第六章热传导方程

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热传导方程式

热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

物理动机一维热方程图解(观看动画版)热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程式表达：其中：u=u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x, y,z) 的函数。

/是空间中一点的温度对时间的变化率。

uxx, uy y与uzz温度对三个空间座标轴的二次导数。

k决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅立叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。

如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。

一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。

因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck 过程。

热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。

扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

[编辑本段]以傅立叶级数解热方程在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。

以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。

热传导方程

热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。

它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。

热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。

热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。

热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。

热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。

定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。

常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。

•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。

常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。

热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。

因此，需要借助数值计算方法来求解。

常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。

在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。

热传导方程

热方程1．1简介我们今天要讨论的基本问题的解决方案涉及部分差速器壳体等式中,这类问题在各个领域出现的科学和工程。

一个偏微分方程（PDE ）是一个数学方程含有偏导数，例如30u u t x∂∂+=∂∂ （1.1.1）我们可以开始我们的研究，通过确定哪些函数(,)u x t 满足（1.1.1）。

但是，我们更愿意通过调查物理问题开始。

我们这样做原因有两个。

第一，我们的数学技术可能会对你很实用当它变得清晰，这些方法分析物理问题；第二，我们实际上会发现物理的考虑对我们的数学发展有很大的激励。

许多不同的学科领域工程和物理科学以偏微分方程的研究为主。

没有列表可能是可以全部包含在内的。

然而，以下的例子给你的感觉是不同类型领域都高度依赖偏微分方程研究：声学，空气动力学，弹性力学，电动力学，流体动力学，地球物理学 (地震波传播），换热设备，气象学，海洋学，光学，石油工程，等离子体物理（离子液体和气体），量子力学。

