(新)高中数学柯西不等式与排序不等式

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人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件

补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析：设A
C b12
a12
b22
a
2 2

bn2，an2则，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a, b, c, d都是实数, 则当且仅当ad bc时, 等号成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd

排序不等式与柯西不等式

2
n维形式:
推论:
(a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 anbn )
2
(a1 a2 an )(b1 b2 b3 ) ( a1b1 a2b2 anbn )
2
an a1 a2 当且仅当时等号成立 b1 b2 bn
排序不等式:
设a1≤a2≤a3≤…≤an, b1≤b2≤b3≤…≤bn
c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列,那么 a1bn+a2bn-2+…+anb1 (反序和) ≤a1c1+a2c2+…+ancn (乱序和) ≤a1b1+a2b2+…+anbn (顺序和)
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时, 数y 2 1 x 2 x 1的最大值为___ 3 .
25 1 2 1 2 4.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ 2 a b
柯西不等式的应用: (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2
2
6 3 1.函数y=5 x 1 10 2x 的最大值是___.
9 1 1 2.若a,b>0,则 (a )( 2b ) 的最小值是__. 2 b 2a
3.若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b, 其中a,b为常数,且a≠b,则mx+ny的最大值是_____. ab 4.若a2+b2=1,则 acos bsin的最大值是_____, -1 1 最小值是_____.

3.1 柯西不等式与排序不等式

3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量α，β ，根据向量数量积的定义，我们有：|||cos |||||||||βαθβαβα⋅=⋅⋅≥⋅.即有： ||||||βαβα⋅≥⋅,等号当且仅当βα ,同向或反向时成立（βα,共线时成立）.因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设βα,为平面上的两个向量，则：||||||βαβα ⋅≥⋅，等号当且仅当βα,共线时成立.2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式）设有向量),(b a =α ，),(d c =β ，将坐标代入：||||||βαβα⋅≥⋅，即有：||2222bd ac dc b a +≥+⋅+.即有：22222)()()(bd ac d c b a +≥++. 等号当且仅当（βα,共线时）db c a =时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式）定理2. 设d c b a ,,,均为实数，则: 22222)()()(bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当时dbc a =成立.如果向量),,(111c b a =α，),,(222c b a =β，代入：||||||βαβα⋅≥⋅，即有：||212121222222212121c c b b a a c b a c b a ++≥++⋅++.即有：2222222)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++.等号当且仅当（βα,共线时）212121c cb b a a ==时成立.因此，我们又有下面的定理：（三维柯西不等式）定理3. 设222111,,,,,c b a c b a 均为实数，则：2212121222222212121)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++ 等号当且仅当212121c cb b a a ==时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。

17柯西不等式与排序不等式

柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ==，则有cos αβαβθ⋅=⋅ αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为222ac bd a b c +≤+⋅+ 当且仅当,αβ共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立. 推论1ac bd≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ）定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x yx y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n ==或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==时，等号成立.简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤ 即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n ==的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式2221212n na a a a a a n ++++++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >=则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ 变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++ 上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利. （四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则 121111221122n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++，当且仅当123n a a a a ====或123n b b b b ====时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++（1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++（2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】（一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 2.已知12,,,n x x x R +∈，且121n x x x +++=，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ，求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n nn nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)kk k k kk k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++222222121121111k kx x xx x x-=-++++++++对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证 4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,n b b b b n ≥≥≥≥，又因为222111123n>>>>，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++（乱序）32122223n b b b b n ≥++++（倒序）111123n≥++++原命题成立，此题即为课后练习题 5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。

