第12讲 几何不等式(含解答)

九年级数学竞赛专题第十二讲几何不等式

一、选择题

1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（）A．c – a < b ; B．2b < a + c ; C．c – b > a; D．2b< ac

2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（）

A．0°< ∠B < 64°; B．58°< ∠B < 64°

C．58°< ∠B < 122°; D．64°< ∠B < 122°

3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（）

A．2 < c < 4; B．2 < c < 3; C．2 < c < 10; D．22< c < 10

4．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，

即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（）

A．x > y > z ; B．x = z > y

C．x = z < y; D．x < y = z

5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b

7，那么这样的三角形共有（）个。

A．21; B．28; C．49; D．14

二、解答题

1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。

求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。

2．如图，已知△ABC ，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。求证：∠AEB > ∠AEC。

3．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，E 、F 分别在AB 、AC 上且AE=CF 。求证：EF ≥

2

1

BC 。

4．如图，已知△ABC 中，BC 大于其它两边，D 、E 分别在AB 、AC 上，连结DE 。求证：DE < BC 。

5．如图，已知△ABC 中，∠ABC > ∠ACB ，BE 、CF 分别是角平分线。求证：BE < CF 。

6．如图，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求证：AB + CF > AC + BE。

7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。求证： BC + AD > AB + CD。

8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，设AC与DB交于E。求证：AE > DE。

9．如图，已知△ABC 中，∠BAC=120°，P 为△ABC 内一点。求证：PA + PB + PC > AB + AC 。

10．已知△ABC 中三边长分别为a,b,c ，相应边上的中线长为a m ，b m ，c m 。

求证：（1）;44222a bc m a bc a +≤≤-（2）;4422

2b ac m b ac b +≤≤- （3）;4

422

2c ab m c ab c +≤≤-

答案 一、 1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：

1．由A 答案c – a < b 及已条条件a < b < c 可推出a + b > c ，a + c > b, b + c > a ，因此可以组成三角形，B 、C 、D 答案均可举出反例：

如a = 1, b = 3, c = 6时，满足B 和C ，但不能组成三角形，当a = 1, b = 2, c = 5时，满足C ，但不能组成三角形。 2．因为AB > BC

所以∠C > ∠A = 58°

所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°- 58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C 、D 。

令∠B=40°，则∠C=82°，符合条件，故排除B 。

3．若∠C 是最大角，则∠C < 90°

所以c < 22b a +，即c <；若∠B 是最大角，则∠B < 90° 所以2

2

2

c a b +< 所以9 < 1 + c 2

所以 c > 22 所以22 < c < 10

4．易证△ABD ≌△ACE ⇒BD=EC ，即x = z

又因为∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2

所以BD > DE 即x > y ，所以x = z > y 选B

5．根据两边之和大于第三边和条件a ≤b < c ，b = 7，有以下情况：

a 2 3 4 5 6 7

b 7 7 7 7 7 7

c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21个，选A

二、

1．略解：延长AD 到F ，使DF=AD ，连结BF （如图）

易证△ADC ≌△FDB ，所以AC=BF （1）在△ABF 中，AB+BF > AD + DF 所以2AD < AB + AC

（2）因为△ADC ≌△FDB ，所以∠CAD=∠F 因为AB > AC ，所以AB > BF ， 所以∠F > ∠BAD ， 所以∠CAD > ∠BAD

（3）由（2），∠BAD < ∠DAC 及∠BAE = ∠EAC = 2

1

∠BAC 所以∠BAD < ∠EAC

因为AB > AC 所以∠C > ∠B 所以∠BAD + ∠B < ∠EAC + ∠C

所以∠ADE < ∠AED ，所以AE < AD

2．略证：如图，因为AB=AC ，AD 为中线，

所以∠BAD=∠CAD ，∠ABC=∠ACB

因为E 在△ABD 内，所以∠BAE < ∠BAD 所以∠BAE < ∠BAD < ∠CAE 在△ABE 与△ACE 中 AB=AC ，AE=AE

所以BE < EC 所以∠2 < ∠1

所以∠ABC –∠1 < ∠ACB - ∠2即∠3 < ∠4

所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC

3．略证：

过E 作ED 平行且等于BC ，连结DF ，DC （如图） 所以BCDE 是平行四边行

所以DC 平行且等于BE ，所以∠1=∠A

因为AB=AC ，AE=FC 所以BE=AF=DC

所以△AEF ≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD 中，EF+DF > DE

所以2EF > BC 即EF >

2

1

BC

当E 、F 为AB 、AC 中点时，EF=2

1BC 所以EF ≥

2

1BC

4．略证：连结BE （如图）

因为BC > AB ，BC > AC ，