我们将会按照一定的应用数学哲学分析的一个问题将会有三个阶段:1. 构想规划2. 解决方案3. 详细解释我们首先拟定描述的传球热能的热流量方程。

热能是由分子物质搅拌引起的。

热能移动的顺序发生的两个基本流程：传导和对流。

在其中的一个分子的振动动能被转移到最相邻分子传导结果。

因此，热能被传导即使分子本身并不移动自己的位置。

此外，如果一个振动的分子从一个区域移动到另一个，伴随着热能。

这种类型的热能运动被称为对流。

以相对简单的问题开始我们的研究，我们学习热流仅仅是因为热能的传导比对流更为重要。

因此，我们会觉得热流量主要是在固体的情况下。

虽然热传递在流体(液体和气体)也主要是通过传导如果流体速度足够小。

1.2 在一维棒中的热传导的取得1、热能量密度我们首先考虑杆变截面积A 在x 方向（从0x =，则 x L =) 如图中所示。

1.2.1我们临时地以相当数量热能每个单位体积作为一未知变量，并且称它热能密度：(,)e x t ≡热能量密度。

热传导方程

热传导方程热传导方程：恒温下，物体各部分之间的传热量与传热面积成正比，这一规律称为热传导定律。

通过查表得知，温度为45摄氏度时，传热系数为0.038，即0.038KJ/m2。

1。

恒温，可求各处温度2。

标准大气压下，可以忽略体积功3。

利用表面传热系数4。

在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 5。

画出热传导图： 1-2。

4。

45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。

利用物理关系求传热速率： 0.038kJ/m2*s=12.2kJ/（ m2。

s*s） =16.4KJ/s1。

查热传导方程2。

三次的不同结果都是温度，说明所得数据有误差，故采用插值法，用x表示x分之一，代入上式，解出p= 0.0383。

绘制热传导方程图4。

求各个点的传热速率（ p。

m。

） 5。

根据平均值求传热速率（ 4。

15KJ/s*s= 2。

28KJ/s*s=1。

6。

45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。

利用物理关系求传热速率： 0。

15KJ/m2*s=4。

33KJ/s*s= 1。

4。

当然也可求每个点的温度6。

实际上任何一个热力学系统，除了整个系统处于热平衡外，总还存在着各种各样的内能变化和相变。

内能是能量转化和守恒的量度。

对于一个孤立系统，由于能量在各处是不相互作用的，而且系统和环境都是绝热的，因此系统的内能只取决于系统本身的性质。

温度对内能有着直接的影响。

从能量观点看来，温度是物体分子热运动平均动能的标志。

在绝热条件下，热运动总是从高温区向低温区单方向地进行。

而分子热运动的平均动能是温度的量度，温度越高，分子平均动能就越大，分子平均动能越大，反应速度也就越快。

4。

利用表面传热系数5。

在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 6。

画出热传导图： 1-2。

4。

45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。

利用物理关系求传热速率： 0。

15KJ/m2*s=3。

数学物理方法第06章习题

第六章习题答案6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。

（1）0=+''X X λ ()00=X ()0='l X（2）0=+''X X λ ()00='X ()0='l X （3）0=+''X X λ ()00='X ()0=l X （4）0=+''X X λ()0=a X()0=b X解：（1）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00==b X 和()0=='a l X 得到()0=x X ，不符合，所以0≠λ0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()00==a X ，()()2224120sin ln l b l X nπλλ+=⇒==',2,1,0=n所以：()()21sin 2n n X x x lπ+=,2,1,0=n（2）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0=='a l X ，所以()b x X =存在。

0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，() ,2,10sin 222==⇒=-='n ln l a l X n πλλλ综合：本征值：222ln n πλ=,2,1,0=n本征函数：()x ln x X n πcos = ,2,1,0=n（3）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0==b l X ，()0=x X 不符合。

0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，()() ,2,1,04120cos 222=+=⇒==n ln l a l X nπλλ本征函数：()()21cos 2n n X x x lπ+= ,2,1,0=n（4）0=λ时，()d cx x X +=，代入边界条件得 ()0=+=d ca a X 和()0=+=d cb l X ，得到b a =，故0≠λ。

数学物理方法-热传导方程

E u 代入方程式（*）中，即得静电势满足的方程
由 u i u j u k u 和 a ax ay az
x y z
x y z
可得： 2u /
它称为泊松方程，是非齐次的。
对于不存在电荷的区域， 0 ，静电势满足方程 2u 0 此方程称为拉普拉斯方程。是齐次的。
2. 稳定温度场
，称为齐次边界条件，否则称
5.自然边界条件和周期边界条件自然边界条件：只要求边界上保持有限值 u 有限值
周期边界条件：如圆柱系统。取柱坐标 (,, z)
对坐标而言，相差2 的整数倍，仍表示同一点。由
于要求解有唯一性，自然要满足：
u(,0, z) u(, 2 , z) 对坐标而言，这就是一种周期边界条件。
3. 稳定分布问题
对于稳定分布的问题，例如稳定温度场，静电场等，不随时间而变化，因此不需要给出初始条件。
如静电场方程 3u /
4. 有源问题
在周期性外源引起的传导和周期性外力作用下的振动问题中，经过很多周期后，初始条件引起的自由传导或自由振动可以认为已经消失。这时的传导或振动可以认为完全是由周期性外源或外力引起的。处理这类问题时，完全可以忽略初始条件的影响，将其当作无初始条件问题。
Kux |xL H (u |xL )
令 h K / H，上式化为： (u hux ) |xL
第三类边界条件（混合边界条件）又称为Robin条件。
4.齐次边界条件
上面三类边界条件，可用统一的线性关系式表示：
u n
u
f (,t)
如果 f (,t) 0，则：为非齐次边界条件。
u n
u
0
§1.3 定解问题的提法
推导了三种不同类型偏微分方程

第六章热量传热微分方程.docx

第六章热量传热微分方程一、单相对流传热的一般数学模型对流传热是一种与流体运动及流体内部导热规律均有关的一种传热现象。

所以，对此过程的描述，需要同时采用描述流体流动和传热两方面的基本方程，即传热微分方程、导热微分方程、运动微分方程、连续性方程以及相应的单值条件。

下面分别介绍。

1.传热微分方程当流体流过固体壁面时，总存在一层很薄的流体粘附在表面上，这层流体总是处于静止状态(u=0),则热量只能依靠导热在该表而层传递。

因此，在此流体层任一微元面积dA的传热量dq,可以根据付立叶定律计算：d q = -lrf— dA—— (1)和So紧结固体壁面处(11=0)的流体层屮温度梯度,kf——流体的导热系数。

