2运筹学之表格单纯型法
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运筹学单纯形法
只要取 x5=min{-，8/2，12}=4 就有上式成立。 x5=4时， x4=0，故决定用x5换x4 x1 =4- 1/4 x4 x5 =4-1/2 x4 +2 x3 x2 =2+1/8 x4–1/2 x3 代入得 z=14-3/2 x3 –1/8 x4 ，令x3 ，x4=0得z=14。新基可 行解为 X(3) =(4,2,0,0,4) T –为最优解，新顶点Q2 最优目标值z=14 。
§3.4 最优性检验和判别定理
线性规划解的四种可能： 1、有唯一解； 2、无穷多最优解； 3、无界解； 4、无可行解。 何时达最优解, 何种最优解？
将基本可行解X(0)和X(1)分别代入目标函数得
z z
(0)
= ∑ ci xi0
i =1 m
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
= ∑ ci [ xi0 − θ aij ] + θ ci
§3.3 从初始基可行解转换为另一基可行解
0 0 记初始基可行解为X(0),有 X ( 0 ) = (x10 x 2 L x m 0 L 0
)
Pi xi0 = b 该解满足约束方程, 即 ∑
i =1
m
(1)
非基向量可以用基向量的线性组合表示
Pj = ∑ aij Pj
i =1 m
m
(2) (3)
Pj − ∑ aij Pj = 0
从实际例子中分析单纯形法原理的基本框架为 •第一步：将LP线性规划变标准型，确定一个初始可行解 （顶点）。 •第二步：对初始基可行解最优性判别，若最优，停止；否 则转下一步。 •第三步：从初始基可行解向相邻的基可行解（顶点）转 换，且使目标值有所改善—目标函数值增加，重复第二和 第三步直到找到最优解。
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
单纯形法的表格解法
1. 最优性检验的依据——检验数σj 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可 以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基 变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变 量xi的检验数记为σi。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。
向量为 pj j 1, 2,L ,n 则
z j cB1,L , cBm pj cB pj ,
其中，(cB)是由第1列第m行各约束方程中的基变量相应的目标函数依 次组成的有序行向量。
单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出基本可行解、检验其最优性、
迭代某步骤都用表格的方式来计算求出，其表格的形式有些像增广矩阵，
n
bi aij xj. i 1, 2,L , m
j m1
把以上的表达式带入目标函数，就有
m
n
z c1x1 c2 x2 L cn xn ci xi c j x j
i 1
j m 1
其中：
n
n
z0
c j z j x j z0 j x j
j m 1
j m 1
.
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可 以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基 变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变 量xi的检验数记为σi。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。
向量为 pj j 1, 2,L ,n 则
z j cB1,L , cBm pj cB pj ,
其中，(cB)是由第1列第m行各约束方程中的基变量相应的目标函数依 次组成的有序行向量。
单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出基本可行解、检验其最优性、
迭代某步骤都用表格的方式来计算求出，其表格的形式有些像增广矩阵，
n
bi aij xj. i 1, 2,L , m
j m1
把以上的表达式带入目标函数，就有
m
n
z c1x1 c2 x2 L cn xn ci xi c j x j
i 1
j m 1
其中：
n
n
z0
c j z j x j z0 j x j
j m 1
j m 1
.
