平面与平面平行的判定 优秀教案

平面与平面平行的判定

【教学目标】

1．掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；

2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化。

【教学重点】

两个平面平行的判定定理、性质定理

【教学难点】

两个平面平行的判定定理、性质定理的应用

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、复习引入：

1．直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=，//a α。

2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒。 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α⊄，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾，

若P m ∉，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾， ∴//l α。

a

α

a

A

α

a

α

3． 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

推理模式：//,,//l l m l m αβα

β⊂=⇒。

证明：∵//l α，∴l 和α没有公共点， 又∵m α⊂，∴l 和m 没有公共点；

即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m 。 二、讲解新课：

1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。

2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的。

3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。

推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α//βα⇒。 分析：这个定理从正面证(用定义)比较困难，所以考虑用反证法。 启发：（1）如果平面α和平面β不平行，那么它们的位置关系怎样？ （2）如果平面α和平面β相交，那么交线c 和平面β中的直线a 与b 各有怎样的位置关系？

（3）相交直线a 与b 都与交线c 平行，这合理吗？为什么？ 证明：假设c βα=， ∵a β⊂，//a α， ∴//a c ，同理//b c 。

即在平面β内过点P 有两条直线与c 平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴//βα。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推理模式：

,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒。

4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

推理模式：//,,//a b a b αβγ

αγβ==⇒。

证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点， 又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b 。

β

α

m

l

c

P

b

a

β

α

γ

b

a

β

α

同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒。 三、讲解范例：

例1 已知直线a 、b 异面，平面α过a 且平行于b ，平面β过b 且平行于a ， 求证：α∥β

分析：线面平行 ⇔ 线线平行 ⇔ 线面平行 ⇔ 面面平行 证明：过a 作平面γ，使'a =⋂βγ ∵a ∥β，a ⊂γ，'a =⋂βγ，∴a ∥'a 又∵'a ⊄α，a ⊂α，∴'a ∥α且b ∥α 又a 、b 异面，∴'a 与b 必相交，∴α∥β。 例2．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。

已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段， 求证：AB CD =。

证明：∵//AB CD ，∴ ,AB CD 确定平面AC ， ∴平面AC AD α=，平面AC

BC β=，

∴//AD BC ，四边形ABCD 是平行四边形。∴AB CD =。 例3．若//αβ，//βγ，则//αγ。 证明：在平面α内取两条相交直线,a b ，

分别过,a b 作平面,ϕδ，使它们分别与平面β交于两相交直线,a b ''， ∵//αβ，∴//,//a a b b ''，

又∵//βγ，同理在平面γ内存在两相交直线,a b ''''， 使得//,//a a b b ''''''， ∴//,//a a b b ''''， ∴//αγ。

例4 有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′。要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？

解：（1）∵BC ∥面A ′C ′，

面BC ′经过BC 和面A ′C ′交于B ′C ′， ∴BC ∥B ′C ′。

b

β α

a

D

C

B

A

β

αα

β γ b

a ' a ''

a

b '

b ''