm,1atm;p p p === 1232L,V V V ===3400L V =。
质量分别为1m ，2m ，3m ,由题意可得:11m pV RT M = 22mp V RT M =233mp V RT M=所以一瓶氧气能用小时数为: ()121233313010329.6(1.0400m m pV p V n m p V -⨯--====⨯h) 7-2 一氦氖气体激光管，工作时管内温度是 27C ︒。
压强是2.4mmHg ，氦气与氖气的压强比是7:1.求管内氦气和氖气的分子数密度.解:依题意, n n n =+氦氖， 52.41.01310Pa 760p p p =+=⨯⨯氦氖；:7:1p p =氦氖 所以552.10.31.01310Pa, 1.01310Pa 760760p p =⨯⨯=⨯⨯氦氖, 根据 p nkT =，得()5223232.1760 1.01310 6.7610(m )1.3810300p n kT --⨯⨯===⨯⨯⨯氦氦 2139.6610(m )P n kT-==⨯氖氖7-3 氢分子的质量为243.310-⨯g 。
如果每秒有2310个氢分子沿着与墙面的法线成︒45角的方向以5110cm s -⋅的速率撞击在面积为22.0cm 的墙面上,如果撞击是完全弹性的,试求这些氢分子作用在墙面上的压强.解：单位时间内作用在墙面上的平均作用力为：2cos 45F N m =︒v所以氢分子作用在墙面上的压强为27522342 3.3101010102cos 4522330(Pa)210F m N p S S---⨯⨯⨯⨯⨯︒====⨯v7-4 一个能量为1210eV 的宇宙射线粒子,射入一氖管中,氖管中含有氦气0.10mol,如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为热运动能量,问氖气的温度升高了多少?解: 依题意可得:23121930.1 6.0210 10 1.6102k T -⨯⨯⨯∆=⨯⨯ 氖气的温度升高了771.610 1.2810(K)0.1 6.02 1.5 1.38T --⨯∆==⨯⨯⨯⨯ 7-5 容器内储有1mol 某种气体。
第七章习题解答
计算图示各系统的动能：（1）偏心圆盘的质量为，偏心距OC m e =，对质心的回转半径为C ρ，绕轴O 以角速度0ω转动（图a ）。
（2）长为l ，质量为的匀质杆，其端部固结半径为，质量为的匀质圆盘。
杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动（图b ）。
（3）滑块A 沿水平面以速度移动，重块B 沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A 的质量为，重块B 的质量为（图c ）。
1v 2v 1m 2m （4）汽车以速度沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为0v M ，轮子的质量为m ，半径为R ，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d ）。
解：(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r ，质量为。
缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物，沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升，如图所示。
重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。
绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。
求鼓轮转过ϕ角时的角速度。
解：为一自由度理想约束系统。
取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如下图所示。
鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理，有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物，如图所示。
第7章+静电场+习题和思考题
1 E d S 根据高斯定理
0
q
S内
i
S
Q
q q
习题图7-1
第七章 习题解答 第七章 习题解答
C 3. 关于电场线，以下说法哪个正确。 (A)电场线上各点的电场强度大小相等； (B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点 的电场强度方向平行； (C) 匀强电场中开始处于静止的电荷，在电场力的作用下运动 的轨迹必与一条电场线重合； (D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交。 答 ：电场线上任意点的切线方向为该点处电场强度的方向； 电场线密度表针该点处电场强度的大小；电场为有源场,任 意电场线不相交；在均匀场中,电场强度处处相等；电荷在 均匀电场中静止开始运动,其运动轨迹必沿与一条电场线运 动。
解： （1） (0,a)处点电荷在 O 点产生的电场方向从 O 点指 向 y 轴正向；(0,-a)处点电荷在 O 点产生的电场方向从 O 点 指向 y 轴负向；(2a,0)处点电荷在 O 点产生的电场方向从 O 点指向 x 轴正向。 (2)
Eao 2Q Q j j 2 2 40 a 20a 1
1 2Q Q j j 2 2 40 a 20a
y
E ao
a
2Q
Q
a
O
2Q
a 2a
x
E2ao
Q Q i i 2 2 40 ( 2a) 160a 1
第七章 习题解答 第七章 习题解答
(3)
Eo Eao Eao E2ao Q Q Q j ( j) i 2 2 2 20a 20a 160a
第七章 习题解答 第七章 习题解答 球心电势
U E dl
钢结构基本原理(第二版)习题参考解答第七章
7.1 一压弯构件长15m ，两端在截面两主轴方向均为铰接，承受轴心压力1000N kN =，中央截面有集中力150F kN =。
构件三分点处有两个平面外支承点（图7-21）。
钢材强度设计值为2310/N mm 。
按所给荷载，试设计截面尺寸（按工字形截面考虑）。
解：选定截面如下图示：图1 工字形截面尺寸下面进行截面验算：（1）截面特性计算()23002026502021420540A mm =⨯⨯+-⨯⨯=339411300650286610 1.45101212x I mm =⨯⨯-⨯⨯=⨯ 63/325 4.4810x x W I mm ==⨯337411220300610149.01101212y I mm =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯ 53/150 6.0110y y W I mm ==⨯266.2x i mm ==66.2y i m m = （2）截面强度验算36226100010562.510172.3/310/20540 4.4810x M N N mm f N mm A W σ⨯⨯=+=+=<=⨯ 满足。
（3）弯矩作用平面内稳定验算 长细比1500056.3266.2x λ== 按b 类构件查附表4-4，56.368.2，查得0.761x ϕ=。
2257222.061020540' 1.20101.1 1.156.3EX x EA N N ππλ⨯⨯⨯===⨯⋅⨯ 弯矩作用平面内无端弯矩但有一个跨中集中荷载作用：371000101.00.2 1.00.20.981.2010 1.1mx EX N N β⨯=-⨯=-⨯=⨯⨯， 取截面塑性发展系数 1.05x γ= 363611000100.98562.5100.7612054010001010.8 1.05 4.481010.8' 1.2010mx x x x x EX M N A N W N βϕγ⨯⨯⨯+=+⨯⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ 22189.54/310/N mm f N mm =<= ，满足。