2025版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3

一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.aa≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4, ∴a2+b2≥2.故选C.2已知4a +9a=2,a,a>0,则a+a的最小值是()A.252B.254C.52D.54a+9a=2,得x+y=[(√a)2+(√a)2][(√a)2+(√a)2]2≥12(√a·√a+√a·√a)2=12(2+3)2=252,当且仅当√a√a=√a·√a即x=5,y=152时,等号成立.3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625x2+3y2=[(√2a)2+(√3a)2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6a+√6a)2=65(a+a)2=65,当且仅当2x=3y,即x=35,a=25时,等号成立.4函数y=2√2-a+√2a-3的最大值是()A.3B.32C.√3D.42=(2×√2-a+√2×√a-32) 2≤[22+(√2)2][(√2-a)2+(√a-32) 2 ]=6×12=3,当且仅当2√a-32=√2·√2-a,即x=53时,等号成立.故y的最大值为√3.5已知x>0,y>0,且xy=1,则(1+1a )(1+1a)的最小值为()A.4B.2C.1D.141+1a )(1+1a)=[12+(1√a)2][12+(1√a)2]≥(1×1+√a√a )2=(1√aa)2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.6设x,y∈R+,则(x+y)·(3a +2a)的最小值是.+2√67已知a,b∈R+,且a+b=1,则12a +1a的最小值是.a,b∈R+,且a+b=1,所以12a +1a=(12a+1a)(a+a),由柯西不等式得(12a+1a)(a+a)≥(√12a ·√a+√1a·√a)2=(√22+1)2=32+√2,当且仅当a2a=aa,a+a=1时,等号成立,此时a=√2−1,a=2−√2.√28函数y=3sin x+2√2(1+cos2a)的最大值是.3sin x+2√2(1+cos2a )=3sin x+4√cos 2a ≤√(32+42)(sin 2a +cos 2a )=5, 当且仅当3|cos x|=4sin x 时,等号成立.9已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=1,求证:|ax+by|≤1.,得|ax+by|≤√a 2+a 2·√a 2+a 2=1,当且仅当ay=bx 时,等号成立.10已知a>b>c ,求证:1a -a +1a -a ≥4a -a .(a-c )(1a -a+1a -a)≥4.又a-c=(a-b )+(b-c ),利用柯西不等式证明即可.a-c )(1a -a +1a -a )=[(a-b )+(b-c )](1a -a +1a -a )=[(√a -a )2+(√a -a )2][(√1a -a )2+(√1a -a )2]≥(√a -a √1a -a+√a -a √1a -a)2=4,当且仅当√a -a ·√1a -a =√a -a ·√1a -a , 即a-b=b-c 时,等号成立.故原不等式成立.实力提升1已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A .√2B .2C .√3D .3x+y =√2×√2a +1×a≤√(√2)2+12×√(√2a )2+a 2=√3×√2a 2+a 2=√3, 当且仅当√2a =√2a ,即x=y =√33时,等号成立. 故2x+y 的最大值是√3.2若x 2+y 2=8,则2x+y 的最大值为( )A.8B.4C.2√10D.5(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=2√10.3若a+b=1,则(a+1a )2+(a+1a)2的最小值为()A.1B.2C.252D.72a+1a )2+(a+1a)2=a2+2+1a2+a2+2+1a2.∵a+b=1,∴a2+b2=12(a2+a2)·(1+1)≥12(a+a)2=12.又1a2+1a2≥2aa≥8(a+a)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时,等号成立,∴(a+1a)2+(a+1a )2≥12+2+2+8=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.4已知正数a,b满意a+b=2,则√a+√a+1的最大值为() A.√3B.√2+1C.√6D.√3+1a,b满意a+b=2,则a+b+1=3,则(1·√a+1·√a+1)2≤(12+12)[(√a)2+(√a+1)2]=6.故√a+√a+1≤√6,故选C.5设xy>0,则(a2+4a2)(a2+1a2)的最小值为.=[a2+(2a )2][(1a)2+a2]≥(a·1a +2a·a)2=9,当且仅当xy=√2时,等号成立.故所求最小值为9.6设实数x,y满意3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为.(2x+y )2≤[(√3a )2+(√2a )2]·[(√3)2+(√22]=(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11,当且仅当3x=4y ,即x =√11a =√11,等号成立.因此2x+y 的最大值为√11. √117函数f (x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10的最大值为 .(x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10=√(a -4)2+22−√(a -3)2+1 =√[(a -3)-1]2+[1-(-1)]2−√(a -3)2+12≤√12+(-1)2=√2, 当且仅当x=2时,等号成立. √28已知θ为锐角,a ,b>0,求证:(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a .m =(acos a ,asin a ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|acos a ·cos a +asin a ·sin a |=|m ·n | ≤|m ||n |=√(a cos a )2+(a sin a)2·√1=√a 2cos 2a +a 2sin 2a,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时,等号成立. 故(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a . ★9在半径为R 的圆内,求周长最大的内接长方形.解:如图,设内接长方形ABCD 的长为x ,则宽为√4a 2-a 2,于是长方形ABCD 的周长l=2(x +√4a 2-a 2)=2(1×a +1×√4a 2-a 2). 由柯西不等式得l ≤2[x 2+(√4a 2-a 2)2]12(12+12)12=2√2·2R=4√2a ,当且仅当a 1=√4a 2-a 21,即x =√2a 时,等号成立.此时,√4a 2-a 2=√4a 2-(√2a )2=√2a ,即长方形ABCD 为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4√2a .。

