第一讲 带电粒子在匀强电场中的运动

【解析】如图乙所示，画出粒子运动的轨迹，由运动轨
迹的对称性知，∠efd＝∠dfO′＝∠cfO′＝60°，cf＝ch
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专题四
－hf＝ R2－（R）2－
R
＝ 3R，做圆周运动的半径
2 2tan 60° 3
r＝cf·tan 60°＝R，由粒子做圆周运动的半径公式 r＝mqvB，
解得速率 v＝qmBR，选项 B 正确．
失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：
甲
(1)M、N 间电场强度 E 的大小． (2)圆筒的半径 R.
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专题四
(3)保持 M、N 间电场强度 E 不变，仅将 M 板向上平移23d，
粒子仍从 M 板边缘的 P 处由静止释放，粒子自进入圆筒至从 S 孔射出期间，与圆筒的碰撞次数 n.
(2)能推导粒子运动的轨迹方程吗？ 【解析】作出示意图如图乙所示，根据几何关系可以看
出，当粒子从 d 点射出时，轨道半径增大为原来的二倍，由
半径公式 R＝mqvB可知，速度也增大为原来的二倍，选项 A 正
确、C 错误；当粒子的速度增大为原来的四倍时，才会从 f
点射出，选项 B 错误；据粒子的周期公式 T＝2π qBm，可见粒
π 3
粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律， 得
qvB＝mvr2
联立上式得：R＝ 33qmBv.
(3)保持 M、N 间电场强度 E 不变，M 板向上平移23d 后，
设板间电压为 U′，则 U′＝E3d＝U3
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专题四
设粒子进入 S 孔时的速度为 v′，由 qU＝12mv2 看出 U′ v′2 U ＝ v2
专题四
U＝Ed
联立上式可得 E＝2mqvd2 .
(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系做
出圆心 O′，圆半径为 r，如图乙所示．设第一次碰撞点为 A， 由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从 S 孔射出，因此，SA 弧所
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对的圆心角∠AO′S 等于π3 .
乙 由几何关系得
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专题四
r＝Rtan
射出
B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，粒子将从 f 点
射出 C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来
的二倍，粒子将从 d 点射出 D．只改变粒子的速度使其分别从 e、d、f 点射出时，
从 f 点射出所用的时间最短
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专题四
【疑惑】(1)带电粒子在磁场中受什么力作用，做什么 性质的运动？
时，离子 P＋和 P3＋( )．
A．在电场中的加速度之比为 1∶1 B．在磁场中运动的半径之比为 3∶1 C．在磁场中转过的角度之比为 1∶2
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专题四
D．离开电场区域时的动能之比为 1∶3 【疑惑】(1)在电场中加速，一般应用什么规律研究末 速度？离开电场的动能由什么决定？ (2)怎样确定离子在磁场中运动的半径和偏转角度？
入点与 ab 的距离为R.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动
2
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专题四
方向间的夹角为 60°，则粒子的速率为(不计重力)( )．
甲
A.q2BmR
B.qBmR
C.3q2BmR
D.2qmBR
【疑惑】(1)怎样确定粒子运动轨道的圆心？
(2)怎样计算粒子运动的轨道半径？ (3)轨道半径和速度存在什么关系？
【解析】设 P＋、P3＋质量为 m，电荷量分别为 q 和 3q，
则在同一电场中加速度为 a＝qmUd，显然两者加速度之比为 1∶
3，A 错；粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力，即 qvB＝
mvr2，化简得 r＝mqBv，粒子经过电场加速，进入磁场的速度为
v，则有 qU＝1mv2，v＝
2
2qmU，代入上式化简则有 r＝
【疑惑】(1)质点在 a 点和 b 点分别受到哪些力作用，
与该点的速度有什么关系？
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(2)质点由 a 点到 b 点做什么运动，怎样将 a、b 两点的
速度或动能联系起来？
【解析】质点所受电场力大小为 F＝qE 设质点质量为 m，经过 a 点和 b 点时速度大小分别为 va 和 vb，由牛顿第二定律有
处，合电场强度
E＝k
q 3R
2＋E
盘＝k190Rq2 ，选项
B
正确．
【答案】B 2．(2013 年高考·天津理综卷)两个带等量正电的点电