数据结构第七章课后习题答案 (1)
7_1对于图题7.1（P235）的无向图，给出：（1）表示该图的邻接矩阵。
（2）表示该图的邻接表。
（3）图中每个顶点的度。
解：（1）邻接矩阵：0111000100110010010101110111010100100110010001110（2）邻接表：1：2----3----4----NULL;2: 1----4----5----NULL;3: 1----4----6----NULL;4: 1----2----3----5----6----7----NULL;5: 2----4----7----NULL;6: 3----4----7----NULL;7: 4----5----6----NULL;（3）图中每个顶点的度分别为：3，3，3，6，3，3，3。
7_2对于图题7.1的无向图，给出：（1）从顶点1出发，按深度优先搜索法遍历图时所得到的顶点序（2）从顶点1出发，按广度优先法搜索法遍历图时所得到的顶点序列。
（1）DFS法：存储结构：本题采用邻接表作为图的存储结构，邻接表中的各个链表的结点形式由类型L_NODE规定，而各个链表的头指针存放在数组head中。
数组e中的元素e[0],e[1],…..,e[m-1]给出图中的m条边，e中结点形式由类型E_NODE规定。
visit[i]数组用来表示顶点i是否被访问过。
遍历前置visit各元素为0，若顶点i被访问过,则置visit[i]为1.算法分析：首先访问出发顶点v.接着，选择一个与v相邻接且未被访问过的的顶点w访问之，再从w 开始进行深度优先搜索。
每当到达一个其所有相邻接的顶点都被访问过的顶点，就从最后访问的顶点开始，依次退回到尚有邻接顶点未曾访问过的顶点u,并从u开始进行深度优先搜索。
这个过程进行到所有顶点都被访问过，或从任何一个已访问过的顶点出发，再也无法到达未曾访问过的顶点，则搜索过程就结束。
另一方面，先建立一个相应的具有n个顶点,m条边的无向图的邻接表。
工程热力学第七章 习题解答
第七章 习题解答7-2 ()10.1762.60.927772575.56x h x h xh '''=-+=⨯+⨯= kJ kg()10.1 2.13820.9 6.5847 6.104x s x s xs '''=-+=⨯+⨯=kJ kg K ⋅ 0.90.19430.17487x v xv ''==⨯= 3m2575.5610000.174872400.69 x x x u h Pv =-=-⨯=kJ kg 查h-s 图，2575x h =kJ kg ， 6.14x s =kJ kg K ⋅，0.175x v =3m257510000.1752400x x x u h pv =-=-⨯=kJ kg 7-3 ⑴ 定容过程：()2121q u h h v p p ==---()()110.850.0010.85 1.69 1.437v x v xv '''=-+=-⨯+⨯= 3m kg ()()1110.85417.60.852675.12336.46h x h xh '''=-+=-⨯+⨯=kJ kg 查h-s 图：22925h =kJ kg()29252336.46 1.437150100517q ∴=--⨯-=kJ kg ⑵ 查h-s 图：1 6.45s =kJ kg ，27.7s = kJ kg工质吸热，熵增加为：1217.7 6.45 1.25s s s =-=-= kJ kg热源放热，熵减少为：205170.411000273q s T =-=-=-+ kJ kg 孤立系统的熵增为：12 1.250.410.84iso s s s =+=-= kJ kg7-4 (1) 1.556 MPa p =，30.20.1 m 2x v == 30.12714 m v ''=，0.10.7865''0.12714x v x v ≈== (2)()10.2135852.40.78652791.4 2377.4 kJ/kgx h x h xh '''=-+=⨯+⨯=(3) 20.7865 1.573v m m x =⋅=⨯= kg'' 1.5730.127140.2v v m v =⋅=⨯=3m (4)()[]10 1.5732377.483.860.2 1.5563118.2 kJv x q m h h v p p =---⎡⎤⎣⎦=⨯--⨯=7-5 (1) 定压过程：()21W p V V =-查附表3：10.001v =3m 20.090v = 3m kg()30000.0900.0012534W =⨯-⨯= kJ (2) 定压过程：21q h h h ==-查附表3：1852.93h =kJ kg 23114.4h =k J k g()3114.4852.9324522.9q =-⨯=kJ7-624v d c m v xmv π''''⋅≥=2440.9515000.194336003600 3.14xmv d π''⨯⨯⨯≥=⨯ ∴0.06258 m d ≥7-7 湿蒸汽中其加热作用的仅为干饱和蒸汽：()air p xm h h m c T '''-=⋅∆ ()()4000 1.293 1.00512.00306.6kg h 0.942725.5561.4m ⨯⨯⨯-==-7-8 充满饱和水的容器比较危险 7-9 ()11221x x x mv m v m v =+()112221210.3748120.80.19430.83830.27274m v m x v x m m ''''+⨯+⨯⨯===+⨯()312''30.8380.272740.6857 m x V mv m m xv ==+=⨯⨯=()11222x x x Q mu mu m u =--()()()11112222x x x x x m h pv m h p v m h p v =-----()32762.90.838697.10.1627000.8380.27274=⨯+⨯-⨯⨯()()2748.55000.37481227770.8762.610000.80.1943--⨯-⨯+-⨯⨯193.7 kJ =-7-10 查附表3：12886h =kJ kg 23387h = kJ kg10.012v =3m 20.018v =3m k g2133872886501q h h =-=-=kJ kg 21501 h h h ∆=-=kJ kg()()21501180000.0180.012393u q p v v ∆=--=-⨯-=kJ kg 7-11 ()1查 h-s 图：0.816x = 2118k J k gx h = 6.94x s =kJ kg 13325h =k J k g33x t =℃ 1211833251207t x w h h h =-∆=-=-=- kJ kg()2()0.25273331130.5t t w w '=+⨯+=- kJkg7-12 查表 t=25℃，1104h = kJ kg查h-s 图：22708h = kJ kg 20.136v =3m k g33046h =kJ kg 30.184v =3mk g (1) ()31B Q m h h η⋅⋅=-煤()1000030401040.6984143029400η⨯-∴==⨯(2) ()()46321030402708 3.3210Q m h h =-=-=⨯kJ()3232=U m h h p v v ∆---⎡⎤⎣⎦()46103040270814000.1840.136 2.5610=⋅---=⨯⎡⎤⎣⎦kJ 7-13 (1) 由附表2：20t =℃时，183.86h =kJ kg100t =℃时，22675.71h =kJ kg由 ()1221p y m c t m h h ⋅⋅∆=-，得：()()()21212675.7183.862001001503650180 1.079p y h h m m c t --⨯⨯===⋅-⨯kg h7-14 节流前后焓相等，查h-s 图：0.968x =7-15 (1) 查附表3得 10.0010053v '=m 3/kg 128.191v ''= m 3/kg 137.72h '= kJ/kg 2560.6h ''= kJ/kg ()10.928.1910.10.0010053252380.0010053x xv x v v n v v '''+-⨯+⨯====''(2)()211 0.92560.60.1137.72137.722180.6 kJ/kgq h h h xh x h h ''''=∆=-=+--=⨯+⨯-=。