新人教B版高中数学选修4-5第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式选学讲义

学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理平均值不等式1．(平均值不等式)设a 1，a 2，…，a n 为n n⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(推论1)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.当n ＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C 为常数，且a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，a 1a 2…a n ≤C n，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .当n ＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积． 2．任意给定n 个正数，先求它们倒数的平均 1a 1＋1a 2＋…＋1a nn ，然后再作这个平均值的倒数 n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，称其为a 1，a 2，…，a n 的调和平均．(定理2)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .3．(定理3)设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(推论3)设a 1，a 2，…，a n为n 个正数，则(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.1．设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． [答案] B2．若a ，b ，c ，d 为正数，则b a ＋c b ＋d c ＋a d的最小值为_____________.[解析] 由平均值不等式可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥4 4b a ·c b ·d c ·a d ＝4，当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立．[答案] 4[精彩点拨] 根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值． [自主解答] 根据平均值不等式x 2－172＋x 2－172＋(79－x 2)≥3 3(x 2－17)2(79－x 2)4＝33y 24，即y 2≤623×427.当且仅当x 2－172＝79－x 2，即x 2＝1753时等号成立．这时y max ＝1241869.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x ，y ，z ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞且x ＋y ＋z ＝3，求y ＝3x －2＋3y －2＋3z －2的最大值． [解]3x －2＋3y －2＋3z －2＝(3x －2)·1＋(3y －2)·1＋(3z －2)·1≤3x －2＋12＋3y －2＋12＋3z －2＋12＝3(x ＋y ＋z )－32. ∵x ＋y ＋z ＝3，∴3(x ＋y ＋z )－32＝3，∴3x －2＋3y －2＋3z －2≤3.故y max ＝3.【例2】若x >0，求证：10＋x 9>92＋x .[精彩点拨] 由于不等式右边为92＋x ，故将左边拆项，利用不等式证明． [自主解答]10＋x 9＝1＋1＋x9即原不等式成立．在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．2．设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.[证明] ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥3 31a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c， ∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )×331a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c，即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥9，∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.试比较n 个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系． [提示] 在课本中已讲过n 个正数a 1，a 2，…，a n 的算术平均和几何平均分别是A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn和G n ＝na 1a 2…a n .此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)H n ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.平方平均(在统计学及误差分析中用到)Q n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn.这四个平均值有以下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 其中等号成立的充要条件都是a 1＝a 2＝…＝a n .【例3】设x 1，x 2，x 3为正数，证明：x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形． [自主解答]x 2x 1＝x 2x 3·x 3x 1·1 ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋1，①x 3x 2＝x 3x 1·x 1x 2·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋1， ②x 1x 3＝x 1x 2·x 2x 3·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋1， ③1＝x 3x 1·x 1x 2·x 2x 3≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33. ④上述不等式中，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取“＝”号．①＋②＋③＋④得x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3＋1≤13[3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋3]，∴x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如x 2x 1可变为x 2x 3·x 3x 1·1.3．已知a ，b ，c 为正整数，且b ＋c >a ，c ＋a >b ，a ＋b >c .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c≤1. [证明] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a …⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b …⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b · ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c …⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c ≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ·a ＋b －c a ＋b ·b ＋c －a b ＋c ·c ＋a －b c a ＋b ＋c a ＋b ＋c＝1.即原不等式成立．1．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . [答案] B2．已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1的最大值为( ) A ．9 B ．3 3 C ．16 D ．4 3[解析]8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1＝13(8a ＋1)·9＋13(8b ＋1)·9＋13(8c ＋1)·9≤8a ＋1＋96＋8b ＋1＋96＋8c ＋1＋96＝8(a ＋b ＋c )＋306＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号． [答案] A3．当x >0时，y ＝3x ＋12x 2的最小值为( )A ．3239B ．3C ．5235 D ．432[解析] y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥3 332x ·32x ·12x 2＝3398＝32 39.当且仅当32x ＝12x 2，即x ＝313时，等号成立．[答案] A4．已知x ，y ，z 为正数，且2x ＋3y ＋5z ＝6，则xyz 的最大值为________．[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ＝130×2x ×3y ×5z ≤130×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋5z 33＝415.当且仅当2x ＝3y ＝5z ，即x ＝1，y ＝23，z ＝25时等号成立．[答案]4155．证明：设n 为正整数，则n [(n ＋1)1n －1]<1＋12＋13＋…＋1n .[证明] 原不等式等价于：(n ＋1)1n <1＋12＋13＋…＋1n n＋1＝1＋12＋13＋ (1)＋n n.∵1＋12＋13＋ (1)＋n n＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2＋32＋43＋…＋n ＋1n n >n 2·32·43·…·n ＋1n＝nn ＋1 ＝(n ＋1)1n，∴原不等式成立．。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5