另外，根据对流传热基木方程，壁面与流体之间的传热量dg乂可写为:dq = h[t s -t f^dA = hAtdA (2)式中：M = t s-t f——固体壁面与流体间的温差。

h——对流传热系数。

由⑴,(2)两式相等得：(3)h亠並丽n=0此式即为传热微分方程。

欲求出对流传热膜系数h,则应先得出在该流体中的温度分布。

其温度分布可由导热微分方程描述。

2.导热微分方程：流体内导热微分方程在前面已有推导，在无内热源时为:上式常称为能量方程。

对于稳态的温度场，里=0。

oO因此式包括有未知量代，仏，冬，因此，欲求解上式，必须知道流体内的速度分布，这就需求解流体的运动微分方程。

3•运动微分方程：粘性流体的运动微分方程，即是奈斯方程:上述三个方程中有4个未知量：u x ,u y ,u :及P,所以述应引入一个方程，才能求解。

该方程就是连续性方程。

4.连续性方程：一般流体的连续性方程在前而已经导出，即:讪 | °（刊J |。

（刊J | 讥以J 二°— （6）dxdydz对于不可压缩性流体lp =常数），稳态流动（叟=0 ）时，有:30通过对上述四种方程求解，便可得出对流传热系数h 的一般解。

再加上单值条件，便可求得具体问题的解。

热传导方程的解析解及应用

热传导方程的解析解及应用热传导方程是描述物体内部热量传递的一种数学模型。

它在工程、物理学和数学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍热传导方程的解析解以及其在实际问题中的应用。

首先，我们来看一下热传导方程的基本形式。

热传导方程可以用偏微分方程的形式表示：∂u/∂t = α∇²u其中，u是温度的分布函数，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。

这个方程描述了温度随时间和空间的变化规律。

要解决这个方程，我们需要找到u 关于t和空间坐标的解析解。

解析解是指能够用已知的数学函数表达出来的解。

对于热传导方程，有一些特殊的边界条件和初始条件，可以得到一些已知的解析解。

例如，对于一个无限长的棒状物体，两端保持恒定的温度，我们可以得到如下的解析解：u(x, t) = T1 + (T2 - T1)erf(x/2√(αt))其中，x是空间坐标，T1和T2分别是两端的温度，erf是误差函数。

这个解析解表达了棒状物体内部温度随时间和空间的变化规律。

除了解析解，我们还可以使用数值方法来求解热传导方程。

数值方法通过将空间和时间离散化，将偏微分方程转化为代数方程组的形式，然后利用计算机进行求解。

数值方法的优势在于可以处理较为复杂的边界条件和几何形状。

然而，数值方法的精度和计算效率通常不如解析解。

热传导方程的解析解在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在工程中，我们可以利用解析解来分析材料的热传导性能。

通过解析解，我们可以计算出材料内部温度的分布，进而评估材料的热稳定性和热传导性能。

这对于设计高效的散热系统和防止热损伤非常重要。

此外，热传导方程的解析解还可以应用于热传感器的设计和优化。

热传感器是一种用于测量温度变化的装置，常见的应用包括温度计和红外线热像仪。

通过解析解，我们可以计算出热传感器的响应时间、灵敏度和测量精度，从而指导热传感器的设计和制造。

总之，热传导方程的解析解及其应用是一个重要的研究领域。

解析解可以提供物理过程的详细信息，对于理解和优化热传导问题具有重要意义。

热传导方程[整理版]

前言本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。

一、概念与常量1、温度场：指某一时刻τ下，物体内各点的温度分布状态。

在直角坐标系中：t=f(x,y,z,τ)；在柱坐标系中：t=f(r,θ,z,τ)；在球坐标系中：t=f(r,θ,∅,τ)。

补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。

2、等温面与等温线：三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面；一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。

3、温度梯度：在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。

称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。

用grad t表示。

定义为：grad t=∂t∂nn补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。

对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。

在直角坐标系中：grad t=∂t∂xi+∂t∂yj+∂t∂zk3、导热系数定义式：λ=q-grad t单位W/(m⋅K)导热系数在数值上等于单位温度降度(即1K/m)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。