第7章_稳恒磁场xtjd
qU
1 Mv 2 2
在磁场中洛伦兹力提供作圆周运动的向心力
v2 2v 2 qvB M M R x
由此解得该离子的质量为
qB2 x 2 M 8U
于是得证。
2014-2-25
第七章习题解答
7-21. 如图所示，把一宽2.010–2m、厚1.010–3m的铜片放在磁 感应强度B=1.5T的均匀磁场中，如果铜片中通有200A的电流。 试问：（1）铜片左右两侧的电势哪侧高？（2）霍耳电势差有多 大？（铜的电子浓度n=8.41028 l/m3）。 解：（1）根据洛伦兹力 F qv B 可判断铜 片内载流子（电子）在磁场中的受力方向向右 ，因此右侧积聚了电子带负电，左侧因缺少电 子而带等量的正电。所以左侧电势高。 （2）霍耳电势差
第七章习题解答
7-3. 将一段导线弯成半径分别为R1和R2的同心1/4圆弧，并与两 段径向直线段组成一闭合回路。回路中通有电流I，方向如图所 示。求圆心o处的磁感应强度B的大小和方向。
解：两段径向直线段在o点不产生磁场，所 以只需将大、小两个圆弧在o点产生的磁感 应强度进行叠加。 1 0 I B1 方向垂直纸面向外
4 2 R1
1 0 I B2 4 2 R2
方向垂直纸面向里
两同心1/4圆弧在o点产生的总磁感应强度
1 0 I 1 0 I 0 I 1 1 B B1 B2 ( ) 4 2 R1 4 2 R2 8 R1 R2
方向垂直纸面向外
2014-2-25
第七章习题解答
7-4. 如图所示，一根长为L的导线，载有电流I。试求：（1）该导 线在其中垂线上与导线相距为L/2的P点处所产生的磁场的磁感应 强度；（2）在P点正上方相距L/2处的Q点的磁感应强度。
理论力学(胡运康)第七章作业答案
aτ e
a
n a
aC 方向投影 :
n τ aa cos 60° + aτ sin 60 ° = a a e + aC
2 2 v 600 n aa = a = = 1200mm/s 2 OA 300
aen
α1
2 aτ = α ⋅ AB = 1000 3 mm/s e 1
aC = 2ω 1 vr = 2 × 3 × 300 = 1800mm/s 2
第7章 习题解答
1
7-1求轮边缘处水流对轮的vr
ve vr va
【解】 动点: M，动系: 轮
r r r va = ve + v r
va = 15 m s
nπ ve = R ⋅ = 6.28m s 30
x : va sin60 o = ve + vrx
⇒ v rx = 6.7 m s
y : − va cos60 o = 0 + vry
300
解 动点A，动系：BC
r r r va = ve + vr
ve = ω1 ⋅ AB = 3 OA = 300 3mm/s 3
va = ve / cos 30° = 600mm/s vr = va sin 30° = 300mm/s
12
aτ a ar
300
r n rτ r n r τ r r aa + aa = ae + ae + ar + aC
ω ω1 = ve / O1 D = 2
18
a
n ae
t e
r n r n rτ r r aa = ae + ae + ar + aC
仪器分析(第三版)课后题答案第七章
5. 光谱定性分析的基本原理是什么？进行光谱定性分析时可 光谱定性分析的基本原理是什么？ 以有哪几种方法？说明各个方法的基本原理和使用场合。 以有哪几种方法？说明各个方法的基本原理和使用场合。 解：由于各种元素的原子结构不同，在光源的激发下，可以 由于各种元素的原子结构不同，在光源的激发下， 产生各自的特征谱线， 产生各自的特征谱线，其波长是由每种元素的原子性质决定 具有特征性和唯一性， 的，具有特征性和唯一性，因此可以通过检查谱片上有无特 征谱线的出现来确定该元素是否存在， 征谱线的出现来确定该元素是否存在，这就是光谱定性分析 的基础。 的基础。 进行光谱定性分析有以下三种方法： 进行光谱定性分析有以下三种方法： （1）比较法。将要检出元素的纯物质或纯化合物与试样并列 ）比较法。 摄谱于同一感光板上， 摄谱于同一感光板上，在映谱仪上检查试样光谱与纯物质光 若两者谱线出现在同一波长位置上， 谱。若两者谱线出现在同一波长位置上，即可说明某一元素 的某条谱线存在。本方法简单易行， 的某条谱线存在。本方法简单易行，但只适用于试样中指定 组分的定性。 组分的定性。
10. 试述光谱半定量分析的基本原理，如何进行？ 试述光谱半定量分析的基本原理，如何进行？ 解：光谱半定量分析主要有三种方法． 光谱半定量分析主要有三种方法． （１）谱线呈现法，当分析元素含量降低时，该元素的谱线 谱线呈现法，当分析元素含量降低时， 数目也会逐渐减少， 数目也会逐渐减少，可以根据一定实验条件下出现特征谱线 的数目来进行半定量分析． 的数目来进行半定量分析． （２）谱线强度比较法．可以将被测元素配制成不同浓度 谱线强度比较法． 的标准系列，然后分别与试样同时摄谱， 的标准系列，然后分别与试样同时摄谱，并控制相同的摄 谱条件， 谱条件，通过比较被测元素的灵敏线与标准试样中该元素 的相应谱线的黑度，用目视进行比较，进行半定量分析． 的相应谱线的黑度，用目视进行比较，进行半定量分析．
电路第七章习题解答
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P194页 图示电路中直流电压源的电压为24V，且 P194页7-16 图示电路中直流电压源的电压为 ， 电路原已达稳态， 时合上开关S， 电路原已达稳态，t = 0时合上开关 ，求：⑴电感电流 时合上开关 iL ；⑵直流电压源发出的功率。 直流电压源发出的功率。
12 解：uC (0+ ) = uC (0− ) = 3 3 ×103 = 6V 10 +10 uC (∞) =12V
+
1k
S(t = 0)
τ = RC = (1+1)×10 ×20×10 = 0.04s
3 −6
t −
12V iC - 20µF
− t 0.04
1k
uC (t ) = uC (∞) + [uC (0+ ) −uC (∞)]e τ =12 + (6 −12)×e
−25×2×10−3
(
)
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P195页 图示电路中开关合在位置1时已达稳定状态 时已达稳定状态， P195页7-20 图示电路中开关合在位置 时已达稳定状态， t = 0时开关由位置 合向位置 ，求t≥0时的电压 L。 时开关由位置1合向位置 时的电压u 时开关由位置 合向位置2， 时的电压
2Ω
+
3Ω
5Ω
(3+5)×iL (∞) = 2×[2 −iL (∞)] +10
iL (∞) =1.4A
2A
-
10V
S
07热力学第一定律习题解答1