二一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等．求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2，故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122，即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值．解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

柯西不等式与排序不等式新人教选修4

∴ x+ y = (
补充例题: 补充例题
[
x) +(
2
y)
2
]
a x
+
2
b y
2
≥( a + 当且仅当 x
b )2 b = y y b )2 a x ,即 = x y a 时取等号 . b
∴ ( x + y ) min = ( a +
变式引申: 变式引申
若 2 x + 3 y = 1, 求 4 x 2 + 9 y 2的最小值 , 并求最小值点 .
(
)(
)
量, 则当且仅当 | cos θ |= , 即向量α 和β 共线时, 以上不等式取等号.这时存在非零实数k , 使
α = kβ .即 (a, b ) = k (c, d ).故ad bc = kcd kcd = .
,不等式② 与不等式① 有相从上面的分析可知 ② 同的意义, 所以我们把不等式叫做柯西不等 . 式①的向量形式 , 综上所述得
用平面(二维 )向量的坐标表示不等式② , 得
所以 | α β |≤| α || β | . ②
| ac + bd |≤ a + b
c + d .两边平方,
① 式与
二维向得 (ac + bd ) ≤ a + b c + d . ① 量相对 , 这是二维形式的柯西不等式.由此可知 , 应所以二维形式的柯西不等式① 是向量形式称之为的不等式② 的坐标表示.如果向量α 和二维形 β 中有零向量, 则 ad bc = , 以上不等式的柯式取等号 .如果向量α 和β 都不是零向西不等 . 式
根据二维形式的柯西不等式, 容易得出