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
运筹学单纯形法各个步骤详解
运筹学单纯形法各个步骤详解1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点高深莫测，但其实特别有意思的东西——运筹学的单纯形法。
别看它名字复杂，其实它就是解决线性规划问题的绝招，像一把钥匙，打开了优化的宝藏。
想象一下，如果你有一大堆资源，要把它们分配到不同的地方，听起来就像玩拼图一样。
好了，废话不多说，咱们直接进入正题！2. 单纯形法的基本概念2.1 线性规划的起源首先，线性规划是啥？简单来说，它就是在一系列限制条件下，想要最大化或最小化某个目标函数。
这听起来像是在做一场抉择，你得在各种选择中找到最优解。
有点像在超市里，看到一堆零食，犹豫不决，最后只能选那包最爱吃的，既美味又划算。
2.2 单纯形法的基本思路而单纯形法就是解决这个问题的武器。
它的核心思想很简单，跟追求完美一样，咱们要一步步地朝着最优解迈进。
想象你在爬山，每一步都在找那个最容易走的路，直到你站在山顶，俯瞰整个美景，啊，真是太棒了！3. 单纯形法的步骤3.1 初始化那么，怎么开始呢？首先，咱们得把问题转化为标准形式。
这就像把一个繁杂的图案简化成几何图形，让它看起来更清晰。
要把不等式转换为等式，添加松弛变量，这样就可以把问题整理得干干净净。
3.2 构建初始单纯形表接下来，咱们构建初始单纯形表。
这个表就像一本菜单，上面列出了所有可能的选择和它们的成本。
每个变量都有自己的“价格”，而咱们的目标就是尽量少花钱，最大化收益。
想想你逛街时，总是想着要花最少的钱买到最好的东西，嘿，这就是单纯形法的精神！3.3 寻找基变量和入基变量然后，咱们得找出“基变量”和“入基变量”。
基变量就像在舞台上表演的演员，而入基变量就是准备加入的“新人”。
在这个过程中，咱们得判断哪个新人能让整个表演更精彩。
如果找对了，舞台瞬间就能变得熠熠生辉，若是找错了，哎呀，那可就尴尬了。
3.4 更新单纯形表一旦找到了合适的入基变量，咱们就得更新单纯形表。
这一步就像在调味，添加新的元素，让整体味道更加丰富。
运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
运筹学单纯形表法详细步骤
运筹学单纯形表法详细步骤概述运筹学是一门研究最优决策问题的学科，它通过数学建模和优化方法，寻找最佳解决方案。
运筹学的单纯形表法是一种常用的线性规划求解方法，通过构造单纯形表，逐步迭代求解最优解。
本文将详细介绍运筹学单纯形表法的步骤和算法原理。
单纯形表法步骤单纯形表法的基本思想是通过构造单纯形表，逐步迭代优化目标函数的值，直到找到最优解。
第一步：标准化线性规划问题将线性规划问题转化为标准型，使得约束条件为等式形式，目标函数为最小化形式。
标准型的形式如下：Minimize C1x1+C2x2+⋯+C n x nSubject to A11x1+A12x2+⋯+A1n x n=b1A21x1+A22x2+⋯+A2n x n=b2…A m1x1+A m2x2+⋯+A mn x n=b mx1,x2,…,x n≥0第二步：构造初始单纯形表根据线性规划问题的标准型，构造初始单纯形表。
初始单纯形表由约束系数矩阵、目标系数向量、约束条件向量和松弛变量构成。
约束系数矩阵的形式为：A=[A11A12...A1n100 0A21A22...A2n010 0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮A m1A m2...A mn000 (1)]目标系数向量的形式为：C=[C1C2…C n000…0]约束条件向量的形式为：B=[b1b2…b m]第三步：确定初始解和基变量根据初始单纯形表，确定初始解和基变量。
基变量是与单位矩阵的列向量对应的变量，它们的取值为约束条件向量的值。
第四步：计算单纯形表中的各项值根据初始解和基变量，计算单纯形表中的各项值。
包括各变量的价值系数、约束条件的值，以及各松弛变量的值。
第五步：检查最优解检查单纯形表中目标系数行是否存在负数。
如果存在负数，则继续迭代；如果都为非负数，则找到最优解。
第六步：确定入基变量在目标系数行中选择最小的负数，确定进入基变量。
第七步：计算离基变量根据进入基变量，计算离开基变量。
离开基变量是通过计算变量的约束条件值除以进入基变量的列中对应的非零元素，找到最小的非负数所在行，确定离开基变量。
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
单纯形法(2表格形式)
迭代。 确定入基变量 确定出基变量 用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。
迭代 次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
迭代 次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
2运筹学之表格单纯型法
j
则对应的xk为换入变量。但也可以任选或按最小足码选。