第七章热力学第一定律一选择题1. 图为质量一定的某理想气体由初态a 经两过程到达末状态c ,其中abc 为等温过程,则〔〕 A ． adc 也是一个等温过程B ． adc 和abc 过程吸收的热量相等C ． adc 过程和abc 过程做功相同D ． abc 过程和adc 过程气体内能变化相同 解：热量和功均是过程量,内能是状态量. 故答案选D.2. 有两个相同的容器,容积不变,一个盛有氦气,另一个盛有氢气,〔看成刚性分子〕,它们的压强和温度都相等,现将5J 的热量传给氢气,使氢气的温度升高,如果使氦气也升高同样的温度,则应向氦气传递热量是 < >A ． 6J B. 5J C. 3J D. 2J解：氦气是单原子分子,自由度为3,氢气是双原子分子,自由度为5.根据理想气体的状态方程,两种气体的摩尔数相同.容器容积不变,气体吸收的热量全部转化为内能.再根据理想气体的内能公式,使氦气也升高同样的温度,应向氦气传递热量是3J.答案选C.3. 1mol 的单原子分子理想气体从状态A 变为状态B ,如果不知是什么气体,变化过程也不知道,但A 、B 两态的压强、体积和温度都知道,则可求出< >A.气体所作的功B.气体内能的变化C.气体传给外界的热量D.气体的质量解 答案：B4. 已知系统从状态A 经某一过程到达状态B ,过程吸热10J,系统内能增量为5J.现系统沿原过程从状态B 返回状态A ,则系统对外作功是< >A. -15JB. -5JC. 5JD. 15J解 热力学第一定律的表达式W U Q +∆=,系统从A 态经某一过程到达B 态时系统做的功为5510=-=∆-=U Q W J.因此当系统沿原过程从B 态返回A 态时,系统对外做功为-5J.因此答案选B.5. 用公式T C U V ∆=∆m ,ν计算理想气体内能增量时,此式 < >A.只适用于准静态的等体过程B.只适用于一切等体过程C.只适用于一切准静态过程D.适用于一切始末态为平衡态的过程 解 答案选 Dp V a d bc 选择题1图6.对于室温下的双原子分子理想气体,在等压膨胀的情况下,系统对外所作的功与从外界吸收的热量之比W / Q 等于 < >A. 2/3B.1/2C.2/5D.2/7解 答案选 D7. 理想气体初态的体积为V 1,经等压过程使体积膨胀到V 2,则在此过程中,气体对外界作 〔 〕A ．正功,气体的内能增加B ．正功,气体的内能减少C ．负功,气体的内能增加D ．负功,气体的内能减少解 等压膨胀过程系统对外作正功,由于压强不变体积增加,所以温度升高,因此气体的内能增加.因此答案选A.8. 理想气体内能不变的过程是〔 〕A ．绝热过程和等温过程B ．循环过程和等体过程C ．等温过程和循环过程D ．等体过程和绝热过程解 对于一定的理想气体,其内能仅取决于状态的温度,如果一个热力学过程的初末态温度没有变化,则内能也不变化.因此答案选C.9. 一定量的某种理想气体起始温度为T ,体积为V ,该气体在下面循环过程中经过下列三个平衡过程：〔1〕绝热膨胀到体积为2V ；〔2〕等体变化使温度恢复为T ；〔3〕等温压缩到原来体积V ,则此整个循环过程中,气体〔〕A. 向外界放热B. 对外界作正功C. 内能增加D. 内能减少 解：画出p -V 图,这个循环是逆循环.在逆循环过程中,内能不变,外界对系统做功,因此系统向外界放热.故答案选A.10. 用下列两种方法：<1>使高温热源的温度T 1升高∆T ；〔2〕使低温热源的温度T 2降低同样的∆T 值,分别可使卡诺循环的效率升高∆η1和∆η2.两者相比〔 〕A ． ∆η1>∆η2B. ∆η2>∆η1 C. ∆η1=∆η2 D. 无法确定哪个大 解：)]1()1[()]1()1[(1212121212T T T T T T T T T T --∆+----∆--=∆-∆ηη 故答案选B.11. 在绝热良好的房间内有一台工作着的电冰箱.若冰箱门一直敝开着,待一定时间后,房间的温度将〔〕A ． 降低 B. 升高 C. 不变 D. 无法确定解：电冰箱工作时是逆循环,它向环境放出的热量大于从冰箱中吸收的热量.故答案选B. 12. 两个卡诺热机的循环曲线如图所示,一个工作p T 1 T 2在温度为T 1与T 3的两个热源之间,另一个工作在温度为T 2与T 3的两个热源之间,已知这两个循环曲线所包围的面积相等,由此可知：〔〕A ． 两个热机的效率一定相等B ． 两个热机从高温热源所吸收的热量一定相等C ． 两个热机向低温热源所放出的热量一定相等D ． 两个热机吸收的热量与放出的热量的差值一定相等解：循环曲线所包围的面积表示工作物质在整个循环过程中对外做的净功,而循环过程的内能不变,因此工作物质吸收的净热量相等.故答案选D.二填空题1. 从任何一个中间状态是否可近似看成平衡态,可将热力学过程分为过程和 过程,只有过程才可以用pV 图上的一条曲线表示.解：准静态, 非准静态；准静态2. 在热力学中,系统作功是通过来完成的；系统与外界之间传递热量是通过来完成的.解：物体的宏观位移；分子之间的相互碰撞3.一气缸内贮有10 mol 的单原子分子理想气体,在压缩过程中外界作功209J ,气体升温1 K ,此过程中气体内能增量为_____ ,外界传给气体的热量为____________.解：124.7 J , -84.3 J4. 理想气体状态变化满足p d V =νR d T 为过程,满足V d p =νR d T 为过程；满足p d V +V d p =0为过程.解：等压；等体；等温.5. 一定量的某种理想气体在等压过程中对外做功200J.若此种气体为单原子分子气体,则该过程中需吸热J ；若为双原子分子气体,则需吸热J.解：单原子分子气体50020025252525m ,=⨯=∆=∆=∆=∆=V p T R T R T C Q p p νννJ 双原子分子气体70020027272727m ,=⨯=∆=∆=∆=∆=V p T R T R T C Q p p νννJ 6. 如图所示,一定量理想气体从A 状态〔2p 1、V 1〕经历如题图所示的直线过程变到B 状态〔p 1、2V 2〕,则AB 过程中系统作功W = ；内能增加∆U =.解：AB 过程中系统作功等于AB 下的面积,即W =1123V p . 从理想气体状态方程可知,B 状态的温度和A 状态的温度相同,故内能不变,即∆U =0. p A B p 2 pA B 2p 1p 17. 如图所示,1 mol 的单原子理想气体,从状态A <p 1,V 1>变化至状态B <p 2,V 2>,如图所示,则此过程气体对外作的功为___________,吸收的热量为___________. 解：))((211221V V p p W -+=,)(23))((2111221221V p V p V V p p Q -+-+= 8. 如图所示,已知图中两部分的面积分别为S 1和S 2,那么（1） 如果气体膨胀过程为a —1—b ,则气体对外做功W =；（2） 如果气体进行a —2—b —1—a 的循环过程,则它对外作W =.解：S 1+S 2；–S 1 .9. 气体经历如图所示的一个循环过程,在这个循环中,外界传给气体的净热量是______<J>.解 循环过程热力学能不变,外界传给气体的净热量就是循环过程对外做的功.本题中这个功等于循环曲线〔正方形〕包围的面积,不难计算得到55109)14(10)14(⨯=-⨯⨯-=W J10. 有一卡诺热机,用29kg 空气为工作物质,工作在27℃的高温热源与-73℃的低温热源之间,此热机的效率η=.若在等温膨胀的过程中气体体积增大 2.71倍,则此热机每一次循环所做的功为.〔设空气的摩尔质量为29×10-3kg . mol -1〕解：效率η= <T 1- T 2>/ T 1=33.3%〔或者1/3〕.因71.24312==V V V V ,故 53211031.871.2ln 10031.810292971.2ln )(⨯=⨯⨯⨯⨯=-=-T T R W νJ11. 有一卡诺致冷机,其低温热源温度为T 2=200K,高温热源温度为T 1=350K,每一循环,从低温热源吸热Q 2=400J,则该致冷机的致冷系数ω=.每一循环中外界必须做功W =.解：ω=T 2/<T 1- T 2>=4/3；3003/44002===ωQ W J 三计算题1. 设有1mol 的氧气,体积V 1=4.92×10-3m 3,压强p 1=2.026×105Pa,今使它等温膨胀,使压强降低到p 2=1.013×105Pa,试求此过程中氧气所作的功,吸收的热量以与内能的变化.<ln2=0.693>.Vo p ba 2 S 2 S 1 1 填空题8图 V <m 3> p <105 Pa> O 1 4 41填空题9图p o VⅡ Ⅰ Ⅲ解 等温过程氧气所做的功2112ln ln p p RT V V RT W T νν==,再利用物态方程p 1V 1=νRT ,得到8.6902ln 1092.410026.2ln ln 35211121=⨯⨯⨯⨯===-p p V p p p RT W T νJ 等温过程系统的内能不发生变化,即∆U =0.根据热力学第一定律,等温过程中系统吸收的热量等于系统对外作的功,即=TQ 690.8J 2. 