导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。

补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。

二、热量传递的三种基本方式热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射三、导热微分方程式（统一形式：ρc∂t∂τ=λ∇2t+q）直角坐标系：ρc∂t∂τ=∂∂x(λ∂t∂x)+∂∂y(λ∂t∂y)+∂∂z(λ∂t∂z)+q圆柱坐标系：ρc∂t∂τ=1r∂∂r(λr∂t∂r)+1r2∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+∂∂z(λ∂t∂z)+q球坐标系：ρc∂t∂τ=1r2∂∂r(λr2∂t∂r)+1r2sinθ∂∂θ(λsinθ∂t∂θ)+1r2sin2θ∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+ q其中，称α=λρc为热扩散系数，单位m2/s，ρ为物质密度，c为物体比热容，λ为物体导热系数，q为热源的发热率密度，h为物体与外界的对流交换系数。

第六章热传导方程

2. 差分解 uin 1 uin / t a 2 uin1 - 2uin uin1 / x 2 n 1 n 1 u u 0; 0 I 0 ui x L / 2 1 / 2;
%ex5021; (p142) % 一维有限长细杆热传导的差分解； clear; N=100; II=50; a=10; L=10; dx=L/II; dt=1*10^-4; C=a^2*dt/dx^2; x=dx*(0:II); T=dt*(0:N); I=2:II; u=zeros(N+1,II+1); u(1,:)=abs(x-L/2)<1/2; %初始温度 figure(1); h=plot(x,u(1,:),'linewidth',5);set(h,'erasemode','xor'); for n=1:N; u(n+1,1)=0; u(n+1,II+1)=0; u(n+1,I)=u(n,I)+C*(u(n,I+1)-2*u(n,I)+u(n,I-1)); set(h,'ydata',u(n+1,:));drawnow; pause(0.001); end; figure(2); mesh(x,T(1:5:N+1)',u(1:5:N+1,:));
%ex504; (p145) % 非奇次方程的输运问题的差分解； clear; N=500; K=100; L=1; a2=50; b=5; dx=L/K; dt=10^-6; C=a2*dt/dx^2; B=b*dt/dx/2; x=dx*(0:K); T=dt*(0:N); J=2:K; u=zeros(N+1,K+1); u(1,:)=(x-1/2).^2; %初始温度 figure(1); =plot(x,u(1,:),'linewidth',5);set(h,'erasemode','xor'); for n=1:N; u(n, 1)=0; u(n,K+1)=0; %边界条件 u(n+1,J)=u(n,J) +C*(u(n,J+1)+u(n,J-1)- 2*u(n,J))… -B*(u(n,J+1)-u(n,J-1)); set(h,'ydata',u(n+1,:)); drawnow; pause(0.01); end; figure(1); mesh(x,T(1:10:N+1)',u(1:10:N+1,:)); figure(2); subplot(2,1,1); plot(x,u(1,:)'); title('初始分布(t=0)'); subplot(2,1,2); plot(x,u(N+1,:)');title('末分布');

热传导方程和定解条件

u u k dSdt h(u u1 )dSdt , k hu hu1. n n u h ( u ) |S f 3 ( x, y, z , t ), , n k
其中 f3 ( x, y, z, t ) 是定义在 ( x, y, z ) S , t 0 上的已知函数.
2 1
u [ k dS]dt n

t2 t1
t2
t1
u u u { [ ( k ) ( k ) ( k )]dv}dt x x y y z z
6
u ( c dv)dt t
移项即得

t2
t1
u u u u { [c ( k ) (k ) ( k )]dv}dt 0. t x x y y z z
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu ci f i x xy x x y i 1
特别地,当方程(1)中的自由项 fi 0 时,则得相应的齐次方程为 2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0. (3) x xy x x y 若 ui (i 1,2,) 是方程(3)的解,则级数(2)也是方程 (3)的解.
u
对曲面的外法向导数.
u u u u cos cos cos . n x y z
3
流入的热量使区域内部的温度发生变化, 在时间间隔 (t1 , t2 ) 中物理温度从 u( x, y, z, t1 ) 变化到 u( x, y, z, t2 ) 所需要的热量为
2 u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2 ). t x y z
齐次热传导方程

热传导方程(扩散方程)ppt课件

边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g ( x ,y ,z , t ) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 . 8 )
特别地：g(x,y,z,t)0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件（ Neumann 边界条件）
注：
u k n g ( x ,y ,z ,t) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 .9 )
热传导从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定律或牛
d Q k 1 (u u 1 )d S d t, ( 1 .1 1 )
顿定律其中比例常数 k 1 0 称为热交换系数
流过物体表面的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u kndSdtk1(uu1)dSdt,
0xl, t0, 0xl,t0,
uo,t1(t), uxl,thul,t2(t), t0, h0.
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
u ta 2(u x xu yyu zz)f(x ,y,z,t), (x ,y,z,t) , t0 ,
u (x ,y,z,t)|t 0(x ,y,z), (x ,y,z,t) , u |(x,y,z) g (x ,y,z,t), t0 .
(uu) f(x, y,z,t)
n
(x, y,z),t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
例设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。
解：
2u t2
a2
2u x2
0 x l,
t 0;
0
ux0uxl0;