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案新人教

三排序不等式学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．知识点排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少．思考 2 如图，∠POQ ＝60°，比较112233A OB A OB A OB S SS++与132231A OB A OB A OB SSS++的大小．答案 112233132231.A OB A OB A OB A OB A OB A OB SSSSSS++>++梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任意一个排列．①乱序和：S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n . ②反序和：S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1. ③顺序和：S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . (2)排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．类型一利用排序不等式证明不等式命题角度1 字母已定序问题例1 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b，又c ＞0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b3 ＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.∴原不等式成立．反思与感悟利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．跟踪训练1 已知0＜a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ，所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c＞0，又0＜a 2≤b 2≤c 2，所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．命题角度2 字母大小顺序不定问题例2 已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．证明由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0，所以a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b，注意到b 2＋c 2b ＋c ≥12(b ＋c )，c 2＋a 2c ＋a ≥12(c ＋a )，a 2＋b 2a ＋b ≥12(a ＋b )，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(b ＋c )＋12(c ＋a )＋12(a ＋b ) ＝a ＋b ＋c . 故a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．反思与感悟对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2 设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明：a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.证明不妨设0＜a ≤b ≤c ，则a 5≤b 5≤c 5，1c 2≤1b 2≤1a2，所以由排序不等式可得a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5c 2＋b 5a 2＋c 5b2，a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5b 2＋b 5c 2＋c 5a2，所以a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.类型二利用排序不等式求最值例3 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.反思与感悟求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值．跟踪训练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加，得2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a ，b ，c 均为正数，且P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q 答案 B解析不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0.由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以P ≥Q .2．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11.将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304 D ．212答案 C解析 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5 ＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．答案 n解析设0＜a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和．故最小值为反序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n .4．设a ，b 都是正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.证明由题意不妨设a ≥b ＞0. 则a 2≥b 2，1b ≥1a ，所以a 2b ≥b2a.根据排序不等式知，a 2b ·1b ＋b 2a ·1a≥a 2b ·1a ＋b 2a ·1b，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了． 2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小． 3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝b 3＝…＝b n . 4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析根据排序原理，反序和最小，即az ＋by ＋cx 最小．2．已知a ，b ，c ＞0，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A ．大于零B ．大于零或等于零C ．小于零D ．小于零或等于零答案 B解析当a ＝b ＝c ＝1时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝0，当a ＝1，b ＝2，c ＝3时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝62.3．设a ，b ，c 都是正数，则式子M ＝a 5＋b 5＋c 5－a 3bc －b 3ac －c 3ab 与0的大小关系是( ) A ．M ≥0 B ．M ≤0C ．M 与0的大小关系与a ，b ，c 的大小有关D ．不能确定答案 A解析不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 3≥b 3≥c 3，且a 4≥b 4≥c 4，则a 5＋b 5＋c 5＝a ·a 4＋b ·b 4＋c ·c 4≥a ·c 4＋b ·a 4＋c ·b 4. ∵a 3≥b 3≥c 3，且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab . ∴M ≥0.4．在锐角三角形ABC 中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定答案 C解析不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥b cos A ＋c cos B ＋a cos C＝R (2sin B cos A ＋2sin C cos B ＋2sin A cos C )，上面两式相加，得Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥12R (2sin A cos B ＋2sin B cos A ＋2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋2sin C cos A ＋2sin A cos C ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.5．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E ＜F B ．E ≥F C ．E ＝F D ．E ≤F 答案 B解析不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 1≤1a 2≤1a 3且a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，∴a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1≥1a 1·a 1a 2＋1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1 ＝a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F .6．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋xy 3，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 B 解析 ∵x ≥y ， ∴x 3≥y 3.∴M ＝x ·x 3＋y ·y 3≥x 3·y ＋y 3·x ＝x 3y ＋y 3x ＝N . 二、填空题7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min ，10min ，5min ，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min. 答案 84解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min ，10 min 的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．答案 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )解析不妨设a ≥b ＞0，则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．10．设a 1，a 2，…，a n 为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝5，则a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的最小值为________．答案 5解析由所求代数式的对称性，不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，所以a 21≤a 22≤…≤a 2n ， 1a 1≥1a 2≥…≥1a n，而1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，1a 3，…，1a n 的一个排列，由乱序和≥反序和，得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝5.三、解答题11．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a 2a b 2b c 2c≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ，所以a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，所以2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ，所以lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(ab ＋c·ba ＋c·ca ＋b)，故a 2a b 2b c 2c ≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.12．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证： 1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2. 证明设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n . 因为b 1，b 2，…，b n 是互不相等的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n . 又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，故由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.13．已知0＜α＜β＜γ＜π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明 ∵0＜α＜β＜γ＜π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．四、探究与拓展14．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0＜x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x，将上面两式相加得 2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 15．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .证明 (1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n .由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋xn －1·x ＋…＋1·x n ，所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .① 又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理得1·x ＋x ·x2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，所以x ＋x 3＋…＋x2n －1≥nx n .② ①＋②，得 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ，同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当x ＞0时，1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(排序不等式)

