异面直线所成的角中小学PPT教学课件
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异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线所成的角
所以—A1→G ＝(－1,0，－2)，E→F＝(－2,0,1)，
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，
则
cos
—→ → θ＝|—A1→G ·E→F|
| A1G ||EF|
＝|－1×5－×25－2×1|＝0.
练习:如图，已知圆锥 CO 的截面△ABC 是正三角形，AB 是底面圆 O 的直 径，点 D 在A︵B上，且∠AOD＝2∠BOD，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余 弦值为
E
方法二向量法
解:因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π， 所以∠BOD＝π3， 连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，
OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆 O 的半径为 2，则 A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0，2 3)，D( 3，1,0)， A→D＝( 3，3,0)，B→C＝(0，－2,2 3)，
异面直线所成的角
本节微课件主要目标:突出向量法解决异面直线所成问题
异面直线所成的角
若则c异os面θ＝直|线cols1〈，ul2，所v成〉的|＝角|u为·vθ，| 其方向向量分别是u，v， |u||v|
异面直线所成的角
例 如图，已知棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F，G 分别为 AB，
CD1，AD 的中点，求异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为
方法一,转化为相
交直线所成角,如
图所示,过程请同
M
学们自己整理
方法二向量法
如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，
则A1(2,0,2)，G(1,0,0)，
E(2,1,0)，F(0,1,1)，
异面直线所成角精选教学PPT课件
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
2条
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
而她，只能无助地站在路边，对瞬间消失的车子挥手，喊道，“再见，宝贝们，妈妈永远爱你们。”而黑暗冰寒无尽。 全美国都为她哭泣祈祷，却有一个女子投书电视台了：苏珊在说谎。
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
2条
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
而她，只能无助地站在路边，对瞬间消失的车子挥手，喊道，“再见，宝贝们，妈妈永远爱你们。”而黑暗冰寒无尽。 全美国都为她哭泣祈祷，却有一个女子投书电视台了：苏珊在说谎。
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。
异面直线所成角ppt课件
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所
H
求.
E
o
F
R(2t)△∵EFBGF∥中，AE求得∠EGF = 45
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求,
பைடு நூலகம்
A
23
B
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
o
60
ppt课件
G C
10
典例展示
例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB
平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
ppt课件
2
知识探究
异面直线所成的角
O
(1)旧识回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们
的夹角, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
B1 A1
C1 D1
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
D O
A
C B
ppt课件
14
课堂小结
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
D1
C1
A1
B1
E
G
A
ppt课件
D F
C
B
异面直线及其所成角PPT课件
C ´
B ´
D
C
2020年10月2日
A
B
3
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
2020年10月2日
4
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
DC、D´C´。
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020年10月2日
5
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
2020年10月2日
1
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020年10月2日
必修2《异面直线所成角》课件ppt(优秀课件)
所成的角是多少？
1. A1B与D1C1 2. A1B与C1C 3. A1B与CD
45° 45° 45°
D1
C 1 4. A1B与° B 1 6. B1B与AD 90°
D
C 7. A1B与B1C 60°
A
B
课件在线
14
练习2：如图，在正方体中，与A1B成 45 °角的棱有（ D ）条
呵护儿童健康成长
讲课人：优质老师
课件在线
1
课件在线
2
空间两条直线的位置关系
共面直线 异面直线
相交直线 平行直线
课件在线
3
如图所示：正方体的棱所在的 直线中，与直线BC1异面的直线 有哪些？
D
C 答案：
A
B A1B1、CD、AA1、
D1
C1 DD1、AD、A1D1
A1
B1
课件在线
4
练习:
1.垂直于同一条直线的两条直线的位
A、无数条 C、至多有两条
B、两条 D、一条
课件在线
17
练习5：在四面体ABCD中，AD=BC， 且AD⊥BC，EF分别为AB、CD的中 点，则EF与BC所成角为多少度？
A
45°
E B
D F C
课件在线
18
练习6：已知异面直线a，b所成角为 50°，P为空间一点，则过P点与a，b 所成角都是30 °直线有几条？
2条
课件在线
19
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
课件在线
20
请看图: D
C
A D1
B
c1
看图得出:
A1
B1 ADC A1D1C1
异面直线及其夹角课件
03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。
异面直线所成的角的求法ppt课件
8
预备知识 角的知识
正弦定理a=2RsinA A
a=2RsinA
b
SABC=
1 2
bc
sinA
C
c aB
余弦定理
A
cosA= b2 c 2 a2
2bc
cb B a C9
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想：
解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
39
正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,
如图画出下面各题中指定的异面直线
D1 A1
D A
C1
D1
C1
D1
A1 B1
B1
A1
C
B
P●
D
C
A
B
D A的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时， 表示异面直线所成的角是它的补角.