2.换出变量的确定
设P1，P2，…，Pm是一组线性独立的向量组， 它们对应的基可行解是 X(0)。将它代入约束方 m 程组(1-21)得到
i 1
xi0 Pi b
1 28
其他的向量Pm+1,Pm+2,…,Pm+t,…,Pn都可以 用P1，P2，…，Pm线性表示， 若确定非基变量Pm+t为换入变量，
• 当所有非基变量的σ j≤0时，由（1-27）式可 知已不存在任一可换入的非基变量， 使目标函数继续增大。所以以σ j≤0，为最优解 的判别准则。
2.无穷多最优解判别定理
若 X b ,b , , b ,0, ,0 为一个基可 行解，对于一切j=m+1，…,n，有σ j≤0， 又存在某个非基变量的检验数σ m+k=0，则 线性规划问题有无穷多最优解。 证: 只需将非基变量 xm+k换入基变量中，找 到一个新基可行解X(1) 。因σ m+k=0，由(127)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的 定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优 解。
' ai,mk
以上讨论都是针对标准型，即求目标函数 极大化时的情况。当求目标函数极小化时， 一种情况如前所述，将其化为标准型。 如果不化为标准型，只需在上述1，2点中 把σ j≤0改为σ j≥0，第3点中将 σ m+k＞0改写为σ m+k＜0即可。
3.4 基变换 若初始基可行解 X(0)不是最优解及不能判别 无界时，需要找一个新的基可行解。具体做 法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保 证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为 基变换。为了换基，先要确定换入变量，再 确定换出变量，让它们相应的系数列向量进 行对换，就得到一个新的基可行解。
则对应的xk为换入变量。但也可以任选或按最小足码选。
2.换出变量的确定
设P1，P2，…，Pm是一组线性独立的向量组， 它们对应的基可行解是 X(0)。将它代入约束方 m 程组(1-21)得到
i 1
xi0 Pi b
1 28
其他的向量Pm+1,Pm+2,…,Pm+t,…,Pn都可以 用P1，P2，…，Pm线性表示， 若确定非基变量Pm+t为换入变量，
• 当所有非基变量的σ j≤0时，由（1-27）式可 知已不存在任一可换入的非基变量， 使目标函数继续增大。所以以σ j≤0，为最优解 的判别准则。
2.无穷多最优解判别定理
若 X b ,b , , b ,0, ,0 为一个基可 行解，对于一切j=m+1，…,n，有σ j≤0， 又存在某个非基变量的检验数σ m+k=0，则 线性规划问题有无穷多最优解。 证: 只需将非基变量 xm+k换入基变量中，找 到一个新基可行解X(1) 。因σ m+k=0，由(127)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的 定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优 解。
' ai,mk
以上讨论都是针对标准型，即求目标函数 极大化时的情况。当求目标函数极小化时， 一种情况如前所述，将其化为标准型。 如果不化为标准型，只需在上述1，2点中 把σ j≤0改为σ j≥0，第3点中将 σ m+k＞0改写为σ m+k＜0即可。
3.4 基变换 若初始基可行解 X(0)不是最优解及不能判别 无界时，需要找一个新的基可行解。具体做 法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保 证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为 基变换。为了换基，先要确定换入变量，再 确定换出变量，让它们相应的系数列向量进 行对换，就得到一个新的基可行解。
运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
运筹学单纯形法
问题：本例的A中一共有几个基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？
——Cm个。 n
（3）基本解与基本可行解
当A中的基B取定后，不妨B设表示中的前m列，则可记
A=（B N）,相应地 X= (XB XN)T
约束中的 AX=B
可表示为
B
N
XB XN
b,
即 BB X NN X b
①将目标函数转化为求极大型，即得
②对第一个约束添加松弛变量x4≥0，得 ③对第二个约束减去剩余变量x5≥0，得 ④对自由变量x3，令
原规划化为标准型：
练习3： minZ=x1+2x2-3x3
x1+x2+x3 ≤9 -x1-2x2+x3 ≥2 3x1+x2-3x3=5 x1≤0，x2≥0， x3无约束
解：本例中A， 12
2 1
1 0
10，A中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向P量3 , P为4 ,基变量为 x 3 ,
x
，X
4
B1