数组（ L 数组（b1，b2，b3，，bn）的乱序和将 S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a 3 bn-2 + L + a n b1称为反序和将 S2 = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n bn称为顺序和
探究
S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a nc n 乱序和 S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a 3 bn-2 + L + a n b1 反序和 S2 = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3 + L + a n b n 顺序和之间的大小关系
设 0 < a1 < a 2 < a 3 < L < a n 0 < b1 < b2 < b3 < L < bn
反序排序原理）定理：（排序不等式，又称排序原理）：（排序不等式
设a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ L ≤ a n，b1 ≤ b2 ≤ b ≤ L ≤ bn 为两组实数， L 为两组实数，c1，c2，c3，，cn 是b1 , b2 , b,L, bn 的任一排列，那么的任一排列， S1 ≤ S ≤ S2 S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a ncn 乱序和）（乱序和） S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a3 bn-2 + L + a n b1 反序和）（反序和） S2 = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n bn 顺序和）（顺序和）当且仅当a 当且仅当a1 = a 2 = a3 = L = a n 或b1 = b2 = b = L = bn 时，反序和等于顺序和

5.4柯西不等式与排序不等式课件(人教A版选修4-5)

人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时，总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，则10人等候的总时间最少。最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例 2 .求函数 y 5
x 1
1 0 2 x的最大值 .
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 a 1 b 4
注意应用公式： ( a b )( 1 a 1 b ) 4
练习：
1 .已知 2 x 3 y 6 ,
2 2
求证x 2y
11
2 .已知 a b 1,
2 2
求证 | a c o s b s in | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二一般形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
又因
1
1
2
2

1
3
2
...
1
n
2
由排序不等式，得： a3 an b3 bn a2 b2 a 1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯

一
二
维
形
第
式
三
的
讲
柯
西
不
等
式
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
考点一考点二
一
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥ ( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)；
利用柯西不等式证明不等式
[例 1] 已知 θ 为锐角，a，b∈R＋，求证：coas22θ＋sibn22θ≥(a ＋b)2.
[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明] ∵coas22θ＋sibn22θ
＝coas22θ＋sibn22θ(cos2θ＋si＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
侧时，等号成立．
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系有|P1P3| ＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3 共线，并且点 P1，P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式排序不等式素材2

3。

3 排序不等式庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式Sequence Inequality(又称排序原理) （1)排序原理的内容：设有数组A:a 1≤a 2≤…≤a n ，及数组B:b 1≤b 2≤…≤b n .称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为顺序和，a 1b n +a 2b n-1+a 3b n —2+…+a n b 1为倒序和,a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为乱序和(其中c 1，c 2,…，c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的一个排列）。

则有：顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时成立。

记忆要诀以S=∑=ni i i b a 1表示顺序和,以∑=+-=ni i n i ba S 11表示倒序和，以S 1=∑=ni i i c a 1表示乱序和(其中，c 1，c 2,…，c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的任一排列）,则有S ≤S 1≤S 。

(2)排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列。

学法一得由排序原理,我们可以得到这样一个推论:对于实数，a 1,a 2，…,a n ，设a i1,a i2,…，a in 为其任一个排列，则有 a 1a i1+a 2a i2+…+a n a in ≤a 12+a 22+…+a n 2。