已知某单原子分子理想气体作等压加热,体积膨胀为原来的两倍,试证明气体对外所作的功为其吸收热量的40%.解：设该理想气体体积为V ,摩尔数为ν,由物态方程RT pV ν=,得对外作功为：pV V p W V V ==⎰2d吸收热量：R pV C RpV V p CT C Q p p p p .)2.(m ,m ,m ,=-=∆=ν 3. 压强为1atm,体积为100cm 3的氮气压缩到20cm 3时,气体内能的增量、吸收的热量和所做的功各是多少？假定经历的是下列两种过程：〔1〕等温压缩；〔2〕先等压压缩,然后再等体升压到同样状态.〔1atm=1.01325×105Pa 〕解：两种过程如下图所示. 〔1〕视气体为理想气体,当气体由初态Ⅰ等温压缩到终态Ⅲ时,据热力学第一定律,其内能不变.即 U 3- U 1=0故系统吸收的热量和系统对外界所做的功相等,为3.16)10100/1020ln(1010010013.16665-==---×××××J负号表明外界向气体做正功而系统向外界放热. 〔2〕对于过程Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ,由于Ⅰ、Ⅲ的温度相同,故Ⅰ、Ⅲ两态内能相等,即U 3- U 1=0.同样地,系统吸收的热量和系统对外界所做的功相等.因Ⅱ→Ⅲ是等体过程,系统不做功,因此第二个过程中外界对系统所做的功即为Ⅰ→Ⅱ等压过程中系统对外界所做的功W = p <V 2-V 1>=1.013×105×<20×10-6 -100×10-6>= -8.1 J第二个过程中系统吸收的热量Q = W = -8.1 J4. 将1 mol 的刚性分子理想气体等压加热,使其温度升高72K,气体吸收的热量等于1.60⨯103J.求：<1> 气体所作的功；<2> 该气体的比热容比.解 <1> 利用理想气体的物态方程,等压过程气体所作的功3.5987231.8=⨯=∆=∆=∆=T R T R V p W pνJ<2> 由题意,可知摩尔定压热容为22.22721060.13m ,=⨯=∆=T Q C p p J/<mol ⋅K> 根据迈耶公式R CC V p =-m ,m ,,得到气体的摩尔定容热容为 91.1331.822.22m,m ,=-=-=R C C p V J /<mol ⋅K> 因此该气体的比热容比为5. 把氮气放在一个绝热的汽缸中进行液化.开始时,氮气的压强为50个标准大气压、温度为300K ；经急速膨胀后,其压强降至 1个标准大气压,从而使氮气液化.试问此时氮的温度为多少？解氮气可视为理想气体, 其液化过程为绝热过程.Pa 10013.15051⨯⨯=p ,K 3001=T ,Pa 10013.152⨯=p .氮气为双原子气体,γ=7/5=1.4 6. 5mol 的氦气〔视为理想气体〕,温度由290K 升为300K.若在升温过程中不与外界交换热量,试分别求出气体内能的改变、吸收的热量和气体所作的功.解 气体内能的改变仅与始末态的温度有关而与过程无关,氦气是单原子分子,R C V 23m ,=,因此 25.623)290300(31.8235)(12m ,=-⨯⨯⨯=-=∆T T C U V νJ 气体不与外界交换热量,因此是绝热过程,因此吸收的热量Q =0根据热力学第一定律,绝热过程中气体所作的功25.623-=∆-=U W J负号表示外界对气体作了正功.7. 已知2.0 mol 的氦,起始的温度是27℃,体积是20 l.此氦先等压膨胀至体积为原体积的2倍,然后作绝热膨胀使其温度仍恢复到起始温度.<1> 在p -V 图上画出过程的曲线；<2> 在这过程中共吸热多少？<3> 氦的内能总改变多少？<4> 氦所作的总功为多少？<5> 最后的体积为多少？〔氦可看作为理想气体〕. 解：<1> 曲线如下图所示.〔2〕系统吸热为两个过程中吸热之和,而绝热过程无热量交换,故总热量即为等压膨胀过程中吸收的热量：（3） 氦的最后温度与起始温度相同,作为理想气体,内能不变.（4） 因内能不变,系统吸收的热量全部用来对外作功.氦所作的总功W = Q -∆U =Q =12465焦耳p V 〔L 〕 20 40 O ① ②③ 绝 热（5） 最后体积为V 3,根据绝热过程方程22/31351113223101.1240)3003002040(40)(×××====--γT T V V L 8. 一理想热机使1.00 mol 的单原子理想气体经历如图所示的循环,过程1→2是等体过程,过程2→3是绝热过程,而过程3→1是等压过程.试计算这三个过程中每个过程以与整个循环的热量Q 与内能变化∆U 以与气体所做的功W .解：〔1〕等体过程W 1=0 〔2〕绝热过程Q 2=0 W 2= -∆U 2 = 1.81×103焦耳. （3） 等压过程 W 3=p 1〔V 1 -V 3〕=νR 〔T 1 -T 3〕= 8.31×<300-455>= - 1.29×103焦耳（4） 整个循环 ∆U =∆U 1+∆U 2+∆U 3=0W = W 1+ W 2+ W 3=0.52×103焦耳Q = Q 1+ Q 2+ Q 3=0.52×103焦耳9. 如图所示,abcda 为1 mol 单原子分子理想气体的循环过程,求：〔1〕气体循环一次,在吸热过程中从外界共吸收的热量；〔2〕气体循环一次对外作的净功；〔3〕证明T a T c = T b T d . 解：〔1〕过程ab 与bc 为吸热过程,吸热总和为 （2） 循环过程对外所做总功为图中矩形面积 〔3〕R V p T R V p T R V p T R V p T d d d c c c b b b a a a / / / /====，，，所以有T a T c = T b T d 10. 1 mol 理想气体在T 1=400K 的高温热源与T 2=300K 的低温热源之间作卡诺循环.在400K 的等温线上起始体积为V 1=0.001m 3,终止体积为V 2=0.005m 3,试求此气体在每一循环中：<1> 从高温热源吸收的热量Q 1；<2> 气体所做的净功W ；<3> 气体传给低温热源的热量Q 2 .解：〔1〕312111035.5ln ×==V V RT Q J 〔2〕25.0112=-=T T η 311034.1×==Q W ηJ 〔3〕Q 2=Q 1-W =4.01×103JV p T 1=300K T 3=455K 绝热1 2 T 2=600K o 3 计算题8图23 2 1 0 b a d c V <×10-3m 3> p <105Pa 计算题9图11. 气缸贮有36g水蒸汽〔视为理想气体〕,经abcda循环过程如图所示,其中a→b,c→d为等体过程,b→c为等温过程,d→a为等压过程,试求：〔1〕Wda ；〔2〕∆Uab；〔3〕循环过程水蒸汽所作的净功W；〔4〕循环效率η.解：水的质量m=36×10-3kg,水的摩尔质量M=18×10-3kg,故摩尔数ν=m/M=2 mol.水是刚性多原子分子,自由度i =6.（1） Wda =pa<Va-Vd> = -0.05065×105 J（2） ∆Uab =ν<i /2 >R <Tb-Ta> = <i/ 2> Va<pb-pa> = 3.039×104 J（3） Tb =pbVa/ <ν R> =914.3 KWbc =ν RTbln <VC/ Vb>=1.053×104 J净功W=Wbc +Wda=5.47×103 J(4)循环过程吸收的热Q1=Qab+Qbc= ∆Uab+ Wbc= 4.09×104J,循环效率η= W/Q1=13.4%计算题11图26a dcb25 V<l>p<atm>50。
习题解答第7章
A． ; B． ；
C． ； Ｄ．
解：由求解一阶电路的三要素法 可知在原电路中 V, V。当初始状态不变而输入增加一倍时，有
V
二、填空题
1．换路前电路已处于稳态,已知 ， , , . 时，开关由 掷向 ，则图7—3所示电路在换路后瞬间的电容电压 V, V。
作用时的响应为
作用时的响应为
总的零状态响应为
8．图7—14所示电路中，激励为单位冲激函数 A，求零状态响应 。
解:设激励为 ，用三要素法求电路的单位阶跃响应。
,
，
电流的单位阶跃响应为
根据单位冲激响应和单位阶跃响应的关系，可得电路中的 ：
9．图7—15所示电路中， , ,求 时的响应 。
解：应用叠加原理求解此题.