荷，固定在图中 P、Q 两点，MN 为 PQ 连线的中垂线，交 PQ 于 O 点，A 为 MN 上的一点．一带负电的试探电荷 q 从 A 点由
静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，
子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆
弧所对应的圆心角，所以从 e、d 射出时所用时间相等，从 f
点射出时所用时间最短，D 正确．
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乙 【答案】AD 4．(2013 年高考·新课标全国卷Ⅰ)如图甲所示，半径
为 R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应 强度大小为 B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为 q(q＞0)、 质量为 m 的粒子沿平行于直径 ab 的方向射入磁场区域，射
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【思维导图】
专题四
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【知能诊断】
1．(2013 年高考·新课标全国卷Ⅰ)如图，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的电荷，在垂直于圆盘且过 圆心 c 的轴线上有 a、b、d 三个点，a 和 b、b 和 c、c 和 d 间的距离均为 R，在 a 点处有一电荷量为 q(q＞0)的固定点 电荷．已知 b 点处的电场强度为零，则 d 点处电场强度的大 小为(k 为静电力常量)( )．
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则( )．
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A．q 由 A 向 O 的运动是匀加速直线运动 B．q 由 A 向 O 运动的过程电势能逐渐减小 C．q 运动到 O 点时的动能最大 D．q 运动到 O 点时电势能为零
【疑惑】(1)等量正电荷形成的电场的电场线和等势线 的分布规律是怎样的？
(2)电场力做功与电势能变化存在什么关系？ (3) 只 有 电 场 力 做 功 ， 动 能 和 电 势 能 的 变 化 有 什 么 关 系？
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1
B
2Uqm，则有
qU＝1mv2，v＝
2
2qmU，代入上式化简则有 r
＝1B
2Uqm，显然半径之比rr3＋＋＝
3qq＝
3，所以 1
B
对；由于
通过同一电场加速，因此出电场时的动能之比为 1∶3，D 对；
设磁场宽度为 d，对 P＋粒子，根据几何知识可知 sin 30°＝
d ，设另外一个粒子的圆心角为θ，同理可得 sin θ＝ d ，
动电荷受到的电场力和磁场力相等，有 qUa＝qvB，再根据电
流的微观公式 I＝nqSv(q 取绝对值)，且 S＝ab，联立解得 n
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＝|qI|BbU，选项 C 正确．
【答案】C 7．(2013 年高考·新课标全国卷Ⅱ)如图，匀强电场中
有一半径为 r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平 行．a、b 为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行．一电 荷量为 q(q>0)的质点沿轨道内侧运动，经过 a 点和 b 点时对 轨道压力的大小分别为 Na 和 Nb.不计重力，求电场强度的大 小 E、质点经过 a 点和 b 点时的动能．
r＋
r3＋
由于rr3＋＋＝ 3，代入上式得 sin θ＝ 23，θ＝60°，因此两
粒子在磁场中转过的圆心角之比为 1∶2，C 对．
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【答案】BCD 6．(2013 年高考·重庆理综卷)如图所示，一段长方体
形导电材料，左右两端面的边长都为 a 和 b，内有带电荷量 为 q 的某种自由运动电荷．导电材料置于方向垂直于其前表 面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为 B.当通以从左 到右的稳恒电流 I 时，测得导电材料上、下表面之间的电压 为 U，且上表面的电势比下表面的低．由此可得该导电材料
【疑惑】(1)粒子沿圆形区域磁场的半径入射，发生两
次碰撞后仍从 S 孔射出的轨迹是怎样的？
(2)怎样研究粒子在磁场中做圆周运动的半径？ (3)粒子与圆筒碰撞的次数与每段圆弧的圆心角存在什 么关系？
【解析】(1)设两板间的电压为 U，由动能定理得
qU＝12mv2
由匀强电场中电势差与电场强度的关系得
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综合可得：v′＝ 33v
设粒子做圆周运动的半径为 r′，则
r′＝
3mv 3qB
设粒子从 S 到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角 为θ，比较 r′、R 可得到 r′＝R，可见
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θ＝π2
粒子须经过四个这样的圆弧才能从 S 孔射出，故 n＝3.