40
以第三幅图为例，设正方体的棱长为1， 求异面直线的夹角
26
• 总结评述：(1)上面四个思路的共同点是： 由两条异面直线中的一条与另一条上一个 点确定一个平面，在该平面内过该点作该 直线的平行线，从而找出两条异面直线所 成的角，这是立体几何“化异为共”“降 维”的基本思想．
27
• (2)求两条异面直线所成角的关键是作出这 两条异面直线所成的角，作两条异面直线 所成的角的方法是：将其中一条平移到某 个位置使其与另一条相交或是将两条异面 直线同时平移到某个位置使它们相交，然 后在同一平面内求相交直线所成的角．值 得注意的是：平移后相交所得的角必须容 易算出，因此平移时要求选择恰当位 置．一般提倡像思路2、思路3那样作角， 因为此角在几何体内部，易求．
预备知识 角的知识
正弦定理a=2RsinA A
a=2RsinA
b
SABC=
1 2
bc
sinA
C
c aB
余弦定理
A
cosA= b2 c 2 a2
2bc
cb B a C9
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想：
解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
39
正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,
如图画出下面各题中指定的异面直线
D1 A1
D A
C1
D1
C1
D1
A1 B1
B1
A1
C
B
P●
D
C
A
B
D A的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时， 表示异面直线所成的角是它的补角.
40
以第三幅图为例，设正方体的棱长为1， 求异面直线的夹角
26
• 总结评述：(1)上面四个思路的共同点是： 由两条异面直线中的一条与另一条上一个 点确定一个平面，在该平面内过该点作该 直线的平行线，从而找出两条异面直线所 成的角，这是立体几何“化异为共”“降 维”的基本思想．
27
• (2)求两条异面直线所成角的关键是作出这 两条异面直线所成的角，作两条异面直线 所成的角的方法是：将其中一条平移到某 个位置使其与另一条相交或是将两条异面 直线同时平移到某个位置使它们相交，然 后在同一平面内求相交直线所成的角．值 得注意的是：平移后相交所得的角必须容 易算出，因此平移时要求选择恰当位 置．一般提倡像思路2、思路3那样作角， 因为此角在几何体内部，易求．
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3.60cm
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下一题
4.读出上图红色物体的长度
答案
返回
上一题
4.该红色物体的长度是
8.60cm
返回前页
待测物体的长度 可以看作由以下两部分组成
第一部分 整数部分
第二部分 小数部分
我们的测量也可以分成以下两部分
第一步 读出整数部分的数值 八个大格 每个1 cm 共 8 cm
第二步 读出小数部分的数值
六个小格 每个0.1 cm 共0.6 cm
将整数部分的读数和小数部分的读数相
加即为待测物体的长度 8.6 cm
但是
精确测量时要求读到 最小刻度值的下一位
故
最终答案 8.62 cm
返回
为何要读到
最小刻度值的下一位
更加精确 !
比如: 一物体的长度为27.8毫米, 最末一位数 8 虽然是估读的 ,
但它告诉我们该物体的长度在
求角
定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）（2）补形法
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
练习:如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，
PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
（2）求EF与PC所成的角；
P
（3）求线段EF的长。
E G
A
C
F B
四、课堂小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
CE所成角的余弦值。
解法二：
A
E
B
D
F C
P
例 3. 如 图 ， a 、 b 为 异 面 直 线 ， 直 线 a 上 的 线 段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成
的角的度数．
A Ba
P F
E
b
C
D
求两异面直线所成角的步骤： 1、构造：用平移法作出角; 2、证明：作出的角就是所要求的角; 3、计算：常利用三角形来求.
27毫米和28毫米之间更接近28毫米
返回前页
刻
度 使用前 1 观察零刻线的位置 观察是否磨损
尺
2观察量程
使
3观察最小刻度值
用 规
使用时
1 刻度尺有刻度的一面立于或贴靠 在被测物体上,并使刻度线与被测
则
物垂直相交
2 读数时视线应垂直与所读刻度
3 应当估读到最小刻度值的下一位
4 测量结果由数字和单位组成
答：不一定，还可能异面．
3.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
二、例题讲解: 例1.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦 值。解法一：
D1 O1
C1
A1
B1
D A
M C
B
方法归纳： 平移法
b
b’ (0,
]
b
2
a
a’
O
O a'
a
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 线互相垂直.
课前练习2：
1、若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位
置关系是( A )
异面直线不具有传递性.
