(完整)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

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初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法

初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。

初中数学最短路径问题总结

初中数学最短路径问题总结一、十二个基本问题概述问题一：在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .作法：连接AB，与直线l 的交点即为P 点 .原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为AB .问题二：（“将军饮马问题”）在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .作法：作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接AB' 与l 的交点即为点P．原理：两点之间线段最短．PA + PB 最小值为AB' .问题三：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使得△PMN 的周长最小．作法：分别作点P 关于两条直线的对称点P' 和P''，连接P'P''，与两条直线的交点即为点M，N．原理：两点之间线段最短．PM + MN + PN 的最小值为线段P'P'' 的长．问题四：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小．作法：分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q' 和P' 连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N.原理：两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段Q'P' + PQ 的长．问题五：（“造桥选址问题”）直线m∥n，在m、n 上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM + MN + BN 的值最小．作法：将点A 向下平移MN 的长度单位得A'，连接A'B，交n 于点N，过N 作NM⊥m 于M .原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为A'B + MN .问题六：在直线l 上求两点M , N （M 在左），使MN = a , 并使AM + MN + NB 的值最小 .作法：将点A 向右平移a 个长度单位得A'，作A' 关于直线l 的对称点A''，连接A''B 交直线l 于点N，将N 点向左平移a 个单位得M .原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为A''B + MN .问题七：在l1 上求点A，在l2 上求点B，使PA + AB 值最小 .作法：作点P 关于l1 的对称点P'，作P'B⊥l2 于点B，交l1 于点A .原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段P'B 的长 .问题八：A 为l1上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点M，在l1上求点N，使AM + MN + NB 的值最小 .作法：作点A 关于l2 的对称点A' , 点B 关于l1 的对称点B'，连接A'B' 交l2 于点M，交l1 于点N．原理：两点之间线段最短．AM + MN + NB 的最小值为线段A'B' 的长．问题九：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最小．作法：连接AB，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P 点．原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．| PA - PB | = 0 .问题十：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．作法：作直线AB，与直线l 的交点即为P 点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB ，| PA - PB | 的最大值= AB . 问题十一：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．作法：作点B 关于直线l 的对称点B' 作直线AB'，与直线l 的交点即为P 点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB' ，| PA - PB | 的最大值= AB' . 问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P，使得PA + PB + PC 的值最小 .作法：所求点为“费马点”，即满足∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .以AB 、AC 为边向外作等边△ABD、△ACE，连接CD、BE 相交于点P，点P 即为所求 .原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值= CD .二、“费马点”——到三点距离之和最小的点费马点的构造方法：①所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于120°；②如下图所示：A , B , C 是给定的三点，以AC 为边向外作正三角形得到点D , 以BC 为边向外作正三角形得到点E ,连接BD 和AE 交于点O，我们断言点O 就是“费马点” .费马点的证明方法：先证△AEC ≌△DBC .△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，可得到△DBC，从而△AEC ≌△DBC .于是∠OBC = ∠OEC，所以O、B、E、C 四点共圆 .拓展知识：四点共圆判定方法若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .所以∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，于是∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证∠AOC = ∠AOB = 120°，所以∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .将O 点看作是AE 上的点，随着△AEC 一起绕点C 顺时针旋转60°得到点O2 , 所以∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,所以△OCO2 是等边三角形，于是有OO2 = OC .所以BD = OA + OB + OC .。

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初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【问题1】作法图形原理AlB在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．连AB，与l 交点即为P．AP lB两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理ABl在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．ABlP两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．B'【问题3】作法图形原理l1Pl2在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P＇和P＇连，P＇P＇＇与，两直线交点即为M，N．P' l1MPNl2P''两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理l1QPl2在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN 分别作点Q 、P 关于直线l1、l2的对称点Q＇和Q'l1M QP两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最P＇连Q＇P＇，与两直线交l2N 小值为线段P＇P＇＇的长．点即为M，N．P'PE3在直线 l 上求一点 P ，使直线 l 的交点即为 P ．端点的距离相等．PA - PB ＝0．PA - PB 的值最小．【问题 10】作法图形原理ABl在直线 l 上求一点 P ，使PA - PB 的值最大．作直线 AB ，与直线 l 的交点即为 P ．ABPl三角形任意两边之差小于第三边． PA - PB ≤AB ．PA - PB 的最大值＝AB ．【问题 11】作法图形原理AlB在直线 l 上求一点 P ，使PA - PB 的值最大．三角形任意两边之差小于A第三作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点B'Pl边． PA - PB ≤AB ＇．即为 P ．BPA - PB 最大值＝AB ＇．【问题 12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”，即满足DBC∠APB ＝∠BPC ＝∠APC＝120°．以 AB 、AC 为APE两点之间线段最短． PA +PB +PC 最小值△ABC 中每一内角都小于边向外作等边△ABD 、△ BC＝CD ．120°，在△ABC 内求一 ACE ，连 CD 、BE 相交于点 P ，使 PA +PB +PC 值最 P ，点 P 即为所求．小．【精品练习】1. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A. 2B. 2 ADC ．3D ．BC2. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD- 3 -662 EDM3交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A ．2B ． 2C ． 2 +D ．43. 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在 BC 、CD 上分别找一点 M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°A DBNC4. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和AB 上的动点，则 BM +MN 的最小值是．A5. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B 、C 重合），且 ED ＝AE ，则线段 AE 的取值范围是．ACB6. 如图，∠AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP ＋PQ ＋QN 的最小值是．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）- 4 -D M33 yABOxyBA OCDx7. 如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B ( 6 ，0)．OC 平分∠AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA ＋MN 的最小值是．8. 已知 A （2，4）、B （4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知 A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA +PB 的最小值和此时 P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD ＝1，求当 AC +CD +DB 的最小值和此时 C 点的坐标；10. 点 C 为∠AOB 内一点．（1）在 OA 求作点 D ，OB 上求作点 E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．A- 5 -yBA OxyBA OxCO BAF11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于 F ，连 AF ，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于 120°，求作一点 P ，使 PA +PB +PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DEBC① ①① ①12．荆州护城河在 CC ＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD ＇、EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？- 6 -- 7 -“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“⽴体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“⽴体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB最⼩。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓∠MON内部任意⼀点，在∠MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C，组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