热传导三种方式公式

热传导三种方式公式热传导是指物体内部或不同物体之间因温度差异而产生热量传递的现象。

热传导过程可以通过三种方式进行：热对流、热辐射和热传导。

本文将分别介绍三种热传导方式及其公式。

1.热对流热对流是指流体（气体或液体）在物体表面或内部通过对流方式进行热传递。

在流体中，热量传递是通过流体分子间的碰撞实现的。

热对流的公式如下所示：Q=hAΔT其中，Q为热量，h为热传递系数，A为传热面积，ΔT为温度差异。

热传递系数h是由流体的性质、流速、传热面积等因素决定的，通过实验得到的。

例如，一个半径为10cm的球体，其表面与气体接触，气体温度为30℃，球体内部温度为100℃，求其表面每秒钟传递多少热量？解：首先计算出表面积，A=4πr²=4π某10²=1256.64cm²。

然后选择恰当的热传递系数，假设为h=10W/(m²·K)，将其转换为cm单位，得h=0.1W/(cm²·K)。

最后代入公式得到：Q=hAΔT=0.1某1256.64某(100-30)=940.98W。

2.热辐射热辐射是指物体通过辐射方式进行热传递，而不需要介质来传递热量。

所有物体都可以辐射热量，其公式如下所示：Q=σεA(T₁⁴-T₂⁴)其中，Q为热量，σ为斯特腾-玻尔兹曼常数，ε为辐射率，A为表面积，T₁和T₂分别为两侧物体的绝对温度。

斯特腾-玻尔兹曼常数σ是一个物理常数，其数值为5.67某10⁻⁸W/(m²·K⁴)，可以通过实验测定得到物体的辐射率ε。

例如，一个黑色矩形板，长50cm、宽30cm、温度为100℃，悬空悬浮在25℃的房间内，求每秒钟它向房间内传递多少热量？解：首先计算出表面积，A=2(50某30+30某100+50某100)cm²=27,000cm²。

然后计算出物体的辐射率，或参考已知黑色物体的典型值，假设为ε=1、最后代入公式得到：Q=σεA(T₁⁴-T₂⁴)=5.67某10⁻⁸某1某27,000某(373⁴-298⁴)=648.43W。

热传导方程(扩散方程)

气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定律或牛
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
顿定律其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
ut
a2 (uxx
uyy
uzz )
f (x, y, z, t),
(x, y, z,t) ,
u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z), ( x, y, z, t) ,
u |(x, y,z) g( x, y, z, t), t 0.
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件（ Neumann 边界条件）
注：
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。
u 表示 u 沿边界上的单位外法线方向 n 的方向导数
程：
u t
a2
2u x2
.
(1.12)
而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：
u t
a
2
(
2u x 2
2u y2 ).
(1.13)
3 拉普拉斯方程
当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、
扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物
理量不随u 时间变化而变化，因此
u. 0
t
如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到

热传导方程--抛物型偏微分方程和基本知识

1. 热传导的基本概念1.1温度场一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导，即产生热流。

因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。

温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。

因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。

〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳态的导热状态。

若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。

若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为一维稳态温度场。

1.2 等温面在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。

因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。

1.3 温度梯度从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。

温度随距离的变化程度沿法向最大。

温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。

〖说明〗温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。

稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅立叶定律物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。

傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。

定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表面的面积，m2λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度“－”表示热流方向与温度梯度方向相反3. 导热系数将傅立叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。

热传导方程解析

热传导方程解析热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一种数学模型。

通过解析热传导方程，我们可以推导出物体内部温度的解析表达式，从而更好地了解物体的温度变化规律。

1. 热传导方程的基本形式热传导方程是描述热量在物体内部传递的偏微分方程，其基本形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，T表示温度，t表示时间，α表示热扩散系数，∇²表示拉普拉斯算子。