x3 ; x4
1
B 2
2
21,
其相应的基向量P为 , P
1
2
,
基变量为x , 1
x
2
,
X
B2
x1 。 x2
k
j
j
k
令 l m i i ni
(B 1b)
i
(B 1P)
ki
(B 1P) ki
0 对应 P l出 的 基
称作检验比。 i
以例1为例，可按上述单纯形法的步骤求出其最 优解，其大致的过程如下。
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
运筹学 单纯形法表格形式
P79，用单纯形法的表格形式求解第二章例1 1：在上表中有一个m*m 的单位矩阵，对应的基变量为s 1,s 2,s 3；●在s 1,s 2,s 3右边的C B 列中填入这些基变量的目标函数中相应的系数。
●2：← 在z j 行中填入第j 列与c B 列中对应的元素相乘相加所得的值，如z 2=0*1+0*1+0*1=0，所在z i 行中的第2位数填入0；← 在 j j jz c -=σ行中填入c j -z j 所得的值，如 050c 111-=-=z σ，01002-=σ，003-=σ，004-=σ，005-=σ← z 表示把初始基本可行解代入目标函数求得的目标函数值，即b 列*c B 列；3：4.5.6.初始基本可行解为s1=300,s2=400,s3=250,x1=0,x2=0;←由于250/1最小，因此确定s3为出基变量；σ>2σ，因此确定x2为←由于1入基变量。
出基变量所在行，入基变量所在列的交汇处为主元，这里是a32=1，在表中画圈以示区别.7：●第一次迭代，其变量为x2,s1,s2,通过矩阵行的初等变换，求出一个新的基本可行解。
●具体的做法：用行的初等变换使得x2的系数向量p2变换成单位向量，由于主元在p2的第3 分量上，所以这个单位向量是()Te1，=，也就是主元0，3素变成1。
在上表中第3个基变量s3已被x2代替，故基变量列中的第3个基变量应变为x2。
由于第0次迭代表中的主元a32已经为1，因此第3行不变。
为了使第1行的a12为0，只需把第3行*(-1)加到第1行即可。
同样可以求得第2行。
8：求得第1次迭代的基本可行解为s 1=50,s 2=150,x 2=250,x 1=0,s 3=0, z=25000.● 从上表可以看出，第一次迭的501=σ>0 ，因此不是最优解。
设x 1为入基变量，从此值可知b 1/a 11=50为最小正数，因此，s 1为出基变量，a 11为主元，继续迭代如下表所示。
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1 21
x j 0 j 1,2, , n
从Pj(j=1,2,…,n)中一般能直接观察到存在一个初 始可行基
1
B
P1, P2 ,
Pm
1
1
(2)加松弛变量
对所有约束条件是“≤”形式的不等式， 可以利用化为标准型的方法，在每个约束 条件的左端加上一个松弛变量。
由此可见，X(1)的m个非零分量对应的列向量 Pj(j=1,2,…,m,j≠l)与Pm+t是线性独立的，
即经过基变换得到的解是基可行解。
实际上，从一个基可行解到另一个基可行解的 变换，就是进行一次基变换。从几何意义上 讲，就是从可行域的一个顶点转向另一个顶 点(见1-2图解法)
3.5 迭代(旋转运算)
如果不化为标准型，只需在上述1，2点中 把σj≤0改为σj≥0，第3点中将
σm+k＞0改写为σm+k＜0即可。
3.4 基变换
若初始基可行解X(0)不是最优解及不能判别
无界时，需要找一个新的基可行解。具体做 法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保 证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为 基变换。为了换基，先要确定换入变量，再 确定换出变量，让它们相应的系数列向量进 行对换，就得到一个新的基可行解。
若它不是最优解，则要另找一个使目标函数值增大的
基可行解。这时从非基变量中确定xk为换入变量。显 然这时θ为
miin
bi aik
aik
0
bl alk
在迭代过程中θ可表示为
miin
bi' ai'k
ai'k
0
bl' al'k
bi'其,,aai'kik 中是经过迭代后对应于的元素值。
1 23
得到一个初始基可行解
又因bi≥0(在1-3节中已做过规定)，所以得 到一个初始基可行解
X=(x1,x2,…,xm,,0，…，0)T
n-m个
=(b1,b2,…,bm,,0，…，0)T
n-m个
(3)加非负的人工变量
对所有约束条件是“≥”形式的不等式及 等式约束情况，若不存在单位矩阵时，就 采用人造基方法。
1.换入变量的确定
由(1-27)式看到，当某些σj＞0时，xj增 大，则目标函数值还可以增大。这时要将某个 非基变量xj换到基变量中去(称为换入变量)。 若有两个以上的σj＞0，那么选哪个非基变量 作为换入变量呢?为了使目标函数值增加得快， 从直观上一般选σj＞0中的大者，即
max j 0 k j
按θ规则确定xl为换出变量，xk, xl的系数列向 量分别为
a1k
a2k
Pk
alk
;
为一个基可
行解，对于一切j=m+1，…,n，有σj≤0，
