罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039

【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。

引言

拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。

罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○

1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○

3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。

（1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。

（2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。

下面证明'()0f ξ=。

由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ∆为正或负，恒有()()0f x f x

ξ+∆-ξ≤∆， (,)x a b ξ+∆∈。

当0x ∆>时，

()()0f x f x

ξ+∆-ξ≤∆，有已知条件'()f ξ存在可知，0()()'()lim 0x f x f f x +∆→ξ+∆-ξξ=≤∆；

当0x ∆<时，有0()()'()lim 0x f x f f x +∆→ξ+∆-ξξ=≥∆，于是 0()()'()lim 0x f x f f x

-∆→ξ+∆-ξξ=≥∆。 拉格朗日定理：设函数()f x 满足条件：○

1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得：()()'()f b f a f b a -ξ=-或()()'()()f b f a f b a =+ξ-。 拉格朗日定理的证明：()()()()()()f b f a f x f x f a x a b a

-=----。 有定理假设易知()f x 满足条件：○1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；

○

3()()0f a f b ==,因此，有罗尔定理可知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得： ()()'()'()0f b f a f b a -ϕξ=ξ-=-，即()()'()f b f a f b a

-ξ=-。 对于ξ，由于它介于a 与b 之间，由此可将ξ表示成()a Q b a ξ=+-。

其中(0,1)Q ∈，于是拉格朗日公式也可以改写为：

()()'[()](),(01)F b f a f a Q b a b a Q +++--<<，于是，罗尔定理是拉格朗日定理()()f a f b =时的特殊情况。

拉格朗日定理在不等式中的应用

求证：0x ≠时，1x e x ->。

证明：1. 0x >时，00

1'()(0)x x e e e f x e x e x x ξ->-=ξ-=>=， (0,)x ξ∈存在。

2. 0x <时，01'()(0)x x e e e f x e x ξ->-=ξ-=，(,0)x ξ∈存在，只要证e x x ξ>。 0ξ<，01e x e ξ∴<=，又0x >，0e x e x x ξ∴>>。

结束语

通过对罗尔定理与拉格朗日定理的证明，发现采用的是构造辅助函数的方法，还讲述了罗尔定理即拉格朗日定理在不等式当中的应用。

参考文献

华东师范大学数学系.《数学分析》上册.高等教育出版社，2001

张桥艳.微分中值定理的应用.保山师专学报.2009

张勇.微分中值定理的认识及推广.消费导刊.2009