证明：不妨设满足a 1≤a 2≤…≤a n ，取b k =a k （k=1，2,…，n ）,因此b 1≤b 2≤…≤b n ,且a 1，a 2，…，a n 是b 1,b 2,…,b n 的一个排列,由排序原理知， a 11i a +a 22i a +…+a n ni a ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 12+a 22+…+a n 2.(3）排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）a 1，a 2,…,a n 的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解。

讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式

讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。

排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。

二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。

背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。

当且仅当ad=bc时，等号成立。

排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。

二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。

其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。

CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。

高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式高效整合课件

∴a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
①
1111 等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d.
bcda
又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
利用柯西不等式求最值
柯西不等式、排序不等式的实际应用
数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式、排序不等式解决有关的实际问题，关键是从实际情境中构造两类不等式的模型．
等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．
≥x＋2y＋z. 证明： ∵x，y，z 是正实数，令

a＝

yx＋z，
xy＋z，
xz＋y，b＝
y＋z，a|2·|b|2

∴

x y＋z·
y＋z＋
y x＋z·
x＋z＋
z x＋y·
x＋y

2≤y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y·[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)] 即：(x＋y＋z)2≤2y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y(x＋y＋z) ∵x，y，z 是正实数， ∴x＋y＋z>0 ∴y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y≥x＋2y＋z.
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．
求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y －6)2达到最小值．

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1
3.1 3.2 柯西不等式
1.二元均值不等式有哪几种形式？
答案：(0,0)2
a b
a b +≥>>及几种变式.
2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥
定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.
2
22||
c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+
22c d ac bd +≥+.
定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++
（当且仅当12
12
n
n
a a a
b b b ===
时取等号，假设0i b ≠）
变式：
2222
12121
(
)n n a a a a a a n
++
≥++⋅⋅⋅+.
定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.
等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）
练习：已知a 、b 、c 、d
证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式：
① 定理：设1122,,,x y x y R ∈
变式：若112233,,,,,x y x y x
y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
例1：求函数y =
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式
变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
2
例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：11
2x y
+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）
要点：2222
111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）
练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.
解答要点：（凑配法）2222222111
()(32)(32)131313
x y x y x y +=++≥+=.
讨论：其它方法（数形结合法）
练习：已知a 、b R +∈，求证：11
()()4a b a b
++≥.
例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23
y z
x ++的最小值.
变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=
的最大值.
3
例2：若a >b >c ，求证：c
a c
b b a -≥
-+-4
11. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=----
例3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明：利用柯西不等式(
)
2
313131
2
22
2222222a b c
a a
b b
c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()()2
333a b c a b c =++++ ()1a b c ++= 又因为 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++得：
()()2223a b c a b c ++≤++
()
()()2
2
2
23
3
3
2
2
2
3a
b c
a b c a b c ++≤++•++故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
例4 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，
≤
证明：由柯西不等式得，
=111
cz a b c
≤++记S 为ABC 的面积，则22
42abc abc
ax by cz
S R R
++
==
=
≤
=≤
故不等式成立。

4
练习：已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2
2
2
2
2365a b c d +++=试求a 的最值
解：由柯西不等式得，有(
)()2
222
111236236b c d
b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭
即()2
2
2
2
236b c d b c d ++≥++由条件可得， ()2
253a a -≥- 解得，12a ≤≤
==
时等号成立，代入111,,36b c d ===时， max 2a = 21
1,,33
b c d ===时 min 1a =
3.3 排序不等式
排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数
组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有 1122a b a b ++···+n n a b (同序和)
1122a c a c ≥++·
··+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++·
··+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. 排序不等式的应用：
例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：
321222
111
12323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+
. 证明过程：
设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.
又222111
123n
>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得
33
2211
222222
2323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.
练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.
解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，
于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，
两式相加即得.
5。