第七章（一阶电路)习题解答
一、选择题
1．由于线性电路具有叠加性，所以C。
A．电路的全响应与激励成正比；
B．响应的暂态分量与激励成正比；
C．电路的零状态响应与激励成正比；
D．初始值与激励成正比
2．动态电路在换路后出现过渡过程的原因是A。
A．储能元件中的能量不能跃变；
B．电路的结构或参数发生变化;
C．电路有独立电源存在；
解： 由 时刻电路得：
，
换路后，电容 ， 构成纯电容的回路（两电容并联），电容电压发生强迫跃变,此时应由电荷守恒原理求解换路后瞬刻的电容电压。由 得：
……①
…… ②
由以上两式解得
2．图7—4所示电路的时间常数 .
解：将储能元件开路，独立电源置 后,可得求戴维南等效电阻的电路如图7—4(a）所示。由于电路中含有受控源，因此需用外加电压法求戴维南等效电阻 .由图7—4（a）得
二三版兼用运筹学教程胡运权主编课后习题答案第七章课件
假定每年只能投资一次，每次1 000万元(有多余资
金也不使用)，试给出三年末期望总资金最大的投资
策略。
投资
回收
概率
0
0.4
A
2000
0.6
1000
0.9
B
2000
0.1
第七章习题解答
解：第一年投资A的期望值为1200万元；投资B 的期望值为1100，故应该投资A，获利200万元。第 二年还应该投资A，投资A的期望值为1200万元，因 无法投资造成的损失为0.4*200=80万元，获利120万 元。第三年还应该投资A，投资A的期望值为1200万 元，因无法投资造成的损失为0.4*200=80万元，获 利120万元。这样三年都应该投资A，期望获利440万 元。
存。最需小求量费d用k 为33500。45 40 30
单位订货费用ck 850 850 775 825
单位存储费用pk 35 20
40
30
第七章习题解答
7.13 某罐头制造公司在近5周内需
要—次性地购置一批原料，估计未来5周
内价格有波动，其浮动价格及概率如表
7购-2这4所批示原．料批试价单求价格各的周数表的7学-2采4期购望策值概略率最，小使。采
40
2
12
0
18
30
25
3
23
9
0
5
10
4
34
32
4
0
8
5
45
27
11
10
0
第七章习题解答
7.5 为保证某设备正常运转，需对串联工作的三种不同 零件Al，A2，A3，分别确定备件数量。假设增加备用零件 的数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加， 而总投资额为8千元。备用零件数与它的可靠性和费用关系 如表7-2l所示，求Al，A2，A3的备用零件数量各为多少时， 可使设备运转的可靠性最高。
第七章习题解答
习 题 七1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1) 在向量空间V 中，σ (ξ)＝ξ＋α，α是V 中一固定的向量；(2) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,(233221x x x x ＋；(3) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,2(13221x x x x x ＋－； (4) 把复数域看作复数域上的向量空间，σ (ξ)＝ξ. 解 （1）当0=α时，σ是线性变换；当0≠α时，σ不是线性变换； （2）σ不是线性变换； （3）σ是线性变换； （4）σ不是线性变换；2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明，σ是V 的一个线性变换的充要条件是：存在F 中的一个数a ，使得对任意ξ∈V ，都有σ (ξ)＝a ξ .证明：充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换，如果σ k －1ξ≠0, 但σ k ξ＝0，求证ξ, σξ, …, σk －1ξ (k >0)线性无关.证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:++-ξσξσkk l l 110+0221=--ξσk k l由已知得: ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: +σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ 作用得:ξσξσkk l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中，σ (f (x ))＝f '(x ), τ (f (x ))＝xf (x ), 证明，στ －τσ＝ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ －τσ＝ι.5. 在向量空间R 3中，线性变换σ, τ如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1, x 2, x 1＋x 2)τ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2－x 3, 0, x 3－x 1－x 2)(1) 求στ, τσ, σ2；(2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2＋x 3, x 2＋x 3,－x 3) 证明，σ是可逆变换，并求σ－1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001100111A所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换，试证,（1）如果σ, τ都与ρ可交换，则στ, σ2也都与ρ可交换（若对任意α∈V ，都有στ (α)＝τσ (α)，就说σ与τ可交换）；（2）如果σ＋τ, σ－τ都与ρ可交换，则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明，数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1,ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵；(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0，k ∈F )；(3) 求σ在{ε1, ε1＋ε2, ε3}下的矩阵. 解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a aa a a a a a a a a a a a11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 2＋x 3, x 1－4x 2, 3x 1)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 利用(1)中结论，求σ在基α1＝(1, 1, 1)，α2＝(1, 1, 0)，α3＝(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ (2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ，τ如下σ (X )＝X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111, τ (X )＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ). 试求σ＋τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+021202011111)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*******1210021211B. 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间，并且V ＝W 1⊕W 2证明，σ是可逆变换的充要条件是V ＝σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£( ),(1ασ,)(r ασ). =)(2W σ£( )(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V ＝σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 1－x 2, x 2－x 3, x 2＋x 3)求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1) 及基η1＝(1, 1, 0), η2＝(0, 1, 1),η3＝(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110012A . σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011. 15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X ， ∀X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵，其中E 11＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001, E 12＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=30200302100001A . 16. 证明，与n 维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得. 17. 给定R 3的两个基α1＝(1, 0, 1), α2＝(2, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；和 β1＝(1, 2,－1), β2＝(2, 2, －1), β3＝(2, －1, －1). σ是R 3的线性变换，且σ(αi )＝βi ，i ＝1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵； (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵； (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110221. 所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 18. 设α1＝(－1, 0, －2), α2＝(0, 1, 2), α3＝(1, 2, 5)，β1＝(－1, 1, 0), β2＝(1, 0, 1), β3＝(0, 1, 2)，ξ＝(0, 3, 5)是R 3中的向量，σ是R 3的线性变换，并且σ(α1)＝(2, 0, －1), σ(α2)＝(0, 0, 1),σ(α3)＝(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵； (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标； (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标. 解:令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T . 又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-=321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2，x 2＋x 3，x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变？