(新)高中数学柯西不等式与排序不等式

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3.1 3.2 柯西不等式
1.二元均值不等式有哪几种形式？
答案：(0,0)2
a b
a b +≥>>及几种变式.
2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥
定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.
2
22||
c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+
22c d ac bd +≥+.
定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++
（当且仅当12
12
n
n
a a a
b b b ===
时取等号，假设0i b ≠）
变式：
2222
12121
(
)n n a a a a a a n
++
≥++⋅⋅⋅+.
定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.
等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）
练习：已知a 、b 、c 、d
证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式：
① 定理：设1122,,,x y x y R ∈
变式：若112233,,,,,x y x y x
y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
例1：求函数y =
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式
变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
2
例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：11
2x y
+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：2222
111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）
练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.
解答要点：（凑配法）2222222111
()(32)(32)131313
x y x y x y +=++≥+=.
讨论：其它方法 （数形结合法）
练习：已知a 、b R +∈，求证：11
()()4a b a b
++≥.
例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23
y z
x ++的最小值.
变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=
的最大值.
3
例2：若a >b >c ，求证：c
a c
b b a -≥
-+-4
11. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=----
例3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明：利用柯西不等式(
)
2
313131
2
22
2222222a b c
a a
b b
c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()()2
333a b c a b c =++++ ()1a b c ++= 又因为 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++得：
()()2223a b c a b c ++≤++
()
()()2
2
2
23
3
3
2
2
2
3a
b c
a b c a b c ++≤++•++故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
例4 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，
≤
证明：由柯西不等式得，
=111
cz a b c
≤++记S 为ABC 的面积，则22
42abc abc
ax by cz
S R R
++
==
=
≤
=≤
故不等式成立。

4
练习：已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2
2
2
2
2365a b c d +++=试求a 的最值
解：由柯西不等式得，有(
)()2
222
111236236b c d
b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭
即()2
2
2
2
236b c d b c d ++≥++由条件可得， ()2
253a a -≥- 解得，12a ≤≤
==
时等号成立， 代入111,,36b c d ===时， max 2a = 21
1,,33
b c d ===时 min 1a =
3.3 排序不等式
排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数
组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有 1122a b a b ++···+n n a b (同序和)
1122a c a c ≥++·
··+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++·
··+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. 排序不等式的应用：
例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：
321222
111
12323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+
. 证明过程：
设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.
又222111
123n
>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得
33
2211
222222
2323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.
练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.
解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，
于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，
两式相加即得.
5。