又存在某个非基变量的检验数σm+k=0，则
线性规划问题有无穷多最优解。
证: 只需将非基变量xm+k换入基变量中，找
到一个新基可行解X(1)。因σm+k=0，由(127)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的 定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优 解。
m i 1
i,mt
Pi
b
或
m xi0 i,mt Pi Pmt b
i 1
1 30
当θ取适当值时，就能得到满足约束条件的一个可行解 (即非零分量的数目不大于 m 个)。
就应使 xi0 i,mt , i 1,2, ,m .中的某一个为零，
一般线性规划问题的求解
3.2 初始基可行解的确定
为了确定初始基可行解，要首先找出初始 可行基，其方法如下。
(1)直接观察 (2)加松弛变量 (3)加非负的人工变量
(1)直接观察
若线性规划问题
n
max z c j x j j i
1 20
n
Pj x j b
j 1
经 过 整 理 ， 重 新 对 xj 及 aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)进行编号，则可 得下列方程组
x1,x2,…,xm 为松弛变量
x1 x2
a1,m1xm1 a1n xn b1 a2,m1xm1 a2n xn b2
为此需要建立对解的判别准则。一般情况 下，经过迭代后(1-23)式变成
n
xi bi' ai'j x j , i 1,2, n j m1
1 24
将 (xi bi'
n
ai'j x j , i 1,2, , m) 代入目标
j m 1
函数(1-20)式，整理后得
xm am,m1xm1 am xn bm x j 0, j 1,2, , n
1 22
于是含有m×m单位矩阵，以B 作为可行基。
1
B
P1, P2 ,
Pm
1
1
将(1-22)式每个等式移项得
并保证其余的分量为非负。 这个要求可以用以下的办法达到：
比较各比值 xi0 i,mt , i 1,2, ,m 。
又因为θ必须是正数，所以只选择 xi0 i 1,2, , m
i,mt
中比值最小的等于θ。以上描述用数学式表示为：
miin
xi0
3．无界解判别定理
若
X 0
b1' , b2' ,
,bm' ,0,
T
,0
为一基可行解，
有一个σm+k＞0，并且对i=1,2,…，m，有
ai',mk 0
存在。 那么该线性规划问题
具有无界解(或称无最优解)。
证: 构造一个新的解 X(1)，它的分量为
xi1 bi' ai',mk 0
,0,
,
xm01
xl0
l,mt
m,mt ,
,0,
xl0
l,mt
,
,0,
第m t个分量
由此得到由X(0)转换到X(1)的各分量的转换公 式
xi1
xi0
xl0
xl0
l,mt
i,mt
l,mt
i,mt
i,mt
0
xl0
i,mt
这时 xi 为换出变量。按最小比值确定θ值，
称为最小比值规则。将 xl0 代入 X 中， i,mt
便得到新的基可行解。
新的基可行解。
第l个分量
X
1
x10
xl0
l,mt
m,mt ,
xl al,m1xm1 alk xk aln xn bl 1 33
xm am,m1xm1 amk xk am xn bm
一般线性规划问题的约束方程组中加入松弛变量或人工变量后， 很容易得到上述形式
设x1,x2,…,xm为基变量，对应的系数矩阵是m×m单位 阵I， 它是可行基。令非基变量xm+1,xm+2,…,xn为零， 即可得到一个基可行解。
x1 x2
b1 a1,m1xm1 a1n xn b2 a2,m1xm1 a2n xn
xm bm am,m1xm1 am xn
令xm+1=xm+2=…=xn=0，由(1-23)式可得 xi=bi (i=1,2,…,m)
上述讨论的基可行解的转换方法是用向量方程来描述， 在实际计算时不太方便，因此采用系数矩阵法。
现考虑以下形式的约束方程组
x1 x2
a1,m1xm1 a1k xk a1n xn b1 a2,m1xm1 a2k xk a2n xn b2
n
m
n
m
n
n
z c j x j ci xi
c j x j ci (bi'
ai'j x j )
cjxj
j 1
i 1
j m1
i 1
j m1
j m1
m
m
n
n
cibi' ci
ai'j x j
cjxj
i 1
i1 j m1
xm1k
x
1
j
0;
j m 1, , n,并且j m k
因
ai' , m k
0 ，所以对任意的λ＞0都是可行
解，把x(1)代入目标函数内得
z=z0+λσm+k 因σm+k＞0，故当λ→+∞，则z→+∞，故
该问题目标函数无界。
以上讨论都是针对标准型，即求目标函数 极大化时的情况。当求目标函数极小化时， 一种情况如前所述，将其化为标准型。
j l
(1 31)
成立。又因
m
Pmt j,mt Pj , j 1
(1 31)
将(1-32)式减(1-31)式得到
m
( j,mt a j )Pj l,mt Pl 0
j 1
由于上式中至少有βl,m+t≠0，
所以上式表明P1，P2，…，Pm是线性相关，