A. 相交、平行或异面 B. 平行
C. 异面
D. 平行或异面
2．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图例
返回
正确使用刻度尺
读数时视线 要与尺面垂直
要测量右图所 示木块的长度, 刻度尺应如右 上图所示放置. 使有刻度的一 面立于或贴靠 在被测物体上, 并使刻度线与 被测物垂直相 交
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1.读出上图所示秒表的读数
答案
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下一题
1.上图所示秒表的读数是
61 s
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2.读出上图所示秒表的读数
解法二：
D1 A1
C1 B1
F1 E1
D A
C B
F E
方法归纳： 补形法
例2.A为正三角形BCD所在平面外一点，且
AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、
CE所成角的余弦值。
解法一：
A
E
B F
D
G
C
例2.A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的 中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、
② a 平面，b 平面 且a∩b=Φ
③ a 平面，b 平面
④ 不存在平面，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是
（）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）两条直线a,b分别和异面直线c,d 都相交，则直 线a，b的位置关系是（ ）
A、一定是异面直线 B、一定是相交直线
C、可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能
常见电压表
读数练习 读数示范
使用规则
1.读出上图红色物体的长度
答案
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下一题
1.该物体的长度为
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17.80cm
下一题
2.读出上图红色物体的长度
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2.该红色物体的长度是
12.75cm
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3.读出上图红色物体的长度
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3.该红色物体的长度是
一、复习引入：
1.异面直线的画法：
b
b
b
a
α
a
α
a
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
2.判定异面直线的方法： （1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。
（2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这 个平面不经过此点的直线是异面直线。
课前练习1：
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
刻度尺
秒表
温度计
天平
测力计
电流表
电压表
关于本软件
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制作人
刻 度 尺
读数练习
使用规则
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秒
表
读数练习
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常见种类
温
读数练习
度
计
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天 平
分类
读数练习 使用规则
读数示范
各类实物
测 读数练习
力
计
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电 流 表
读数练习
常见电流表 读数示范
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电 压 表
是相交直线
（3）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和 另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
3.异面直线所成的角:
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作
直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异
面直线a、b所成的角(或夹角).
答案
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2.上图所示秒表的读数是
106 s
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3.读出上图所示秒表的读数
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4.读出上图红色物体的长度
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上一题
4.该红色物体的长度是
8.60cm
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待测物体的长度 可以看作由以下两部分组成
第一部分 整数部分
第二部分 小数部分
我们的测量也可以分成以下两部分
第一步 读出整数部分的数值 八个大格 每个1 cm 共 8 cm
第二步 读出小数部分的数值
六个小格 每个0.1 cm 共0.6 cm
将整数部分的读数和小数部分的读数相
加即为待测物体的长度 8.6 cm
但是
精确测量时要求读到 最小刻度值的下一位
故
最终答案 8.62 cm
返回
为何要读到
最小刻度值的下一位
更加精确 !
比如: 一物体的长度为27.8毫米, 最末一位数 8 虽然是估读的 ,
但它告诉我们该物体的长度在
求角
定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）（2）补形法
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
练习:如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，
PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
（2）求EF与PC所成的角；
P
（3）求线段EF的长。
E G
A
C
F B
四、课堂小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
CE所成角的余弦值。
解法二：
A
E
B
D
F C
P
例 3. 如 图 ， a 、 b 为 异 面 直 线 ， 直 线 a 上 的 线 段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成
的角的度数．
A Ba
P F
E
b
C
D
求两异面直线所成角的步骤： 1、构造：用平移法作出角; 2、证明：作出的角就是所要求的角; 3、计算：常利用三角形来求.
27毫米和28毫米之间更接近28毫米
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刻
度 使用前 1 观察零刻线的位置 观察是否磨损
尺
2观察量程
使
3观察最小刻度值
用 规
使用时
1 刻度尺有刻度的一面立于或贴靠 在被测物体上,并使刻度线与被测
则
物垂直相交
2 读数时视线应垂直与所读刻度
3 应当估读到最小刻度值的下一位
4 测量结果由数字和单位组成
答：不一定，还可能异面．
3.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
二、例题讲解: 例1.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦 值。解法一：
D1 O1
C1
A1
B1
D A
M C
B
方法归纳： 平移法
b
b’ (0,
]
b
2
a
a’
O
O a'
a
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 线互相垂直.
课前练习2：
1、若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位
置关系是( A )
异面直线不具有传递性.
A. 相交、平行或异面 B. 平行
C. 异面
D. 平行或异面
2．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图例
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C1 B1
F1 E1
D A
C B
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例2.A为正三角形BCD所在平面外一点，且
AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、
CE所成角的余弦值。
解法一：
A
E
B F
D
G
C
例2.A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的 中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、
② a 平面，b 平面 且a∩b=Φ
③ a 平面，b 平面
④ 不存在平面，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是
（）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）两条直线a,b分别和异面直线c,d 都相交，则直 线a，b的位置关系是（ ）
A、一定是异面直线 B、一定是相交直线
C、可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能
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一、复习引入：
1.异面直线的画法：
b
b
b
a
α
a
α
a
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
2.判定异面直线的方法： （1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。
（2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这 个平面不经过此点的直线是异面直线。
课前练习1：
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
刻度尺
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是相交直线
（3）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和 另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
3.异面直线所成的角:
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作
直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异
面直线a、b所成的角(或夹角).
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