(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , －a , 0)| a ∈R }.解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，证明下列条件等价: (1) σ (V )＝V ； (2) ker σ＝{0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋2x 2－x 3, x 2＋x 3, x 1＋x 2－2x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个不变子空间，证明，W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证. 23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换，{α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn }是V 的基. 证明，如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基，那么{σ (αr ＋1),…,σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr ＋1)+ l r +2σ (αr ＋2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr ＋1+…+ l n αn )=0, l r +1αr ＋1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr ＋1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr ＋1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr ＋1),…, σ (αn )).从而结论成立.24. 对任意α∈R 4，令σ (α)＝A α，其中A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ，τ 是向量空间V 的线性变换，且σ＋τ＝ι，στ＝τσ＝θ. 这里ι是V 的恒等变换，θ 是V 的零变换. 证明:(1) V ＝σ(V )⊕τ (V )； (2) σ(V )＝Ker τ.证明: (1) ∀ξ∈ V, ξ=ι (ξ)=(σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V ＝σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ＋τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中，定义线性变换τ为：对任意f (x )∈F n [x ]，τ(f (x )) ＝x f '(x )－f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数. (1)求Ker τ及Im τ；(2)证明,V ＝Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f'(x )－f (x ) = 0其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2+ … + (n a n -a n )x n= 0 有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020na a a, 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ).(2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121101365 求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换，证明 (1) σ的本征值一定不为0； (2) 如果λ是σ 的本征值，那么λ1是σ－1的本征值.证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立.补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2⊆ Ker σ3⊆…(2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n., σ n(ξ)=0, σ (σ n(ξ))=0 即σn +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σn +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σn +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n.2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明，存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )＝0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2n线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=nn Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=nn xk ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ－1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2＝σ. 证明: (1) Ker σ ＝{ξ－σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V ＝Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ＝τσ.[提示：证(3)的必要性，利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2＝ι. 证明, V ＝W 1⊕W 2, 这里W 1＝{ξ∈V |σ(ξ)＝ξ}，W 2＝{η∈V |σ(η)＝－η}.[提示：∀α∈V ，α＝21(α＋σ(α))＋21(α－σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V ＝W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ＝τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说，V λ＝{ξ∈V |σ(ξ)＝λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示：证(2)时，考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ＝{ξ∈R n |ξ T A ξ＝0}是R n 的n －r 维子空间.[提示：利用习题三第33题的结论，可得W 是齐次线性方程组BX ＝0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ，τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2＝σ,τ2＝τ. 证明，(1) Im σ＝Im τ 当且仅当 στ＝τ, τσ＝σ； (2) Ker σ＝Ker τ 当且仅当 στ＝σ, τσ＝τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. （2）必要性:设Ker σ＝Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。
复变函数习题解答(第7章)
p317第七章习题(一) [ 2, 5, 6, 9, 15, 17, 19 ]2. 利用保域定理证明：若函数f(z)在区域D内解析，(1) 若| f(z) |在D内为常数，则f(z)在D内为常数；(2) 若Re( f(z))或Im( f(z))在D内为常数，则f(z)在D内为常数．【解】由保域定理，假若f(z)在区域D内不恒为常数，则f(D)是区域．(1) 若| f(z) |在D内为常数，则存在r ≥ 0，使得f(D) ⊆C r= { z∈ | | z | = r }．但int(C r) = ∅，故int( f(D)) = ∅，因此f(D)不是开集，因此不是区域，矛盾．(2) 若Re( f(z))在D内为常数，则存在a∈ ，使得f(D) ⊆L a= { z∈ | Re(z) = a }．但int(L a) = ∅，故int( f(D)) = ∅，因此f(D)不是开集，因此不是区域，矛盾．同理，若Im( f(z))在D内为常数，f(D)也不是区域，矛盾．故不论如何，f(z)在区域D内必恒为常数．[保区域性定理：设f(z)在区域D内解析且不恒为常数，则f(D)是区域．]5. z平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数w = 1/z将此三个圆周所围成的区域变成w平面上的什么区域？【解】设圆周A, B外切于原点，圆周C分别外切圆周A, B于z1, z2．由分式线性映射的保圆性，以及f(0) = ∞，知f(A), f(B)为w平面中的直线．并且因f(A), f(B)在有限z平面内无交点，f(A), f(B)为一对平行直线．因C不过原点，故f(C)为w平面中的圆周；并且，由分式线性映射的保角性，f(C)与f(A), f(B)都相切，切点分别为f(z1), f(z2)．下面的图(用sketchpad和photoshop做出，本质上是尺规作图的结果，累！)，指出圆周A, B, C的象f(A), f(B), f(C)，以及圆周A, B, C所围的区域D的象f(D)．[上面的图，我是把z平面和w平面作为一个平面来画的．因为用的是sketchpad，所以图形应该还是比较精确的．同学们可以思考：f(z) = 1/z将那三个圆所围的那个无界的(但在 ∞中是单连通的)区域变成哪个区域？]6. 如w = (az + b)/(cz + d)将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？【解】首先应满足ad–bc≠ 0，以保证映射不是常值映射．其次，单位圆周上存在点α使得w(α) = ∞，这意味着cα + d = 0，因此| d | = | –cα| = | c | · | α| = | c |．反过来，若ad–bc≠ 0，| d | = | c |，则w = (az + b)/(cz + d)是分式线性映射，具有保圆性．因| –d/c | = 1，故–d/c在单位圆周上，而且w(–d/c) = ∞，故单位圆周在此映射的下的象为直线．9. 求出将圆| z – 4 i | < 2变成半平面v > u的共形映射，使得圆心变到– 4，而圆周上的点2 i变到w = 0．【解】注意到4 i和∞关于圆周| z – 4 i | = 2对称，– 4和– 4 i关于直线v = u对称；因此若分式线性映射f(z)满足f(4 i) = – 4，f(∞) = – 4 i，则f(z)将圆周| z – 4 i | = 2变成直线v = u．根据题目要求，又应有f(2 i) = 0；故可用分式线性映射的保角比性来确定共形映射w = f(z)．