03第三章 流体力学的基本方程

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：从1至2断面的能量损 hw
失（单位重量流体）
六、实际微小流束的伯努利方程 1. 急变流与缓变流 缓变流：流线之间的夹角很小，流线间几乎是平行的，且流线曲率半径 很大。即：流线近似平行直线的流动。 急变流：不满足缓变流条件之一的流动。
( v )v 0?
2．动能修正系数
1 2 dQv A 2 2 1 Q v 2
v2 A 2 g gdQ v gQ 2g
2
3．总流伯努利方程的导出 总流是无数微小流束的总和，总流的 伯努利方程只要对微小流束的伯努利 积分在整个断面上积分便可求出：
2 p1 v12 p2 v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g 2 p1 v12 p2 v2 ) gdQ A1 ( z1 g 2g )gdQ A2 ( z 2 g 2g hw 1 p x x PF 1 p y y PF 1 p z z
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v2 (W PF ) 2(v z y v y z ) x 2
v2 (W PF ) 2(v x z v z x ) y 2
2 1 1
2 2
方程的意义：断面1单位重量流体的机械能=断面2单位重量流体的机械能+ 断面之间单位重量流体的机械能损失 伯努利方程的适用条件： 1）定常流动 ；2）不可压缩均质流体 ；3）重力流体，质量力只受重力 4）缓变流断面 伯努利方程应用注意： 1）方程式不是对任何流动都适用的，注意其使用条件；2）常常和一元 连续性方程连用 ；3）方程中的位置水头是相对的，通常取在轴线或较 低断面上；4）两个断面的压强标准必须一致，一般用表压（相对压强） ；5）在选取二个过流断面时，尽可能只包含一个未知数，如水库水面、 大容器水面、出口断面等；6）方程要求二个断面都是缓变流断面，但并 不要求二个断面之间是缓变流 ；7）在多数工程计算中，位置水头或压 20 强水头都较大，而流速水头都较小 ，动能修正系数为1.0
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1）缓变流的过流断面近于平面，过流断面 上各点的速度方向近于平行。 2）恒定缓变流过流断面上的动压强按静压 强的规律分布。
pdA ( p dp)dA gdAdlcos 0
dp gdz 0
p z c g
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(z
p ) gdQ g
缓变流 z
v2 2 g gdQ
p C g
h gdQ
w
(z
2
2 p p p ) gdQ ( z ) gdQ ( z ) gQ v v2 g g g 代替 2g 2g
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物理意义 几何意义
五、实际微小流束的伯努利方程 在不考虑流体粘性的基础上，流动过程中并未产生损失。但在实际流体流 动的过程中，由于粘性的作用，流体所具有的总能量沿程将不断降低。对 于实际微小流束上的伯努利方程有：
2 p1 v12 p2 v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
v2 v2 v2 (W PF )dx (W PF )dy (W PF )dz 0 x 2 y 2 z 2
v2 W PF CT 2
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对不可压缩流体或正压性的理想流体，在有势质量力作用下，作定常有势 流动（无旋流动），在流场中任一点单位质量流体的势能、压能、动能之 和保持不变，但这三种能量可以相互转换。 例题：已知不可压缩流体运动的速度分布为：
第三章
第一节
流体力学的基本方程
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理想流体运动微分方程
一、方程的推导 1．表面力 左边： 右边：
p dx (p )dydz x 2 (p p dx )dydz x 2
在x方向的表面力合力为： p dx p dx p Px ( p )dydz ( p )dydz dxdydz x 2 x 2 x
v x v x
v x vy x v y vy x
v x 1 p y x v y 1 p y y
v r 0 v r
v x y v y x
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v v gdQ gQ 2g 2g
gdQ hw gQ hw
将以上结果代入方程，并同时除以 gQ
2
hw
h gdQ
w
gQ
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z1
p1 v p v z 2 2 2 hw g 2 g g 2g
fx f y 0
f z g
W W W dW dx dy dz f x dx f y dy f z dz gdz x y z
Wgz
b）不可压缩、均质流体
PF
dp


p

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v2 W PF C 2
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在涡核边界上：
p p
1 1 2 v0 p 2 R 2 2 2
r R 区域为恒定有旋流动，可以用伯努利积分（沿流线），且不计质量力 1 p v2 C 2
式中p,v为这一区域内任一点的压强和流速，在圆形旋涡内部，流线为同心 圆，所以应用伯努利积分无法求出压强沿径向的变化。 直接用欧拉运动微分方程求解（不计质量力）。二元流动的欧拉方程为：
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二、欧拉积分 （4）无旋流动
x y z 0
v2 (W PF ) 2(vz y v y z ) x 2
v2 (W PF ) 2(vx z vzx ) y 2
v2 (W PF ) 2(v y x vx y ) z 2
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v2 v2 v2 (W PF )dx (W PF )dy (W PF )dz 0 x 2 y 2 z 2
v2 d (W PF ) 0 2
v2 W PF Cl 2
上式称为伯努利积分，它是在定常条件下，正压流体在有势的质量力作用 下欧拉运动微分方程沿流线的积分。 它表明：对不可压缩流体或可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下 ，沿同一条流线，单位质量流体的势能、压能、动能之和为一常数。
v2 (W PF ) 2(v y x v x y ) z 2
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第二节 伯努利方程
一、伯努利积分 （4）沿流线积分
v2 (W PF ) 2(vz y v y z ) x 2
v2 (W PF ) 2(vx z vzx ) y 2
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三、葛罗米柯—兰姆运动微分方程（形式二） v 0 （1） 定常流动 t （2）质量力有势，存在力势函数W （3）正压流体
f W
PF
dp ( p)
W x W fy y W fz z fx
Py
p dxdydz y
Pz
p dxdydz z
1
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2．质量力
Fx f x dxdydz
Fy f y dxdydz
Fz f z dxdydz
3．F ma

dv p dxdydz f x dxdydz dxdydz x x dt 1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy 欧拉运动微分方程 y dt
v2 (W PF ) 2(v y x vx y ) z 2
v2 v2 v2 (W PF )dx (W PF )dy (W PF )dz x 2 y 2 z 2
(vz y v yz )dx (vxz vzx )dy (v yx vx y )dz (vz y v yz )vx dt (vxz vzx )v y dt (v yx vx y )vz dt 0
2 2 2 v x v x v y v z ( ) v y 2 z v z 2 y t x 2
v x v 2 ( ) 2(v z y v y z ) t x 2
1 p v x v 2 fx ( ) 2(v z y v y z ) x t x 2
当r=R，p=p0，v=v0
1 p v2 C 2 1 2 C p0 v0 2 1 1 2 2 p p0 v v0 2 2 1 2 p v0 v 2 2
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三、重力作用下的伯努利方程 对前面的伯努利积分和欧拉积分，对其中的2）有势的质量力3）正压流体再 引入限制： a）作用在流体上的质量力只有重力：
p v2 z C g 2g
四、伯努利方程的意义
2 p1 v12 p2 v2 z1 z2 g 2 g g 2 g