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初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。

解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。

初中数学《最短路径问题》典型题型复习

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点卞P，使得最小。

二解：连接,线段与直线L的交点P，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.KRI?< 4解：只有A C B在一直线上时，才能使最小.作点A关于直线“街道”的对称点A,然后连接A B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角/内部任意一点，在/的两边，上各取一点B, C,组成三角形，使三角形周长最小.o解：分别作点A关于，的对称点A , A〃；连接A , A〃，分别交，于点B、点C,则点B、点C即为所求分析：当、和三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1•将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2. 连接交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 //且，，// ,, 所以两地的距，若桥的位置建在处，连接则两地的距离为：在△中，•••> , •••> ,即 >所以桥的位置建在处，两地的路程最短例：如图，A B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，？要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，？可使所修的渠道最短，试在图中确定该点作法：作点B 关于直线a 的对称点点C,连接交直线a 于点D,则点D 为建抽水站的位置。

(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习

八年级数学几何中的最短路径问题（一）

八年级数学几何中的最短路径问题（一）一、最短路径问题：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

二、涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。

三、解题思路：找对称点实现化“折” 为“直” 。

四、十二个基本问题（前6个）：问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

图1作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。

图2原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。

问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

图3作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为P 。

图4原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。

问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。

图5作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。

图6原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。

问题4、如图，在直线L1 、L2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小。

图7作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。

图8原理：两点之间线段最短，四边形PQMN 周长的最小值为线段QP + Q'P' 的长。

问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。

图9作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作NM⊥m 于点 M 。

【初中数学】最短路径模型及例题解析

【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。

例如，从家到学校、从甲地到乙地等。

在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。

最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。

最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。

2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。

3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。

4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。

二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。

这种方法适用于顶点数量较少的简单图。

2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。

3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。

三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。

下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。

【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。

1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。

2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。

此时，A为已访问顶点。

3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。

此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。

4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。

最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。

【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】A・*B l在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作直线AB，与直线l的交点即为P.--^^lP三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB W AB.|PA- PB|的最大值一AB .【问题11]作法图形原理Al■B在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作B关于l的对称点B' 作直线A B"与l交点即为P.—r^lB三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB\ W AB ;|PA—PB| 最大值一AB【问题12]“费马点”作法图形原理A zAB C△ ABC中每一内角都小于120°,在4ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. 所求点为“费马点”，即满足N APB =N BPC =NAPC =120° .以AB、AC 为边向外作等边^ ABD、△ACE，连CD、BE相交于P,点P即为所求.D"一B C两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值一CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,八ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2V3B.2V16C. 3D. v162.如图，在边长为2的菱形ABCD中，N ABC=60°, 交于点E、F，则△ CEF的周长的最小值为（）A. 2B. 2t3C. 2 + J3D. 4若将^ACD绕点A旋转，当AC、AD，分别与BC、CD3.四边形ABCD 中，N B =/D = 90°,N C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、乂使^ AMN 的周长最小时，上的动点，则BM +MN 的最小值是5 .如图，Rt △ ABC 中，N C =90°,N B = 30°, AB = 6,点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED =AE ，则线段AE 的取值范围是6 .如图，N AOB = 30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1, ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ + QN 的最小值是.（注”勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ ABC 中，N C =90°,则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 )7 .如图，三角形"BC 中，N OAB =N AOB = 15°,点B 在％轴的正半轴，坐标为B （6<3 , 0）.OC 平分N AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA +MN 的最小值是/AMN +N ANM 的度数为( A . 120°B . 130°)C . 110°D . 140°4.如图，在锐角^ABC 中，AB = 4v2 ,N BAC =45°,N BAC 的平分线交BC 于点D , M 、N 分别是AD 和AB8.已知A (2, 4)、B (4, 2). C在y轴上，D在％轴上，则四边形ABCD的周长最小值为此时C、D两点的坐标分别为9.已知A (1, 1)、B (4, 2).(1)P为％轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为％轴上一动点，求|PA PB|的值最大时P点的坐标;(3)CD为％轴上一条动线段，D在C点右边且CD =1,求当AC + CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10.点C为N AOB内一点.(1)在OA求作点D, OB上求作点E，使△ CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若N AOB = 30°, OC =10,求4CDE周长的最小值和此时N DCE的度数.如图①，△ ABD 和^ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于凡连AF ，求证：AF +BF + CF = CD ；在^ABC 中，N ABC =30°, AB = 6, BC =8,N A ,N C 均小于 120°,求作一点尸，使 PA+PB+PC 的12.荆州护城河在CC '处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD '、EE '，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，11. (1) (2) 值最小，试求出最小值并说明理由.图①。