(w- (– 4))/(w- 0) : (– 4 i- (– 4))/(– 4 i- 0) = (z- 4 i)/(z- 2 i) : (∞- 4 i)/(∞- 2 i)；即(w- (– 4))/(w- 0) : (1 –i)/(–i) = (z- 4 i)/(z- 2 i)；所以，w = – 4i ( z– 2i)/(z- (4i + 2))．[或者，直接设f(z) = (– 4i) (z– 2i)/(z–d)，将f(4 i) = – 4代入，则– 4 = (– 4i) (4 i– 2i)/(4 i–d)，即d = 4 i +2．所以w = – 4i ( z– 2i)/(z- (4i + 2))．] 15. 求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z = 1, -1, 0分别变成w = -1, 1, ∞．【解】因f1(z) = - (z + 1)/(z- 1)把正向实轴变成正向实轴，上半平面映成上半平面，且f1(- 1) = 0，f1(0) = 1，f1(1) = ∞，故f1将实轴上的区间(0, 1)变成正实轴．由保角性，f1将上半单位圆周变成正虚轴．所以，f1将上半单位圆共形地变成第一象限．而f2(z) = z2将第一象限共形地变成上半平面．所以，f2 ◦f1将上半单位圆共形映射成上半平面，且(f2 ◦f1)(1) = ∞，(f2 ◦f1)(- 1) = 0，(f2 ◦f1)(0) = 1．注意到f1(∞) = - 1，f1(0) = 1，f1(1) = ∞；故(f1 ◦f2 ◦f1)(1) = - 1，(f1 ◦f2 ◦f1)(- 1) = 1，(f1 ◦f2 ◦f1)(0) = ∞．所以，f = f1 ◦f2 ◦f1即满足题目要求．f(z) = (f1 ◦f2 ◦f1)(z) = - ( (f2 ◦f1)(z) + 1)/( (f2 ◦f1)(z) - 1)= - ( ( f1(z)2 + 1)/( ( f1(z)2- 1)= - ( ( (- (z + 1)/(z- 1))2 + 1)/( ((- (z + 1)/(z- 1))2- 1)= - ((z + 1)2 + (z- 1)2)/( (z + 1)2 - (z- 1)2)= - 2(z2 + 1)/(4z) = (- 1/2)(z + 1/z)．17. 将扩充z平面割去1 + i到2 + 2 i的线段后剩下的区域共形映射成上半平面．【解】设割去的线段的端点分别为α, β，先做分式线性映射使得此线段变成一条以0为端点的射线(在 ∞中看成是一条以0, ∞为端点的线段)．例如可取ξ= k (z-α)/(z-β)．下面选取使当的k，使得映射将给定的线段映射成(带端点的)正实轴．为此，我们要求ξ((α + β)/2) > 0．即k (α + β)/2 -α)/(α + β)/2 -β) > 0，因此k < 0．所以，当k < 0时，ξ(z)将给定的区域映射成割去正实轴的复平面(不是扩充的)．因此，w = (k (z-α)/(z-β))1/2即为满足要求的共形映射．19. 将一个从中心起沿正实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割缝上岸的1变成1，割缝上岸的1变成-1，0变成-i．【解】设给定的区域为D．则ξ= z1/2将D共形映射成上半单位圆 +．按第15题的论证，η = (ξ + 1)2/(ξ- 1)2将 +共形映射成上半平面 +．那么，ϕ(z) = (z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2将D共形映射成 +．并且，割缝上岸的1变成∞，割缝上岸的1变成0，0变成1．下面作一个分式线性映射ψ将 +共形映射成单位圆 ，并且使得ψ(∞) = 1，ψ(0) = -1，ψ(1) = -i．为满足ψ(∞) = 1，ψ(0) = -1，只要取ψ(z) = (z-α)/(z + α)；将ψ(1) = -i代入，得-i = (1 -α)/(1 + α)，即α = (1 + i)/(1 -i) = i．故ψ(z) = (z-i)/(z + i)；令f = ψ◦ϕ，则f即为满足要求的共形映射．f(z) = (ϕ(z) -i)/(ϕ(z) + i) = ((z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2-i)/((z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2 + i)= ((z1/2 + 1)2-i(z1/2- 1)2)/((z1/2 + 1)2 + i (z1/2- 1)2)= ((z + 2z1/2 + 1) -i(z - 2z1/2 + 1))/((z + 2z1/2 + 1) + i (z - 2z1/2 + 1))= ((1 -i)(z + 1) + 2(1 + i)z1/2)/((1 + i)(z + 1)+ 2(1 -i) z1/2 )= (-i) · ((z + 1) + 2i z1/2)/( (z + 1)- 2i z1/2 )．[在第17题和第19题中，我们使用了多值函数z1/2而未指明是它的哪个单值解析分支．实际上，我们是遵从了一个一般的约定：倘若未指出具体的分支，则z1/n 表示的是它的主值分支．]1. 至此，只有第六章和第七章的第二组习题尚未做完，同学们不要着急，容我慢慢做之．2. 如果还有题目，是我没有做但是同学们希望我做的，可以发Email给我，写清楚页码和题号，我将尽量满足同学们的要求．如果题目不是来自我们的教材的，一方面要打清楚，另一方面请给出题目来源：若来自书，则指明书名和作者，出版社，版次，年份；若来自互联网，则给出url；若是考研题，则指明学校，年份，最好附整个试题．3. 答疑时间定在考试前一天，上午10点开始．∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞•︒ℵℜ℘∇∏∑⎰⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，★z∈ ∞α1, α2, ...αn lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】z⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。
电路基础 第七章习题解答
u )
0+u V 1510)0(=⨯+
-C u 此时的当开关S打开后，即，在此时刻电容开始放
电相当于电压源，电路图如（c2）所示
=0t
u C
0(
)
100 u
C
-
故可得电容电压的初始值
0(
C
)
u i
u 24.0100)0(=L i V
240100100)⨯==-C u
A
5)0(=+L i )=⨯=-1234
'=l
i sc
(C 这是一个求零状态响应的问题。
当时，电容看做开路，受控电流源的电流为零，亦看做开路，电路如图（a）所示，故有
)
u u i (∞C u 所以初始值
6V
)0(=+C u t>0后的电路如图（b）所示，当
时，电容看做断路
∞→t
C
u (i (u C 电容相当于断路，电感相当于导线。
2i
0(位置打到位置时，)又存在电流源，所以该电路响应为全响应。
先求等效电阻，如图（
u
u
KVL 1
OC 由联立以上两个方程，解得
+11(+
i
C
u
u Ω
u OC
时，电路的冲激响应
V
))e t ε-
)ε。
通信原理 第七章习题解答
第七章习题解7-1 设发送数字信息为011011100010，试分别画出2ASK 、2FSK 、2PSK ，及2DPSK 信号的波形示意图。
0[解] 11011100010 2ASK 数字信息2FSK2PSK2DPSK7-4 假设在某2DPSK 系统中，载波频率为2400Hz ，码元速率为1200B ，已知相对码序列为1100010111；（1）试画出2DPSK 波形；（2）若采用差分相干解调法接收该信号时，试画出解调系统的各点波形； （3）若发送符号“0”和“1”的概率为0.6和0.4，求2DPSK 信号的功率谱。
[解] （1）1 100010111 π ππ0πππ（2）一种实用的差分相干解调器如下示信号1 10100110 1相对码 相 位 a.点波形b.点波形1（0） 011111c.点波形d.点波形e. 采样判决-1 1 -111-1-1-1111 010011100（3）2DPSK 的功率谱密度和2PSK 功率谱密度相同，对BPSK 信号22()(1)[|()||()|]BPSK s c c P f f p p G f f G f f =−++−+ 2221(12)|(0)|[()()]4s c c f p G f f f f δδ−++− 由于经过差分编码后，输出差分编码符号以等概率取“0”和“1”，然后进行2PSK 调制，所以代入f s =1200， f c =2400， p =0.5，sin 1()ss sfT G f f fT ππ=得22()[|()||()|]4sDBPSK c c f P f G f f G f f =++−7-6 采用OOK 方式传送二进制数字信息，已知码元传输速率R b =2×106 bit/s ，接收端输入信号的振幅40a V μ=/W Hz ，信道加性噪声为高斯白噪声，且其单边功率功率谱密度，试求：180610N −=×（1） 非相干接收时系统的误码率； （2） 相干接收时系统的误码率；[解] （1） OOK 信号非相干接收时系统的误码率为/20.5b P e ρ−=，0/av E N ρ=由于2180.50.5/220010/av b E E a T W −==⋅=⋅ Hz 所以0/33.3av E N ρ==/280.5 2.8910b P eρ−−=≈×（2） OOK 信号相干接收时系统的误码率为9410e P Q−=≈⋅7-10 若某2FSK 系统的码元传输速率为2×106 B ，数字信息为“1”时的频率，数字信息为“0”时的频率，输入接收端解调器的信息峰值振幅MHz 101=f .4MHz 102=f 40a V μ=，信道加性噪声为高斯白噪声，且其单边功率谱密度N o =6×10-18 W/Hz ，试求：（1）2FSK 信号第一零点带宽； （2）非相干接收时，系统的误码率； （3）相干接收时，系统的误码率[解] 由于两个信号元 001()cos 2,()cos 2s t a f t s t a f t 1ππ= = 在一个符号时间上近似正交，所以我们可以用正交调频的结果。
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第七章 图 习题解答
7.5 已知以二维数组表示的图的邻接矩阵如下图所示。
试分别画出自顶点1出发进行遍历所得的深度优先生成树和广度优先生成树。
18
562
739
10
4
（2）求得的广度优先生成树为：
3179
10
62
4
8
7.7 请对下面的无向带权图，
（1）写出它的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树； （2）写出它的邻接表，并按克鲁期卡尔算法求其最小生成树。
b
a
c
e
d
f
g
h
4
4
5
5 5
5
5
3
3
6 6
7
9
2
解：（1）图的邻接矩阵为：
按普里姆构造最小生成树的过程如下：
a
c
3
（1）
b a
c
4
3
（2）
b a
c
d
4
5
3
（3）
b a
c
d
h
4
4
5
3
（5）
b a
c
d
g
h
4
4
5
5
3
2 b
（1）
（2）图的邻接表如下：
按克鲁期卡尔算法构造最小生成树的过程如下：
b a
c
d f
g
h
4
4 5 5
3 2
（6） b a
c
e
d
f
g
h
4
4
5
5
3
3
2
（7）
0 1 2
3 4 5 6 7
（2）
b 3
2
b d
3
3
2
（3）
（4）
b
a
c
d h
4
3
3
2
b a
c
e
d
f
g
h
4
4
5
5
3
3
2
（7）
b a
c
e
d
f
g
h
4
4
5
3
3
2
（6）
b
a
c
e
d f
g
h
4
4
3
3
2
（5）。