【答案】(1) mv2 (2) 3mv (3)3
点电势能为负，D 错． 【答案】BC 3．(2012 年重庆模拟)如图甲所示，有一个正方形的匀
强磁场区域 abcd，e 是 ad 的中点，f 是 cd 的中点．如果在 a 点沿对角线方向以速度 v 射入一带负电的粒子，该粒子恰 好从 e 点射出，则( )．
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甲
A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，粒子将从 d 点
乙 【答案】B
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5．(2013 年高考·浙江理综卷)在半导体离子注入工艺
中，初速度可忽略的磷离子 P＋和 P3＋，经电压为 U 的电场加 速后，垂直进入磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里、
有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子 P＋在磁场
中转过θ＝30°后从磁场右边界射出，在电场和磁场中运动
【答案】61q(Nb－Na) 1r2(Nb＋5Na) 1r2(5Nb＋Na)
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8．(2013 年高考·天津理综卷)一圆筒的横截面如图甲
所示，其圆心为 O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感 应强度为 B.圆筒下面有相距为 d 的平行金属板 M、N，其中 M 板带正电荷，N 板带等量负电荷．质量为 m、电荷量为 q 的 带正电粒子自 M 板边缘的 P 处由静止释放，经 N 板的小孔 S 以速度 v 沿半径 SO 方向射入磁场中．粒子与圆筒发生两次 碰撞后仍从 S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损
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是匀强电场、方向垂直极板，等等． 3．对洛伦兹力的大小和方向分析不熟练，应用左手定 则不熟练，计算洛伦兹力时易忽视速度与磁场平行时所受洛 伦兹力为零这种情况，对洛伦兹不做功理解不深刻，等等． 4．对带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心的确定很困 难，不知道从速度的垂线和弦的中垂线等找出两个半径的交 点来确定圆心，对运动时间的计算掌握不好，不能根据圆心 角的大小来确定运动时间． 5．对带电粒子在有界磁场中运动的临界条件分析方法 不熟悉，不知道临界条件为轨迹与边界线相切． 二、技能缺陷 1．数形结合能力、作图能力欠缺，在分析物体的运动 过程时没有作出物体的过程示意图，不能通过正确的几何图 形来分析求解相关的物理问题．
F＋Na＝mvr2a
Nb－F＝mvr2b 设质点经过 a 点和 b 点时的动能分别为 Eka 和 Ekb，有 Eka＝12mv2a
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Ekb＝12mv2b 根据动能定理有 Ekb－Eka＝2rF
联立上式得：
E＝61q(Nb－Na)
Eka＝1r2(Nb＋5Na)
Ekb＝1r2(5Nb＋Na)．
A．k3Rq2
B．k190Rq2
C．kQ＋R2 q
D．k9Q9＋R2 q
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【疑惑】(1)均匀分布电荷的圆盘，在 b 点和 d 点产生
的场强有什么关系？
(2)d 点的场强怎么计算？
【解析】b 处合电场强度为 0，即 kRq2－E 盘＝0；由对称
性知，圆盘上的电荷在 b、d 处产生的电场等大反向；在 d
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【解析】带负电的试探电荷释放后，受电场力作用，向
O 点加速运动，由于 AO 的连线上各点的电场强度并不相等， 所以加速度不恒定，A 错；由 A 到 O 电场力做正功，电势能 减小，到 O 点电势能最小，动能最大，B、C 对；从 O 点移动 电荷 q 至无穷远处，电场力做负功，电势能增加，故 q 在 O
2qd
3qB
【诊断参考】 一、知识缺陷 1．对概念、模型理解不准确，如对电场强度和电势的 关系理解不准确、对电场空间分布的对称性理解不准确、不 能根据等势线的疏密判断粒子所受电场力的大小、不能正确 理解物体做曲线运动的条件． 2．不能正确分析物体的受力和物体的运动性质，如在 受力分析时对于是否考虑重力不清楚，不知平行板间的电场
单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别分 ( )．
IB A.|q|aU，负
IB B.|q|aU，正
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C.|qI|BbU，负
D.|qI|BbU，正
【疑惑】(1)带电粒子受到了哪些力作用？形成稳定电 势差时，带电粒子怎样运动？这些力满足什么关系？
(2)导电材料内部的电场与电势差存在什么关系？ (3)电流在微观上由哪些物理量决定？其数学表达式是 什么？ 【解析】本题考查洛伦兹力、电场力、电流的微观表达 等．根据电流方向、磁场方向和左手定则得自由运动的电荷 为负电荷，电流稳恒，上、下表面的电势差不变，则自由运