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初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题” 。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。

解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短．解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，AOM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE,所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在连接A ′，A ″，分别交B河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B关于直线a 的对称点点C,连接AC 交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。

证明：在直线a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,∵点B.C 关于直线a 对称,点D.E 在直线a 上，∴ DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC>AC, 即AE+EC > AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO ，BO），AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C 关于直线OA 的对称点点D,2. 作点C 关于直线OB 的对称点点E,3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ，则CM+MN+CN 最短例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，DAOCDB先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线作法：1.作点C 关于直线OA 的对称点点F,2. 作点D 关于直线OB 的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB 于点G.H ，则CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为（A ．7 B．C．D．5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将圆柱体展开，连接A、C ，∵ = = ?π?=4 ，BC=3 根据两点之间线段最短，AC= =5 ．故选D ．五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程例：有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A ．5 cm B．cm C ．4 cm D．3 cm 分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A 和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90 ；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74 ；3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80 ；所以最短路径长为cm ．一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A处（长有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A ．4.8 B．C．5 D．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解：有两种展开方法：①将长方体展开成如图所示，连接A 、B，根据两点之间线段最短，AB= = ；②将长方体展开成如图所示，连接A 、B，则AB= =5< ；所以最短距离5例：有一棵9 米高的大树，树下有一个在距地面4 米处折断（未完全折断），之外才是安全的．1 米高的小孩，如果大树则小孩至少离开大树分析：根据题意构建直角三角形ABC ，利用勾股定理解答．解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m，则BC=4 ﹣1=3m ，AB=9﹣4=5m ，在Rt △ ABC中，AC= = =4．例：如图，在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且> AD ，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路例：如图是分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知，将木块展开，相当于是 ∴长为 2+0.2 ×2=2.4 米；宽为1 米．于是最短路径为： =2.60 米．例：如图， AB 为⊙O 直径， AB=2 ，OC 为半径， OC ⊥AB,D 为AC 等分点，点 P 为 OC 上的动点，求 AP+PD 的最小值。

分折：作 D 关于 OC 的对称点 D '，于是有 PA+PD '≥ AD ', （当且仅当 P 运动到 P o 处，等号成立，易求 AD '= 3 。

六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8 ，底面圆的半径 r=2，若一只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）根据题意可得出： 2nπ.π.rO=A,/180 则，则 n ×π×8， 180由勾股定理求得它的弦长 AA一、题中出现一个动点。

当题中只出现一个动点时 , 可作定点关于动点所在直线的对称点或三角形两边之和小于第三边求出最值 . 例：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 上一定点，且 BE=10,CE=14,P 为 BD 上一动点，求 PE+PC 最小值。

AB+2 个正方形的宽，小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所 2×π× 2=解得： n=90,利用两点之间线段最分析：作E关于BD 对称点E'，E'在AB 上，有PE+PC=PE'+PC≥E'C 易求E'C=26 。

、题中出现两个动点当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0 ，n),D(m,0), 当四边形ABCD 周长最短时,求m。

n分折:因AB 长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短,作B 关于y 轴对称点B',A 关于x 轴对称点A ' ,DA+DC+BC=DA '+DC+B 'C≥B'A'(当D,C 运动到AB 和2 7 7 7 m xx轴y 轴的交点时等号成立),易求直线A'B'解折式y= 3 + 3 ,C0(0, 3 ),D0(-2 ,0),此时n =-23三、题中出现三个动点时在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点(2) 同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题例：如图，在菱形ABCD 中,AB=2, ∠BAD=60,E,F,P 分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值分折:作E关于AC 所直线的对称点E',于是有,PE+PF=PF+PE'≥E'F,又因为E 在AB 上运动,故当EF和AD,BC 垂直时，E0F 最短,易求E0F= 3。

例：如图，∠ AOB=45 ，角内有一动点P ，PO=10 ，在AO ，BO 上有两动点Q ，R，求△ PQR 周长的最小值。