2. 边界条件的设定为了解析热传导方程，我们需要设置合适的边界条件。

常见的边界条件有固定温度边界条件和热通量边界条件。

根据具体情况，选择合适的边界条件，并将其应用到热传导方程中。

3. 一维热传导方程解析解对于一维情况下的热传导方程，可以通过分离变量法得到解析解。

假设温度分布函数为T(x, t) = X(x)⋅T(t)，将其代入热传导方程中，得到两个偏微分方程：∂X/∂t = -λX∂T/∂t = -αλ²T其中，λ为分离变量常数。

通过求解上述方程，可以得到温度分布函数的解析表达式：T(x, t) = Σ[Aₙ⋅exp(-αλₙ²t)sin(λₙx) + Bₙ⋅exp(-αλₙ²t)cos(λₙx)]其中，Aₙ和Bₙ为待定系数，λₙ为特征根，由边界条件决定。

4. 二维和三维热传导方程解析解对于二维和三维情况下的热传导方程，求解解析解变得更加复杂。

一种常见的方法是利用分离变量法，并将问题转化为一维问题的求解。

具体做法是将多维问题的解表示为一维问题解的乘积形式，并将其代入热传导方程中，再求解得到分离变量常数。

通过求解得到的特征根，进一步计算出温度分布函数的解析表达式。

5. 数值方法与解析解的对比在实际问题中，往往难以找到热传导方程的解析解。

因此，常常使用数值方法来求解近似解。

常见的数值方法有有限差分法、有限元法等。

与解析解相比，数值方法通常更加灵活方便，但精度可能会有所损失。

因此，在实际问题中，根据需要选择合适的方法进行求解。

传导传热

1 m
2 1
2
• 当r2/r1>2时，rm应采用对数平均数。应采用对数平均数。时
r −r r = r ln r
m 2 1
• Ｂ、通过多层圆筒壁的导热
Φ=
δ
t −t
1 1
2
=
1m
1
λ ⋅A
1
δ
4
t −t
2 2
3
=
2m
2
λ ⋅A
4
δ
t −t
3 3
4
3
λ ⋅A
3m
t −t = r −r r −r r −r + + λ ⋅A λ ⋅A λ ⋅A
• Φ：导热速率，单位：W。即导热速率，单位：。 Φ = dQ dτ • λ：导热系数。单位：W·m-1·K-1 导热系数。单位： m
dt Φ = −λ ⋅ A⋅ dδ
导热系数
• 是物质的物理性质之一是表征物是物质的物理性质之一，是表征物质导热能力大小的一个物理量。质导热能力大小的一个物理量。 • 1、固体、 • 对于金属材料，导热系数所温度的对于金属材料，升高而降低。升高而降低。 • 对于非金属材料，导热系数随温度对于非金属材料，的升高而升高。的升高而升高。
§2 传导传热
• 一、热传导基本方程热传导基本方程 • 1、温度场和等温面、 • 2、温度梯度、 • 3、傅立叶定律、 • 二、导热系数λ 导热系数λ • 三、传导传热的计算
3、傅立叶定律、
• 对于一维空间的稳态传导传热，传热对于一维空间的稳态传导传热，速率与温度梯度及垂直于热流方向的表面积成正比。表面积成正比。即：
• 3、圆筒壁：、圆筒壁：

热传导方程

热传导方程
考察空间某介质D的热传导问题。

以函数u(t，xyz)表示介质D在位置(工yz)及时刻t的温度。

在其中：u=u(t,x,y,z)表温度，它是时间转变t与空间变化（x，y，z）的函数；k是热扩散指数率，管理决策于原料的热传导率，密度与比热。

倘若充分考虑的化学物质并非所有空间，则为了更好地得到方程式的唯一解，尽量选中u的状态变量。

倘若化学物质是所有空间。

热方程式控制传热及其它对外开放扩散整个过程，例如颗粒物对外开放扩散或神经元的姿势电位差。

热方程式还能够作为一些金融行业情况的实体模型，例如布莱克-斯科尔斯实体模型与Ornstein-Uhlenbeck整个过程。

热方程式及其离散系统的推广营销方式也被应用于影像分析。

物理中的薛定谔方程式虽然有相仿热方程式的数学教学式（但时间基本参数为纯虚数），本质却并并不是对外开放扩散难点，解的判定个人行为也完全不一样。